1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)
Deber # 13: Construcción de Transformaciones Lineales
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
a) Sea V un espacio vectorial de dimensión finita tal que dim 3V . Entonces es posible construir una
transformación lineal :T V W tal que 1v T y el 3T
b) Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Si la dim dimV W , entonces existe una
transformación lineal :T V W tal que det 0TA siendo TA la matriz asociada a T
c) Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces existe por lo menos una
transformación lineal :T V W tal que 0v T y el dimT W
d) Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces existe por lo menos una
transformación lineal :T V W tal que dimT W
e) Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces existe por lo menos una
transformación lineal :T V W tal que dimv T V
f) Es posible construir una transformación lineal inyectiva 2 2 2: xT P S tal que 2 2Im( ) xT D
g) Existe una transformación lineal
3
1:T P R que es sobreyectiva
Tema 2
Sea
2
1:T P R una transformación lineal tal que:
1
2
5
T x
2
1 3
7
T x
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 3
Sea
2
2:T R P una transformación lineal tal que:
22
1
1
T x x
23
2 4
1
T x x
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 4
Sea
33
: RRT una transformación lineal, tal que:
2
0
1
1
1
1
T
1
1
0
1
0
1
T
1
0
1
1
1
0
T
Encuentre la regla de correspondencia de T
2. Ramiro J. Saltos
Tema 5
Sea
2
1:T P R una transformación lineal tal que:
4
5 2
1
T x
1
8 3
7
T x
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 6
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
2:T P R tal que:
2
2
1 0
1
T x x
2
3
1 2 1
0
T x
2
1
2
3
T x x
Tema 7
Construya, de ser posible, una transformación lineal 22: PPT tal que:
RbaaxbaTNu ,/)()(
22
)1( xxxT
Tema 8
Construya, de ser posible, una transformación lineal 2
3
: PRT que cumpla con las siguientes condiciones:
Rttctbta
c
b
a
TNu ,2,,/)(
bacPcbxaxT /)Im( 2
2
2
2
3
1
0
xxT
y
2
1
1
1
1
xT
Tema 9
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
22: RST x que cumpla con las siguientes condiciones:
02/)( 22 cbcaS
cb
ba
TKer x
4
1
3
20
01
T y
0
1
1
12
20
T
0/)Im( 3
zyxR
z
y
x
T
3. Ramiro J. Saltos
Tema 10
Construya, de ser posible, una transformación lineal 222: xSPT que cumpla con las siguientes condiciones:
2
2( ) / 2 0Nu T ax bx c P a c b c
2 2Im( ) / 5 3 0x
a b
T S a b c
b c
2 5 1
2 1
1 0
T x x
y
3 0
1
0 1
T x
Tema 11
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
2 2: xT R S que cumpla con las siguientes condiciones:
3
/ 2 0
a
Nu T b R b a c
c
2 2Im / 3 0x
a b
T S a b c
b c
1
1 0
1
0 1
1
T
1
0 1
0
1 3
1
T
Tema 12
Sea
3
2 2: xT R S una transformación lineal tal que:
5 1 3
1 1 3
0 2 4
A
Es la representación matricial de T respecto a las bases 1
0 1 1
1 , 0 , 1
1 1 0
B
y 2
1 1 1 1 1 0
, ,
1 1 1 0 0 0
B
de
3
R y 2 2xS respectivamente.
a) Encuentre la regla de correspondencia de T
b) Determine una base y la dimensión del núcleo y la imagen de T
Tema 13
Sea 22: PPT un operador lineal tal que:
1)( xT 2
3)1( xxT 1)2( 2
xxT
a) Determine una regla de correspondencia para T
b) Respecto al resultado anterior, encuentre )(),(),Im(),( TTTTNu
c) Determine la representación matricial de T respecto a la base canónica de 2P
4. Ramiro J. Saltos
Tema 14
Sea
3
2:T P R una transformación lineal tal que:
1 1 2
4 2 2
3 0 1
A
Es la representación matricial de T respecto a las bases 2
1 1; 1;1B x x x y 2
1 1 1
1 , 1 , 0
1 0 0
B
de 2P y
3
R respectivamente
Determine:
a) La regla de correspondencia de T
b) Una base y la dimensión de la Im( )T
c) Una base y la dimensión del ( )Nu T
Tema 15
Sea 22: PPT una transformación lineal definida por:
BB vvT
210
101
111
)(
xxxxB 222
,1,
Determine:
a) La regla de correspondencia de T
b) Una base y la dimensión del núcleo de T
c) Una base y la dimensión de la imagen de T