DEDUCCION DE LA FORMULA DE LAGRANGE

1. Universidad Sim´on Bol´ıvar Introducci´on al MEF
7. Apendices
7.1. Deducci´on de las ecuaciones de Lagrange
Las ecuaciones de Lagrange son una formulaci´on de las leyes del movimiento de
un sistema material en funci´on de los conceptos de energ´ıa y trabajo.
Coordenadas generalizadas (qj) Son n par´ametros geom´etricos independientes
q1, . . . , qn que describen perfectamente la posici´on de cualquier punto de un
sistema material de n grados de libertad. En consecuencia, la posici´on y el
desplazamiento de un punto cualquiera del sistema dependen, en general, de
las n coordenadas generalizadas, i.e.:
xi = xi(q1(t), . . . , qn(t))
ui = ui(q1(t), . . . , qn(t))
Desplazamiento virtual (δq) Es un desplazamiento infinitesimal, instant´aneo e
imaginario de la en´esima coordenada generalizada de un sistema material
que respeta las limitaciones impuestas por los v´ınculos. As´ı el desplazamiento
virtual del punto i, se obtiene como:
δui =
∂ui
∂q1
δq1 + · · · +
∂ui
∂qn
δqn =
n
j=1
∂ui
∂qj
δqj
En base a la definici´on anterior podemos expresar la velocidad del punto i
como:
˙ui =
dui
dt
=
∂ui
∂q1
dq1
dt
+ · · · +
∂ui
∂qn
dqn
dt
=
n
j=1
∂ui
∂qj
˙qj
Trabajo virtual (δW) es el trabajo producido por las fuerzas que act´uan sobre un
sistema material cuando sobre ´este se impone un sistema de desplazamientos
virtuales.
δWfi
= (δui)T
fi
7.1.1. Deducci´on a partir de las leyes de Newton
El trabajo virtual realizado sobre una part´ıcula i del sistema material estudiado,
lo podemos escribir de la siguiente forma:
δWi = (δui)T
fi = (δui)T
mi¨ui
Euro Casanova, 2005 48

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y sumando para las p part´ıculas del sistema e introduciendo la expresi´on de δui
tenemos:
δW =
p
i=1
δWi =
p
i=1
(δui)T
fi =
p
i=1
(δui)T
mi¨ui
=
p
i=1
n
j=1
∂ui
∂qj
δqj
T
fi =
p
i=1
n
j=1
∂ui
∂qj
δqj
T
mi¨ui
=
n
j=1
δqj
p
i=1
∂ui
∂qj
T
fi =
n
j=1
δqj
p
i=1
∂ui
∂qj
T
mi¨ui
Definiendo la fuerza generalizada asociada a la coordenada qj como:
Qj =
p
i=1
∂ui
∂qj
T
fi
Se puede escribir la siguiente expresi´on:
δW =
n
j=1
δqjQj =
n
j=1
δqj
p
i=1
∂ui
∂qj
T
mi¨ui
La energ´ıa cin´etica del sistema tiene la siguiente expresi´on:
T =
p
i=1
1
2
mi ˙uT
i ˙ui
Derivando esta expresi´on parcialmente respecto a la coordenada qj se obtiene:
∂T
∂qj
=
p
i=1
mi ˙uT
i
∂ ˙ui
∂qj
Por otro lado, derivando la energ´ıa cin´etica respecto a la coordenada ˙qj se
obtiene:
∂T
∂ ˙qj
=
p
i=1
mi ˙uT
i
∂ ˙ui
∂ ˙qj
=
p
i=1
mi ˙uT
i
∂ui
∂qj
donde la ´ultima igualdad se verifica gracias a la ley de cancelaci´on de los puntos
δ ˙ui
δ ˙qk
= δui
δqk
.
Euro Casanova, 2005 49

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S´ı se deriva la ´ultima expresi´on respecto al tiempo se obtiene:
d
dt
∂T
∂ ˙qj
=
p
i=1
mi
d ˙uT
i
dt
∂ui
∂qj
+ ˙uT
i
d
dt
∂ui
∂qj
=
p
i=1
mi ¨uT
i
∂ui
∂qj
+ ˙uT
i
∂
∂qj
dui
dt
=
p
i=1
mi¨uT
i
∂ui
∂qj
+
p
i=1
mi ˙uT
i
∂ ˙ui
∂qj
Ahora, reconociendo que el t´ermino de la expresi´on del trabajo virtual realizado
por las fuerzas inerciales se puede escribir en funci´on de las derivadas de T, i.e.:
δW =
n
j=1
δqj
p
i=1
mi¨uT
i
∂ui
∂qj
=
n
j=1
δqj
d
dt
∂T
∂ ˙qj
−
∂T
∂qj
se obtiene entonces:
δW =
n
j
δqjQj =
n
j=1
δqj
d
dt
∂T
∂ ˙qj
−
∂T
∂qj
Puesto que los desplazamientos virtuales de las coordenadas generalizadas (δqj)
son independientes entre s´ı, entonces existen n ecuaciones de la forma:
Qj =
d
dt
∂T
∂ ˙qj
−
∂T
∂qj
En cuanto a las fuerzas generalizadas, escribiendo de nuevo la expresi´on para
δW obtengo:
δW =
n
j=1
δqjQj =
n
j=1
δqj
p
i=1
∂uT
i
∂qj
fi =
p
i=1
(δui)T
fi
Las fuerzas que act´uan sobre el sistema las dividimos en:
Qj = Q
C(E)
j + Q
C(I)
j + QNCvisc.
j + QNC
j
En el caso de las fuerzas conservativas externas Q
C(E)
j , tenemos:
Q
C(E)
j =
∂uT
i
∂qj
f
C(E)
i =
∂
∂qj
uT
i f
C(E)
i =
∂
∂qj
WC(E)
Euro Casanova, 2005 50

4. Universidad Sim´on Bol´ıvar Introducci´on al MEF
En el caso de las fuerzas generalizadas conservativas internas Q
C(I)
j , ´estas son
producidas por fuerzas que pueden ser expresadas como el gradiente de una funci´on
escalar, i.e. fC(I)
= − U, donde U es la energ´ıa potencial, as´ı tenemos:
Q
C(I)
j =
∂uT
i
∂qj
f
C(I)
i =
∂uT
i
∂qj
(− U)
= −
∂uT
i
∂qj
∂U
∂ui
= −
∂U
∂qj
En el caso de la las fuerzas no conservativas producidas por la disipaci´on viscosa
lineal QNCvisc.
j :
QNCvisc.
j = −
∂D
∂ ˙qj
donde D es la funci´on de disipaci´on.
Finalmente, definiendo la energ´ıa potencial total como:
Π = U − WC(E)
las expresiones que se utilizan y que se conocen como las Ecuaciones de Lagrange
tienen la siguiente forma:
QNC
j =
d
dt
∂T
∂ ˙qj
−
∂T
∂qj
+
∂Π
∂qj
+
∂D
∂ ˙qj
j = 1, . . . , n
Notese que para el caso est´atico (i.e. T = D = 0) las Ecuaciones de Lagrange
se reducen a:
∂Π
∂qj
= 0 j = 1, . . . , n
de donde es claro que las posiciones de equilibrio est´atico corresponden a las
configuraciones donde la energ´ıa potencial total (Π) es m´axima o m´ınima. As´ı,
diferentes tipos de equilibrio est´aticos pueden ser definidos dependiendo de s´ı la
funci´on energ´ıa potencial total tiene un m´aximo (equilibrio inestable), un m´ınimo
(equilibrio estable), un punto de inflexi´on (equilibrio inestable) o es constante
(equilibrio indiferente).
Euro Casanova, 2005 51