Cálculo 2 EPE Ingeniería: Superficies cuadráticas y coordenadas cilíndricas

CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
Al finalizar la sesión, el estudiante:
❖Representa con ecuaciones cuadráticas a superficies
en situaciones de contexto.
❖Describe regiones del plano y del espacio limitadas
por superficies empleando sistemas de coordenadas
cartesianas.
2
Logro de la Sesión

Temario
3
❖ Superficies cuadráticas: cilindros.
❖ Descripción de regiones limitadas por planos, cilindros y
superficies cuadráticas.
❖ Sistema de coordenadas cilíndricas.

CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 4
Superficies cuadráticas
¿Qué gráfico representa la siguiente ecuación,
en el plano?
¿Y en el espacio?
2
2
2
r
y
x =
+
Ahora pasaremos el concepto de cilindros.
r
Circunferencia

Un cilindro es una superficie generada por el desplazamiento de una
recta llamada generatriz que se mueve de tal manera que se mantiene
siempre paralela a una recta fija dada y corta siempre por una curva
plana fija dada llamada directriz.
La recta móvil se llama generatriz y la curva fija directriz de la
superficie cilíndrica.
Superficies cuadráticas
Cilindro
Nota : En este curso sólo consideraremos, que la directriz es una curva
contenida en uno de los planos coordenados y las generatrices son paralelas
a los ejes coordenados. A estos cilindros se les conoce como cilindros
rectos.

Superficies cilíndricas
CILINDRO
ELÍPTICO
CILINDRO
PARABÓLICO
CILINDRO
HIPERBÓLICO

Bosquejar lo siguiente en Actividad 2: Ejercicio 1
Bosquejar: a. b.
9
2
2
=
+ y
x 0
2
=
− z
x
z
x
y
z
x
y

Grafique la curva de intersección, en el primer octante, de las superficies S1 y S2, indicando las
coordenadas de los puntos extremos de la curva.
𝑎. 𝑆1: 𝑥2
+ 𝑦2
= 1; 𝑆2: 𝑦 + 𝑧 = 2.
Curvas como intersección de superficies
z
x
y

𝑏. 𝑆1: 𝑧 = 1 − 𝑥2
; 𝑆2: 𝑦 = 1 − 𝑥.
z
x
y

CIERRE
❖ ¿Dar un ejemplo de una ecuación que represente a
un cilindro recto que se desarrolla a lo largo del
eje z?
❖ ¿Qué característica debe presentar una ecuación
cuadrática para afirmar que representa un
cilindro?
10

Descripción de un solido
En forma gráfica Dibujar el sólido
En forma analítica
Dar la variación de
las coordenadas de
sus puntos.

En forma analítica
Paso 1:
Graficar la proyección del sólido
sobre unos de los planos
cartesianos.
OBSERVACIÓN
En nuestro curso trabajaremos
solo con la proyección sobre
el plano XY. A este tipo
especial de regiones se conoce
como región sólida del tipo 1.

En forma analítica Paso 2 :
Una recta perpendicular al plano
proyectado debe de cortar al sólido
en 2 puntos, uno de entrada y otro
de salida.
Se describe la variación a la variable
que no está involucrada en la región
proyectada.
𝑓1 𝑥; 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓2 𝑥; 𝑦 .
Del ejemplo: La variable no
involucrada es la z,

En forma analítica
Paso 3:
Describir la región sólida de
manera ordenada mediante la
variación de las variables.
𝐷 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥), 𝑓1(𝑥; 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑓2(𝑥; 𝑦) .
Según la figura, la descripción de la región D será:
Lo mismo que describir una
región plana de Cálculo 1.

Describa el sólido mostrado proyectando el sólido
sobre el plano XY.
EJEMPLO
y
x
Proyectando sobre el plano xy

a. Sea E la región, en el primer octante, limitada por la superficie S y los planos
coordenados. Describa la región proyectando el sólido sobre el plano XY.
16
12
4
3
2
: =
+
+ z
y
x
S
y
x
z
x
y

b. Sea E la región limitada por las superficies S1, S2 y los planos coordenados en el primer
octante. Describa la región proyectando el sólido sobre el plano XY.
17
2
2
1 9
: y
x
z
S −
−
= 3
3
:
2 =
+ y
x
S
y
x
z
x
y

Completar la actividad 2: Ejercicio 4.

Coordenadas cilíndricas
TEMA

x
P(r; q; z)
P(x; y; z)
z
z =
x
y
q
q
sen
r
y =
r
y
q
cos
r
x =
z
Para convertir de coordenadas
cilíndricas a rectangulares
empleamos las ecuaciones:
.
z
z
r
y
r
x =
=
= ;
sen
;
cos q
q
z
z
x
y
y
x
r
=
=
+
=
q
tan
2
2
2
Para convertir de
coordenadas rectangulares a
cilíndricas usamos.

Superficies notables en coordenadas cilíndricas
k
z
S =
:
2
2
2
: c
y
x
S =
+ kx
y
S =
:
k
z
S =
:
c
r
S =
:
)
(
tan
: 1
k
S −
=
q
Ejemplo:
4
2
2
=
+ y
x 5
=
z x
y =
Ejemplo: Ejemplo:

Ejemplo
Sea E la región limitada por: ,
a) Represente gráficamente la región E.
b) Describa en forma ordenada E, utilizando el sistema de
coordenadas cilíndricas.
0
:
1 =
z
S
2
2
2 9
: y
x
z
S −
−
=
23
y
x
z
x
y

Completar la actividad 2: Ejercicio 5 y 6.

CIERRE
❖ ¿Cuáles son las variables que usamos en el sistema
de coordenadas cilíndricas?
❖ Dar la ecuación de un cilindro circular en cilíndricas.
Desarrollar la actividad de contexto al final del
material.
25

ACTIVIDADES DEL FIN DE SEMANA 1
❖ La autoevaluación 1 nos permite
practicar para el control 1 y aplica al
promedio de Actitudinal 1, la nota a
considerar es 16
26
SEMANA 2

Bibliografía
STEWART, James, (2010)
Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas , 7a edición.
México D.F.: Cengage Learning.
27

Cálculo 2 EPE Ingeniería: Superficies cuadráticas y coordenadas cilíndricas

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Cálculo 2 EPE Ingeniería: Superficies cuadráticas y coordenadas cilíndricas

Similar a Cálculo 2 EPE Ingeniería: Superficies cuadráticas y coordenadas cilíndricas (20)

Último

Último (20)

Cálculo 2 EPE Ingeniería: Superficies cuadráticas y coordenadas cilíndricas