Métodos numéricos, Serie de Taylor

1. Métodos Numéricos:
La serie de Taylor.
Alumno:
Daniela Segovia C.I.:24.160.718
Asignatura: Análisis numérico
Prof.: Domingo Méndez
Universidad Fermín Toro
Escuela de Mantenimiento Mecánico
Facultad de ingeniería
Cabudare, Edo. Lara

2. Métodos Numéricos
 Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se
obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos
problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos
(operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta
de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.).
 Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones
precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y
lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la
solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje.
 La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte,
de la facilidad de implementación del algoritmo y de las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de
cálculo (los computadores). En general, al emplear estos
instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.

3. Importancia de los métodos numéricos
 El estudio de los métodos numéricos es muy útil y por ende
importante para quien quiera que necesite herramientas para
resolver operaciones, las cuales se saben que pueden resultar
complicadas, y por más que se dominen los métodos tradicionales,
estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin embargo esto no
quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí
donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de
cierta manera.
 Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver
procedimientos matemáticos en: cálculos de derivadas,
integrares, ecuaciones diferenciales, operaciones con
matrices.

4. La Serie De Taylor
 En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones
mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de
polinomios como (𝑥 − 𝑎) 𝑛 llamados términos de la serie, dicha suma se
calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor
o punto a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre
el cual converja la serie.
 La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente
diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la
siguiente serie de potencias:
 Que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente
suma:

5. Definición de Serie de McLaurin
 Si una función f tiene derivadas de todos los ordenes en X = C, se
llama serie de Taylor de f (centrada) en C a la serie
 En caso de ser C = 0, la serie se denomina también de McLaurin.

6. Estrategias para hallar una serie de Taylor
 1. Derivar f(x) varias veces y evaluar las derivadas en C.
f(c), f´(c), f´´(c), f´´´(c), … , 𝑓 𝑛
𝑐 , …
 2. Usar esa frecuencia para formar los coeficientes de Taylor
𝑎 𝑛
=
𝑓 𝑛
(𝐶)
𝑛!
Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia
resultante
f(x) = f(c) + f´(c)(𝑥 − 𝑐)
𝑓´´(𝑐)
2!
(𝑥 − 𝑐)2
+ … +
𝑓 𝑛 (𝑐)
𝑛!
(𝑥 − 𝑐) 𝑛
+ …
 3. averiguar si, en ese intervalo de convergencia, la serie converge a
f(x) o no.