Solucionario Guía de Admisión 2020 Paso a Paso UNAN MANAGUA Matemática

Solucionario de Guía de Autoestudio para la Consolidación de los Aprendizajes de
los Estudiantes de Secundaria 2020

Autores:
 Duarte Urbina José Adán
 Herrera Castrillo Cliffor Jerry
 Pavón Tórrez Juan Diego
 Urrutia Mendoza Elías Ramón
Docentes de Matemática del MINED Nicaragua
Diseño Herrera Castrillo Cliffor Jerry
Correo: clifforjerryherreracastrillo@gmail.com

Aritmética
1. Al simplificar [(9 − 4) + (−10 + 3)] × (6)(−5) ÷ [(12 − 8)(6 − 9)(95 − 90)]
el resultado es:
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3
Solución
2. La expresión 311
+ 311
+ 311
equivale a:
a) 313
b) 333
c) 312
d) 343
e) 315
Solución
311
+ 311
+ 311
311(3)
312

3. La solución de [5 − 4 (
(
1
2
)
2
−1
1
2
−1
)] es:
a) 1 b) -2 c) 2 d) -1 e) -4
Solución
[5 − 4 (
(
1
2
)
2
− 1
1
2
− 1
)]
= [5 − 4 (
1
4
− 1
1
2
− 1
)] = [5 − 4 (
−
3
4
−
1
2
)] = [5 − 4 (
3
2
)] = [5 − 6] = −1
4. En la sustracción 𝑎 − 𝑏 = 𝑐, la suma del minuendo, el sustraendo y la
diferencia es 32 ¿Cuál es el valor del minuendo?
a) 16 b) 32 c) -16 d) 15 e) 20
Solución
Minuendo=𝑀
sustraendo=𝑆
Diferencia=𝐷
𝑀 + 𝑆 + 𝐷 = 32 y sabemos que 𝑀 − 𝑆 = 𝐷 despejamos la anterior y queda 𝑀 =
𝐷 + 𝑆
reemplazamos en la ecuación original
𝑀 + 𝑀 = 32
2𝑀 = 32
𝑀 = 16

5. De una finca de 6 300 hectáreas se venden primero los
5
6
de los
2
3
y más
tarde los
2
9
de los
5
7
de los
9
5
. ¿Cuánto queda?
a) 1 000 ha b) 1 115 ha c) 1 110 ha d) 1 120 ha e) 995 ha
Solución
 Primera Venta
(6 300) (
5
6
) (
2
3
) = 3 500
Queda: 6 300 − 3 500 = 2 800
 Segunda venta
(6 300 ) (
2
9
) (
5
7
) (
9
5
) = 1 800
Queda: 2 800 − 1800 = 1 000
6. Un dispositivo electrónico costó C$ 1 250 se vende por los
2
5
del costo.
¿Cuánto se pierde?
a) 500 b) 550 c) 650 d) 750 e) 850
Solución
1 250 (
2
5
) = 500
Se pierde
1 250 − 500 = 750

7. Un corredor hace 100 m en 10 segundos y otro hace 200 m en 22 s. En una
carrera de 5 km, ¿qué tiempo de ventaja sacará el ganador al vencido?
a) 75 𝑠 b) 50 𝑠 c) 58 𝑠 d) 25 𝑠 e) 58𝑠
Solución
Convertir de km a m
(5)(1000) = 5 000 𝑚
Corredor 1 Corredor 2 Ventaja
100 𝑚 = 10 𝑠
(50)100 𝑚 = (50)10 𝑠
5 000 𝑚 = 500 𝑠
200 𝑚 = 22 𝑠
(25)200 𝑚 = (25)22 𝑠
5 000 𝑚 = 550 𝑠
550 𝑠 − 500 𝑠
50 s
8. Una familia de 6 miembros tiene víveres para 24 días; pero como
recibieron de visita un tío y su esposa; los víveres se terminaron 5 días
antes. Calcule cuanto tiempo duró la vista de los de los esposos:
a) 4 b) 18 c) 12 d) 15 e) 20
Solución
Se plantea lo siguiente
Personas Días
6 24
8 19
donde se puede entender que el número total de
víveres con el que cuentan las 6 personas es 144, es
decir: 6+6+6+⋯+6=144.

Personas Días Víveres
6 n 8n
8 19 - n 6(19 – n)
Total 144
8𝑛 + 6(19 − 𝑛) = 144 ; 8𝑛 + 114 − 6𝑛 = 144 ; 𝑛 =
30
2
; 𝑛 = 15
9. El precio de costo de una computadora es $ 150 ¿Qué precio se fijó para
su venta al público?, sabiendo que si al venderla se hacen dos descuentos
consecutivos de 15% y 20% todavía se estará ganado el 44% del 20% del
precio de costo:
a) 270 b) 260 c) 240 d) 250 e) 200
Solución
𝐷 𝑢 = 𝐷1 + 𝐷2 −
𝐷1 𝐷2
100
𝐷 𝑢 = 15 + 20 −
(15)(20)
100
= 32%
Se estará ganado el 44% del 20% del precio de costo es 8,8%
150(8,8%) = 13,2
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 + 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑐𝑖𝑎 + 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝐹𝑖𝑗𝑎𝑑𝑜
150 + 13,2 + 32%𝑃𝑓 = 𝑃𝑓
163,2 = 𝑃𝑓 − 0,32𝑃𝑓
163,2 = 0,68 𝑃𝑓
163,2
0,68
= 𝑃𝑓 240 = 𝑃𝑓

10. Un comerciante compra un artículo a una fábrica y le hace un descuento
del 25% del precio de lista. ¿Qué tanto por ciento del precio de lista debe
fijar para su venta de tal manera que haciendo un descuento del 20%, gane
el 25% de precio de venta?
a) 135% b) 115% c) 120% d) 125% e) 150%
Solución
Precio en el mercado: 100% - 25% = 75%
Precio fijado: Costo + Descuento + Ganancia = 75% + 20% + 25% = 120%
11. Los
13
5
litros de vino sirven para llenar los
5
8
de una botella. Cuando falten
3
7
litros para llenar la misma botella ¿Qué fracción de la botella estará
llena? De cómo respuesta la suma de las cifras del numerador
a) 9 b) 12 c) 8 d) 14 e) 6
Solución
Litros de Vino
Capacidad de la
botella
13
5
5
8
𝑥 1
La botella se llena con 𝑥 =
104
25
104
25
−
3
7
=
653
175
Lo que tienen la botella de vino
5
8
𝑥 =
13
5
𝑥 = (
13
5
) (
8
5
) =
104
25

Se puede utilizar nuevamente una regla de 3
Litros de Vino
Capacidad de la
botella
13
5
5
8
653
175
𝑥
Como el problema pide la respuesta como la suma de las cifras del numerador
6 + 5 + 3 = 14
12. Un Reservorio puede ser llenado por grifos A y B. El grifo A llena el
reservorio en 10 horas, mientras que el B lo hace en 9 horas más que
empleando los dos grifos A y B. En cuánto tiempo se llena el reservorio
utilizado sólo por el grifo B.
a) 6h b) 9h c) 12h d) 15 h e) 10 h
Solución
Sea 𝑥 el tiempo en que tardan los dos grifos en llenar el reservorio.
1
𝐴
+
1
𝐵
=
1
𝑥
Donde
1
𝐴
=
1
10
;
1
𝐵
=
1
𝑥 + 9
Entonces
13
5
𝑥 = (
5
8
) (
653
175
)
13
5
𝑥 =
653
280
𝑥 = (
653
280
) (
5
13
) =
653
728

1
10
+
1
𝑏
=
1
𝑥
𝐵 + 10
10 𝐵
=
1
𝑥
𝑥(𝐵 + 10) = 10𝐵
𝑥 =
10 𝐵
𝐵 + 10
Como 𝐵 = 𝑥 + 9, se puede decir que 𝑥 = 𝐵 − 9
𝐵 − 9
1
=
10 𝐵
𝐵 + 10
𝐵2
+ 𝐵 − 90 = 10𝐵
𝐵2
+ 𝐵 − 10𝐵 − 90 = 0
𝐵2
− 9𝐵 − 90 = 0
(𝐵 − 15)(𝐵 + 6) = 0
𝐵 = 15 ; 𝐵 = −6

13. Una pelota pierde las
2
5
partes de su altura en cada rebote que da. Si se le
deja caer desde un metro de altura ¿Qué altura alcanzará después del
primer rebote?
a) 51,20 cm b) 21,60 cm c) 36,00 cm d) 12,96 cm e) 6,40 cm
Solución
Lo que me queda después de cada rebote
1 −
2
5
=
5 − 2
5
=
3
5
𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒 1 𝑟𝑜
× 𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒 2 𝑑𝑜
× 𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒 3 𝑟𝑜
× 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
3
5
×
3
5
×
3
5
× 100𝑐𝑚 = 21,60 𝑐𝑚
14. Al calcular las operaciones (
18×25
23×31×52
)
1
2⁄
el resultado es:
a)
3√3
2
b)
5√2
3
c)
√5
2
d)
√3
2
e)
4√3
5
Solución
(
18 × 25
23 × 31 × 52
)
1
2⁄
= √
2 × 32 × 52
23 × 31 × 52
= √
3
22
= √
3
4
=
√3
2

15. Al efectuar las operaciones (
3−2×0,3×10
2−3×0,2×20
)
2
el resultado es:
a) 4/9 b) 15 c) 3 d) 2 e) 7
Solución
(
3−2
× 0,3 × 10
2−3 × 0,2 × 20
)
2
= (
23
×
3
10
× 10
32 ×
2
10
× 20
)
2
= (
8 × 3
9 × 4
)
2
= (
2
3
)
2
=
4
9
16. Al efectuar [
63×(
1
3
)
2
23×(
1
2
)
2
×(
1
3
)
3]
2
el resultado es:
a) 9 b) 9√2
3
c) √17
3
d) 8√3
3
e) 3√12
3
Solución
[
63
× (
1
3
)
2
23 × (
1
2
)
2
× (
1
3
)
3]
1/3
= [
63
23 × (
1
2
)
2
×
1
3
]
1
3⁄
=
6
2
[
1
1
4
×
1
3
]
1
3⁄
= 3√
1
1
12
3
= 3√12
3

17. Al simplificar la expresión √512 + 2√18 −
3
2
√32
3
el resultado es:
a) 3 b) 5 c) 2 d) 8 e) 15
Solución
√512 + 2√18 −
3
2
√32
3
= √512 + 2√2 × 32 −
3
2
√2 × 42
3
= √512 + 2 × 3√2 −
3
2
× 4√2
3
= √512 + 6√2 −
12
2
√2
3
= √512 + 6√2 − 6√2
3
√512
3
= 8
18. Al efectuar √
8
27
3
+ √
64
36
el resultado es:
a) 5 b) 2 c) 4 d) 6 e) 3
Solución
√
8
27
3
+ √
64
36
=
2
3
+
8
6
=
2
3
+
4
3
=
6
3
= 2

19. Roberto Hernández acabo el bachillerato a los 15 años se graduó de
abogado 6 años después; se casó 5 años después; se embarcó para
Nicaragua 7 años después y 12 años después obtuvo una cátedra. Si
Roberto tuviera 12 años más abría nacido en 1909.En que año obtuvo su
cátedra?
a) 1 966 b) 1 970 c) 1 963 d) 1960 e) 1 974
Solución
Se efectúa el siguiente procedimiento
Distribución Años
Bachillerato 15
Abogado 6
Se caso 5
Se embarcó a Nicaragua 7
Obtuvo catedra 12
Total 45
Si Roberto tuviera 12 años más habría nacido en 1909, entonces el total se
convierte a 57 años transcurridos.
1 909 + 57 = 1966
Roberto obtuvo su cátedra en el año 1966.

20. un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vacío y cerrado su
desagüe, ¿en cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo tres
llaves que vierten, la primera 36 litros en 3 minutos, la segunda 48 litros
en 6 minutos y la tercera 15 litros en 3 minutos?
a) 14 min b) 15 min c) 8 min d) 12 min e) 13 min
Solución
Se efectúa el siguiente procedimiento:
Llaves Capacidad Capacidad por minuto
Capacidad total de las
tres llaves por minuto
1
36 litros por 3
minuto
36/3= 12 litros por minuto
25 litros por minuto2
48 litros por 6
minuto
3
15 litros por 3
minuto
Como es estanque tiene una capacidad de 300 litros y se desea saber en cuanto
tiempo se llena con las tres llaves abiertas. Sabemos que las tres lleves llenas
25 litros por minuto, entonces el tiempo que tardan las tres llaves en llenar el
estanque es:
300/25 = 12

21. El señor Ulises vende 63% de sus gallinas y se queda con 74 gallinas.
¿cuántas gallinas tenia?
a) 224 Gallinas b) 210 gallinas c) 185 gallinas d) 200 gallinas e) 198 gallinas
Solución
Como se vende el 63% de las gallinas queda el 37% de ellas.
Sea 𝑥 el total de gallinas, aplicando una regla de tres simple tenemos:
Gallinas Porcentaje
𝑥 Gallinas 100%
74 Gallinas 37%
𝑥 =
74 𝐺𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑎𝑠 × 1000%
37%
= 200 𝐺𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑎𝑠
Por tanto, el total de gallinas que tenía Ulises era 200

22. La edad de Carlos es un 32% menos que la de Emmanuel. Si Carlos tiene
34 años, ¿Qué edad tiene Emmanuel?
a) 49 años b) 52 años c) 54 años d) 58 años e) 50 años
Solución
Dado que la edad de Carlos es 32% menos que la de Emmanuel, deducimos que
Carlos tiene el 68% de la edad de Emmanuel. Aplicando una regla de tres simple,
siendo 𝑥 la edad de Emmanuel. tenemos:
Edad Porcentaje
𝑥 Edad Emmanuel 100%
34 Edad de Carlos 68%
𝑥 =
100% × 34
68%
𝑥 = 50
23. Al simplificar la siguiente expresión (
11
180
−
1
45
) × (90 ×
1
14
) el resultado es:
a) 1/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 1/4 e) 2/7
Solución
(
11
180
−
1
45
) × (90 ×
1
14
) =
7
180
×
45
7
=
45
180
=
1
4

24. De los 150 estudiantes de un colegio 27 son niñas. Hallar el porcentaje de
varones
a) 80% b) 85% c) 88% d) 78% e) 82%
Solución
Los 150 estudiantes equivalen al 100%, dado que 27 estuantes son niñas,
entonces aplicando una regla de tres simple, siendo 𝑥 el porcentaje equivalente
a las niñas
150 Estudiantes 100%
27 Niñas x
𝑥 =
27 (100%)
150
= 18%
es decir que el 18% de los estudiantes son niñas. Por tanto, el porcentaje de los
varones es: 100% − 18% = 82%
25. Si 5 obreros hacen una obra en 40 días ¿Cuánto tardaran 8 obreros en
hacer la misma obra?
a) 24 días b) 26 días c) 25 días d) 30 días e) NA
Solución
Aplicando una regla de tres inversa
5 obreros ---------------- 40 días
8 obreros --------------- x días
𝑥 =
5 × 40
8
𝑥 = 25 días

26. Se desea repartir 35 libros entre varias personas de manera que no
tengan la misma cantidad. La máxima cantidad de personas a las que se le
pueden repartir los libros es:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 18 e) 10
Solución
Los 35 libros se reparten entre siete (7) personas sin que estas tengan la misma
cantidad de textos.
Se van realizando combinaciones de libros comenzando con uno para la primera
persona, dos para la segunda y así sucesivamente.
Se llega a la conclusión que con la combinación siguiente se logra repartir los 35
libros entre siete (7) personas sin que se repitan las cantidades entre estos.
 Primera persona = 2 libros
 Segunda persona = 3 libros
 Tercera persona = 4 libros
 Cuarta persona = 5 libros
 Quinta persona = 6 libros
 Sexta persona = 7 libros
 Séptima persona = 8 libros
Total de personas = 7
Total de libros = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
Total de libros = 35

27. Determine el número que continua en la sucesión mostrada:
5,13,25,41,61,…
a) 77 b) 85 c) 92 d) 96 e) 109
Solución
En la sucesión 5,13,25,41,61,… se piden encontrar el siguiente número que le
corresponde, procedemos de la siguiente manera:
Diferencia de 4 Diferencia de 4 Diferencia de 4 Diferencia de 4
Diferencia 8 Diferencia 12 Diferencia 16 Diferencia 20 Diferencia 24
5 13 13 25 25 41 41 61 61 85
Como se puede notar en la tabla hay una diferencia que aumenta en 4 en cada
termino, pero las diferencias de las diferencias es constante en 4. Por tanto, el
término que le corresponde a la sucesión es 85.
28. Indica el número que sigue en la siguiente sucesión
75, 132, 363, 726, …
a) 1180 b) 1254 c) 1353 d) 1452 e) 1551
Solución
Notemos que cada término de la sucesión es la suma del anterior más el mismo
número con sus cifras invertidas, entonces
726 + 627 = 1353

29. Una rueda A de 81 dientes engrana con otra rueda B de 45 dientes . Si la
rueda A gira a razón de 10 RPM ¿cuántas vueltas dará la rueda B en 8
minutos ?
a) 125 b) 185 c) 165 d) 132 e) 144
Solución
Aplicamos una regla de tres calculando primeramente cuantas 𝑅𝑃𝑀 dará la rueda
"𝐵":
81------------10v
45------------B v
𝐵 =
81 × 10
45
𝐵 = 18
en 8min = 18(8)=144 vueltas

30. En una biblioteca municipal existen un total de 72 libros de matemática y
literatura, los que están en relación de 5 a 3 respectivamente. El número
de libros de literatura que deben agregarse para que la relación sea 9 a
10 es
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
Solución
Sean 𝑀: la cantidad de libros de matemática y 𝐿: los libros de literatura
𝑀
𝐿
=
5
3
3𝑀 = 5𝐿
Sabiendo que 𝑀 + 𝐿 = 72
Obteniendo, 𝑀 = 45, 𝐿 = 27
Si se agregan 𝑥 libros de literatura, la nueva relación será:
𝑀
𝐿 + 𝑥
=
9
10
45
27 + 𝑥
=
9
10
243 + 9𝑥 = 450
9𝑥 = 450 − 243
9𝑥 = 207
𝑥 =
207
9
= 23

31. El carro de Willy requiere 6 galones de gasolina para recorrer 240
kilómetros ¿Cuántos galones necesita el automóvil para recorrer 480
kilómetros?
a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4
Solución
Aplicando regla de tres simple
6 galones --------------- 240 km
X ---------------- 480 km
𝑥 =
(6 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠)(480 𝑘𝑚)
240 𝑘𝑚
= 12
32. Si por cada 2 esferas rojas hay 9 de color amarillo. Si en total hay 132
esferas ¿Cuántas de cada color hay?
a) 24 A, 108 R b) 18 A, 81 R c) 108 A, 24 R d) 90 A, 10 R e) 54 A, 12 R
Solución
Llamamos 𝐴: a las esferas de color amarillo y 𝑅: a las esferas de color rojo
𝑅
𝐴
=
2
9
⇒ 9𝑅 = 2𝐴 𝑦 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑅 + 𝐴 = 132
𝑅 =
2𝐴
9
⇒
2𝐴
9
+ 𝐴 = 132 ⇒
2𝐴 + 9𝐴
9
= 132 ⇒
11
9
𝐴 = 132 ⟹ 𝐴 = 132 (
9
11
)
𝐴 = 108
Entonces 𝑅 = 132 − 108 = 24

33. Si “M” es a “N” como 3 es a 8. Si el triple de “M” más el doble de “N” es
75. Hallar N
a) 18 b) 15 c) 14 d) 24 e) 20
Solución
Según los datos del ejercicio, tenemos lo siguiente
𝑀
𝑁
=
3
8
𝑦 3𝑀 + 2𝑁 = 75
8𝑀 = 3𝑁 ⇒ 𝑀 =
3𝑁
8
3𝑀 + 2𝑁 = 75 ⇒ 3 (
3𝑁
8
) + 2𝑁 = 75 ⟹
9
8
𝑁 + 2𝑁 = 75
9𝑁 + 16𝑁
8
= 75 ⇒
25
8
𝑁 = 75 ⇒ 𝑁 = 75 (
8
25
) ⇒ 𝑁 = 24
34. En una reunión el número de mujeres asistentes es el número de mujeres
que no bailan como 11 es a 3. Si todos los varones están bailando y son 25
más que las mujeres que no bailan ¿Cuántas personas hay en dicha reunión?
a) 95 b) 90 c) 85 d) 75 e) 30
Solución
Mujeres Hombres Total
Bailan 8k 8k 16k
No Bailan 3k 0k 3k
Total 11k 8k 19k

Además, según los datos del ejercicio los varones que bailan son 25 más que las
mujeres que no bailan:
8𝑘 = 25 + 3𝑘
8𝑘 − 3𝑘 = 25
5𝑘 = 25
𝑘 =
25
5
𝑘 = 5
En dicha reunión hay en total: 𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 + 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 = 19𝑘 = 19(5) = 95
35. A una fiesta concurren 400 personas asistiendo 3 hombres por cada 2
mujeres. Si luego de 3 horas por cada dos hombres hay una mujer
¿Cuántas parejas se retiraron?
a) 80 b) 60 c) 70 d) 90 e) NA
Solución
Sean 𝑀: cantidad de mujeres y 𝐻: cantidad de hombres que asistieron a la fiesta.
𝑀 + 𝐻 = 400
𝐻
𝑀
=
3
2
⟹ 2𝐻 = 3𝑀 ⟹ 𝐻 =
3𝑀
2
𝑀 +
3𝑀
2
= 400 ⟹
5𝑀
2
= 400 ⟹ 𝑀 = 400 (
2
5
) ⟹ 𝑀 = 160
𝐻 = 400 − 160 = 240

Es la cantidad de mujeres y varones que asistieron a la fiesta.
Si al cabo de tres horas, se forma la relación:
𝐻 − 𝑥
𝑀 − 𝑥
=
2
1
Siendo 𝑥 la cantidad de varones y/o mujeres (parejas) que se retiraron.
240 − 𝑥
160 − 𝑥
=
2
1
240 − 𝑥 = 320 − 2𝑥
−𝑥 + 2𝑥 = 320 − 240
𝑥 = 80
36. Hallar un número de 3 cifras que sea igual a 5 veces el producto de sus
cifras. Dar como respuesta el producto de sus cifras
a) 45 b) 35 c) 25 d) 30 e) 40
Solución
Sea 𝑎𝑏𝑐 el número buscado
𝑎𝑏𝑐 = 5𝑎𝑏𝑐
O bien,
𝑎
𝑏
𝑐
5________
5𝑎𝑏𝑐

Por el criterio de divisibilidad del 5, notamos que 𝑐 = 0 𝑜 5. Pero 𝑐 ≠ 0 puesto
que el producto de las cifras del número seria 0.
𝑎
𝑏
25_______
𝑎𝑏5
𝑎𝑏5 = 25𝑎𝑏
Descomponemos en su forma polinómica el número de tres cifras:
100𝑎 + 10𝑏 + 5 = 25𝑎𝑏 (÷ 5)
20𝑎 + 2𝑏 + 1 = 5𝑎𝑏
2𝑏 − 5𝑎𝑏 = −1 − 20𝑎
𝑏(2 − 5𝑎) = −1 − 20𝑎
𝑏 =
−1 − 20𝑎
2 − 5𝑎
Para que 𝑎 y 𝑏 sean dígitos, los únicos valores son 1 y 7 respectivamente.
Por lo tanto, el número será: 𝑎𝑏5 = 175
Y el producto de sus cifras será:1 × 7 × 5 = 35

37. La razón de dos números es
17
13
y su diferencia es 44 ¿Cuál es el mayor de
estos números?
a) 143 b) 145 c) 177 d) 187 e) 178
Solución
Sean 𝑥 el número mayor e 𝑦 el número menor.
𝑥
𝑦
=
17
13
⟹ 17𝑦 = 13𝑥 ⟹ 𝑦 =
13
17
𝑥
𝑥 − 𝑦 = 44
𝑥 −
13
17
𝑥 = 44
17𝑥 − 13𝑥
17
= 44 ⟹
4
17
𝑥 = 44 ⟹ 𝑥 = 44 (
17
4
) ⟹ 𝑥 = 187
38. ¿En cuánto debe venderse un televisor que costó 𝐶$ 1450 si se quiere
ganar el 32% del precio del costo?
a) 1464 b) 5163 c) 1284 d) 1914 e) 2014
Solución
Sea 𝑥 el precio de venta del televisor.
𝑥 = 1450 + (32%)(1450)
𝑥 = 1450 + 464
𝑥 = 1914

39. Efectuar:
15
3+
2
2+
1
1+
1
2
÷
1−
1
3
1
2
−(1−
2
3
)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución
15
3 +
2
2 +
1
1 +
1
2
÷
1 −
1
3
1
2
− (1 −
2
3
)
=
15
3 +
2
2 +
1
3
2
÷
2
3
1
2
−
1
3
=
15
3 +
2
2 +
2
3
÷
2
3
1
6
15
3 +
2
8
3
÷
12
3
=
15
3 +
6
8
÷
12
3
=
15
15
4
÷
4
1
=
4
1
÷
4
1
= 1
40. El valor de (
1
2
+ 0,4 −
3
4
) × 5 es:
a) 3/4 b) 7,5 c) -3/4 d) 0,2 e) NA
Solución
(
1
2
+
2
5
−
3
4
) × 5
= (
10 + 8 − 15
20
) × 5
= (
3
20
) × 5
=
15
20
=
3
4

Álgebra
1. El resultado de (𝑥 +
1
4
) (𝑥 −
1
4
) es:
A. 𝑥2
−
1
16
B. 𝑥2
+
1
16
C. 𝑥2
+
1
8
D. 𝑥2
−
1
8
Solución
(𝑥 +
1
4
) (𝑥 −
1
4
) = (𝑥)2
− (
1
4
)
2
= 𝑥2
−
1
16
2. La descomposición en factores de la expresión 2𝑥2
− 5𝑥 + 3 es:
A. (2𝑥 − 3)(𝑥 − 2) B. (2𝑥 − 3)(𝑥 + 2) C. (2𝑥 − 3)(𝑥 − 1)
D. (2𝑥 + 3)(𝑥 − 1)
Solución
2𝑥2
− 5𝑥 + 3
3. Al factorizar la expresión −12 𝑥 3
+ 36 𝑥 2
− 27 𝑥, uno de los factores es:
A. -2 B. (2 𝑥 − 3)2
C. 5𝑥2
D. (2 𝑥 + 3)2
Solución
−3𝑥(4𝑥2
− 12𝑥 + 9)
= −3𝑥(2𝑥 − 3)2
2
1
-3
-1
-2
-3
-5
(2𝑥 − 3)(𝑥 − 1)

4. Si 𝑥 + 𝑦 = 1; 𝑥𝑦 = 1 ¿Cuál será el valor de x3
+ y3
?
A. -1 B. -2 C. -3 D. -4
Solución
Elevando al cubo la expresión (𝑥 + 𝑦) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el
ejercicio, se obtiene
(𝑥 + 𝑦)3
= 𝑥3
+ 3𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
+ 𝑦3
= 1
𝑥3
+ 3𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
+ 𝑦3
= 1
Factorizando términos medios
𝑥3
+ 3𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) + 𝑦3
= 1
Reemplazando 𝑥 + 𝑦 = 1 y 𝑥𝑦 = 1
𝑥3
+ 3(1)(1) + 𝑦3
= 1
𝑦3
+ 3 + 𝑦3
= 1 → 𝑦3
+ 𝑦3
= −2
5. ¿Cuál es el valor de k para que al dividir 𝑥3
+ (4 + 𝑘)𝑥2
− 4𝑘𝑥 + 8 por (𝑥 +
1) el residuo sea 1
A. -1 B. -3 C. -8 D. -2
Solución
Teorema del resto
𝑥 + 1 = 0 ; 𝑥 = −1
(−1)3
+ (4 + 𝑘)(−1)2
− 4𝑘(−1) + 8 = 1 ⟹ −1 + 4 + 𝑘 + 4𝑘 + 8 = 1
11 + 5𝑘 = 1 ⟹ 5𝑘 = 1 − 11 ⟹ 5𝑘 = −10
𝑘 = −10
5⁄ = −2

6. La simplificación de
𝑎2−4𝑏2
𝑎𝑏+2𝑏2
÷
3𝑎2−5𝑎𝑏−2𝑏2
3𝑎2+𝑎𝑏
es:
A.
𝑎
𝑏(3𝑎+𝑏)
B.
𝑏
𝑎
C.
𝑎
𝑏
D.1
Solución
Aplicando inverso multiplicativo
𝑎2
− 4𝑏2
𝑎𝑏 + 2𝑏2
×
3𝑎2
+ 𝑎𝑏
3𝑎2 − 5𝑎𝑏 − 2𝑏2
Factorizando
(𝑎 − 2𝑏)(𝑎 + 2𝑏)
𝑏(𝑎 + 2𝑏)
×
𝑎(3𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 2𝑏)(3𝑎 + 𝑏)
=
𝑎
𝑏
7. El resultado de la operación
1
𝑥−1
+ (
12𝑥2−4𝑥
4𝑥2−11𝑥−3
÷
3𝑥2+8𝑥−3
𝑥2−9
) es:
A.
4𝑥2+1
(4𝑥+1)(𝑥−1)
B.
4𝑥2−1
(4𝑥+1)(𝑥−1)
C.
4𝑥2+1
(4𝑥−1)(𝑥−1)
D.
4𝑥2+1
(4𝑥+1)(𝑥+1)
Solución
Al efectuar las factorizaciones necesarias:
Factor Común
12𝑥2
− 4𝑥 = 4𝑥(3𝑥 − 1)
Trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
4𝑥2
− 11𝑥 − 3 =
(4𝑥 − 12)(4𝑥 + 1)
4
⟹ (𝑥 − 3)(4𝑥 + 1)
3𝑥2
+ 8𝑥 − 3 =
(3𝑥 + 9)(3𝑥 − 1)
3
⟹ (𝑥 + 3)(3𝑥 − 1)
Diferencia de cuadrados

𝑥2
− 9 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
Aplicar inverso multiplicativo y resolver:
1
𝑥 − 1
+ (
12𝑥2
− 4𝑥
4𝑥2 − 11𝑥 − 3
×
𝑥2
− 9
3𝑥2 + 8𝑥 − 3
)
1
𝑥 − 1
+ (
4𝑥(3𝑥 − 1)
(𝑥 − 3)(4𝑥 + 1)
×
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)(3𝑥 − 1)
)
1
𝑥 − 1
+
4𝑥
4𝑥 + 1
=
4𝑥 + 1 + 4𝑥2
− 4𝑥
(𝑥 − 1)(4𝑥 + 1)
=
4𝑥2
+ 1
(𝑥 − 1)(4𝑥 + 1)
8. Al Desarrollar (
𝑥
𝑦
−
𝑦
𝑥
)
2
se obtiene
A.
𝑥4+2𝑥2 𝑦2+𝑦4
𝑥2 𝑦2
B.
𝑥4−2𝑥2 𝑦2−𝑦4
𝑥2 𝑦2
C.
𝑥4−2𝑥2 𝑦2+𝑦4
𝑥2 𝑦2
D.
𝑥4+2𝑥2 𝑦2−𝑦4
𝑥2 𝑦2
Solución
(
𝑥
𝑦
−
𝑦
𝑥
)
2
= (
𝑥2
− 𝑦2
𝑥𝑦
)
2
=
(𝑥2
− 𝑦2)2
(𝑥𝑦)2
=
𝑥4
− 2𝑥2
𝑦2
+ 𝑦4
𝑥2 𝑦2

9. El valor de 𝑘 que proporciona sola una solución real de la ecuación 𝑥2
+
𝑘𝑥 + 𝑘 = −2 − 3𝑥 es:
A. 5 B. 1 C. 0 D.  1
Solución
Para encontrar la solución real se utiliza la ecuación del discrimínate la cual
establece: 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0
Para encontrar 𝑎, 𝑏, 𝑐 hay que llevar la ecuación a la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Para ello se realizan los despejes necesarios:
𝑥2
+ 𝑘𝑥 + 𝑘 = −2 − 3𝑥
𝑥2
+ 𝑘𝑥 + 3𝑥 + 𝑘 + 2 = 0
𝑥2
+ (𝑘 + 3)𝑥 + (𝑘 + 2) = 0
Entonces: 𝑎 = 1 , 𝑏 = 𝑘 + 3 , 𝑐 = 𝑘 + 2
Aplicando la ecuación: 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0
(𝑘 + 3)2
− 4(1)(𝑘 + 2) = 0
𝑘2
+ 6𝑘 + 9 − 4𝑘 − 8 = 0
𝑘2
+ 2𝑘 + 1 = 0 ⟹ 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟
(𝑘 + 1)(𝑘 + 1) = 0
𝑘 + 1 = 0 ; 𝑘 + 1 = 0
𝑘 = −1 ; 𝑘 = −1

10. Si a = -1, b = 3, c = 5, entonces
𝑎+𝑏−|𝑎−𝑏|
|𝑎|+|𝑏|+|𝑐|
A. – 1/9 B. 1 C. 1/9 D. – 2/9
Solución
−1 + 3 − |−1 − 3|
|−1| + |3| + |5|
=
−1 + 3 − |−4|
1 + 3 + 5
=
2 − 4
9
= −
2
9
11. El valor numérico de la expresión
𝑎2(𝑎+𝑏)
(𝑎−𝑏)3
para 𝑎 = 1 y 𝑏 = −2
A. - 1/27 B. 1/27 C. -1/3 D. 15/17
Solución
(1)2(1 + (−2))
(1 − (−2))3
=
1(1 − 2)
(1 + 2)3
=
1(−1)
(3)3
= −
1
27
12. El resultado de (𝑥2
− 𝑦2
) (𝑥2
+ 𝑦2
) es
A. 𝑥4
+ 𝑦4
B. 𝑥4
− 𝑦4
C. 2𝑥2
− 2𝑦2
D. 2𝑥2
+ 2𝑦2
Solución
(𝑥2
− 𝑦2
) (𝑥2
+ 𝑦2
) = 𝑥4
− 𝑦4
13. El resultado de (𝑥4
− 𝑦4)(𝑥4
+ 𝑦4) es:
A. 𝑥16
− 𝑦16
B. 𝑥8
− 𝑦8
C. 2𝑥2
− 2𝑦2
D. 2𝑥2
+ 2𝑦2
Solución
(𝑥4
− 𝑦4)(𝑥4
+ 𝑦4) = 𝑥8
− 𝑦8

14. La descomposición en factores de la expresión 3𝑥2
– 2𝑥 – 8 es:
A. (3𝑥 + 4) (𝑥 + 2) B. (3𝑥 + 4) (𝑥 − 2) C. (3𝑥 – 4) (𝑥 − 2) D. (3𝑥 – 4) (𝑥 + 2)
Solución
(3𝑥 − 6)(3𝑥 + 4)
3
= (𝑥 − 2)(3𝑥 + 4)
15. La descomposición en factores de la expresión 𝑥3
– 64𝑦3
es:
A. (x – 4y) B. (4xy + x2
+ 16y2
)
C. (x + 4y) (4xy + x2
+ 16y2
) D. (x – 4y) (4xy + x2
+16y2
)
Solución
𝑥3
– 64𝑦3
= ( 𝑥 – 4𝑦 ) (𝑥2
+ 4𝑥𝑦 + 16𝑦2)
16. La descomposición en factores de la expresión 𝑥3
+ 64𝑦3
es:
A. (x – 4y) B. (4xy + x2
+ 16y2
)
C. (x + 4y) (4xy + x2
+ 16y2
) D. (x + 4y) (4xy - x2
+16y2
)
Solución
𝑥3
+ 64𝑦3
= ( 𝑥 + 4𝑦 ) (𝑥2
− 4𝑥𝑦 + 16𝑦2)
17. El resultado de la operación
1
𝑥−1
+ (
12𝑥2−4𝑥
4𝑥2−11𝑥−3
÷
3𝑥2+8𝑥−3
𝑥2−9
) es:
A.
4𝑥2+1
(4𝑥+1)(𝑥−1)
B.
4𝑥2−1
(4𝑥+1)(𝑥−1)
C.
4𝑥2+1
(4𝑥−1)(𝑥−1)
D.
4𝑥2+1
(4𝑥+1)(𝑥+1)
Solución
Al efectuar las factorizaciones necesarias:
Factor Común

12𝑥2
− 4𝑥 = 4𝑥(3𝑥 − 1)
Trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
4𝑥2
− 11𝑥 − 3 =
(4𝑥 − 12)(4𝑥 + 1)
4
⟹ (𝑥 − 3)(4𝑥 + 1)
3𝑥2
+ 8𝑥 − 3 =
(3𝑥 + 9)(3𝑥 − 1)
3
⟹ (𝑥 + 3)(3𝑥 − 1)
Diferencia de cuadrados
𝑥2
− 9 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
Aplicar inverso multiplicativo y resolver:
1
𝑥 − 1
+ (
12𝑥2
− 4𝑥
4𝑥2 − 11𝑥 − 3
×
𝑥2
− 9
3𝑥2 + 8𝑥 − 3
)
1
𝑥 − 1
+ (
4𝑥(3𝑥 − 1)
(𝑥 − 3)(4𝑥 + 1)
×
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)(3𝑥 − 1)
)
1
𝑥 − 1
+
4𝑥
4𝑥 + 1
=
4𝑥 + 1 + 4𝑥2
− 4𝑥
(𝑥 − 1)(4𝑥 + 1)
=
4𝑥2
+ 1
(𝑥 − 1)(4𝑥 + 1)
18. Al racionalizar el denominador de la fracción
1
√3−2
se obtiene
A.
√2𝑥+5−3
4
B. −√3 − 2 C.
√2𝑥+5−3
2
D.
√2𝑥+5−3
2
Solución
1
√3 − 2
.
√3 + 2
√3 + 2
=
√3 + 2
3 − 4
=
√3 + 2
−1
= −√3 − 2

19. El valor de 𝑘 que proporciona sola una solución real de la ecuación 𝑥2
+
𝑘𝑥 + 𝑘 = −2 − 3𝑥 es:
A. 5 B. 1 C. 0 D.  1
Solución
Para encontrar la solución real se utiliza la ecuación del discrimínate la cual
establece:
𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0
Para encontrar 𝑎, 𝑏, 𝑐 hay que llevar la ecuación a la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Para ello se realizan los despejes necesarios:
𝑥2
+ 𝑘𝑥 + 𝑘 = −2 − 3𝑥
𝑥2
+ 𝑘𝑥 + 3𝑥 + 𝑘 + 2 = 0
𝑥2
+ (𝑘 + 3)𝑥 + (𝑘 + 2) = 0
Entonces: 𝑎 = 1 , 𝑏 = 𝑘 + 3 , 𝑐 = 𝑘 + 2
Aplicando la ecuación:
𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0
(𝑘 + 3)2
− 4(1)(𝑘 + 2) = 0
𝑘2
+ 6𝑘 + 9 − 4𝑘 − 8 = 0
𝑘2
+ 2𝑘 + 1 = 0 ⟹ 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟
(𝑘 + 1)(𝑘 + 1) = 0
𝑘 + 1 = 0 ; 𝑘 + 1 = 0
𝑘 = −1 ; 𝑘 = −1

20.Al resolver la ecuación
𝑥+1
𝑥−1
+
2𝑥−1
𝑥+1
= 4 se obtiene que la diferencia entre la
mayor y la menor de las raíces es:
A.  5 B. 5 C. 1 D.  1
Solución
𝑥 + 1
𝑥 − 1
+
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
= 4
(𝑥 + 1)2
+ (𝑥 − 1)(2𝑥 − 1)
𝑥2 − 1
= 4
𝑥2
+ 2𝑥 + 1 + 2𝑥2
− 𝑥 − 2𝑥 + 1 = 4(𝑥2
− 1)
3𝑥2
− 𝑥 + 2 = 4𝑥2
− 4
4𝑥2
− 4 = 3𝑥2
− 𝑥 + 2
𝑥2
+ 𝑥 − 6 = 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 + 3 = 0 ; 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = −3 ; 𝑥 = 2
La diferencia entre las soluciones seria:
2 − (−3 )
= 2 + 3
= 5

21. Las soluciones en el conjunto de los números enteros del sistema de
ecuaciones {
𝑥3
− 𝑦3
= 7
𝑥 + 𝑦 = 3
son:
A. (2,1) B. (-2,-1) C. (1,2) D. (-1,-2)
Solución
Despejando x en la ecuación 2
𝑥 + 𝑦 = 3 ⟹ 𝑥 = −𝑦 + 3
Sustituir el valor de x en la ecuación 1
𝑥3
− 𝑦3
= 7
(3 − 𝑦)3
− 𝑦3
= 7
27 − 27𝑦 + 9𝑦2
− 𝑦3
− 𝑦3
= 7
27 − 27𝑦 + 9𝑦2
− 2𝑦3
− 7 = 0
20 − 27𝑦 + 9𝑦2
− 2𝑦3
= 0
−2𝑦3
+ 9𝑦2
− 27𝑦 + 20 = 0
−2𝑦3
+ 2𝑦2
+ 7𝑦2
− 7𝑦 − 20𝑦 + 20 = 0
−2𝑦2(𝑦 − 1) + 7𝑦(𝑦 − 1) − 20(𝑦 − 1) = 0
(𝑦 − 1) = 0 ; −2𝑦2
+ 7𝑦 − 20 = 0
𝑦 = 1 ; 𝑦 ∉ ℝ
𝑥 = −𝑦 + 3 ⟹ 𝑥 = −1 + 3 = 2
(2,1)

22. Al resolver la ecuación 3𝑥3
− 1 + (𝑥 + 1)3
= 2𝑥3
+ 8 la única solución en
los números reales es:
A. -3 B. 3 C. 4 D. 1
Solución
3𝑥3
− 1 + (𝑥 + 1)3
= 2𝑥3
+ 8
3𝑥3
− 1 + 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1 − 2𝑥3
− 8 = 0
2𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 − 8 = 0
2𝑥3
− 2𝑥2
+ 5𝑥2
− 5𝑥 + 8𝑥 − 8 = 0
2𝑥2(𝑥 − 1) + 5𝑥(𝑥 − 1) + 8(𝑥 − 1) = 0
(𝑥 − 1)(2𝑥2
+ 5𝑥 + 8) = 0
𝑥 − 1 = 0 , 2𝑥2
+ 5𝑥 + 8 = 0
𝑥 = 1 ; 𝑥 = −5 ±
√−39
4
𝑥 = 1 ; 𝑥 ∉ ℝ

23. Si 𝑃(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
− 3𝑥 − 5 y 𝑃(𝑐) = 5, al calcular el valor de c obtenemos:
A. -3 B. 3 C. 2 D. 1
Solución
Tomando que c= x
𝑥3
+ 2𝑥2
− 3𝑥 − 5 = 5
𝑥3
+ 2𝑥2
− 3𝑥 − 5 − 5 = 0
𝑥3
+ 2𝑥2
− 3𝑥 − 10 = 0
𝑥3
− 2𝑥2
+ 4𝑥2
− 8𝑥 + 5𝑥 − 10 = 0
𝑥2(𝑥 − 2) + 4𝑥(𝑥 − 2) + 5(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥2
+ 4𝑥 + 5) = 0
𝑥 − 2 = 0 ; 𝑥2
+ 4𝑥 + 5 = 0
𝑥 = 2 ; 𝑥 ∉ ℝ
24. El conjunto solución de la desigualdad 𝑥2
− 3𝑥 + 2 ≤ 0 es
A. 1 ≤ 𝑥 < 2 B. [−2,0) C. [1, +∞) D. [1,2]
Solución
𝑥2
− 3𝑥 + 2 ≤ 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) ≤ 0
𝑥 − 2 ≤ 0 ; 𝑥 − 1 ≤ 0
𝑥 ≤ 2 ; 𝑥 ≤ 1

25. El conjunto solución de la desigualdad |𝑥 +
2
3
| ≤ 2 es:
A. −
8
3
≤ 𝑥 ≤
4
3
B.
8
3
≤ 𝑥 ≤
4
3
C. −
8
3
≤ 𝑥 ≤ −
4
3
D. −
8
9
≤ 𝑥 ≤
4
3
Solución
−2 ≤ 𝑥 +
2
3
≤ 2
2 −
2
3
≤ 𝑥 +
2
3
≤ 2 −
2
3
−
8
3
≤ 𝑥 ≤
4
3
26. El conjunto solución de la desigualdad 1 ≤
7−𝑥
2
≤ 3 es;
A. [1; 5] B. [−1; 5] B. [−1; 0] B. [1; 2]
Solución
1 ≤
7 − 𝑥
2
;
7 − 𝑥
2
≤ 3
7 − 𝑥 ≤ 2 ; 7 − 𝑥 ≤ 6
−𝑥 ≤ 2 − 7 ; −𝑥 ≤ 6 − 7
−𝑥 ≤ −5 ; −𝑥 ≤ −1
𝑥 ≥ 5 ; 𝑥 ≥ 1
C-s: [1; 5]

27. El conjunto solución de la desigualdad |5 – 2x| < 7 está dado por el
intervalo
A. (–1; 0) B. (1, 6) C. (-1, 6) D. (–1; 2)
Solución
−7 < 5 – 2𝑥 < 7
−7 − 5 < – 2𝑥 < 7 − 5
−12 < – 2𝑥 < 2
−
12
2
< – 𝑥 <
2
2
−6 < – 𝑥 < 1
−1 > 𝑥 > 6
C.s: (-1, 6)
28. Si |2x – 1| ≥ 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es:
A. – 3 B. 3 C. 1 D. – 1
Solución
2𝑥 – 1 ≥ 3 ; 2𝑥 – 1 ≤ −3
2𝑥 ≥ 3 + 1 ; 2𝑥 ≤ −3 + 1
𝑥 ≥ 2 ; 𝑥 ≤ −1

29. Un grupo de estudiantes que participaron en un concurso de matemáticas
se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones de mano
fueron 66 ¿Cuántos estudiantes asistieron al concurso?
A. 24 B. 21 C. 14 D. 12
Solución
Con dos personas (A y B), se produce un apretón de manos (A con B).
Con tres personas (A, B y C), se producen tres apretones de manos (A con B y C, B con
C).
Con cuatro personas (A, B, C y D), hay seis apretones de manos (A con B, C y D, B con C
y D, C con D).
En general, con n +1 personas, el número de apretones de manos es la suma de los
primeros n números naturales consecutivos:
1 +2 +3 + … + n
Dicha expresión es la de la suma de los términos de una progresión aritmética de
diferencia 1,y viene dada por:
n (1 +n) / 2
Así que, tenemos que resolver la ecuación:
n (1 +n) / 2 = 66
que es una ecuación de segundo grado que podemos expresar como:
n 2
+ n – 132 = 0
Resolviendo dicha ecuación obtenemos como solución válida n=11 , y de dicho resultado
se deduce que había 12 personas en la reunión.

30. El número de dos dígitos que cumple las condiciones siguientes: la suma
de la cifra de las decenas y la de las unidades es 9, el número excede en
9 unidades al número que se forma intercambiando los dígitos es:
A. 52 B. 56 C. 54 D. 59
Solución
{
𝑈 + 𝐷 = 9
10𝑈 + 𝐷 = 10𝐷 + 𝑈 + 9
⟹ {
𝐷 + 𝑈 = 9
−9𝐷 + 9𝑈 = 9
Despejar D en la Ecuación 1
𝐷 = 9 − 𝑈
Sustituir ese valor en la ecuación 2
−9𝐷 + 9𝑈 = 9
−9(9 − 𝑈) + 9𝑈 = 9
−81 + 9𝑈 + 9𝑈 = 9
18𝑈 = 9 + 81
𝑈 =
90
18
𝑈 = 5
Encontrar D
𝐷 = 9 − 𝑈
𝐷 = 9 − 5
𝐷 = 4
El número inicial es 45, intercambiando la posición es 54 y al comprobar se tiene
que 45+9= 54

31. El valor de 𝑥 que resuelve la ecuación
√4 𝑥+4 𝑥+4 𝑥+4 𝑥
√256 𝑥+256 𝑥+256 𝑥+256 𝑥3 = 4096 es igual
a:
A. -7 B. -4 C. 0 D. 4
Solución
√4 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥
√256 𝑥 + 256 𝑥 + 256 𝑥 + 256 𝑥3 = 4096
√4 𝑥(4)
√256 𝑥(4)
3
= 4096
√4 𝑥+1
2
8𝑥+2
3
= 212
2 𝑥+1
2
8𝑥+2
3
= 212
2
𝑥+1−(
8𝑥+2
3
)
= 212
2
−5𝑥+1
3 = 212
−5𝑥 + 1
3
= 12
−5𝑥 + 1 = 36
−5𝑥 = 36 − 1
−5𝑥 = 35
𝑥 = −
35
5
𝑥 = −7

32. Si 𝑎 = 1 y 𝑏 = −√2, entonces el valor numérico de la expresión
(𝑎 + 𝑏)2018
(𝑎 − 𝑏)2017
es:
A. √2 − 1 B. 1 − √2 C. 1 + √2 D. −(1 + √2)
Solución
(𝑎 + 𝑏)2018
(𝑎 − 𝑏)2017
(1 − √2)
2018
(1 + √2)2017
(1 − √2)(1 − √2)
2017
(1 + √2)
2017
(1 − √2) [(1 − 2)2017]
(1 − √2) [(−1)2017]
(1 − √2) (−1)
−1 + √2 = √2 − 1
33. Si la diferencia entre el triple de 𝑥 aumenta en 30 y la mitad de la suma
de 𝑥 y 20 es igual a 180, entonces el valor de 𝑥 es:
A. 28 B. 64 C. 52 D. 44
Solución
(3𝑥 + 30) − (
𝑥 + 20
2
) = 180
3𝑥 + 30 −
𝑥
2
−
20
2
= 180 ⟹ 3𝑥 + 30 −
𝑥
2
− 10 = 180
3𝑥 −
𝑥
2
+ 20 = 180 ⟹
6𝑥 − 𝑥
2
= 180 − 20
5
2
𝑥 = 160 ⟹ 𝑥 = 160 (
2
5
) ⟹ 𝑥 = 64

34. Una caja mediana de madera pesa 2 libras más que la de tamaño pequeño.
La de tamaño grande pesa 5 libras más que la pequeña. Si las tres cajas
pesan 31 libras, entonces el peso en libras de la caja pequeña es:
A. 13 B. 11 C. 10 D. 8
Solución
Caja mediana= M Caja Pequeña= P Caja Grande= G
Una caja mediana de madera pesa 2 libras más que la de tamaño pequeño.
𝑀 = 𝑃 + 2
La de tamaño grande pesa 5 libras más que la pequeña.
𝐺 = 𝑃 + 5
Entre las tres cajas pesan 31 libras.
𝐺 + 𝑃 + 𝑀 = 31
Tenemos un sistema de ecuaciones de 3 × 3
𝑀 = 𝑃 + 2 (𝑖)
𝐺 = 𝑃 + 5 (𝑖𝑖)
𝐺 + 𝑃 + 𝑀 = 31 (𝑖𝑖𝑖)
Sustituyendo (i) y (ii) en (iii)
(𝑝 + 5) + (𝑝 + 2) + 𝑝 = 31
3𝑃 + 7 = 31
3𝑃 = 24
𝑃 = 8

35. Al resolver el sistema {
2𝑦 + 𝑥 = 5
𝑥 − 2𝑦 = 9
, se obtiene que 𝑥2
− 𝑦2
es igual a:
A. 50 B. 48 C. 36 D. 81
Solución
Ordenado el sistema y resolviendo
𝑥 + 2𝑦 = 5
𝑥 − 2𝑦 = 9
2𝑥 = 14
𝑥 =
14
2
𝑥 = 7
Encontrar a y
𝑥 + 2𝑦 = 5
7 + 2𝑦 = 5
2𝑦 = 5 − 7
𝑦 = −
2
2
𝑦 = −1
Entonces
𝑥2
− 𝑦2
(7)2
− (−1)2
= 49 − 1
= 48

36.Si (𝑥 + 𝑦)2
= 2(𝑥2
+ 𝑦2) entonces el valor de 𝐸 =
3𝑥3−𝑦3
𝑥2 𝑦
+
3𝑥+2𝑦
5𝑥
+
6𝑦
2𝑥+𝑦
, es
igual a:
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
Solución
Dada la condición
(𝑥 + 𝑦)2
= 2(𝑥2
+ 𝑦2)
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
= 2𝑥2
+ 2𝑦2
0 = 2𝑥2
− 𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 2𝑦2
− 𝑦2
0 = 𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦2
0 = (𝑥 − 𝑦)2
√0 = √(𝑥 − 𝑦)2
0 = 𝑥 − 𝑦
𝑦 = 𝑥
Se realiza cambio de variable
3𝑥3
− 𝑦3
𝑥2 𝑦
+
3𝑥 + 2𝑦
5𝑥
+
6𝑦
2𝑥 + 𝑦
3𝑥3
− 𝑥3
𝑥2 𝑥
+
3𝑥 + 2𝑥
5𝑥
+
6𝑥
2𝑥 + 𝑥
2𝑥3
𝑥3
+
5𝑥
5𝑥
+
6𝑥
3𝑥
2 + 1 + 2
5

37. Si 𝑎2
+ 𝑏2
= 2 y (𝑎 + 𝑏)2
= 4, entonces el valor de 𝑎𝑏 − 1 es:
A. 2 B. 1,5 C. 0 D. 0,5
Solución
(𝑎 + 𝑏)2
= 4
𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 4
𝑎2
+ 𝑏2
+ 2𝑎𝑏 = 4
2 + 2𝑎𝑏 = 4
2𝑎𝑏 = 4 − 2
2𝑎𝑏 = 2
𝑎𝑏 =
2
2
𝑎𝑏 = 1
Entonces
𝑎𝑏 − 1
= 1 − 1
= 0

38. El valor numérico de (1 + √2)
63
(1 − √2)
64
+ (1 + √2)
64
(1 − √2)
63
es:
A. -1 B. -2 C. 2√2 D. 2 + 2√2
Solución
(1 + √2)
63
(1 − √2)
64
+ (1 + √2)
64
(1 − √2)
63
[(1 + √2)
63
(1 − √2)
63
(1 − √2)] + [(1 + √2)(1 + √2)
63
(1 − √2)
63
]
[(1 − 2)63
(1 − √2)] + [(1 + √2)(1 − 2)63
]
[(−1)63
(1 − √2)] + [(1 + √2)(−1)63
]
(−1)(1 − √2) + (1 + √2)(−1)
−1 + √2 − 1 − √2
−2
39. Un alambre de 38 m se le dio dos cortes, uno después de otro de manera
que la longitud de cada trozo resultante (a partir del segundo trozo) sea
igual al inmediato anterior aumentado en su mitad Cuántos centímetros
mide la diferencia entre el trozo de mayor longitud y el de menor longitud
A. 400 B. 600 C. 800 D. 1000
Solución
Cuando se realizan los dos cortes se divide en tres trozos el alambre por lo cual:
1er trozo: 𝑥
2do trozo: 𝑥 +
𝑥
2
=
2𝑥+𝑥
2
=
3𝑥
2
3er trozo:
3𝑥
2
+ (
1
2
) (
3𝑥
2
) =
3𝑥
2
+
3𝑥
4
=
6𝑥+3𝑥
4
=
9𝑥
4

La suma de los tres es 38 m, pero la respuesta es en cm, por lo que se hace la
conversión y es 3 800 cm
𝑥 +
3𝑥
2
+
9𝑥
4
= 3800
4𝑥 + 6𝑥 + 9𝑥
4
= 3800
19𝑥 = 3800(4)
19𝑥 = 15200
𝑥 =
15200
19
= 800 ⟸ 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑟𝑜𝑧𝑜
3𝑥
2
=
3(800)
2
= 1200 ⟸ 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑧𝑜
9𝑥
4
=
9(800)
4
= 1800 ⟸ 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡𝑟𝑜𝑧𝑜
La diferencia entre el trozo de mayor longitud y el de menor longitud
1800 − 800 = 1000
40. El resultado de efectuar y reducir 2(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) − (𝑎 − 𝑏)2
, es
A. 𝑎2
− 2𝑎𝑏 − 3𝑏2
B. 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 − 𝑏2
C. 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 − 3𝑏2
D. 𝑎2
− 2𝑎𝑏 − 𝑏2
Solución
2(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) − (𝑎 − 𝑏)2
2(𝑎2
− 𝑏2) − (𝑎 − 𝑏)2
2𝑎2
− 2𝑏2
− (𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2)
2𝑎2
− 2𝑏2
− 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 − 𝑏2
𝑎2
+ 2𝑎𝑏 − 3𝑏2

Funciones Reales y Trigonometría
1. Dada la función 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4, su dominio y su rango son respectivamente
los conjuntos:
a. [−2, +∞) y [0, +∞)
b. [−2, +∞) y ℝ
c. ℝ y ℝ
d. [0, +∞) y [−2, +∞)
Solución
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo
codominio o rango son también todos los números reales, y cuya expresión
analítica es un polinomio de primer grado. Definición 𝑓: ℝ → ℝ / 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏
donde a y b son números reales, es una función lineal.
2. La evaluación de -1 en la función real dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3 es:
a. 6
b. -6
c. 4
d. -10
Solución
𝑓(𝑥) = 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3
𝑓(−1) = 2(−1)2
+ 5(−1) − 3
𝑓(−1) = 2 − 5 − 3
𝑓(−1) = 2 − 8
𝑓(−1) = −6

3. El rango de la función dada por ℎ(𝑥) = 𝑥2
+ 6𝑥 − 2 es:
a. [−3, +∞)
b. ℝ
c. [−11, +∞)
d. (−∞, −11]
Solución
Encontrar el vértice h, k
ℎ = −
𝑏
2𝑎
; 𝑘 = 𝑓(ℎ)
ℎ = −
6
2
= −3
𝑘 = (−3)2
+ 6(−3) − 2 = 9 − 18 − 2 = 9 − 20 = −11
Es una parábola cóncava hacia arriba, entonces
𝐷𝑓 = ℝ ; 𝑅𝑓 = [−11, +∞)
4. Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza rectangular de
cartón, cuyas dimensiones son 20 × 30 centímetros, cortando en las
esquinas cuadrados idénticos de área 𝑥2
, y doblando los lados hacia arriba.
El volumen 𝑉, de la caja en función de 𝑥 es:
a) 4𝑥3
− 100𝑥2
+ 600𝑥 b) −4𝑥3
− 20𝑥2
+ 600𝑥
c) −4𝑥3
+ 20𝑥2
+ 600𝑥 d) −4𝑥3
+ 100𝑥2
− 600𝑥
Solución
El cuadrado que va a haber en las esquinas va a tener un largo 𝑥, 𝑦 por lo tanto,
su área 𝑥2
entonces:
20 − 2𝑥 Es la medida de uno de los lados y la medida del otro lado 30 − 2𝑥

𝑉 = 𝐴 𝑏 ℎ
𝐴 𝑏 = 𝑏ℎ
𝐴 𝑏 = (20 − 2𝑥 )(30 − 2𝑥)
𝐴 𝑏 = 600 − 100 𝑥 + 4𝑥2
𝐴 𝑏 = 4𝑥2
− 100 𝑥 + 600
𝑉 = (4𝑥2
− 100 𝑥 + 600)𝑥
𝑉 = 4𝑥3
− 100 𝑥2
+ 600𝑥
5. La tasa de crecimiento 𝑦, de un niño, en libras por mes, se relaciona con
su peso actual 𝑥 en libras, mediante la fórmula 𝑦 = 𝑐𝑥 (21 − 𝑥) donde 𝑐 es
una constante positiva y 0 < 𝑥 < 21 ¿A qué peso se tiene la tasa máxima
de crecimiento?
a. 21 libras
b. -21 libras
c. 10,5 libras
d. 10 libras
Solución
𝑦 = 𝑐𝑥(21 − 𝑥)
𝑦 = 21𝑥(21 − 𝑥)
𝑦 = 441𝑥 − 21𝑥2
𝑦 = −21(𝑥2
− 21𝑥)
Completando el trinomio cuadrado perfecto
𝑦 = −21 (𝑥2
− 21𝑥 +
441
4
−
441
4
)

𝑦 = −21 [(𝑥 −
21
2
)
2
−
441
4
]
𝑦 = −21 (𝑥 −
21
2
)
2
+
(−21)441
4
Por lo tanto, el peso será
21
2
o bien 10,5 libras.
6. Hace 5 años se compró una casa en $ 16 000, este año fue valorada en $
19 000. Suponiendo que el valor de la casa está relacionado linealmente
con el tiempo. La fórmula que indica el valor de la casa en cualquier tiempo
𝑡 (en años) después de la fecha de compra es:
a) (𝑡) = 600𝑡 + 16 000 b) (𝑡) = 60𝑡 – 1 900
c) (𝑡) = −60𝑡 – 1 900 d) (𝑡) = −600𝑡 + 19 000
Solución
𝒕 𝒇(𝒕) 𝒕 𝒇(𝒕)
(𝟎, 𝟏𝟔𝟎𝟎) (5, 1900)
Prioridad a la casa
𝑓(𝑡) = 𝑚𝑡 + 𝑏
𝑓(𝑡) = 𝑚(0) + 𝑏
16000 = 𝑏 ⟹ 𝑏 = 16000
Encontrar la pendiente “𝑚”
Forma 1 Forma 2
𝒇(𝒕) = 𝒎𝒕 + 𝒃
𝟏𝟗𝟎𝟎𝟎 = 𝒎(𝟓) + 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟓𝒎 = 𝟏𝟗 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟔 𝟎𝟎𝟎
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
19 000 − 16 000
5 − 0

Forma 1 Forma 2
𝒎 =
𝟑𝟎𝟎𝟎
𝟓
𝒎 = 𝟔𝟎𝟎
𝑚 =
3000
5
𝑚 = 600
𝑓(𝑡) = 𝑚𝑡 + 𝑏
𝑓(𝑡) = 600𝑡 + 16 000
7. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un
edificio, con velocidad inicial de 144 𝑚/𝑠. Su distancia (𝑡) en metros sobre
el piso a los 𝑡 segundos de ser lanzado está dada por 𝑆(𝑡) = −16𝑡2
+ 144𝑡 +
100La altura máxima sobre el piso y la altura del edificio son
respectivamente:
a) 42,4 𝑚 y 10,0 𝑚 b) 10,0 𝑚 y 42,4 𝑚
c) 424,0 𝑚 y 100,0 𝑚 d) 100,0 𝑚 y 424,0 𝑚
Solución
𝑆(𝑡) = −16𝑡2
+ 144𝑡 + 100
𝑡 = 0
𝑆(𝑡) = −16(0)2
+ 144(0) + 100
𝑆(𝑡) = 100
Encontrar los vértices 𝑣(ℎ, 𝑘)
𝑎 = −16 ; 𝑏 = 144; 𝑐 = 100
ℎ = −
𝑏
2𝑎

ℎ = −
144
2(−16)
=
144
32
= 4,5
𝑘 = 𝑠(ℎ)
𝑘 = −16(4,5)2
+ 144(4,5) + 100
𝑘 = −16(20,25) + 648 + 100
𝑘 = −324 + 648 + 100
𝑘 = 424
8. El pago diario de una cuadrilla de trabajadores es directamente
proporcional al número de trabajadores. Si una cuadrilla de 12
trabajadores gana 𝐶$ 5,400 diario. El pago diario en función del número
de trabajadores 𝑥 está dado por la expresión:
a) 𝑓(𝑥) = 450𝑥 b) 𝑓(𝑥) =
1
450
𝑥
c) 𝑓(𝑥) = −450𝑥 d) 𝑓(𝑥) = −
1
450
𝑥
Solución
𝑥: Número de trabajadores
𝑓: Pago diario de la cuadrilla, en córdobas
𝑘: Constante de proporcionalidad
𝑓( 𝑥) = 𝑘𝑥
𝑓(12) = 5400
5400 = 12𝑘 → 𝑘 =
5400
12
= 450
𝑓(𝑥) = 450𝑥

9. Una fábrica de lámparas tiene costos fijos de $ 3 000 y el costo de la
mano de obra y de materiales es de $ 15 por lámpara, encuentre la función
de costo total del número de lámparas producidas. Si cada lámpara se
vende a $ 25, la función de utilidad está dada por:
a) U(𝑥) = 10𝑥 – 3 000
b) U(𝑥) = 10𝑥 + 3 000
c) U(𝑥) = −10𝑥 + 3 000
d) U(𝑥) = −10𝑥 – 3 000
Solución
Costos: C (𝑥) = 3 000 + 15 𝑥
Ingreso: I (𝑥) = 25 𝑥
Utilidad: U (𝑥) = I (𝑥) − C (𝑥)
𝑈(𝑥) = 25𝑥 − (300 + 15𝑥)
𝑈(𝑥) = 25𝑥 − 15𝑥 − 300
𝑈 (𝑥) = 10𝑥 − 3,000

10. Un incendio en un campo abierto seco, se propaga en forma circular. Si el
radio de este círculo aumenta a una velocidad de 6 𝑚/𝑚𝑖𝑛. Exprese el área
total incendiada 𝐴 (en 𝑚2
) como una función del tiempo 𝑡 (en minutos).
a) A(𝑡) = 36𝜋𝑡2
b) A(𝑡) = 6𝜋2
𝑡2
c) A(𝑡) = 6𝜋𝑡2
d) A(𝑡) = 36𝜋2
𝑡2
Solución
𝑟(𝑡) = 6𝑡
𝐴(𝑟) = 𝜋𝑟(𝑡)2
𝐴(𝑡) = 𝜋(6𝑡)2
𝐴(𝑡) = 36𝜋𝑡2

11. Dos barcos parten de un puerto a la misma hora, uno viaja al oeste con una
velocidad de 17 𝑚𝑖/ℎ, y el otro hacia el sur a 12 𝑚𝑖/ℎ. Si 𝑡 es el tiempo en
horas que ha transcurrido desde sus partidas, exprese la distancia 𝑑 entre
los barcos como una función del tiempo
a) d(𝑡) = 433𝑡2
b) d(𝑡) = 20,81𝑡2
c) d(𝑡) = 20,81𝑡 d) d(𝑡) = 433𝑡
Solución
Sea:
𝑥: Dirección Oeste
𝑦: Dirección Sur
La Posición de cada uno es:
𝑥 = 17 𝑚𝑖 ℎ⁄ 𝑡
𝑦 = 12 𝑚𝑖 ℎ⁄ 𝑡
En el instante 𝑡, sus posiciones forman un triángulo rectángulo con el punto de
partida, la hipotenusa resulta:
𝑑(𝑡) = √𝑥2 + 𝑦2
𝑑(𝑡) = √(17 𝑚𝑖 ℎ⁄ 𝑡)2 + (12 𝑚𝑖 ℎ⁄ 𝑡)2
𝑑(𝑡) = √289 𝑚𝑖2 ℎ2⁄ 𝑡2 + 144 𝑚𝑖2 ℎ2⁄ 𝑡2
𝑑(𝑡) = √433 𝑚𝑖2 ℎ2⁄ 𝑡2
𝑑(𝑡) = 20,808 𝑚𝑖 ℎ⁄ 𝑡
𝑑(𝑡) = 20,81 𝑚𝑖 ℎ⁄ 𝑡

12. Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano. Su
forma debe ser la de un cilindro recto circular de 10 𝑚 de altura con una
semiesfera unida en cada extremo. Su radio 𝑟 debe determinarse,
exprese el volumen 𝑉 del tanque (medido en pies cúbicos) en función de 𝑟.
a) 𝑣(𝑟) = 2𝜋𝑟2
(5 −
2
3
𝑟) b) 𝑣(𝑟) =
4
3
𝜋𝑟3
− 10𝜋𝑟2
c) 𝑣(𝑟) = 2𝜋𝑟2
(
2
3
𝑟 + 5) d) 𝑣(𝑟) =
34
3
𝜋𝑟3
Solución
𝑣 𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = ℎ𝜋𝑟2
= 10 𝜋𝑟2
𝑣 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4
3
𝜋𝑟3
𝑣(𝑟) = 10 𝜋𝑟2
+
4
3
𝜋𝑟3
Aplicando Factor Común
𝑣(𝑟) = 2𝜋𝑟2
(5 +
2
3
𝑟)
13. La expresión 43
= 64 escrita en su forma logarítmica es:
a. 4 = 𝑙𝑜𝑔3643
b. 3 = 𝑙𝑜𝑔464
c. 643 = 𝑙𝑜𝑔43
d. 643 = 𝑙𝑜𝑔34
Solución
log4 64 = 3

14. La expresión log 𝑎
√ 𝑥𝑧2
𝑦4
reescrita como una combinación de logaritmos en
una de las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 tiene la forma:
a. log 𝑎 √ 𝑥 𝑧2
÷ log 𝑎 𝑦4
b.
1
2
log 𝑎 𝑥 − 4log 𝑎 𝑦 + 2log 𝑎 𝑧
c. log 𝑎(√ 𝑥+𝑧2
) − log 𝑎 𝑦4
d. (−2𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥)(2𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑦) ÷ 4𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑦
Solución
log 𝑎 √ 𝑥𝑧2
− log 𝑎 𝑦4
log 𝑎 𝑥1 2⁄
𝑧2
− log 𝑎 𝑦4
log 𝑎 𝑥1 2⁄
+ log 𝑎 𝑧2
− 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑦4
1
2
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 + 2𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑧 − 4𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑦
1
2
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 − 4𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑦 + 2𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑧
15. La cantidad de radio puro 𝑞 que queda después de 𝑡 años, cuando
inicialmente se tenía 𝑞0 miligramos es
𝑞 = 𝑞0. 2−
𝑡
1600
El tiempo 𝑡 expresado en términos de log2 es:
a. 𝑡 = 1600log2 𝑞0 − 1600log2 𝑞
b. 𝑡 = 1600log2 𝑞0 + 1600log2 𝑞
c. 𝑡 = 1600log2 𝑞 − 1600log2 𝑞0
d. 𝑡 = −1600log2 𝑞 + 1600log2 𝑞0

Solución
𝑞 = 𝑞0. 2−
𝑡
1600
𝑞
𝑞0
= 2−
𝑡
1600
log2 (
𝑞
𝑞0
) = log2 (2−
𝑡
1600)
log2 (
𝑞
𝑞0
) = −
𝑡
1600
log22
−𝑡 = 1600 log2 (
𝑞
𝑞0
)
−𝑡 = 1600 log2 𝑞 − 1600log2 𝑞0
𝑡 = −1600 log2 𝑞 + 1600log2 𝑞0
16. El número 𝑁 de bacterias en un cierto cultivo en un tiempo 𝑡, está dado
por 𝑁 = 104
∙ 3𝑡. El tiempo 𝑡 en función de 𝑁 utilizando logaritmos de base
3 es:
a. 𝑡 = log3 𝑁 − 4log3 10
b. 𝑡 = 4log3 𝑁 − log3 10
c. 𝑡 = 4log3 𝑁 + log3 10
d. 𝑡 = 4log3 (𝑁 − 10)
Solución
𝑁 = 104
∙ 3𝑡
log3 (
𝑁
104
= 3 𝑡
)

log3
𝑁
104
= log3 3 𝑡
log3
𝑁
104
= 𝑡 log3 3
log3
𝑁
104
= 𝑡
𝑡 = log3 𝑁 − log3 104
𝑡 = log3 𝑁 − 4log310
17. Se da una circunferencia de radio 10 𝑚. El coseno del ángulo que forman
las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una
cuerda de 15 𝑚 de longitud es:
a.
√2
3
b.
5
8
c.
2
3
d.
1
8
Solución

18. La altura de un árbol que está situado sobre un terreno llano, sabiendo
que desde un punto del suelo se observa su copa bajo un ángulo de
elevación de 45° y, desde un punto 15 metros más cerca del árbol, a un
ángulo de 60° es:
a. 30,5 𝑚 b. 45 𝑚 c. 31,7 𝑚 d. 35,49 𝑚
Solución
19. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2
son las leyes de asignación de dos funciones
reales entonces el valor de 𝑔[𝑓(2)] es:
a. 2 b. 9 c. 4 d. 5
Solución
𝑔[𝑓(2)] = (𝑥 + 1)2
= (2 + 1)2
= 32
= 9
120 60
15
45
15 𝑚 𝑥
ℎ
15
𝑆𝑒𝑛 15
=
𝐿
𝑆𝑒𝑛 45
→ 𝐿 =
15 𝑆𝑒𝑛 45
𝑆𝑒𝑛 15
𝐿 = 40,98
𝑆𝑒𝑛 60 =
ℎ
𝐿
=
ℎ
40,98
ℎ = (𝑆𝑒𝑛 60)(40,98) = 35,49

20. Sea la función 𝑓 dada por la regla 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 + 2. Si los enunciados
I. Es cóncava hacia abajo
II. Interseca al eje x en un solo punto
III. Interseca al eje y exactamente en el punto (0,2)
Hacen referencia a algunas características de la gráfica de la función 𝑓,
entonces son ciertos
a. II y III b. I y II c. III d. I
Solución
Al ser una función cuadrática con 𝑎 > 0 es cóncava hacia arriba
Para encontrar los interceptos en x, se hace y=0
𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 − 2 = 0 ; 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 2 ; 𝑥 = 1
Los interceptos son los puntos (2,0) y (1,0), entonces pasa por dos intersectos
Para encontrar intercepto en y, se hace x=0
𝑦 = (0)2
− 3(0) + 2
𝑦 = 2
Se forma el intercepto
(0,2)

21. Al simplificar (𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥 )2
− (𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 )2
, se obtiene la expresión
a. 2 𝑆𝑒𝑛 2𝑥
b. 2 𝐶𝑜𝑠 2𝑥
c. 0
d. 1
Solución
(𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥 )2
− (𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 )2
𝑆𝑒𝑛2
𝑥 + 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2
𝑥 − (𝑆𝑒𝑛2
𝑥 − 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2
𝑥)
1 + 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − (1 − 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥)
1 + 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 1 + 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 (2𝑥) + 𝑆𝑒𝑛(2𝑥) = 2𝑆𝑒𝑛 (2𝑥)
22. El valor de 𝑥 que satisface la ecuación 2 log10(2𝑥 + 3) = 2 es:
a. 3,5 b. 4,5 c. 4 d. 5
Solución
2 log10(2𝑥 + 3) = 2
Determinar un rango definido 2𝑥 + 3 = 0 ⟹ 𝑥 = −
3
2
Dividir ambos extremos de la ecuación entre 2
log10(2𝑥 + 3) = 1
2𝑥 + 3 = 101
2𝑥 = 10 − 3
𝑥 =
7
2
𝑥 = 3,5

23. Si 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
3
5
y 𝜃 ∈ al IV cuadrante, entonces el valor de 𝑇𝑎𝑛 𝜃 es:
a. 4/3 b. -4/3 c. 4/5 d. -4/5
Solución
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
3
5
⟹
𝐶. 𝑎
𝐻𝑖𝑝
𝐶. 𝑜 = √52 − 32 = √25 − 9 = √16 = 4
𝑇𝑎𝑛 𝜃 =
𝐶. 𝑜
𝐶. 𝑎
=
4
3
24. En la figura, si 𝐵𝐶 = 1 𝑐𝑚 y 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 0,5 ¿Cuál es la longitud de 𝐴𝐶
redondea a la centésima más cercana
a. 1,25 cm
b. 1,41 cm
c. 1,50 cm
d. 1,73 cm
Solución
𝑆𝑒𝑛 𝜃 =
𝐶. 𝑜
𝐻𝑖𝑝
=
1
2
=
𝐵𝐶
𝐵𝐴
𝐴𝐶 = √(𝐵𝐴)
2
− (𝐵𝐶)
2
= √22 − 12
= √4 − 1
= √3
= 1,73

25. Una torre está situada en una colina. La colina forma un ángulo de 14,2°
respecto a la horizontal. En un punto P colocado a 62,5 metros colina abajo
y medido desde el centro de la base de la torre, se forma un ángulo de
elevación con la cúspide de la torre de 43,6° entonces la altura de la torre
mide:
a. 99,25 m.
b. 86,31 m.
c. 59,52 m.
d. 42,37 m.
Solución
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑆𝑒𝑛 𝑐
𝑐
𝑆𝑒𝑛 29,4°
ℎ
=
𝑆𝑒𝑛 104,2°
𝑏
=
𝑆𝑒𝑛 46,4°
62,5 𝑚
𝑆𝑒𝑛 29,4°
ℎ
=
𝑆𝑒𝑛 46,4°
62,5 𝑚
ℎ =
(𝑆𝑒𝑛 29,4°)(62,5 𝑚)
𝑆𝑒𝑛 46,4°
ℎ = 42,3676 ≈ 42,37 𝑚

26.Un señor acepta un empleo como vendedor de cierto producto. Su sueldo
será C$ 10 por cada unidad vendida, más una comisión diaria de C $ 30.
¿Cuál de las expresiones siguientes representa el sueldo de 5 días de
trabajo?
A. y = 50 x + 150
B. y = 5 (x + 30)
C. y = 10 x + 150
D. y = 5 x + 150
Solución
Sea x las unidades vendidas
10𝑥 + 30 = 5(10𝑥 + 30) = 50𝑥 + 150
27. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 3 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 4 son las leyes de asignación de dos
funciones el valor de 3𝑓(−1) + 5𝑔(2) es:
a. 24 b. 36 c. -6 d. 30
Solución
3((−1)2
− 3) + 5(2 + 4)
3(−2) + 5(6)
= −6 + 30
= 24

28. La expresión 12 − ( 8 𝐶𝑜𝑠 𝑥) (
3
2
𝐶𝑜𝑠 𝑥) es equivalente a:
a. 𝑆𝑒𝑛2
𝑥
b. 12 𝐶𝑜𝑠2
𝑥
c. 12 𝑆𝑒𝑛2
𝑥
d. 24 − 12 𝐶𝑜𝑠 𝑥
Solución
12 − ( 8 𝐶𝑜𝑠 𝑥) (
3
2
𝐶𝑜𝑠 𝑥)
12 − 12 𝐶𝑜𝑠2
𝑥
12(1 + 𝐶𝑜𝑠2
𝑥)
12 𝑆𝑒𝑛2
𝑥
29.Considere la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
+ 4𝑥 + 5, con x en los números reales. El
menor valor que alcanza la función es:
a. -1 b. 3 c. 5 d. 0
Solución
Encontrar valores mínimos de la función
2𝑥2
+ 4𝑥 + 5
𝑦 =
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
=
4(2)(5) − (4)2
4(2)
=
40 − 16
8
=
24
8
= 3

30. La expresión ln(𝑎 + 𝑏)2
− ln(𝑎 + 𝑏) es equivalente a:
a. 2
b. 𝑎 + 𝑏
c. ln 𝑎 + ln 𝑏
d. ln(𝑎 + 𝑏)
Solución
ln(𝑎 + 𝑏)2
− ln(𝑎 + 𝑏)
2 ln(𝑎 + 𝑏) − ln(𝑎 + 𝑏 ) = ln(𝑎 + 𝑏 )
31. Al reducir 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) + 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵) se obtiene:
a. 2 𝑆𝑒𝑛 𝐴
b. −2 𝐶𝑜𝑠 𝐵
c. 2 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵
d. NA
Solución
𝑆𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) + 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵)
𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 + 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵 + 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 − 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵
2 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵
32. La expresión 𝑇𝑎𝑛 𝜃 + 𝐶𝑜𝑡 𝜃 es equivalente a:
a. 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝐶𝑠𝑐𝜃 b. 𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝐶𝑠𝑐 𝜃 c. 𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃 d. 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃
Solución
𝑇𝑎𝑛 𝜃 + 𝐶𝑜𝑡 𝜃
𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃
+
𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑆𝑒𝑛 𝜃
=
𝑆𝑒𝑛2
𝜃 + 𝐶𝑜𝑠2
𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑆𝑒𝑛 𝜃
=
1
𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑆𝑒𝑛 𝜃
=
1
𝐶𝑜𝑠 𝜃
1
𝑆𝑒𝑛 𝜃
= 𝑆𝑒𝑐𝜃 𝐶𝑠𝑐𝜃
33. Si 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 0,2, entonces 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 es igual a:

a. 0,4 b. 0,92 c. 0,092 d. 0,44
Solución
𝐶𝑜𝑠 2𝑥 = 1 − 2 𝑆𝑒𝑛2
𝑥
1 − 2(0,2)2
= 1 − 0,08 = 0,92
34. Si 𝑥 ∈ ℝ ¿Para cuales números reales 2−𝑥
es un número negativo
a. Para todos los números reales
b. Para ningún número real
c. Únicamente si 𝑥 < 0
d. Únicamente si 𝑥 < 1
Solución
Si se prueban las condiciones
Para todos los números Reales
𝑥 = √2 ; 𝑥 = −3 ; 0 ; 1
2−√2
= 0,37 ; 2−(−3)
= 8 ; 2−0
= 1 ; 21
= 2
35. La gráfica de la función dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
, 0 < 𝑎 < 1 es
a. Creciente b. Decreciente
c. Ni creciente ni decreciente d. Constante
Solución
Por definición cuando , 0 < 𝑎 < 1 la función exponencial es decreciente cuando
𝑎 > 0 es una función creciente

36. La gráfica de la figura de la derecha representa la gráfica de una función
de la forma:
a. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
, 0 < 𝑎 < 1
b. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
, 1 < 𝑎
c. 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , 0 < 𝑎 < 1
d. 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , 1 < 𝑎
Solución
Por definición
En primer lugar, comenzar con las propiedades de la gráfica de la función
exponencial de base de una base,
f (x) = ax
, a > 0 y no es igual a 1.
El dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales. El rango
de f es el intervalo (0, + infinito).
La gráfica de f tiene una asíntota horizontal dada por y = 0. Función f tiene
interceptar ay en (0, 1). f es una función creciente si a es mayor que 1
37. La gráfica de la figura de la derecha representa la gráfica de una función
de la forma:
a. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
, 0 < 𝑎 < 1
b. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
, 1 < 𝑎
c. 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , 0 < 𝑎 < 1
d. 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , 1 < 𝑎

Solución
Por definición
La función logarítmica "básica" es la función, y = log a x , donde a > a y b ≠ 1.
La gráfica de la función logarítmica y = log a x es la que se muestra en la imagen
38. El vértice de la gráfica dad por 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥2
+
3
2
𝑥 +
13
4
es el punto de
coordenadas:
a. (-3,1) b. (3,-1) c. (1,-3) d. (-1,3)
Solución
𝑥 = ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−
3
2
2 (
1
4
)
= −
3
2
1
2
= −
6
2
= −3
𝑦 = 𝑘 =
1
4
(−3)2
+
3
2
(−3) +
13
4
=
9
4
−
9
2
+
13
4
=
9 − 18 + 13
4
=
4
4
= 1
39. La gráfica de la función dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 corta al eje y en el punto
de coordenadas
a. (0,3) b. (3,0) c. (2,3) d. (0,-3)
Solución
Para la intercepción en y hacemos x= 0
𝑦 = 2(0) + 3
𝑦 = 3
El punto (0,3)

40. El rango de la función 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥2
+
3
2
𝑥 +
13
4
es el conjunto
a. (−∞, 1)
b. (1, ∞)
c. ℝ
d. [−1, 3]
Solución
𝑥 = ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−
3
2
2 (
1
4
)
= −
3
2
1
2
= −
6
2
= −3
𝑦 = 𝑘 =
1
4
(−3)2
+
3
2
(−3) +
13
4
=
9
4
−
9
2
+
13
4
=
9 − 18 + 13
4
=
4
4
= 1
Rango (1, ∞)

Geometría Analítica
1. Dados los puntos 𝐴(−5) y 𝐶(10), encuentra las coordenadas del punto 𝐵
talque 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 y 𝐴𝐵: 𝐵𝐶 = 2: 13
a) 12 b) 3 c) -12 d)-3
Solución
A (-5) y C (10) hallar B 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶
𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐶 = 2 ∶ 13
-5 -3 10 𝑟 = 2/13
A B C
𝑃 =
𝑎𝑛 + 𝑏𝑚
𝑚 + 𝑛
𝑎 = −5, 𝑏 = 10 , 𝑚 = 2 , 𝑛 = 13
𝑃 =
(−5)(13) + (10)(2)
2 + 13
𝑃 = −3
2. Uno de los extremos de un segmento 𝐴(−10) y un punto que divide a este
segmento en la razón 5:2 es 𝐵(5). Halle la coordenada del otro extremo
a) -11 b) 11 c) -11,5 d) 10
Solución
A(-10) B(5) r=5:2
A B C
-10 5
a= -10 b= ?
m= 5 n=2
𝑃 =
𝑎𝑛 + 𝑏𝑚
𝑚 + 𝑛

5 =
(−10)(2) + 5𝑏
7
35= -20 +5 b
35 + 20 = 5 b
55 = 5 b
55 = b
5
3. El triángulo de vértices 𝐴(−2,8), 𝐵(−6,1) y 𝐶(0,4) es:
a) Isósceles b) Equilátero c) Rectángulo d) Rectángulo isósceles
Solución
A (-2,8) B(-6,1) C(0,4)
dAB = √(−6 + 2)² + (1 − 8)²
= √16 + 49
dAB = √𝟔𝟓
dBC = √(0 + 6)² + (4 − 1)²
= √36 + 9
dBC = √𝟒𝟓
hip2
= Cat2
+ Cat2
dAC = √(0 + 2)² + (4 − 8)² (√65)2
= (√45)2
+ (√20)2
= √4 + 16 65 = 45 + 20
dAC = √𝟐𝟎 65 = 65
b = 11

- 2
6
4. Dados los puntos 𝐴(−2,0), 𝐵(6,0) y 𝐶(𝑥, 𝑦) Determina las coordenadas
positivas de 𝐶, de manera que el triángulo ABC sea equilátero
a) (2, 4√3) b) (−2, 4√3) c) (2, − 4√3) d) (−2, −4√3)
Solución
A(-2,0), B(6,0), C(X,Y) Cord. Post. ΔABC Equilát.
dAC = √(x + 2)2 + (𝑦 − 0)²
dAC = √𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦²
dBC = √(x + 6)2 + (𝑦 − 0)²
dBC = √𝑥2 + 12𝑥 + 36 + 𝑦²
dAC = dBC
x2
+ 4x + 4 + y2
= x2
- 12x + 36 + y2
4x + 4 = -12x + 36
4x + 12 = 36 – 4
16x = 32
x = 32/16
𝑑𝐴𝐵 = √(6 + 2)2
𝑑𝐴𝐵 = √64 = 8
𝑑𝐵𝐶 = 𝑑𝐴𝐵
√64 = √𝑥2 − 12𝑥 + 36 + 𝑦²
64 = x² - 12x + 36 + y²
64 = 4 – 24 + 36 + y²
64 = 16 +y²
x = 2
(x,4)
√48 = √𝑦² y = 4√3
(2, 4√3)

5. Los vértices de un paralelogramo (2,4); (6,2); (8,6) y (4,8). La longitud de
una de sus diagonales, aproximada a dos decimales, es:
a) 6,00 b) 6,30 c) 6,50 d) 6,32
Solución
𝑑𝐴𝐶 = √(8 − 2)2 + (6 − 4)²
= √36 + 4
= √40 ≈ 6.32
6. Hallar los puntos de la abscisa 3 que diste 10 unidades del punto A (-3,6)
a) (3, -2) (3,14) b) (3, -2) (14,3) c) (-2, 3) (14,3) d) NA
Solución
A(-3,6) B(3,y)
dAB = √(3 + 3)2 + (𝑦 − 6)²
dAB = √36 + 𝑦2 + 12𝑦 + 36
10 = √36 + 𝑦2 + 12𝑦 + 36
100 = 72+y² -12y
y² - 12y + 72 – 100 = 0
y² - 12y – 28 = 0
y = -2 y =14
P1 (3,-2) y P2(3,14)

7. Sabiendo que el punto P (9, 2) divide al segmento que determinan los
puntos A (6, 8) B (x, y) en la razón r=3:7, hallar las coordenadas de B
a) (16, -12) b) (-12 , 16) c) (-16, 12) d) (12, -16)
Solución
X=
𝑛𝑥1+𝑚𝑥2
𝑚+𝑛
y =
𝑛𝑦1+𝑚𝑦2
𝑚+𝑛
9 =
7(6)+3(𝑥)
3+7
2 =
7(8)+3(𝑦)
3+7
9 =
42+3𝑥
10
2 =
56+3𝑦
10
90 = 42 + 3x 20 = 56 + 3y
90 – 42 = 3x -36 = 3y
x=16 y = -12
(16, -12)
8. Encontrar las coordenadas de un punto P(x,y) que divida al segmento cuyos
extremos son A (5, 3) B (-3, -3) en la razón 1:3
a) (1; 6) b) (3; 1,5) c) (-1, 6) d) (1, -6)
Solución
X=
𝑛𝑥1+𝑚𝑥2
𝑚+𝑛
y =
𝑛𝑦1+𝑚𝑦2
𝑚+𝑛
x = 3 (5) + 1 (-3) y = 3(3) + (1)(-3)
1 + 3 4
x = 3 y = 3/2 ≈ 1.5 (3, 1.5) Inciso “b”

9. Encuentre los extremos del segmento cuyo Punto medio es (2, -1), si la
abscisa de uno de ellos es 6 y la ordenada del otro -6
a) (6,1) ; (-2,-1) b) (6,3) ; (-2,-1) c) (6,-3) ; (-2,-1) d) (6,4) ; (-2,-6)
Solución
Pm (2, -1) A (6, y1) B (x2, -6)
x = x1 + x2 y = y1 + y2
2 2
2 = 6 +X2 -1 = -6 + y2
2 2
4 = 6 + X2 -2 = -6 + y2
-2 = X2 4 = y2
A (6,4) B (-2, -6) Inciso “d”
10. Determine el área redondeada al entero más cercano del triángulo
rectángulo isósceles A (12, y) B (8,2) C (-2,6)
a) 58 b) 59 c) 57 d) -58 e) -57
Solución
dAB = dBC dAB = dBC
dBC = √(−2 − 8)2 + (6 − 2)² √116 = √𝑦2 − 4𝑦 + 20
dBC = √100 + 16 116 = y2
– 4y + 20
dBC = √116 y2
– 4y – 96 = 0
dAB = √(8 − 12)2 + (2 − 𝑦)2 y = -8 g = 12
dAB = √16 + 4 − 4𝑦 + 𝑦2 P1 (12, -8) P2 (12, 12)
dAB = √𝑦2 − 4𝑦 + 20 𝐴 =
𝑏ℎ
2
=
(𝐵𝐶)(𝐴𝐵)
2
A = (√116)² A = 116 A = 58
2 2

11. Hallar la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación θ = 45º y que
pasa por el punto de intercepción de las rectas 2x + y – 8 = 0 y 3x - 2y +
9 = 0
a) x + y + 10 = 0 b) x – y – 9 = 0 c) x – y – 5 = 0 d) x + y - 10 = 0
Solución
1. Resolviendo el sistema 3. Usando la Ec. Punto Pendiente
2x + y – 8 = 0 (2) 2x + y = 8 y – y1 = m (X – X1)
3x – 2y + 9 = 0 2(1) + y = 8 y – 6 = 1 (x-1)
4x + 2y = 16 y = 8 – 2 y – 6 = x -1
3x – 2y = -9 y = 6 x – y +5 = 0
7x = 7 (1, 6) Inciso “C”
x = 1 Sustituyendo
2. Hora, como m = tan 45º entonces m = 1
12. Una recta pasa por el punto (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los
puntos C(-2, 2) y D(3, -4). Su ecuación es
a) x + y - 82 = 0 b) 6x + 5y – 82 = 0 c) x + 6y – 82 = 0 d) 6x – 5y + 82 = 0
Solución
Hallar la pendiente (-2, 2) (3, -4)
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
−4 − 2
3 + 2
𝑚 = −
6
5
Usando la Ec. Punto pendiente
y – y1 = m (X – X1)
y – 8 = -6/5 (x - 7)
5y – 40 = -6x + 42 Transponiendo términos se tiene 6x +5y -82 = 0 Inciso “b”

13. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A(-
4, 5) B(1, 4)
a) -5x + y - 12 = 0 b) x - 5y – 12 = 0 c) -5x + y + 12 = 0 d) x – 5y + 12 = 0
Solución
Pm= Si son perpendiculares m1 =
1
𝑚2
Pm = (x, y)
Pm (
1−4
2
>
4+5
2
) m1 =
4−5
1+4
=
−1
5
Pm (
−3
2
>
9
2
) m2 = −
1
−
1
5
= 5 m2 = 5
y – y1 = m (x – x1)
y -
9
2
= 5 (𝑥 +
3
2
)
y -
9
2
= 5x +
15
2
(2)
2y -9 = 10x + 15
-10x + 2y -24 = 0 /2
-5x + y -12 = 0 Inciso “a”
14. Una recta L1 pasa por los puntos (2, 2) y (4, 6) y la otra recta pasa por el
punto (7,3) y el punto A cuya ordenada es 2. Hallar la abscisa del punto A
sabiendo que L1 es perpendicular a L2
a) -11 b) 1 c) -1 d) 11
Solución
L2 pasa por (7, 3) y (x, 2) L1 ┴ L2
Calcular m1 =
6+2
4−2
m1 =
8
2
m1 = 4
m2 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
-
1
4
=
2−3
𝑥−7

-
1
4
=
−1
𝑥−7
x – 7 = 4
x = 4 + 7
x = 11 R= Inciso “d”
15. La ecuación de la circunferencia con centro en (-3, 5) y pasa por (1, 5)
es:
a. 𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 + 10𝑦 = 18
b. 𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 + 10𝑦 = −18
c. 𝑥2
+ 𝑦2
+ 6𝑥 − 10𝑦 = −18
d. 𝑥2
+ 𝑦2
= −18
Solución
r= √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
r= √(1 − (−3))
2
+ (5 − 5)2
r= √16
r= 4
(x -h)2
+ (y - k)2
= r2
(x -3)2
+ (y - 5)2
= 16
X² - 6x + 9 + y² - 10y + 25 = 16
x² + y² + 6x – 10y = -18 Inciso “C”

16. Calcule la longitud redondeada al entero más cercano de la cuerda de la
circunferencia x² + y² = 8 determinada por la recta secante y = -x + 1
a) 6 b) 5 c) 4 d) 5
Solución
x² + y² = 8 Sust. y = -x + 1
x² + (1 - x)² = 8
x² + 1 – 2x + x² = 8
2x² - 2x - 7 = 0
X1 = 1 - √15 X2 = 1 + √15 Sust. en y = -x+1
2 2
y1 = − (
1−√15
2
) + 1 y2 = − (
1−√15
2
) + 1
y1 =
−1
2
+
√15
2
+ 1 y2 =
−1
2
+
√15
2
+ 1
y1 =
−1
2
+
√15
2
y2 =
−1
2
+
√15
2
P1 (1− √15
2
)
1− √15
2
) P2 (1− √15
2
)
1− √15
2
)
d = √(
1+ √15
2
−
1+ √15
2
)
2
+ (
1+ √15
2
−
1+ √15
2
)
2
d = √(√15)
2
+ (√15)
2
d = √30 ≈ 5.4 ≈ 5 Inciso “b”

17. Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x² + y² -
6x -6y + 10 = 0 en el punto (1, 1)
a) x – y = 2 b) –x + y = 2 c) x + y = 2 d) x + y = -2
Solución
x² - 6x + 9 + y2
– 6y + 9 = 10 + 18
(x -3)2
+ (y -3)² = 28
c (3, 3) y el punto (1, 1) es ┴ a la recta
m =
1−3
1−3
=
−2
−2
m = 1
m2 = -1
y – y1 = m (x -x1)
y – 1 = -1 (x-1)
x + y = 2 Inciso “C”
18. De los siguientes puntos el único que se encuentra sobre la circunferencia
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 10𝑦 = −1 es
a. (√2 , −1)
b. (
√3
2
, −
1
2
)
c. (1,1)
d. (−4,5)
Solución
Sustituye el valor de x e y de c/ punto hasta encontrar la identidad.
x² + y2
– 2x – 10y = -1 x = √2 y = -1
(√2)² + (1)² - 2(√2) -10(1) = -1
2 + 1 – 2√2 -10 = -1
-7 – 2 √2 = -1 No cumple

Para x =
√3
2
y = -
1
2
(
√3
2
)
2
+ (
−1
2
)
2
− 2 (
√3
2
) − 10 (−
1
2
) = −1
3
4
+
1
4
− √3 + 52
= −1
6 - √3 = −1 No cumple
Para x = 1 y = 1
(1)² + (1)² - 2(1) -10(1) = -1
1 + 1 + 2 – 10 = -1
-6 = -1 No cumple
Para x = -4 y = 5
(-4)² + (5)² - 2(-4) -10(5) = -1
16 +25 +8 – 50 = -1
-1 = -1 Sol. Inciso “d”

19. La ecuación de una circunferencia x² + y2
– 10x + 4y + 4 = 0. El punto medio
de una cuerda de esta circunferencia es el punto (-4.5, -2.5). la ecuación
de la cuerda es:
a. 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
b. 𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0
c. 2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
d. 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
Solución
Calcular el centro
(x²+ 10x + 25) + (y² + 4y +4) = -4
(x2
+ 5)²+ (y²+2)² = 25
C (-5, -2) El centro y el pm forman una recta que coincide con el radio de la
circunferencia y este es perpendicular a la cuerda.
Pendiente del radio:
m1 =
−2.5+2
−4.5+5
m1 =
−0.5
0.5
= −1
la pendiente de la cuerda seria m2 = −
1
−1
= 1
m2 = 1 y (-4.5, -2.5)
y + 2.5 = 1 (x + 4.5)
y + 2.5 = x + 4.5
x – y + 2 = 0 Inciso “a”

20. La ecuación de la circunferencia con centro en el punto de intercepción
de las rectas 3x + 3y = 15 y 2x - 2y = -2 y radio r=7 es:
a. 𝑥2
− 𝑦2
− 4𝑥 − 6𝑦 = 49
b. 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑥 − 6𝑦 = 49
c. 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 6𝑦 = −36
d. 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 6𝑦 = 36
Solución
Cada ecuación puede simplificar
3x + 3y = 15 (/3) 2x – 2y = -2 (/2)
x + y = 5 x – y = -1
Resolver el sistema
x + y = 5 (x - h)² + (y + k)² = r²
x – y = -1 (x - 2)² + (y - 3)² = 7²
2x = 4 x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 49
x = 2 x² + y² - 4x - 6y = 36
y = 3
p(2, 3) Inciso “d”
h = 2 k = 3
21. Una parábola cuyo foco es F (0, -6) y la ecuación de la directriz es y = 6
tiene por ecuación:
a) 𝑥2
= 22𝑦 − 11 b) 𝑥2
= −22𝑦 − 11 c) 𝑥2
= 24𝑦 d) 𝑦2
= −22𝑥 − 11
Solución
La parábola es de la forma x² = -4py
x² = -4(-6) y
x² = 24y

22. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco (a,0) donde a
es la solución positiva de la ecuación 2t² + t – 6 = 0 es:
a) 𝑦2
= 6𝑥 b) 𝑥2
= 6𝑦 c) 𝑦2
= −6𝑥 d) 𝑥2
= −6𝑦
Solución
Primero calculamos las raíces
2𝑡2
+ 𝑡 − 6 = 0
2t -3 = -3t
t +2 = 4t
(t + 2) (2t – 3) = 0
t + 2 = 0 2t– 3 = 0
t = -2 t = 3/2 Tomamos este valor para f (
3
2
, 0)
La parábola es de forma
y² = 4px
p =
3
2
y² = 4 (
3
2
) x
y2
= 6x Inciso “a”

23.El foco y la directriz de la parábola 2𝑦 − 𝑥² = 0 son respectivamente
a) (0,2) 𝑦 𝑦 = −1/2 b) (1/2,0) 𝑦 𝑦 = 1/2
c) (1/2,1/2) 𝑦 𝑦 = −1/2 d) (0,1/ 2) 𝑦 𝑦 = −1/2
Solución
La parábola que tiene por ecuación 2𝑦 − 𝑥² = 0 es una parábola cuyo eje focal
esta sobre el eje y. Vista de otra forma la ecuación anterior es
𝑥² = 2𝑦
Donde 4𝑝 = 2 → 𝑝 =
2
4
→ 𝑝 =
1
2
Por lo tanto, las coordenadas del foco son
(0,
1
2
)
24. Los puntos de intercepción de la parábola y² = 16x con la recta x + y = -
12 son:
a) (-24,12) (-6,-6) b) (-36,24) (-4,-8) c) (24,12) (-6,6) d) (24,12) (6,6)
Solución
Despajar x= -12 -y
y² = 16(-12 -y)
y² = -192 + 16y
y² - 16y – 192 = 0
y1 = -8 y2 = 24
x1 = -12 –(-8) x2 = -12 -24
x1 = -4 x2 = -36
(- 4, -8) (-36, 24) Inciso “b”
la directriz es la recta
𝑦 = −1/2

25. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje Y, vértice en el
origen y que pasa por el punto de intersección de las rectas 4x + 3y = -14
y la ecuación -3x +2y = 2 es:
a) 𝑥2
= 2𝑦 b) 2𝑥2
= −𝑦 c) 𝑥2
= −2𝑦 d) 𝑥2
= −𝑦
Solución
4x + 3y = -14 (3)
-3x + 2y = 2 (4) x² = 4Py
21x + 9y = -42 (-5)² = 4p (2)
-12x + 8y = 8
25
2
= 4𝑝
17y = 34 x² =
25
2
𝑦
4x + 3y = -14 2x² = 24y
4x + 3(2) = -14
4x = -14 -6
4x = -20
x = -5
P (-5,2)
26.Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8, entonces la
ecuación de la elipse con eje focal en el eje 𝑌 es
a)
𝑥2
48
−
𝑦2
64
= 1 b)
𝑥2
48
+
𝑦2
64
= 1 c)
𝑥2
64
+
𝑦2
48
= 1 d)
𝑥2
64
−
𝑦2
48
= 1
Solución
Sabemos que la longitud del eje mayor de una elipse está dada por 2𝑎 y la
distancia focal por 2𝑐, con los datos del problema obtenemos
2𝑎 = 16

𝑎 =
16
2
𝑎 = 8 → 𝑎2
= 64
2𝑐 = 8
𝑐 =
8
2
𝑐 = 4 → 𝑐2
= 16
Dado que 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
entonces 𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
𝑏2
= 64 − 16
𝑏2
= 48
La ecuación resulta
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ⟹
𝑥2
64
+
𝑦2
48
= 1
27. Determine la ecuación de la elipse que pasa por P (
√7
2
, 3) su eje mayor es
el eje x, y a = 2b
a. 4𝑥2
− 16𝑦2
= 151
b. −4𝑥2
+ 16𝑦2
= 151
c. 4𝑥2
+ 16𝑦2
= 51
d. 4𝑥2
+ 16𝑦2
= 151
Solución
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
(
√7
2
)
2
4𝑏2 +
(3)2
𝑏2 = 1
7
4
4𝑏²
+
9
𝑏²
= 1 (𝑏²)²
7
16
+ 9 = 𝑏2
b² =
151
16
a² = 4 (
151
16
)
a² =
151
4
𝑥²
151
4
+
𝑦²
151
16
= 1
4x² + 16y² = 151
Inciso “d”

28.Calcule la longitud del segmento determinado por la recta secante 4x -3y
= -12 a la elipse 16x²+9y² = 144
a) 5 b) 6 c) -5 d) -4
Solución
Sea 16x²+9y² = 144 (E1) y 4x -3y = -12 (E2)
Despejar 4x = 3y – 12 en función de “y” y elevado al cuadrado:
16x² = (3y - 12)² Sust. En la E1 y simplificando.
(3y - 12)² + 9y² = 144
18y² - 72y = 0
18y(y-4)=0 Igualando a cero y buscando los valores.
y1=0 y2=4 Sust. en E2
4x1 = 3(0) – 12 4x2 = 3(4) - 12
4x1 = -12 4x2 = 0 d = √32 + 4²
x1 = -3 x2 = 0² d = √25
P1 (-3,0) P2 (0, 4) d = 5 Inciso “a”
29. Si la excentricidad es 4/5 y la distancia focal es 16, la ecuación de la
elipse con eje focal en el eje 𝑋 es
a)
𝑥2
100
+
𝑦2
36
= 1 b)
𝑥2
36
+
𝑦2
100
= 1 c)
𝑥2
100
−
𝑦2
36
= 1 d)
𝑥2
16
+
𝑦2
36
= 1
Solución
Como la distancia focal es 16, entonces
2𝑐 = 16
𝑐 =
16
2
𝑐 = 8 → 𝑐2
= 64

pero al sustituir los valores de e y c en
𝑒 =
𝑐
𝑎
4
5
=
8
𝑎
4𝑎 = 40
𝑎 =
40
4
𝑐 = 10 → 𝑐2
= 100
Finalmente, la ecuación de la elipse es
𝑥2
100
+
𝑦2
36
= 1
30. La excentricidad de la elipse 2𝑥2
+ 4𝑦2
= 8 es
a) −
√2
2
b)
√2
2
c)
√2
3
d)
√2
2
Solución
Llevar la ecuación a su forma canónica
2𝑥2
+ 4𝑦2
= 8 (÷ 8)
2𝑥2
8
+
4𝑦2
8
=
8
8
𝑥2
4
+
𝑦2
2
= 1
𝑎2
= 4 ; 𝑏2
= 2
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
𝑐2
= 4 − 2
𝑐2
= 2

𝑐 = √2
Por lo tanto, la excentricidad es
𝑒 =
𝑐
𝑏
=
√2
2
31. La ecuación de la elipse que pasa por (3, 2√3), con vértice correspondiente
al eje menor (0,4) es
a)
𝑥2
16
+
𝑦2
36
= 1 b)
𝑥2
72
+
𝑦2
16
= 1
c)
𝑥2
36
+
𝑦2
16
= 1 d)
𝑥2
72
+
𝑦2
36
= 1
Solución
Como uno del vértice correspondiente al eje menor es (0; 4), entonces a = 4 y
estamos tratando con una elipse vertical. Así el punto (3, 2√3), debe cumplir la
relación
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
Es decir
(3)2
𝑏2
+
(2√3)
2
(4)2
= 1
9
𝑏2
+
12
16
= 1
9
𝑏2
+
3
4
= 1
3𝑏2
+ 36 = 4𝑏2
3𝑏2
− 4𝑏2
= −36
−𝑏2
= −36 (−1)

𝑏2
= 36
Por lo tanto, la ecuación es
𝑥2
36
+
𝑦2
16
= 1
32. La ecuación de la elipse cuyos focos son F1 (0,2) y F2 (0, -2) y P(x,y) es
un punto cualquiera de la elipse con PF1 + PF2 =10
a)
𝑥2
25
+
𝑦2
21
= 1 b)
𝑥2
25
−
𝑦2
21
= 1
c)
𝑥2
21
+
𝑦2
25
= 1 d)
𝑥2
21
−
𝑦2
25
= 1
Solución
PF1 + PF2 = 2a
PF1 + PF2 = 10
𝑎 = 5
C= ± 2
C² = 4
C² = a² - b²
(0, 2) (x, y) (0, -2) (x, y)
𝑏 = √ 𝑎2 − 𝑐2 = √52 − 22 = √25 − 4 = √21
𝑏2
= 21
La ecuación de la elipse resulta
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
𝑥2
21
+
𝑦2
25
= 1

33. Las coordenadas de los vértices de una hipérbola con V (0, ±11) y sus
focos f(0, ±12). Entonces su ecuación es
a)
𝑥2
121
−
𝑦2
23
= 1 b)
𝑥2
144
+
𝑦2
23
= 1
c)
𝑦2
23
−
𝑥2
144
= 1 d)
𝑦2
121
−
𝑥2
23
= 1
Solución
C = 12 a = 11 c² = a² + b²
(12)² = 11² + b²
144 + 121 = b²
23 = b²
23 = b²
𝑦²
121
−
𝑥2
23
= 1 Inciso “d”
34. Los focos de la hipérbola x² - 36y² = 36 son:
a) (0, ±√37) b) (±√37, 0) c) (0 , ±37) d) (±37 , 0)
Solución
x2
36
−
y2
1
= 1
a² = 36 b² = 1
c² = 36 + 1
c² = 37
c = ± √𝟑𝟕
f (± √𝟑𝟕, 0) Inciso “b”

35.La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, longitud del eje
transverso 12 y pasa por el punto (8,14) es:
a)
𝑥2
252
−
𝑦2
36
= 1 b)
𝑥2
36
−
𝑦2
252
= 1 c)
𝑦2
252
−
𝑥2
36
= 1 d)
𝑥2
252
+
𝑦2
36
= 1
Solución
El eje transverso tiene la ecuación 2𝑎
2𝑎 = 12
𝑎 =
12
2
= 6
La gráfica pasa por el punto (8;14) y la ecuación de una hipérbola está dada por:
𝑎2
𝑥2
−
𝑏2
𝑦2
= 1
(8)2
(6)2
−
(14)2
𝑏2
= 1
(4)2
(3)2
−
(14)2
𝑏2
= 1
16
9
−
196
𝑏2
= 1
−
196
𝑏2
= 1 −
16
9
−
196
𝑏2
= −
7
9
196
𝑏2
=
7
9
7𝑏2
= 1764
𝑏2
= 252
La ecuación buscada es
𝑥2
36
−
𝑦2
252
= 1

36. Las asíntotas de hipérbola 4y² - 9x² = 36, son:
a) 𝑦 = ±
2
3
𝑥 b) 𝑥 = ±
2
3
𝑦 c) 𝑦 = ±
3
2
𝑥 d) 𝑥 = ±
3
2
𝑦
Solución
𝒚 𝟐
𝟗
−
𝒙 𝟐
𝟒
= 𝟏 y = ±
𝒂
𝒃
𝒙
a² = 9 b² = 4
a = 3 b = 2 y = ±
𝟑
𝟐
𝒙 Inciso “c”
37. La ecuación de la hipérbola con focos en el eje x y asíntotas y = ±
3
7
x
es:
a) 49𝑦2
− 9𝑥2
= −441 b) 49𝑦2
− 9𝑥2
= 441
c) 49𝑥2
− 9𝑦2
= −441 d) 49𝑥2
− 9𝑦2
= 441
Solución
foco en x.
De: y =
𝑎
𝑏
𝑥 se tiene:
a = 7 b = 3
x2
49
−
𝑦2
9
= 1 Multiplicar por 441
𝑥2
49
−
𝑦2
9
= 1 (441)
9𝑥2
− 49𝑦2
= 441 (−1)
49𝑦2
− 9𝑥2
= −441

38. La ecuación de la hipérbola cuyos focos son F1 (0, 13) y f2 (0, 13) y P (x,
y) es un punto cualquiera con lP1F1 – P2P2l = 24 es:
a) 25𝑦2
+ 144𝑥2
= 3600 b) 25𝑦2
− 144𝑥2
= 3600
c) 144𝑦2
− 25𝑥2
= 3600 d) 144𝑦2
− 144𝑥2
= 3600
Solución
X² = 4Py 2a = 24
a = 24/2
a = 12 b = ? c = 13
𝑦2
144
−
𝑥2
25
= 1
b²= c² - a²
b²= 13² - 12² 25y²-144x²= 3600 Incluso “b”
b²= 169 – 144
b²= 25
b = ± 5
39. Determine la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos (3, -2) y
(7,6), además sus focos se ubican en el eje x
a) 16𝑥2
+ 20𝑦2
= 64 b) 16𝑥2
− 20𝑦2
= 64
c) −16𝑥2
+ 20𝑦2
= 64 d) 16𝑥2
− 20𝑦2
= 46
Solución
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Con el punto A
(3)2
𝑎2
−
(−2)2
𝑏2
= 1
9
𝑎2
−
4
𝑏2
= 1

9
𝑎2
= 1 +
4
𝑏2
9
𝑎2
=
𝑏2
+ 4
𝑏2
𝑎2(𝑏2
+ 4) = 9𝑏2
𝑎2
=
9𝑏2
𝑏2 + 4
Con el punto B
(7)2
𝑎2
−
(6)2
𝑏2
= 1
49
𝑎2
−
36
𝑏2
= 1
49
𝑎2
= 1 +
36
𝑏2
49
𝑎2
=
𝑏2
+ 36
𝑏2
𝑎2
=
49𝑏2
𝑏2 + 36
Igualando 𝑎2
= 𝑎2
9𝑏2
𝑏2 + 4
=
49𝑏2
𝑏2 + 36
9𝑏2(𝑏2
+ 36) = 49𝑏2(𝑏2
+ 4)
9𝑏4
+ 324𝑏2
= 49𝑏4
+ 196𝑏2
9𝑏4
− 49𝑏4
+ 324𝑏2
− 196𝑏2
= 0
−40𝑏4
+ 128𝑏2
= 0 (÷ 8)
−5𝑏4
+ 16𝑏2
= 0
−𝑏2(5𝑏2
− 16) = 0
−𝑏2
= 0 ; 𝑏2
=
16
5
Encontrar valor de a
𝑎2
=
49𝑏2
𝑏2 + 36

𝑎2
=
49 (
16
5
)
(
16
5
) + 36
=
736
5
196
5
= 4
Entonces
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥2
4
−
𝑦
1
2
16
5
= 1 ⟹
𝑥2
4
−
5𝑦2
16
= 1 (64)
16𝑥2
− 20𝑦2
= 64
40. Calcule los puntos de intersección de la recta 2x - 9y +12 = 0 con las
asíntotas de la hipérbola 4x² - 9y² = 36
a) (1,5 ; 1) 𝑦 (3 ; 2) b) (−1,5 ; 1) 𝑦 (−3; 2)
c) (−1,5 ; 1) 𝑦 (3 ; 2) d) (−1,5 ; −1) 𝑦 (3 ; −2)
Solución
1. Transformar la Ecuación de la Hipérbola y encontrar los valores de a y b.
4𝑥2
− 9𝑦2
= 36 Dividiendo por 36
𝑥2
9
−
𝑦2
4
= 1 a=±3 b=±2 por tanto las asíntotas serían:
𝑦 = ±
2
3
𝑥 , al resolver el sistema de esta ecuación con 2x - 9y +12 = 0 por
sustitución y evaluando cada signo se tiene:
Para 𝑦 =
2
3
𝑥 y 2x - 9y +12 = 0 el punto (-1.5, -1)
Para 𝑦 = −
2
3
𝑥 y 2x - 9y +12 = 0 el punto (3, -2)

Geometría Euclidiana
1. Si 𝐴𝐸 ∥ 𝐵𝐷, 𝐴𝐸 = 5, 𝐵𝐷 = 3, 𝐷𝐶 = 4, ¿Cuánto mide el segmento DE, redondeado
a la centésima más cercana?
A. 2,33
B. 2,67
C. 3,33
D. 3,67
Solución
Si llamamos 𝑥 al segmento DE, entonces CE es 𝑥 + 4.
Aplicando el teorema de Tales.
𝐴𝐸
𝐵𝐷
=
𝐸𝐶
𝐶𝐷
5
3
=
𝑥 + 4
4
5
3
(4) − 4 = 𝑥
𝑥 = 2,67
2. Si el radio AO mide 6, CO=4, EO=2 y la medida de los arcos 𝐴𝐵̂ , 𝐶𝐷̂ 𝑦 𝐸𝐹̂ es de
60° cada uno, entonces la diferencia entre el área de la región sombreada y la
no sombreada es de:
A.
2
3
𝜋
B.
1
3
𝜋
C. 0
D. 1𝜋

Solución
Sector AOB con r=6
𝐴 =
𝜋𝑟2
𝑛 𝑜
360 𝑜
=
𝜋 × (6)2
× 60 𝑜
360 𝑜
= 6𝜋
Sector COD con r=4
𝐴 =
𝜋𝑟2
𝑛 𝑜
360 𝑜
=
𝜋 × (4)2
× 60 𝑜
360 𝑜
=
8
3
𝜋
Sector EOF con r=2
𝐴 =
𝜋𝑟2
𝑛 𝑜
360 𝑜
=
𝜋 × (2)2
× 60 𝑜
360 𝑜
=
2
3
𝜋
Á𝑟𝑒𝑎 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴𝑂𝐵 + 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐶𝑂𝐷 + 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐸𝑂𝐹
= 6𝜋 +
8
3
𝜋 +
2
3
𝜋 =
28
3
𝜋
Área del semicírculo con r=6
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
=
𝜋 × (6)2
2
= 18𝜋
Á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 − Á𝑟𝑒𝑎 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎
= 18𝜋 −
28
3
𝜋 =
26
3
𝜋
𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎
=
28
3
𝜋 −
26
3
𝜋
=
2
3
𝜋

3. En la figura la medida del arco 𝐴𝐵̂ es 40°, entonces la medida del arco 𝐶𝐷̂ y el
∢𝐷𝐴𝐶 son respectivamente:
A. 100° y 50°
B. 120° y 60°
C. 70° y 35°
D. 140° y 70°
Solución
𝑚∢𝑃 =
𝑚𝐶𝐷̂ − 𝑚𝐴𝐵̂
2
15° =
𝑚𝐶𝐷̂ − 40°
2
30° = 𝑚𝐶𝐷̂ − 40°
30° + 40° = 𝑚𝐶𝐷̂
𝑚𝐶𝐷̂ = 70°
𝑚∢𝐷𝐴𝐶 =
𝑚𝐶𝐷̂
2
𝑚∢𝐷𝐴𝐶 =
70°
2
𝑚∢𝐷𝐴𝐶 = 35°

4. Los diámetros de dos cilindros circulares rectos concéntricos son 18 y 12 cm
respectivamente y la generatriz común es de 20 cm, entonces el volumen del
espacio que queda entre ambos cilindros es:
A. 720𝜋 𝑐𝑚3
B. 850𝜋 𝑐𝑚3
C. 900𝜋 𝑐𝑚3
D. 1200𝜋 𝑐𝑚3
Solución
r=6 cm
R=9 cm
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 = 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑉 = 𝜋𝑅2
ℎ − 𝜋𝑟2
ℎ
𝑉 = 𝜋(𝑅2
− 𝑟2)ℎ
𝑉 = 𝜋((9 𝑐𝑚)2
− (6 𝑐𝑚)2)(20 𝑐𝑚)
𝑉 = 𝜋(45𝑐𝑚2)(20 𝑐𝑚)
𝑉 = 900𝜋𝑐𝑚2
5. En el gráfico 𝐴𝐶̅̅̅̅ ∥ 𝑀𝑁̅̅̅̅̅ ∥ 𝑃𝑄̅̅̅̅, 𝐴𝑀 = 2, 𝑀𝑃 = 𝑥, 𝑃𝐵 = 2, 𝐴𝐶 = 14 𝑦 𝑃𝑄 = 4. Si las
unidades están en centímetros, el valor de “x” es de:
A. 6 cm
B. 5 cm
C. 4 cm
D. 3 cm

Solución
Si sumamos los elementos que hay desde A hasta B tendríamos 4+x.
Aplicando el teorema de Tales
𝑃𝐵
𝑃𝑄
=
𝐴𝐵
𝐴𝐶
2
4
=
4 + 𝑥
14
2
4
× 14 = 4 + 𝑥
7 − 4 = 𝑥
𝑥 = 3
6. Si en el triángulo rectángulo (ver figura) AB=6 y BH=3, entonces el valor de
BC es de:
A. 7,5
B. 9
C. 10
D. 12
Solución
Aplicando el teorema del triángulo rectángulo (cateto).
𝑐2
= 𝑎𝑛
62
= 𝑎(3)
36
3
= 𝑎
𝑎 = 12
𝐵𝐶 = 12

7. En la figura ABCD es un cuadrado, los triángulos ABM y BCP son equiláteros.
Si el área del cuadrado es de 1 u2
. ¿Cuál es la distancia de M a P?
A. 1
B. √2
C.
3
2
D. 2
Solución
Determinamos el lado de un cuadrado, que por ende serán los lados de los
triángulos equiláteros.
𝐴 = 𝑙2
1𝑢2
= 𝑙2
Extrayendo la raíz cuadrada a ambos lados.
𝑙 = 1 𝑢
Si observamos el triángulo BMP el ángulo en B es de 90° y así podemos aplicar
ℎ𝑖𝑝2
= 𝑐𝑜2
+ 𝑐𝑎2
𝑀𝑃2
= 𝐵𝑀2
+ 𝐵𝑃2
𝑀𝑃 = √12 + 12
𝑀𝑃 = √2

8. En la figura, el área del cuadrado ABCD es 4 u2
y E, F, G y H son puntos medios
de cada lado. Si los vértices A, B, C y D son centros de cada arco formado, ¿Cuál
es la medida de la diferencia del área sombreada y la no sombreada?
A. 4 −
3
4
𝜋
B.
3
4
𝜋
C. 4
D.
3
2
𝜋
Solución
Si cortamos y movemos podremos observar que el área de la región sombreada
es igual al área del cuadrado. 𝐴 𝑅𝑆 = 4 𝑢2
𝐴 = 𝑙2
4𝑢2
= 𝑙2
Extrayendo la raíz cuadrada a ambos lados.
𝑙 = 2 𝑢
Podremos decir que el lado equivale al diámetro, por lo tanto, el radio es uno
(r=1)
Determinemos el área de la región no sombreada.
𝐴 𝑅𝑁𝑆 =
3
4
(á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜) =
3
4
(𝜋𝑟2) =
3
4
(𝜋 × 12) =
3
4
𝜋
𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 4 −
3
4
𝜋

9. El cilindro de la figura esta hecho de dos círculos y un rectángulo de papel
enrollado. Si el área de cada uno de los círculos y del rectángulo es de 16𝜋. ¿Cuál
es el volumen del cilindro?
A. 64𝜋
B. 32𝜋
C. 16𝜋
D. 8𝜋
Solución
Si el área del círculo es:
𝐴 = 𝜋𝑟2
16𝜋 = 𝜋𝑟2
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
√
16𝜋
𝜋
= 𝑟
𝑟 = 4
Si el área del rectángulo es:
𝐴 = 𝑏ℎ = 2𝜋𝑟ℎ
16𝜋 = 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 2𝜋
8 = 𝑟ℎ 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
8
𝑟
= ℎ
ℎ =
8
4
ℎ = 2
Calculando el volumen del cilindro
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ = 𝜋(42)2
= 32𝜋

10. De acuerdo con las medidas de la figura y sabiendo que ∢𝐴𝐸𝐷 ≅ ∢𝐵𝐸𝐶, se
asegura que la medida en cm del segmento EB es:
A. 2√11
B.
25√11
18
C.
√11
2
D.
18√7
25
Solución
Aplicando el teorema de Tales
𝐴𝐷
𝐴𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐵
6
6√11
5
=
10
𝐸𝐵
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐸𝐵
𝐸𝐵 =
6√11
5
× 10
6
𝐸𝐵 = 2√11
11. Si en el triángulo rectángulo (ver figura) BC=20 y BH=4, entonces el valor de
AB es de:
A. 5
B. 4√5
C. 8
D. 16
Solución
Aplicando el teorema del triángulo rectángulo (cateto).

𝑐2
= 𝑎𝑛
𝑐 = √ 𝑎𝑛
𝑐 = √20 × 4
𝑐 = √5 × 4 × 4
𝑐 = √5 × 42
𝑐 = 4√5
𝐴𝐵 = 4√5
12. En la figura se muestra que AB es tangente a la circunferencia de centro O
en el punto B. Si la medida del ángulo BAO es de 30°, entonces la medida del
arco BD es de:
A. 30°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
Solución
Si AB es tangente entonces la medida del ángulo que forma en B al centro O es
de 90° y así podremos tener un triángulo que sabemos que la sumatoria de los
ángulos interiores es de 180°.
𝑚𝐵𝐷̂ = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑚𝐵𝐷̂ = 60°

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