Nuevo 2010 i_tecnicas de integracion_utp(2)

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE

Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN DIRECTA
De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de
integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva
de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla
nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

EJEMPLO: 2xdx x2 c, c ; porque D x2 c 2x
x

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRACIÓN
P2. Si f y f están definidas en el mismo dominio, entonces
1 2
P1. k f x dx k f x dx, k
f x f x dx f x dx f x dx
1 2 1 2
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor
constante de la integral. Esta propiedad indica la linealidad de la integración

P3. Si f , f , … y f están definidas en el mismo
1 2 n
dominio, entonces
n n

k .f x dx k. f x dx , k P4. Si k , entonces kdx k.x c, c ,
i i i i i
i 1 i 1

Esta propiedad indica la linealidad de la integración

P6. Sea r diferente de 1 , entonces
xr 1
P5. dx x c, c xr dx c, c .
r 1

xr 1
También k.xr dx k c, k y c
r 1

1
P7. x 1dx dx Ln x c, c P8. e x dx ex c, c
x

ax
P10. a 0 a 1: a x dx c, c
Ln a
P9. Ln x dx xLn x x c, c
x '
SUG.: a a x Ln a

1



P11. sen x dx cos x c, c
P12. cos x dx sen x c, c

P13. sec 2 x dx tan x c, c P14. csc 2 x dx cot x c, c

P16. csc x cot x dx csc x c, c
P15. sec x tan x dx sec x c, c

1 1
P17. dx arcsen x c, c P18. dx arctan x c, c
1 x2 1 x2

1 P20. senh x dx cosh x c, c
P19. dx arc sec x c, c
x x2 1

P21. cosh x dx senh x c, c P22. sec h2 x dx tanh x c, c

P23. csc h2 x dx coth x c, c P24. sec h x tanh x dx sec h x c, c

f' x
P25. csc h x coth x dx csc h x c, c P26. dx Ln f x c, c
f x

PRACTICA DIRIGIDA DE AULA
Calcule las integrales indefinidas que se indican, aplique las propiedades en cada caso.

8 x4 3 x2 9
1. 3 x 4 dx 2. cos x 5sen x 7 dx 3. dx
3 x3

4 2
4. cot 2 x 1 tan2 x dx 5. x x 3 dx 6. 7 dx
x5 x2

sec x 2 se n x
7. dx 8. dx 9. dx
cos2 x
3
tan x cot x x

6 x2 8 x
10. x 2 dx 11. ex 3 x 2 dx 12. dx
x3 2x 2

2



SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: 3x 4 dx

Propiedad 2: 3x 4 dx 3 xdx 4dx

x1 1
Propiedad 4 y 6: 3x 4 dx 3 4 x c, c
1 1

Por lo tanto:

3 x2
3x 4 dx 4 x c, c
2

2. SOLUCIÓN: cos x 5sen x 7 dx

Propiedad 3:

cos x 5sen x 7 dx cos x dx 5 sen x dx 7 dx

Propiedad 11, 12 y 5:

cos x 5sen x 7 dx sen x 5 cos x 7 x c, c

Por lo tanto:

cos x 5sen x 7 dx sen x 5 cos x 7 x c, c

3



8 x4 3 x2 9
3. SOLUCIÓN: dx
3 x3

Efectuando la división, se obtiene:

8 x4 3 x2 9 8x
dx x 1 3 x 3 dx
3 x3 3

Propiedad 3:

8 x4 3 x2 9 8
dx xdx x 1dx 3 x 3 dx
3 x3 3

Propiedad 6 y 7:

8 x4 3 x2 9 8 x1 1 x 3 1
dx Ln x 3 c, c
3 x3 3 1 1 3 1

Por lo tanto:

8 x4 3 x2 9 8 x2 3x 2
dx Ln x c, c
3 x3 6 2

4. SOLUCIÓN: cot 2 x 1 tan2 x dx

Simplificando el integrando, se obtiene:

cot 2 x 1 tan2 x dx cot 2 x 1 dx csc 2 x dx

Por lo tanto, por la propiedad 14:

cot 2 x 1 tan2 x dx cot x c, c

4



5. SOLUCIÓN: x x 3 dx

Arreglando el integrando, se obtiene:

1/ 2 3/2 1/ 2
x x 3 dx x x 3 dx x 3x dx

Propiedad 3 y 6:

3/2 1 1/ 2 1
3/2 1/ 2 x x
x x 3 dx x dx 3 x dx 3 c, c
3/2 1 1/ 2 1

Por lo tanto:

5/2
2x 3/2
x x 3 dx 2x c, c
5

4 2
6. SOLUCIÓN: 7 dx
x5 x2

4 2
Arreglando el integrando, se obtiene: 7 dx 7 4x 5 2x 2 dx
x5 x2

Propiedad 3 y 6:

4 2 x 5 1 x 2 1
7 dx 7 dx 4 x 5 dx 2 x 2 dx 7x 4 2 c, c
x5 x2 5 1 2 1

Por lo tanto:

4 2
7 dx 7x x 4 2x 1 c, c
x5 x2

5



sec x
7. SOLUCIÓN: dx
tan x cot x


sec x sec x sec x cos x s en x
dx dx dx sen x dx
tan x cot x sen x cos x sen2 x cos2 x
cos x s en x

Por lo tanto, por la Propiedad 11:

sec x
dx cos x c, c
tan x cot x

2
8. SOLUCIÓN: dx
3x

2 2 1/ 3
Arreglando el integrando, se obtiene: dx dx 2x dx
3x x1/ 3


2 2/3
dx 3x c, c
3x

sen x
9. SOLUCIÓN: dx
cos2 x

sen x
Arreglando el integrando, se obtiene: dx tan x sec x dx
cos2 x


sen x
dx sec x c, c
cos2 x

6



10. SOLUCIÓN: x 2 dx


x 2 1
x 2 dx c x 1 c, c
2 1

11. SOLUCIÓN: ex 3 x 2 dx .

Por la Propiedad 3:

ex 3 x 2 dx e x dx 3 x 2 dx

Por lo tanto, por la Propiedad 6 y 8:

x2 1
ex 3 x 2 dx ex 3 c ex x3 c, c
2 1

6 x2 8 x
12. SOLUCIÓN: dx
x3 2x 2


2 3 x2 4x
6 x2 8 x
dx dx
x3 2x 2 x3 2x 2

Por lo tanto, por la Propiedad 1 y 26:

6 x2 8x 3 x2 4x
dx 2 dx 2Ln x3 2x 2 c, c
3 2 3 2
x 2x x 2x

7



INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver
la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se
conoce como integración por sustitución.

Calcule las siguientes integrales:

10 4/3
1. 1 4 y dy 2. x 2 x3 1 dx 3. x2 4x 4 dx 4. x x 2 dx

t 5
5. x 2 3 2xdx 6. cos 4 d 7. sen 4t 2 dt 8. cos x 2 sen x dx
2
θ cos θ dθ
1 1 sec 2 3 t
9. 1 dx 10. 2sen x 3 1 cos x dx 11. sen3 12. dt
3x x2 t

y 3 x3
13. dy 14. dx 15. tan x dx
2/3 16. ekx dx, k
3 y 1 2x 2

t3
17. sec x dx 18. cot x dx 19. csc x dx 20. dt
5
1 2t 4

2r x2 2x 4 y2 1
3/2
t2 1
21. dr 22. dx 23. dy 24. t dt
1 r
2/3 x3 3 x2 1 1 y 3 2/3 t t2

2x 1 s 1/ 2 x2 2
25. dx 26. ds 27. x x2 9 dx 28. dx
x2 x 1 2s 3 x3 6 x 1

3 x2 6
29. dx 30. x 2 sen x3 4 dx 31. e x dx
x3 6x

8



SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: 1 4 y dy

1/ 2
Se expresa el integrando en la forma de potencia : 1 4 y dy 1 4y dy

1
Sea u 1 4 y du 4dy dy du
4

De tal manera que al hacer la sustitución, queda:

1 1 1 u3 / 2 u3 / 2
1 4 y dy u1/ 2 du u1/ 2 du c c, c
4 4 4 3/2 6

Por lo tanto:
3/2
1 4y
1 4 y dy c, c
6

10
2. SOLUCIÓN: x 2 x3 1 dx

Sea u x3 1 du 3 x 2 dx


10 1 10 1 u11
x 2 x3 1 dx x3 1 3 x 2 dx u10 du c, c
3 3 33

Por lo tanto:
11
10 x3 1
x 2 x3 1 dx c, c
33

9



4/3
3. SOLUCIÓN: x2 4x 4 dx

Arreglando el integrando:

4/3 2 4/3 8/3
x2 4x 4 dx x 2 dx x 2 dx

Sea u x 2 du dx


4/3 u11/ 3 3u11/ 3
x2 4x 4 dx u8 / 3 du c c, c
11/ 3 11

Por lo tanto:
4/3 11/ 3
3 x 2
x2 4x 4 dx c, c
11

4. SOLUCIÓN: x x 2 dx

1/2
Arreglando el integrando: x x 2 dx x x 2 dx

Sea u x 2 du dx


2u5/2 4u3/2
x x 2 dx u 2 u1/2 du u3/2 2u1/2 du c, c
5 3

Por lo tanto:
5/2 3/2
2 x 2 4 x 2
x x 2 dx c, c
5 3

10



5. SOLUCIÓN: x 2 3 2xdx

1/ 2
Arreglando el integrando: x 2 3 2xdx x 2 3 2x dx

1
Sea u 3 2x du 2dx du dx
2


2
3 u 1 1 2 1/ 2 1
x 2 3 2xdx u1/ 2 du 3 u u du 9 6u u2 u1/ 2 du
4 2 8 8

1 1 12 5 / 2 2 7/2
x 2 3 2xdx 9u1/ 2 6u3 / 2 u5 / 2 du 6u3 / 2 u u c, c
8 8 5 7

Por lo tanto:

3 3/2 3 5/2 1 7/2
x 2 3 2xdx 3 2x 3 2x 3 2x c, c
4 10 28
θ dθ

6. SOLUCIÓN: cos 4

θ du 4dθ dθ du
1
Sea u 4
4


θ dθ cos u du sen u c sen 4θ c, c
1 1 1
cos 4
4 4 4

Por lo tanto: θ dθ sen 4θ c, c
1
cos 4
4

11



t
7. SOLUCIÓN: sen 4t 2 dt
2

1
Sea u 4t 2 du 8t dt du t dt
8


t 1 1 1 1
sen 4t 2 dt sen 4t 2 t dt sen u du sen u du
2 2 2 8 16

t 1 1
sen 4t 2 dt cos u c cos 4t 2 c, c
2 16 16

Por lo tanto:
t 1
sen 4t 2 dt cos 4t 2 c, c
2 16

5
8. SOLUCIÓN: cos x 2 sen x dx

Sea u 2 sen x du cos x dx


5 5 u6
cos x 2 sen x dx 2 sen x cos x dx u5 du c, c
6

Por lo tanto:
6
5 2 sen x
cos x 2 sen x dx c, c
6

12



1 1
9. SOLUCIÓN: 1 dx
3x x2

1 1 1
Sea u 1 du dx 3du dx
3x 3 x2 x2


1 1 u3 / 2
1 dx u 3du 3 u1/ 2 du 3 c, c
3x x2 3/2

Por lo tanto:
3/2
1 1 1
1 dx 2 1 c, c
3x x2 3x

10. SOLUCIÓN: 2sen x 3 1 cos x dx

1/ 3
Arreglando el integrando: 2sen x 3 1 cos x dx 2 1 cos x sen x dx

Sea u 1 cos x du sen x dx du sen x dx


6u4 / 3 3 4/3
2sen x 3 1 cos x dx 2 u1/ 3 du c 1 cos x c, c
4 2

Por lo tanto:

3 4/3
2sen x 3 1 cos x dx 1 cos x c, c
2

13


θ cos θ dθ

11. SOLUCIÓN: sen3

θ du cos θ dθ
Sea u sen


θ cos θ dθ u du c, c
u4
sen3 3
4

Por lo tanto:
θ cos θ dθ θ c, c
sen4
sen3
4

sec 2 3 t
12. SOLUCIÓN: dt
t

3 2 1
Sea u 3 t du dt du dt
2 t 3 t


sec 2 3 t 1 2 2
dt sec 2 3 t dt sec 2 u du tan u c, c
t t 3 3

Por lo tanto:
sec 2 3 t 2
dt tan 3 t c, c
t 3

14



y 3
13. SOLUCIÓN: dy
2/3
3 y

y 3 2/3
Arreglando el integrando: dy y 3 3 y dy
2/3
3 y

Sea u 3 y du dy du dy


y 3
dy 3 u 3 u 2/3 du
2/3
3 y

y 3 u1/ 3 u4 / 3
dy 6 u u 2 / 3 du 6u 2 / 3 u1/ 3 du 6 c, c
2/3 1/ 3 4/3
3 y

y 3 3 4/3
dy 18u1/ 3 u c, c
2/3 4
3 y

y 3 3 4/3 1/ 3 3 4/3
dy 18u1/ 3 u c 18 3 y 3 y c, c
2/3 4 4
3 y

Por lo tanto:

y 3 3 4/3 1/ 3
dy 3 y 18 3 y c, c
2/3 4
3 y

15



x3
14. SOLUCIÓN: dx
1 2x 2

x3 1/2
Arreglando el integrando: dx x3 1 2x 2 dx
1 2x 2

1
Sea u 1 2x2 du 4 xdx du xdx
4


x3 1/2 1 u 1
dx x 2 1 2x 2 xdx u 1/2 du
1 2x 2 2 4

x3 1 1 u1/2 u3/2
dx u 1/2 u1/2 du c, c
1 2x 2 8 8 1/ 2 3/2

x3 1 1/2 1 3/2 1 1/2 1 3/2
dx u u c 1 2x2 1 2x2 c, c
1 2x 2 4 12 4 12

Por lo tanto:

x3 1 1/2 1 3/2
dx 1 2x2 1 2x 2 c, c
1 2x 2 4 12

16



15. SOLUCIÓN: tan x dx

tan x sec x
Arreglando el integrando: tan x dx dx
sec x

Sea u sec x du tan x sec x dx


tan x sec x du
tan x dx dx Ln u c, c
sec x u

Por lo tanto:

tan x dx Ln sec x c, c

16. SOLUCIÓN: ekx dx, k

1
Sea u kx du kdx du dx
k


1 1 1 u 1 kx
ekx dx eu du eu du e c e c, c
k k k k

Por lo tanto:
1 kx
ekx dx e c, c
k

17



17. SOLUCIÓN: sec x dx

Arreglando el integrando

sec x sec x tan x sec 2 x sec x tan x
sec x dx dx dx
sec x tan x sec x tan x

Sea u sec x tan x du sec x tan x sec 2 x dx


du
sec x dx Ln u c Ln sec x tan x c, c
u

Por lo tanto:

sec x dx Ln sec x tan x c, c

cos x
18. SOLUCIÓN: cot x dx dx
sen x

Sea u sen x du cos x dx


du
cot x dx Ln u c Ln sen x c, c
u

Por lo tanto:

cot x dx Ln sen x c, c

18



19. SOLUCIÓN: csc x dx


csc x csc x cot x csc x cot x csc 2 x
csc x dx dx dx
csc x cot x csc x cot x

Sea u csc x cot x du csc x cot x csc 2 x dx


du
csc x dx Ln u c Ln csc x cot x c, c
u

Por lo tanto:

csc x dx Ln csc x cot x c, c

t3
20. SOLUCIÓN: dt
5
1 2t 4

t3 5
Arreglando el integrando: dt t3 1 2t 4 dt
5
1 2t 4

1
Sea u 1 2t 4 du 8t 3 dt du t 3 dt
8

19




t3 1 1 1
dt u 5 du u 5 du u 4 c, c
5 8 8 32
1 2t 4

Por lo tanto:

t3 1 4
dt 1 2t 4 c, c
5 32
1 2t 4

2r
21. SOLUCIÓN: dr
2/3
1 r

2r 2/3
Arreglando el integrando: dr 2 r 1 r dr
2/3
1 r

Sea u 1 r du dr du dr


2r 3 4/3
dr 2 1 u u 2 / 3 dr 2 u 2/3 u1/ 3 du 6u1/ 3 u c, c
2/3 2
1 r

Por lo tanto:

2r 1/ 3 3 4/3
dr 6 1 r 1 r c, c
2/3 2
1 r

20



x2 2x
22. SOLUCIÓN: dx
x3 3 x2 1

x2 2x 1/ 2
Arreglando el integrando: dx x2 2x x3 3 x2 1 dx
x3 3 x2 1
1
Sea u x3 3 x2 1 du 3 x2 6 x dx 3 x2 2x dx du x2 2x dx
3


x2 2x 1 1 2 1/ 2
dx u 1/ 2 du u 1/ 2 du u c, c
x3 3 x2 1 3 3 3

Por lo tanto:

x2 2x 2 1/ 2
dx x3 3 x2 1 c, c
x3 3 x2 1 3

4 y2
23. SOLUCIÓN: dy
1 y 3 2/3

4 y2 2/3
Arreglando el integrando: dy 4 y 2 1 y3 dy
1 y 3 2/3

1
Sea u 1 y3 du 3 y 2 dy du y 2 dy
3


4 y2 1 4
dy 4 u 2/3 du u 2 / 3 du 4u1/ 3 c, c
1 y 3 2/3 3 3

Por lo tanto:
4 y2 1/ 3
dy 4 1 y3 c, c
2/3
1 y3

21



3/2
1 t2 1
24. SOLUCIÓN: t dt
t t2

3/2 3/2
1 t2 1 1 1
Arreglando el integrando: t dt t 1 dt
t t2 t t2

1 1
Sea u t du 1 dt
t t2


3/2 5/2
1 t2 1 2 5/2 2 1
t dt u3 / 2 du u c t c, c
t t2 5 5 t

Por lo tanto:

3/2 5/2
1 t2 1 2 1
t dt t c, c
t t2 5 t

2x 1
25. SOLUCIÓN: dx
x 2 x 1

Sea u x2 x 1 du 2x 1 dx


2x 1 du
dx Ln u c Ln x2 x 1 c, c
x 2 x 1 u

Por lo tanto:
2x 1
dx Ln x 2 x 1 c, c
x 2 x 1

22



s
26. SOLUCIÓN: ds
2s 3

1
Sea u 2s 3 du 2ds du ds
2


s u 3 1 1 3 1
ds du 1 du u 3Ln u c, c
2s 3 2u 2 4 u 4

Por lo tanto:

s 1 3
ds 2s 3 Ln 2s 3 c, c
2s 3 4 4

1/ 2
27. SOLUCIÓN: x x2 9 dx

1
Sea u x2 9 du 2xdx du xdx
2


1/ 2 1 1 1 3/2
x x2 9 dx u1/ 2 du u1/ 2 du x2 9 c, c
2 2 3

Por lo tanto:
1/ 2 1 3/2
x x2 9 dx x2 9 c, c
3

23



x2 2
28. SOLUCIÓN: dx
3
x 6x 1

1
Sea u x3 6x 1 du 3 x2 2 dx du x2 2 dx
3


x2 2 1 1 1 1 1 1
dx du du Ln u c Ln x3 6 x 1 c, c
x3 6 x 1 u 3 3 u 3 3

Por lo tanto:
x2 2 1
dx Ln x3 6 x 1 c, c
x3 6 x 1 3

3 x2 6
29. SOLUCIÓN: dx
x3 6x

3 x2 6 1 2
Arreglando el integrando: dx 3 x2 6 x3 6x dx
x3 6x

Sea u x3 6x du 3 x2 6 dx


3 x2 6 1/ 2
dx u 1/ 2 du 2u1/ 2 c 2 x3 6x c, c
x3 6x

Por lo tanto:
3 x2 6 1/ 2
dx 2 x3 6x c, c
x3 6x

24



30. SOLUCIÓN: x 2 sen x3 4 dx

1
Sea u x3 4 du 3 x 2 dx du x 2 dx
3


1 1 1 1
x 2 sen x3 4 dx sen u du sen u du cos u c cos x 3 4 c, c
3 3 3 3

Por lo tanto:
1
x 2 sen x3 4 dx cos x3 4 c, c
3

INTEGRACIÓN POR PARTES.

La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la derivada
de un producto de funciones. Veamos:

Si f y g son funciones diferenciables, entonces por derivada de un producto:

'
f x g x ' f' x g x f x g' x f x g' x f x g x f' x g x

Integrando cada término de la ecuación

f x g' x dx f x g x ' dx f ' x g x dx f x g x f ' x g x dx...... 1

Ahora, sea
u f x du f ' x dx
v g x dv g ' x dx

Sustituyendo en 1 , se obtiene la fórmula de integración por partes:

udv uv vdu

25



En los ejercicios siguientes efectúe la integral indefinida:

1. Ln x dx 2. xe3 x dx 3. cos x dx 4. xe x dx

2
5. x sec x tan x dx 6. Ln x dx 7. x 2 Ln x dx 8. e x cos x dx

2
9. cos2 x dx 10. 3 x cos 2x dx 11. ex 2x dx 12. xsen x dx

SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: Ln x dx

1
u Ln x du dx
Sea x .
dv dx v x

De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene

1
Ln x dx x Ln x x dx x Ln x dx x Ln x x c, c
x

Por lo tanto:

Ln x dx x Ln x x c, c

26



2. SOLUCIÓN: x e3 x dx

u x du dx
Sea 1 3x .
dv e3 x dx v e
3


x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 3x
x e3 x dx e e3 x dx e e3 x dx e e c, c
3 3 3 3 3 9

Por lo tanto:
x 3x 1 3x
x e3 x dx e e c, c
3 9

3. SOLUCIÓN: cos x dx

1
Sea w x dw dx 2 xdw dx 2wdw dx
2 x

Luego: cos x dx 2 w cos w dw

u w du dw
Sea .
dv cos w dw v sen w


2 w cos w dw 2 wsen w s en w dw 2 wsen w cos w c, c

Como w x , concluimos que: cos x dx 2 xsen x cos x c, c

27



4. SOLUCIÓN: x e x dx

u x du dx
Sea .
dv e x dx v e x


x e x dx x e x e x dx x e x e x c, c

Por lo tanto:

x e x dx x e x e x c, c

5. SOLUCIÓN: x sec x tan x dx

u x du dx
Sea .
dv sec x tan x dx v sec x


x sec x tan x dx x sec x sec x dx x sec x Ln sec x tan x c, c

Por lo tanto:

x sec x tan x dx x sec x Ln sec x tan x c, c

28



2
6. SOLUCIÓN: Ln x dx

2 2Ln x
u Ln x du dx
Sea x .
dv dx v x


2 2 2Ln x 2
Ln x dx x Ln x x dx x Ln x 2 Ln x dx
x

Por lo tanto:
2 2
Ln x dx x Ln x 2x Ln x 2x c, c

7. SOLUCIÓN: x 2Ln x dx

1
u Ln x du dx
x
Sea .
x3
dv x 2 dx v
3


x3 x3 1 x3 1
x 2Ln x dx Ln x dx Ln x x 2 dx
3 3 x 3 3

Por lo tanto:
x3 x3
x 2Ln x dx Ln x c, c
3 9

29



8. SOLUCIÓN: e x cos x dx

u cos x du s en x dx
Sea .
dv e x dx v ex


e x cos x dx e x cos x e x s en x dx

u s en x du cos x dx
Sea .
dv e x dx v ex


e x cos x dx e x cos x e x s en x e x cos x dx

2 e x cos x dx e x cos x e x s en x e x cos x s en x

Por lo tanto:

ex
e x cos x dx cos x s en x c, c
2

9. SOLUCIÓN: cos2 x dx

u cos x du sen x dx
Sea .
dv cos x dx v sen x


cos2 x dx sen x cos x sen2 x dx sen x cos x 1 cos 2 x dx

30



cos2 x dx sen x cos x dx cos2 x dx

1
2 cos2 x dx sen x cos x x sen 2x x
2

Por lo tanto:
sen 2x x
cos2 x dx c, c
4 2

10. SOLUCIÓN: 3 x cos 2x dx

u 3x du 3dx
Sea 1 .
dv cos 2x dx v sen 2x
2


3 3 3 3
3 x cos 2x dx xsen 2x sen 2x dx xsen 2x cos 2x c, c
2 2 2 4

Por lo tanto:
3 3
3 x cos 2x dx x sen 2x cos 2x c, c
2 4

2
11. SOLUCIÓN: ex 2x dx


2 1 2x 4 3
ex 2x dx e2x 4 x2 4 xe x dx e x 4 xe x dx
2 3

31



Calculemos la siguiente integral: x e x dx........... *

u x du dx
Sea .
dv e x dx v ex

De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes en * , se obtiene

xe x dx xe x e x dx xe x ex c x 1 ex c, c

Por lo tanto:
2 1 2x 4 3
ex 2x dx e x 4 x 1 ex c, c
2 3

12. SOLUCIÓN: x sen x dx

u x du dx
Sea .
dv sen x dx v cos x


x sen x dx x cos x cos x dx x cos x sen x c, c

Por lo tanto:

x sen x dx x cos x sen x c, c

32



POTENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS m,n

En esta sección aprenderemos a integrar expresiones que presentan potencias
trigonométricas, es decir, integrandos con alguna de las siguientes formas:

senn u cosn u senm u cosn u

tann u cotn u secn u

cscn u tanm u secn u cotm u cscn u

Para tal efecto es conveniente conocer las siguientes identidades trigonométricas:

sen2 u cos2 u 1 cos 2u cos2 u sen2 u

sen2 u 1 cos2 u cos2 u 1 sen2 u
1 cos 2u 1 cos 2u
sen2 u cos2 u
2 2
1
sec 2 u 1 tan2 u sen A cos B sen A B s en A B
2
1
csc 2 u 1 cot 2 u cos A cos B cos A B cos A B
2
1
sen 2u 2sen u cos u sen A sen B cos A B cos A B
2

Después de hacer las sustituciones trigonométricas adecuadas, el integrando queda
expedito para aplicar la integración por sustitución. En otros casos debemos recurrir a
la integración por partes.

33



En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida:

3. cos2 x sen5 x dx
1. sen3 x dx 2. cos3 4 x sen 4 x dx

5. cos2 3 x sen2 3 x dx
4. cos4 x dx 6. cos 5 x sen 3 x dx

7. cos 3 x cos 4 x dx
8. cot3 x dx 9. sec 4 x dx

10. csc 3 x dx 11. tan6 x sec 4 x dx 12. tan3 x sec 5 x dx

13. sec 3 x dx 14. tan2 x sec 3 x dx 15. sen6 t cos2 t dt

SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: sen3 x dx


sen3 x dx sen x sen2 x dx sen x 1 cos 2 x dx

sen3 x dx sen x dx cos2 x sen x dx cos x cos2 x sen x dx

Sea u cos x du sen x dx

34



Luego:
3
u3 cos x
cos2 x sen x dx u2 du c c, c
3 3
Por lo tanto:
cos3 x
sen3 x dx cos x c, c
3

2. SOLUCIÓN: cos3 4 x sen 4 x dx

Sea u cos 4 x du 4sen 4 x dx

1 1 4 cos4 4 x
Luego: cos3 4 x sen 4 x dx u3 du u c c, c
4 16 16

Por lo tanto:
cos4 4 x
cos3 4 x sen 4 x dx c, c
16

3. SOLUCIÓN: cos2 x sen5 x dx


2
cos2 x sen5 x dx cos2 x sen4 x sen x dx cos 2 x sen 2 x sen x dx

2
cos2 x sen5 x dx cos2 x 1 cos2 x sen x dx

cos2 x sen5 x dx cos2 x 1 cos 4 x 2 cos 2 x sen x dx

cos2 x sen5 x dx cos2 x sen x dx cos 6 x sen x dx 2 cos 4 x sen x dx

35



Sea u cos x du sen x dx

Luego:

u3 u7 2u5
cos2 x sen5 x dx u2 du u6 du 2 u4 du c, c
3 7 5

Por lo tanto:

cos3 x cos7 x 2 cos5 x
cos2 x sen5 x dx c, c
3 7 5

4. SOLUCIÓN: cos4 x dx


2 2
1 cos 2x 1
cos4 x dx cos2 x dx dx 1 2cos 2x cos2 2x dx
2 4

1 1 cos 4 x 1
cos4 x dx 1 2cos 2x dx cos 4 x 4 cos 2x 3 dx
4 2 8

Luego:

1 1
cos4 x dx sen 4 x 2sen 2x 3x c, c
8 4

Por lo tanto:

1 1 3
cos4 x dx sen 4 x sen 2x x c, c
32 4 8

36



5. SOLUCIÓN: cos2 3 x sen2 3 x dx


1 1 1
cos2 3 x sen2 3 x dx 4 cos2 3 x sen2 3 x dx sen2 6 x dx 2sen 2 6 x dx
4 4 8

1
cos2 3 x sen2 3 x dx 1 cos 12x dx
8
Luego:
1 1
cos2 3 x sen2 3 x dx x sen 12x c, c
8 12

Por lo tanto:
1 1
cos2 3 x sen2 3 x dx x sen 12x c, c
8 96

6. SOLUCIÓN: cos 5 x sen 3 x dx


1 1
cos 5 x sen 3 x dx 2cos 5 x sen 3 x dx sen 8 x sen 2x dx
2 2

1
cos 5 x sen 3 x dx sen 8 x sen 2x dx
2
Luego:
1 1 1
cos 5 x sen 3 x dx cos 8 x cos 2x c, c
2 8 2

Por lo tanto:
1 1
cos 5 x sen 3 x dx cos 8 x cos 2x c, c
16 4

37



7. SOLUCIÓN: cos 3 x cos 4 x dx


1 1
cos 3 x cos 4 x dx 2cos 3 x cos 4 x dx cos 7 x cos x dx
2 2

1 1
Luego: cos 3 x cos 4 x dx s en 7 x sen x c, c
2 7

1 1
Por lo tanto: cos 3 x cos 4 x dx s en 7 x sen x c, c
14 2

8. SOLUCIÓN: cot3 x dx


cot3 x dx cot 2 x cot x dx csc 2 x 1 cot x dx csc 2 x cot x dx cot x dx

1
Por lo tanto: cot3 x dx cot 2 x Ln sen x c, c
2

9. SOLUCIÓN: sec 4 x dx


sec 4 x dx sec 2 x 1 tan2 x dx sec 2 x dx sec 2 x tan 2 x dx

1
Por lo tanto: sec 4 x dx tan x tan3 x c, c
3

38



10. SOLUCIÓN: csc 3 x dx

Arreglando el integrando: csc 3 x dx csc x csc 2 x dx

Aplicando integración por partes:

u csc x du csc x cot x dx
Sea:
dv csc 2 x dx v cot x

Luego:

csc 3 x dx csc x csc 2 x dx csc x cot x csc x cot 2 x dx

csc 3 x dx csc x cot x csc x csc 2 x 1 dx

csc 3 x dx csc x cot x csc 3 x dx csc x dx

2 csc 3 x dx csc x cot x csc x dx csc x cot x Ln csc x cot x k, k

1 1
Por lo tanto: csc 3 x dx csc x cot x Ln csc x cot x c, c
2 2

11. SOLUCIÓN: tan6 x sec 4 x dx


tan6 x sec 4 x dx tan6 x sec 2 x sec 2 x dx tan6 x 1 tan 2 x sec 2 x dx

39



tan6 x sec 4 x dx tan6 x sec 2 x dx tan8 x sec 2 x dx

Por lo tanto:
1 1
tan6 x sec 4 x dx tan7 x tan9 x c, c
7 9



tan3 x sec 5 x dx tan2 x sec 4 x tan x sec x dx

tan3 x sec 5 x dx sec 2 x 1 sec 4 x tan x sec x dx

tan3 x sec 5 x dx sec 6 x sec 4 x tan x sec x dx

tan3 x sec 5 x dx sec 6 x tan x sec x dx sec 4 x tan x sec x dx

Por lo tanto:

1 1
tan3 x sec 5 x dx sec 7 x sec 5 x c, c
7 5

13. SOLUCIÓN: sec 3 x dx

Arreglando el integrando: sec 3 x dx sec x sec 2 x dx


40



u sec x du s e c x tan x dx
Sea:
dv sec 2 x dx v tan x

Luego:

sec 3 x dx s e c x tan x sec x tan2 x dx s e c x tan x sec x sec 2 x 1 dx

sec 3 x dx s e c x tan x sec 3 x dx sec x dx

2 sec 3 x dx s e c x tan x sec x dx

Por lo tanto:

1 1
sec 3 x dx s e c x tan x Ln s e c x tan x c, c
2 2



tan2 x sec 3 x dx sec 2 x 1 sec 3 x dx sec 5 x dx sec 3 x dx

Calculemos sec 5 x dx , pues en el ejercicio 13 ya se halló sec 3 x dx .

Arreglando el integrando: sec 5 x dx sec 3 x sec 2 x dx

41




u s e c3 x du 3 s e c 3 x tan x dx
Sea:
dv sec 2 x dx v tan x

Luego:

sec 5 x dx s e c 3 x tan x 3 sec 3 x tan2 x dx

sec 5 x dx s e c 3 x tan x 3 sec 3 x sec 2 x 1 dx

sec 5 x dx s e c 3 x tan x 3 sec 5 x dx 3 sec 3 x dx

1 3
sec 5 x dx s e c 3 x tan x sec 3 x dx
4 4

Por consiguiente:

1 3
tan2 x sec 3 x dx s e c 3 x tan x sec 3 x dx sec 3 x dx
4 4

1 1 1 1
tan2 x sec 3 x dx s e c 3 x tan x s e c x tan x Ln s e c x tan x c ,c
4 4 2 2

Por lo tanto:

1 1 1
tan2 x sec 3 x dx s e c 3 x tan x s e c x tan x Ln s e c x tan x k, k
4 8 8

42



15. SOLUCIÓN: sen6 t cos2 t dt


1 1 2
sen6 t cos2 t dt sen4 t 4sen2 t cos2 t dt sen2 t sen 2 2t dt
4 4

2
1 1 cos 2t 1 cos 4t
sen6 t cos2 t dt dt
4 2 2

1
sen6 t cos2 t dt 1 cos2 2t 2cos 2t 1 cos 4t dt
32

1 1 cos 4t
sen6 t cos2 t dt 1 2cos 2t 1 cos 4t dt
32 2

1
sen6 t cos2 t dt 3 cos 4t 4 cos 2t 1 cos 4t dt
64

1
sen6 t cos2 t dt 3 2cos 4t cos2 4t 4 cos 2t 4 cos 2t cos 4t dt
64

1 1 cos 8t
sen6 t cos2 t dt 3 2cos 4t 4 cos 2t 2cos 6t 2cos 2t dt
64 2

1
sen6 t cos2 t dt 6 4 cos 4t 1 cos 8t 4 cos 2t 4 cos 6t dt
128

Por lo tanto:

1 1 1 1 5t
sen6 t cos2 t dt sen 8t sen 6t sen 4t sen 2t c, c
1024 192 128 64 128

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