1. En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa la parte principal del
cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable
independiente. El diferencial queda definido por la expresión
como si la derivada dy/dx representara el cociente entre la cantidad dy y la cantidad dx. Se
puede también expresar como
El significado preciso de estas expresiones depende del contexto en las cuales se las
utilice y el nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matematicas
rigurosas modernas, las cantidades dy y dx son simplemente variables reales y son
manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar una significación
geométrica particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o
significancia analítica si el diferencial es considerado como una aproximación lineal del
incremento de la función. En aplicaciones físicas, a menudo se requiere que las
variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).
Definición
El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente
manera.
1
El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos
variables reales e independientes x y Δx dada por:
Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df.
Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es
convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad
se mantiene.
[editar]Interpretación geométrica del diferencial
Interpretación geométrica del diferencial de una función en un punto.

2. El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente
desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente
a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente
entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un
hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a
nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se
toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal
que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en
cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están
definidos respectivamente por y .
[editar]Generalizaciones
[editar]Matriz jacobiana
Para funciones de más de una variable, el concepto de diferencial es generalizado
mediante la matriz jacobiana. La matriz jacobiana es una representación en coordenadas
de una aplicación lineal que aproxima en primer orden una función de a . Los
requerimientos de diferenciabilidad en espacios euclídeos de dimensión superior a 1, son
un poco más exigentes que en , ya que la simple existencia de derivadas no es
suficiente para asegurar la diferenciabilidad.
[editar]Aplicaciones entre variedades
Dadas dos variedades diferenciables de dimensión m y de dimensión n y una
aplicación entre ellas el concepto de aplicación diferencial tangente
(o pushforward) es una aplicación lineal entre los fibrados tangentes de ambas
variedades. Una aplicación de ese tipo se dice diferenciable si dada una carta
local que contenga al punto y que contenga a , la
aplicación es diferenciable como función de a .
Para definir la noción de aplicación lineal tangente de una aplicación diferenciable entre
variedades debe tenerse en cuenta el hecho de que el espacio tangente a una variedad
diferenciable puede identificarse con el conjunto de derivaciones sobre el espacio de
funciones definidas sobre la variedad. En esa identificación una derivación se puede llegar
a identificar como "la derivada direccional" en una cierta dirección. Dado ese vínculo un
vector queda caracterizado por su acción sobre las funciones definidas sobre una
variedad. A partir de esa noción dada una aplicación diferenciable se define la
aplicación lineal tangente:
Tal que a un vector en p le asigna el único vector que hace que se cumpla
que:

3. Donde: