Problemas y conceptos complementarios

1. Problemas y conceptos
complementarios
Clase 1

2. Problemas y conceptos complementarios
• El producto vectorial es una operación entre vectores, en la cual
el resultado es un vector perpendicular a los vectores operados y
cuya magnitud se encuentra establecida por:
• 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Magnitud del producto vectorial de dos
vectores

3. Problemas y conceptos complementarios
• En donde 𝜃 es el Angulo formado por los dos vectores en el espacio.
• La dirección y el sentido del producto vectorial se definen de acuerdo
con la ley de la mano derecha: se extienden los dedos de la mano
derecha hacia el primer operando y luego se cierrabn hacia el segundo,
el pulgar de la mano queda dirigido en el sentido del producto vectorial
como se muestra en la siguiente figura.

4. Problemas y conceptos complementarios

5. Problemas y conceptos complementarios
• Esta ley, presupone, entonces, que el producto vectorial no
cumple la propiedad conmutativa, por lo menos en lo que a
dirección y sentido se refiere.
• Sin embargo la figura anterior cumple con la propiedad:
• 𝐴 × 𝐵 = −𝐵 × 𝐴 Anti conmutativa del producto vectorial

6. Problemas y conceptos complementarios
• Hay varias propiedades que se pueden deducir a partir de la
ecuación 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃 considerando casos especiales:
• El producto vectorial de un vector por si mismo es nulo
• 𝐴 × 𝐴 = 𝐴 𝐴 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

7. Problemas y conceptos complementarios
• La magnitud del producto vectorial de dos vectores
perpendiculares entre si es igual al producto de sus magnitudes.
• 𝑆𝑖 𝐴 ⊥ 𝐵 ⟹ 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
= 𝐴 𝐵
• El producto vectorial dos vectores paralelos entre si es nulo
• 𝑆𝑖 𝐴 ∥ 𝐵 ⟹ 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

8. Problemas y conceptos complementarios
• A partir de estas propiedades, se puede inferir que el producto
vectorial entre los vectores directores del sistema cartesiano es
nulo para dos vectores diferentes, y es igual a la unidad para el
caso del mismo vector, quedando por definir la dirección de
acuerdo a la mano derecha.

9. Problemas y conceptos complementarios
• 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑧 = 0

10. Problemas y conceptos complementarios
• 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑧 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝑥
• 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑦 = −𝑎 𝑥
• 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 = −𝑎 𝑦

11. Problemas y conceptos complementarios
• El producto vectorial, al igual que el producto escalar, cumple la
propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
• 𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + 𝐴 × 𝐶

12. Problemas y conceptos complementarios
• Ejemplo 1
• Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial en
coordenadas cartesianas.
• Calcule el producto vectorial 𝐴 × 𝐵 dados los vectores
• 𝐴 = 2𝑎 𝑥 − 3𝑎 𝑧 𝑦 𝐵 = 𝑎 𝑦 − 𝑎 𝑧

13. Problemas y conceptos complementarios
• Solucion
• El problema se puede resolver aplicando la propiedad distributiva:
• 𝐴 × 𝐵 = 2𝑎 𝑥 − 3𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑦 − 𝑎 𝑧
• Se aplica la propiedad distributiva
• 𝐴 × 𝐵 = 2𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 − 2𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 − 3𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑦 + 3𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑧

14. Problemas y conceptos complementarios
• Solucion
• Se anulan las componentes nulas y se obtiene:
• 𝐴 × 𝐵 = 3𝑎 𝑥 + 2𝑎 𝑦 + 2𝑎 𝑧
• Se puede obtener una ecuación para el producto vectorial a través de
las componentes rectangulares de los mismos a partir de la propiedad
distributiva:

15. Problemas y conceptos complementarios
• Solucion
• 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴 𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴 𝑧 𝑎 𝑧 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑏 + 𝐵𝑦 𝑏 𝑦 + 𝐵𝑧 𝑏 𝑧
• 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴 𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴 𝑧 𝑎 𝑧 × 𝐵𝑥 𝑏 + 𝐵𝑦 𝑏 𝑦 + 𝐵𝑧 𝑏 𝑧

16. Problemas y conceptos complementarios
• Solucion
• Aplicando la propiedad distributiva y eliminando los componentes
nulos queda:
• 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 + 𝐴 𝑥 𝐵𝑧 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑥 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑥 +
𝐴 𝑦 𝐵𝑧 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑥 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑥 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑦 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑦

17. Problemas y conceptos complementarios
• Solucion
• 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝑧 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑧 𝑎 𝑥 + 𝐴 𝑥 𝐵𝑧 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑥 𝑎 𝑦 + 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑥 𝑎 𝑧
• Producto vectorial en función de los componentes rectangulares
• Esta ecuación resulta un poco difícil de aprender, por lo que suele
abreviarse en una forma matricial usando la siguiente determinante:

18. Problemas y conceptos complementarios
• 𝐴 × 𝐵 =
𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧
𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
El cual arroja el mismo calculo

19. Problemas y conceptos complementarios
Ejemplo 2
Calculo del producto vectorial entre dos vectores a través del
determinante.
Calcule el producto vectorial de 𝐴 = 3,1, −2 𝑦 𝐵 = 1, −2, −1

20. Problemas y conceptos complementarios
Solución
𝐴 × 𝐵 =
𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧
3 1 −2
1 −2 −1
= −5𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑦 − 7𝑎 𝑧