Análisis matricial método rigidez
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Método matricial
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ANÁLISIS MATRICIAL
MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTA
Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo
matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los
elementos estructurales en los nudos.
• Se desarrollo con base en uno de los principios del equilibrio:
La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento
• Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema.
• La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o
restringidos)
• La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por :
[ F ] = [ K ] { U }
[ K ] = Matriz de rigidez
[ F ] =Vector de fuerzas
{ U } = Vector de desplazamiento
Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la
dirección de la fuerza aplicada.
1. SISTEMA DE COORDENADAS
Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2
sistemas:
1.1 Sistema de coordenadas globales
Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se
usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.](https://image.slidesharecdn.com/anlisismatricial-151029013535-lva1-app6891/85/Analisis-matricial-1-320.jpg)
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1.2 Sistema de coordenadas locales
Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias,
cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de
posición: dirección θ y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y
globales.
Øx, Øy, Øz: Cosenos directores
2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ
[ F ] = [ K ] { U } { U } = Vector de desplazamiento ቂ
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- 1. 1 ANÁLISIS MATRICIAL MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTA Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos. • Se desarrollo con base en uno de los principios del equilibrio: La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento • Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema. • La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o restringidos) • La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por : [ F ] = [ K ] { U } [ K ] = Matriz de rigidez [ F ] =Vector de fuerzas { U } = Vector de desplazamiento Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada. 1. SISTEMA DE COORDENADAS Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2 sistemas: 1.1 Sistema de coordenadas globales Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.
- 2. 2 1.2 Sistema de coordenadas locales Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de posición: dirección θ y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y globales. Øx, Øy, Øz: Cosenos directores 2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ [ F ] = [ K ] { U } { U } = Vector de desplazamiento ቂ ݊ܨ ܽܨ ቃ ൌ ቂ ݊݊ܭ ܽ݊ܭ ݊ܽܭ ܽܽܭ ቃ ቀ ܷ݊ ܷܽ ቁ ሼܷ݊ሽ ൌ ܸ݁ܿݎݐ ݀݁ ݀݁݊݁ݐ݊݁݅݉ܽݖ݈ܽݏ ݈ݏ ݊ݏ݀ݑ ݈ܾ݅ݏ݁ݎ Ø Ø Ø
- 3. 3 ሼ݊ܨሽ ൌ ܸ݁ܿݎݐ ݀݁ ܿܽܽ݃ݎ ݈ܽܽ݀ܽܿ݅ ሼܽܨሽ ൌ ܴ݁ܽܿܿ݅ݏ݁݊ ݀݁ ݈ݏ ܽݏݕ ሼܷܽሽ ൌ ܸ݁ܿݎݐ ݀݁ ݀݁ݐ݊݁݅݉ܽݖ݈ܽݏ ݀݁ ݈ݏ ݊ݏ݀ݑ ,ݏ݀݅݃݊݅ݎݐݏ݁ݎ ݃݁݊݁݁ݐ݈݊݁݉ܽݎ ݅݃ݏ݈݁ܽݑ ܽ ܿ݁ݎ ݃ݏ݀ܽݎ ݀݁ ݈ܾ݅݁݀ܽݐݎ ݏݐ݅ݎܿݏ݁ݎ Expandiendo: [ Fn ] = [ Knn ] { Un } + [ Kna ]{ Ua } (1) { Fa } = [ Kan ]{ Un } + [ Kaa ]{ Ua } (2) De (1) despejo { Un } [ Kun ]{ Un } = { Fn } – [ Kna ]{ Ua } { Un } = [ Knn ]-1 { Fn } – [ Knn ]-1 [ Kna ]{ Ua } (3) Reemplazo en (2) { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1 { Fn } – [ Kan ][ Knn ]-1 [ Kna ]{ Ua } + [ Kaa ]{ Ua } Factorizo : { Ua } { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1 { Fn } – [[ Kan ][ Knn ]-1 [ Kna ]+[ Kaa ]]{ Ua } (4) Para desplazamientos iguales a cero en los apoyos: { Un } = [ Knn ]-1 { Fn } { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1 { Fn } - Se supone el siguiente elemento en coordenadas locales: i, j = nudos
- 4. 4 - Fuerzas de extremo: - Grados de libertad del elemento : Existen 3 grados de libertad libres por nudo en el caso plano. 3. MÉTODO DE LA RIGIDEZ DE UNA BARRA PRISMÁTICA I= nudo inicial J = nudo final Ø Ø
- 5. 5 ܷ ൌ ܲܮ ܧܣ U = desplazamiento axial A = sección transversal L = longitud E = módulo de elasticidad ܲ ൌ ܧܣ ܮ ܷ ܲ ൌ ܭ ܷ Fuerza en el resorte ܭ ൌ ா Rigidez axial, fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario U=1 La matriz de rigidez en coordenadas locales se arma de la siguiente manera: Se suelta un extremo, y se le da un desplazamiento unitario Uj = 1 ݆ݔܨ ൌ ܧܣ ܮ ܷ݆ݔ ݆݆ܭ ൌ ܧܣ ܮ Kij = Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en j Uxj = 1. Se suelta el nudo i :
- 6. 6 ݅ݔܨ ൌ െ ܧܣ ܮ ܷ݅ݔ ݅݅ܭ ൌ െ ܧܣ ܮ Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en i. ሾ ܭ ሿ ൌ ൦ ܧܣ ܮ െܧܣ ܮ െܧܣ ܮ ܧܣ ܮ ൪ ൌ ܧܣ ܮ ቂ 1 െ1 െ1 1 ቃ Esta matriz se aplica en armaduras o cerchas espaciales. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERCHA PLANA Grados de libertad globales Fuerzas locales En coordenadas locales: { FL } = [ K ]L { UL } Ø Ø
- 7. 7 ൜ ܮ݅ܨ ܮ݆ܨ ൠ ൌ ൦ ܧܣ ܮ െ ܧܣ ܮ െ ܧܣ ܮ ܧܣ ܮ ൪ ൜ ܷ݅ܮ ܷ݆ܮ ൠ ൞ ܮ݅ݔܨ ܮ݅ݕܨ ܮ݆ݔܨ ܮ݆ݕܨ ൢ ൌ ா 1 0 0 0 െ1 0 0 0 െ1 0 0 0 1 0 0 0 ൞ ܷܮ݅ݔ ܷܮ݅ݕ ܷܮ݆ݔ ܷܮ݆ݕ ൢ Se proyectan las leyes globales sobre los ejes locales en el nudo i y j. UxiL = Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø UyiL = - Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø C = Cos Ø UxjL = Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø S = Sen Ø UyjL = - Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø Reemplazando: en { FL } = [ K ]L { UL } ൞ ܮ݅ݔܨ ܮ݅ݕܨ ܮ݆ݔܨ ܮ݆ݕܨ ൢ ൌ ܧܣ ܮ ܥ ܵ െܵ ܥ 0 0 0 0 0 0 0 0 ܥ ܵ െܵ ܥ ൞ ܷ݅ݔ ܷ݅ݕ ܷ݆ݔ ܷ݆ݕ ൢ Para las fuerzas se tiene: { FL } = [ T ]{ F } [ T ] = Matriz de transformación { F } = [ T ]-1 { FL } Para matrices simétricas y ortogonales Ø Ø
- 8. 8 [ T ]-1 = [ T ]T { F } = [ T ]T { FL } Para los desplazamientos { UL } = [ T ]{ U } { U } = [ T ]-1 { UL } { U } = [ T ]T { UL } Reemplazando en { F } = [ T ]T { FL } { FL } = [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T [ K ]L[ T ]{ U } [ K ] = [ T ]T [ K ]L[ T ] Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento. Uxi Uyi Uxj Uyj ሾܭሿ ൌ ா ൦ ܥଶ ܵܥ ܵܥ ܵଶ െܥଶ െܵܥ െܵܥ െܵଶ െܥଶ െܵܥ െܵܥ െܵଶ ܥଶ ܵܥ ܵܥ ܵଶ ൪ ൞ ܷ݅ݔ ܷ݅ݕ ܷ݆ݔ ܷ݆ݕ ൢ [ K ] = matriz simétrica C2 = Cos2 Ø S2 = Sen2 Ø CS = Cos Ø Sen Ø PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Equilibrio: La matriz relaciona desplazamientos de extremo de un elemento con unas fuerzas de extremo en equilibrio. Cualquier desplazamiento ocasiona un conjunto de fuerzas en equilibrio.
- 9. 9 Øi Øj ە ۖ ۔ ۖ ۓ ݅ݔܨ ݅ݕܨ ݅ܯ ݆ݔܨ ݆ݕܨ ݆ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 െ 12ܫܧ ܮଷ 6ܫܧ ܮଶ 0 12ܫܧ ܮଷ 6ܫܧ ܮଶ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې Fuerzas de Extremo Σݕܨ ൌ ݅ݕܨ ݆ݕܨ ൌ 0 Σܯ ൌ ݅ܯ ݆ܯ ൌ 0 Σݔܨ ൌ ݅ݔܨ ݆ݔܨ ൌ 0 Movimiento de un Cuerpo Rígido Si a un punto se le genera un desplazamiento correspondiente a un cuerpo rígido, no se desarrollaran fuerzas sobre los extremos de los elementos. No hay cambio de longitud del elemento. Uxi = Uxj Θi = θj = (Uyj-Uyi)/L Reemplazando en la columna respectiva ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ݅ݔ ܷ݅ݕ ߠ݅ ܷ݆ݔ ܷ݆ݕ ߠ݆ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ ܷ݅ݔ ܷ݅ݕ ሺܷ݆ݕ െ ܷ݅ݕሻ ܮ ܷ݆ݔ ܷ݆ݕ ሺܷ݆ݕ െ ܷ݅ݕሻ ܮ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې Reemplazando en la matriz completa del elemento y despejando:
- 10. 10 Fyi = Fyj = 0 ; Fxi = Fxj = 0 ; Mi = Mj = 0 Singularidad La matriz de rigidez de un elemento es singular, osea que no tiene inversa, es decir que es autoequilibrante para cualquier conjunto de desplazamientos, matemáticamente significa que las columnas 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6 son linealmente dependientes, y esta es la base de la definición de una matriz singular. En este sistema hay 3 reacciones independientes y las otras 3, son el resultado de una combinación lineal. La matriz de rigidez del sistema estructural estará formada por matrices singulares de los elementos, pero para solucionar el sistema los movimientos del sistema deben de estar restringidos por soportes externos. Simetría Consecuencia del teorema reciproco de Maxwell, también demostrable por el teorema de Castigliano, que indica que los términos fuera de la diagonal son iguales y por lo tanto simétricos. CARGAS EQUIVALENTES EN LAS JUNTAS PARA CARGAS SOBRE EL ELEMENTO { F } = [ K ] { U } { F } = Vector de carga que debe generar el mismo desplazamiento { U } que las cargas reales. Caso 1 : Cargas reales
- 11. 11 Caso 2 : Cargas reales + conjunto de cargas restrictivas para impedir rotación y traslación de juntas. La suma de 2 y 3: es estáticamente igual al sistema real Caso 3: Cargas equivalentes en las juntas. Para cancelar cargas restrictivas. De magnitud igual pero sentido opuesto. Producen los mismos desplazamientos que las cargas reales.
- 12. 12 Las cargas equivalentes se calculan a partir de las acciones de extremo fijo. Sobre los extremos de los elementos (F.E.A.), no pueden desplazarse ni girar (empotrado) El equilibrio en el nudo será: െ ∑ ሼF. E. A. ሽ ሼFሽ୰ୣୱ୲୰୧୬୧ୢ୭ ൌ ሼ0ሽ ሼF. E. A. ሽ ൌ Fixed End action Se tiene: ሼFሽ୰ୣୱ୲୰୧୬୧ୢ୭ = െሼFሽୣ୯୳୧୴ୟ୪ୣ୬୲ୣ ሼFሽୣ୯୳୧୴ୟ୪ୣ୬୲ୣ ൌ െ ∑ሼ.ܨ .ܧ .ܣ ሽ Las cargas para cualquier análisis sobre las juntas: ሼܨሽ ൌ ሼܨሽௗ௦ െ ∑ሼ.ܨ .ܧ .ܣ ሽ ሼܨሽ: ݂ݏܽݖݎ݁ݑ ݏ݈݁ܽݐݐ ሼܨሽௗ௦ ݂ݏܽݖݎ݁ݑ ݁ݎܾݏ ݈ݏ ݊ݏ݀ െ ∑ሼ.ܨ .ܧ .ܣ ሽ: Fuerzas equivalentes en los nodos debido a las cargas sobre el elemento, considerando el elemento empotrado en ambos extremos MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BAJO FLEXIÓN Y CORTANTE Ocurre un desplazamiento U y un giro θ en un extremo, las fuerzas de extremo producido por el desplazamiento serán: Ø Ø
- 13. 13 U = desplazamiento extremo Θ = Rotación en un extremo Del método de la viga conjugada y haciendo un desplazamiento unitario Uy = 1 Haciendo un giro unitario θ = 1 en ambos extremos Ensamblando la matriz de rigidez. 3 Ui θi Uj θj ሾܭሿ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ 12ܫܧ ܮଷ 6ܫܧ ܮଶ 6ܫܧ ܮଶ 4ܫܧ ܮ െ 12ܫܧ ܮଷ 6ܫܧ ܮଶ െ 6ܫܧ ܮଶ 2ܫܧ ܮ െ 12ܫܧ ܮଷ െ 6ܫܧ ܮଶ 6ܫܧ ܮଶ 2ܫܧ ܮ 12ܫܧ ܮଷ െ 6ܫܧ ܮଶ 6ܫܧ ܮଶ 4ܫܧ ܮ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې ൞ ܷ݅ݔ ܷ݅ݕ ܷ݆ݔ ܷ݆ݕ ൢ Problema: Usando el método de la rigidez directa y despreciando las deformaciones axiales, halle: A) Reacciones y diagramas de V y M B) Rotaciones en el punto B ³ ³ ² ² ² ² ³ ³ ² ² Øi Øi ² ²
- 14. 14 f´c = 21Mpa (NSR-10) Ec ൌ 4700√21 ൌ 21540ܽܲܯ ܫ ൌ ,ଶହכଷହయ ଵଶ ൌ 8.93201ݔିସ ݉ସ Los grados de libertad del elemento Ua θa Ub θb ൞ ܴܽ ܽܯ ܴܾ െ 50 20 ൢ ൌ 1068.8 3206.4 3206.4 1285.6 1068.8 3206.4 െ3206.4 6412.8 1068.8 െ3206.4 3206.4 6412.8 1068.8 െ3206.4 െ3206.4 1285.6 ൞ ܷܽ ߠܽ ܷܾ ߠܾ ൢ 12ܫܧ ܮଷ ൌ 1201ݔ239.8ݔ04512ݔିସ 6ଷ ൌ 1068.8 ܰܭ ݉ ൌ 1069 ܰܯ ݉ 6ܫܧ ܮଷ ൌ 601ݔ239.8ݔ04512ݔିସ 6ଷ ൌ 3206.4 ܰܭ ݉ ൌ 3206 ܰܯ ݉ 4ܫܧ ܮ ൌ 12825.64 ܰܭ ݉ 4ܫܧ ܮ ൌ 6412.82 ܰܭ ݉ Se eliminaron los grados de libertad restringidos. Ua = θa = Ub = 0 { 20 } = [ 12825.6 ]{ θb } Θb = 1,56x10-3 rad/s T T
- 15. 15 Reemplazando en { Ra } = [ 3206,4 ]{ 1,56x10-3 } Ra = 5,0 KN { Ma } = [ 6412,8 ]{ 1,56x10-3 } Ra = 9,87 KN m { Rb-50 } = [ -3206.4 ]{ 1,56x10-3 } Rb = 45,0 KN Problema: Resolver la siguiente viga. Ec = 21540 MPa I =8,93x10-4 m4 EI = 19,24 MN/m Θa = θb = θc = Ua = Uc = 0 T T
- 16. 16 Se parte la viga en 2 elementos AB y BC { F } = [ T ]T [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T [ K ] { T } { U } [ K ] = [ T ]T [ K ]L [ T ] Las matrices de rigidez de cada elemento quedan: Ua θa Ub θb ൞ ܴܽݕ ܽܯ ܴܾݕ ܾܯ ൢ ൌ 8.55 12.83 12.83 25.65 െ8.55 12.83 12.83 12.83 െ8.55 െ12.83 12.83 12.83 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ൞ ܷܽ ߠܽ ܷܾ ߠܾ ൢ [ MN/m ] Ub θb Uc θc Rb = -100 ൞ ܴܾݕ ܾܯ ܴܿݕ ܿܯ ൢ ൌ 8.55 12.83 12.83 25.65 െ8.55 12.83 12.83 12.83 െ8.55 െ12.83 12.83 12.83 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ൞ ܷܾ ߠܾ ܷܿ ߠܿ ൢ Mb = 0 Ensamblando las 2 matrices, y eliminando los grados de libertad restringidos: Ua, θa, Uc, θc = 0. El sistema queda de 2X2, correspondiente a los grados de libertad libres. Ub θb ቄ ܴܾݕ ܾܯ ቅ ൌ ቂ 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ቃቄ ܷܾ ߠܾ ቅ Rb = -100 Ub θb Mb = 0 ቄ ܴܾݕ ܾܯ ቅ ൌ ቂ 8.55 12.83 12.83 25.65 ቃቄ ܷܾ ߠܾ ቅ
- 17. 17 Ub θb ቄ െ100 0 ቅ ൌ ቂ 17.1 0 0 51.3 ቃ ቄ ܷܾ ߠܾ ቅ -100 = 17,1 Ub Ub = -5,81x10-3 m 0 = 51,3 θb θb = 0 Se despejan las reacciones de la matriz de cada elemento. Elemento AB ൞ ܴܽݕ ܽܯ െ100 0 ൢ ൌ 8.55 12.83 12.83 25.65 െ8.55 12.83 12.83 12.83 െ8.55 െ12.83 12.83 12.83 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ൞ 0 0 െ5.8501ݔିଷ 0 ൢ Ray = -8,55x10-6 * -5,85x10-3 = 50 KN Ma = 12,83 * -5,85x10-3 = 75 KN m Como la viga y las cargas son simétricas Ray = Rcy = 50 KN = P/2 Ma = Mc = 75 KN m = PL/8 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO PRISMÁTICO BAJO CARGA AXIAL, FLEXIÓN Y CORTANTE Fuerzas Matriz aplicable a cualquier elemento horizontal de pórtico plano (vigas).
- 18. 18 ە ۖ ۔ ۖ ۓ ݅ݔܨ ݅ݕܨ ݅ܯ ݆ݔܨ ݆ݕܨ ݆ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ ܧܣ ܮ 0 0 0 12ܫܧ ܮଷ 6ܫܧ ܮଶ 0 6ܫܧ ܮଶ 4ܫܧ ܮ െ ܧܣ ܮ 0 0 0 െ 12ܫܧ ܮଷ 6ܫܧ ܮଶ 0 െ 6ܫܧ ܮଶ 2ܫܧ ܮ െ ܧܣ ܮ 0 0 0 െ 12ܫܧ ܮଷ െ 6ܫܧ ܮଶ 0 6ܫܧ ܮଶ 2ܫܧ ܮ ܧܣ ܮ 0 0 0 12ܫܧ ܮଷ െ 6ܫܧ ܮଶ 0 െ 6ܫܧ ܮଶ 4ܫܧ ܮ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ݅ݔ ܷ݅ݕ ݅ܯ ܷ݆ݔ ܷ݆ݕ ݆ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA COLUMNA Para resolver pórticos ortogonales, se transforman las coordenadas, y usando el sistema global, se debe usar la siguiente matriz. ² ² ³ ³ ² ² ³ ³ Ø=1 ² ² Ø=1 ² ²
- 19. 19 ܷ݅ݔ ܷ݅ݕ ߠ݅ ܷ݆ݔ ܷ݆ݕ ߠ݆ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ݅ݔܨ ݅ݕܨ ݅ܯ ݆ݔܨ ݆ݕܨ ݆ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ 12ܫܧ ܮଷ 0 െ 6ܫܧ ܮଶ 0 ܧܣ ܮ 0 െ 6ܫܧ ܮଶ 0 4ܫܧ ܮ െ 12ܫܧ ܮଷ 0 െ 6ܫܧ ܮଶ 0 െ ܧܣ ܮ 0 6ܫܧ ܮଶ 0 2ܫܧ ܮ െ 12ܫܧ ܮଷ 0 6ܫܧ ܮଶ 0 െ ܧܣ ܮ 0 െ 6ܫܧ ܮଶ 0 2ܫܧ ܮ 12ܫܧ ܮଷ 0 6ܫܧ ܮଶ 0 ܧܣ ܮ 0 6ܫܧ ܮଶ 0 4ܫܧ ܮ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ݅ݔ ܷ݅ݕ ߠ݅ ܷ݆ݔ ܷ݆ݕ ߠ݆ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Problema: resuelva el siguiente pórtico con f’c = 21 MPa , vigas 30x40, columnas 40x40 Ec ൌ 4700√f′c NSR-10 Ec = 21540 mPa 1. Se enumeran los nudos y elementos iniciando por el nudo libre : Nodos : Elementos
- 20. 20 2. Fuerzas de extremo ሼ.ܨ .ܧ .ܣ ሽ fijo ܯଵିଶ ா ൌ ௪כమ ଵଶ ൌ ହכమ ଵଶ ൌ 150 ݇݊ כ ݉ ൌ െܯଶିଵ ா (+) ܨ௬ଵିଶ ா ൌ ௪כ ଶ ൌ ହכ ଶ ൌ 150 ݇݊ ൌ ܨ௬ଶିଵ ா (+) ܯଷିଵ ா ൌ ௪כమ ଵଶ ൌ ଵכଷమ ଵଶ ൌ 25 ݇݊ כ ݉ ൌ െܯଵିଷ ா ܨ௬ଷିଵ ா ൌ ௪כ ଶ ൌ `ଵכଷ ଶ ൌ െ15 ݇݊ ൌ ܨଵିଷ ா 3. Matriz de rigidez Ec ൌ 4700√f′c NSR െ 09 ൌ 21540MPa 3.1 Viga A = 0,3 x 0,4 = 0,12 m AE = 2584,8 MN ܫ ൌ .ଷ ௫ .ସయ ଵଶ ൌ 1.601ݔିଷ ݉ସ EI = 34,46 MN m2 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 1ݔܨ 1ݕܨ 1ܯ 2ݔܨ 2ݕܨ 2ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 430.8 0 0 0 1.915 5.74 0 5.74 22.97 െ430.8 0 0 0 െ1.915 5.74 0 െ5.74 11.49 െ430.8 0 0 0 െ1.915 െ5.74 0 5.74 11.49 430.8 0 0 0 1.915 െ5.74 0 െ5.74 22.97 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 150 150 0 150 െ150ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 3.2 Columna ܷ3ݔ ܷ3ݕ ߠ3 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 3ݔܨ 3ݕܨ 3ܯ 1ݔܨ 1ݕܨ 1ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 20.42 0 െ30.63 0 1148.8 0 െ30.63 0 61.27 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 െ20.42 0 30.63 0 െ1148.8 0 െ30.63 0 െ30.63 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ െ15 0 7.5 െ15 0 7.5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 A = 0,4x0,4 = 0,16 m2 AE = 34464 MN 1 2
- 21. 21 ܫ ൌ .ସర ଵଶ ൌ 2.13301ݔିଷ ݉ସ EI = 45,95 MN m2 3.3 Columna ܷ4ݔ ܷ4ݕ ߠ4 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 4ݔܨ 4ݕܨ 4ܯ 2ݔܨ 2ݕܨ 2ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 20.42 0 െ30.63 0 1148.8 0 െ30.63 0 61.27 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 െ20.42 0 30.63 0 െ1148.8 0 െ30.63 0 െ30.63 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 4. Matriz de rigidez del sistema Los grados de libertad libres de la estructura son: Los grados de libertad restringidos son: Ux3 = Uy3 = Ux4 = θ3 = θ4 = 0 Ensamblando la matriz de los grados de libertad libres 3 Θ1 Θ2
- 22. 22 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 15 െ150 െ142.5 15 െ150 150 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 451.22 0 30.63 0 1150.72 5.74 30.63 5.74 84.24 െ430.8 0 0 0 െ1.915 5.74 0 െ5.74 11.49 െ430.8 0 0 0 െ1.915 െ5.74 0 5.74 11.49 451.22 0 30.63 0 1150.72 െ5.74 30.63 െ5.74 84.24ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 Las fuerzas de extremo en cada elemento representan las reacciones, son iguales a las fuerzas internas en cada uno de los bordes. Despejando { U } { F } = [ K ]{ U } [ K ]-1 { F } = { U } ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2݆ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 6.73301ݔିସ െ1.29101ݔିସ െ2.19501ݔିଷ 5.14301ݔିସ െ1.32101ݔିସ 1.89301ݔିଷ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Viga Reemplazando los valores de desplazamiento ە ۖ ۔ ۖ ۓ 1ݔܨ 1ݕܨ 1ܯ 2ݔܨ 2ݕܨ 2ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 430.8 0 0 0 1.915 5.74 0 5.74 22.97 െ430.8 0 0 0 െ1.915 5.74 0 െ5.74 11.49 െ430.8 0 0 0 െ1.915 െ5.74 0 5.74 11.49 430.8 0 0 0 1.915 െ5.74 0 െ5.74 22.97 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖۖ ۔ ۖۖ ۓ 6.73301ݔെ4 െ1.29101ݔെ4 െ2.19501ݔെ3 5.14301ݔെ4 െ1.32101ݔെ4 1.89301ݔെ3 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 150 150 0 150 െ150ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 x103 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 1ݔܨ 1ݕܨ 1ܯ 2ݔܨ 2ݕܨ 2ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 68.48 148.27 121.35 െ68.48 151.73 െ131.72ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Se despejan las fuerzas para las 2 columnas, reemplazo y dan los momentos Columna 2 1
- 23. 23 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 3ݔܨ 3ݕܨ 3ܯ 1ݔܨ 1ݕܨ 1ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 6.73301ݔିସ െ1.29101ݔିସ െ2.19501ݔିଷۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ െ15 0 7.5 െ15 0 7.5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 3ݔܨ 3ݕܨ 3ܯ 1ݔܨ 1ݕܨ 1ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 38.48 148.27 െ39.11 െ68.48 െ148.31 െ121.36ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Columna ە ۖ ۔ ۖ ۓ 4ݔܨ 4ݕܨ 4ܯ 2ݔܨ 2ݕܨ 2ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 5.14301ݔିସ െ1.32101ݔିସ 1.89301ݔିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 4ݔܨ 4ݕܨ 4ܯ 2ݔܨ 2ݕܨ 2ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ െ68.48 151.76 73.74 68.48 െ151.73 131.72 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Fuerzas de extremo en cada elemento 3
- 24. 24 Diagramas de Fuerzas internas.
- 25. 25 Problema: Resolver el siguiente portico plano. F´c = 21 MPa, vigas de 25x35cm, columnas de 30x40cm HEA300
- 26. 26 EA = 200 GPa A = 0,0113 m2 Ixx = 1,826x10-4 m4 Iyy = 6,31x10-5 m4 EI = 36,52 MN m2 AE = 2260 MN Nota : no despreciar los efectos axiales 1. Propiedades geométricas Viga: 25x35 cm A = 0,25x0,35 = 0,0875 m2 ܫ ൌ 0.2553.0ݔଷ 12 ൌ 8.93201ݔିସ ݉ସ Ec ൌ 4700√f′c NSR െ 09 ൌ 21540MPa AE = 1884,75 MN EI = 19,24 MN m2 Columna: 30x40 cm A = 0,3x0,4 = 0,12 m2 ܫ ൌ 0.34.0ݔଷ 12 ൌ 1.601ݔିଷ ݉ସ AE = 2584,8 MN EI = 34,46 MN m2 Se numeran los elementos y los nudos y se determinan los grados de libertad libres GL libres = 7 Tamaño de la matriz 7x7
- 27. 27 Las reacciones de empotramiento ܨ௬ସିଵ ா ൌ ௪כ ଶ ൌ 120 ܰܭ ൌ ܨ௬ଵିସ ா ܯସିଵ ா ൌ ௪כమ ଵଶ ൌ 120 ܰܭ כ ݉ ൌ െܯଵିସ ா ܨ௬ଵିଶ ா ൌ 60 ܰܭ ൌ ܨଶିଵ ா ܯଵିଶ ா ൌ 30 ܰܭ כ ݉ ൌ െܯଶିଵ ா ܨ௫ଵିହ ா ൌ െ40 ܰܭ ൌ ܨ௫ହିଵ ா ܯହିଵ ா ൌ כ ଼ ൌ ଼כଷ ଼ ൌ 30 ܰܭ כ ݉ ൌ െܯଵିହ ா Las ecuaciones individuales para cada elemento. Viga ܷ4ݔ ൌ 0 ܷ4ݕ ൌ 0 ߠ4 ൌ 0 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 4ݔܨ െ 1 4ݕܨ െ 1 4ܯ െ 1 1ݔܨ െ 4 1ݕܨ െ 4 1ܯ െ 4 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 314.13 0 0 0 1.069 3.21 0 3.21 12.83 െ314.13 0 0 0 െ1.069 3.21 0 െ3.21 6.41 െ314.13 0 0 0 െ1.069 െ3.21 0 3.21 6.41 314.13 0 0 0 1.069 െ3.21 0 െ3.21 12.83 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 120 120 0 120 െ120ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 Viga ? ? Θ2 Θ1 3 1 Θ2
- 28. 28 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 1ݔܨ െ 2 1ݕܨ െ 2 1ܯ െ 2 2ݔܨ െ 1 2ݕܨ െ 1 2ܯ െ 1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 628.25 0 0 0 8.55 12.83 0 12.83 25.65 െ628.25 0 0 0 െ8.55 12.83 0 െ12.83 12.83 െ628.25 0 0 0 െ8.55 െ12.83 0 12.83 12.83 628.25 0 0 0 8.55 െ12.83 0 െ12.83 25.65 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 60 30 0 60 െ30ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 Columna ܷ3ݔ ܷ3ݕ ߠ3 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 3ݔܨ െ 2 3ݕܨ െ 2 3ܯ െ 2 2ݔܨ െ 3 2ݕܨ െ 3 2ܯ െ 3 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 0 െ13.7 0 0 0 0 0 36.52 െ6.85 0 െ13.7 0 െ565 0 13.7 0 18.26 0 0 13.7 0 0 0 0 0 18.26 6.85 0 0 0 565 0 13.7 0 36.52 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 ߠ3 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 Columna ܷሺ,ݔ ,ݕ ߠሻ5 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ە ۖ ۔ ۖ ۓ 5ݔܨ െ 1 5ݕܨ െ 1 5ܯ െ 1 1ݔܨ െ 5 1ݕܨ െ 5 1ܯ െ 5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ15.32 0 െ22.97 0 െ861.6 0 22.97 0 22.97 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.32 0 22.97 0 861.6 0 22.97 0 45.95 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ െ40 0 30 െ40 0 െ30ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Se ensambla la matriz de rigidez del sistema correspondiente a los grados de libertad libres; resulta un sistema de 7x7 . ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ߠ3 ە ۖۖ ۔ ۖۖ ۓ 40 െ180 120 0 െ60 30 0 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ 957.7 0 22.97 0 871.22 9.62 22.97 9.62 84.43 െ628.25 0 0 0 െ8.55 12.83 0 െ12.83 12.83 0 0 0 െ628.5 0 0 0 െ8.55 െ12.83 0 12.83 12.83 635.1 0 13.7 0 573.55 െ12.83 13.7 െ12.83 62.17 12.7 0 18.26 0 0 0 13.7 0 18.26 36.52ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖۖ ۔ ۖۖ ۓ ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ߠ3 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ Se despejan las incógnitas. { F } = [ K ]{ U } [ K ]-1 { F } = { U } 2 4
- 29. 29 ە ۖۖ ۔ ۖۖ ۓ ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ܷ2ݔ ܷ2ݕ ߠ2 ߠ3 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ 2.28701ݔିହ െ2.26501ݔିସ 1.3901ݔିଷ 2.20101ݔିହ െ7.09901ݔିହ 2.64201ݔିସ െ1.40301ݔିସے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې Se despejan las fuerzas externas, reemplazando en la ecuación de cada elemento Viga Viga ە ۖ ۔ ۖ ۓ 4ݔܨ െ 1 4ݕܨ െ 1 4ܯ െ 1 1ݔܨ െ 4 1ݕܨ െ 4 1ܯ െ 4 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ െ7.18 124.7 129.64 7.18 115.3 െ101.4ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Columna ە ۖ ۔ ۖ ۓ 1ݔܨ െ 2 1ݕܨ െ 2 1ܯ െ 2 2ݔܨ െ 1 2ݕܨ െ 1 2ܯ െ 1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0.54 79.89 67.05 െ0.54 40.11 െ7.39ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Columna ە ۖ ۔ ۖ ۓ 3ݔܨ െ 2 3ݕܨ െ 2 3ܯ െ 2 2ݔܨ െ 3 2ݕܨ െ 3 2ܯ െ 3 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ െ1.85 40.11 0 1.85 െ40.11 7.39 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 5ݔܨ െ 1 5ݕܨ െ 1 5ܯ െ 1 1ݔܨ െ 5 1ݕܨ െ 5 1ܯ െ 5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ െ72.28 195.19 62.45 െ7.72 െ195.19 34.39 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې 42 3 1
- 30. 30 Fuerzas en los elementos Diagramas de fuerzas internas
- 31. 31 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO INCLINADO El método de la rigidez requiere que las ecuaciones sean escritas en coordenadas globales. Se establece una relación entre las fuerzas axiales y cortantes de extremo local y global, de igual forma que en una armadura plana, mientras que los momentos, por ser vectores libres son iguales en los 2 sistemas.
- 32. 32 La matriz de transformación para las fuerzas queda de la siguiente manera: ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܮ݅ݔܨ ܮ݅ݕܨ ܮ݅ܯ ܮ݆ݔܨ ܮ݆ݕܨ ܮ݆ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ ߠݏܥ ܵ݁݊ߠ 0 െܵ݁݊ߠ െߠݏܥ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ߠݏܥ ܵ݁݊ߠ 0 െܵ݁݊ߠ െߠݏܥ 0 0 0 1ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ݅ݔܨ ݅ݕܨ ݅ܯ ݆ݔܨ ݆ݕܨ ݆ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ La matriz de transformación es igual para desplazamientos haciendo c = Cosθ , s = Senθ ሾܶሿ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ ܿ ݏ െݏ ܿ 1 ܿ ݏ െݏ ܿ 1 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ?
- 33. 33 La matriz de rigidez se transforma de coordenada local a global. { F }L = [ T ] { F } { F } = [ T ]-1 { FL } = [ T ]-1 { FL } Se tiene que: { FL } = [ KL ] { UL } y { UL } = [ T ] { U } [ T ] { F } = [ KL ] [ T ] { U } [ KL ] = Matriz de rigidez de un elemento horizontal { F } = [ T ]T [ KL ] [ T ] { U } La matriz de rigidez en coordenadas globales [ K ] = [ T ]T [ KL ] [ T ] Cuando existen cargas en el vano, el vector de fuerzas de extremo fijo debe transformarse también. { FE } = [ T ]T {FE L} { FE } = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas globales {FE L} = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas locales
- 34. 34 ە ۖ ۔ ۖ ۓ ݅ݔܨ ݅ݕܨ ݅ܯ ݆ݔܨ ݆ݕܨ ݆ܯ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ ா ܿଶ ଵଶாூ య ݏଶ ா ܿݏ െ ଵଶாூ య ܿݏ െ ாூ మ ݏ ா ܿݏ െ ଵଶாூ య ܿݏ ா ݏଶ ଵଶாூ య ܿଶ ாூ మ ܿ െ ாூ మ ݏ ாூ మ ܿ ସாூ െ ா ܿଶ െ ଵଶாூ య ݏଶ െ ா ܿݏ ଵଶாூ య ܿݏ െ ாூ మ ݏ െ ா ܿݏ ଵଶாூ య ܿݏ െ ா ݏଶ ଵଶாூ య ܿଶ ாூ మ ܿ ாூ మ ݏ െ ாூ మ ܿ ଶாூ െ ா ܿଶ െ ଵଶாூ య ݏଶ െ ா ܿݏ ଵଶாூ య ܿݏ ாூ మ ݏ െ ா ܿݏ െ ଵଶாூ య ܿݏ െ ா ݏଶ ଵଶாூ య ܿଶ െ ாூ మ ܿ െ ாூ మ ݏ ாூ మ ܿ ଶாூ ா ܿଶ ଵଶாூ య ݏଶ ா ܿݏ ଵଶாூ య ܿݏ ாூ మ ݏ ா ܿݏ െ ଵଶாூ య ܿݏ ா ݏଶ ଵଶாூ య ܿଶ െ ாூ మ ܿ ாூ మ ݏ െ ாூ మ ܿ ସாூ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ݅ݔ ܷ݅ݕ ߠ݅ ܷ݆ݔ ܷ݆ݕ ߠ݆ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Fuerzas internas en un elemento de pórtico plano inclinado Primero se calculan los desplazamientos correspondientes a los grados de libertad libres, después se calculan las fuerzas en coordenadas locales y se transforman a coordenadas globales con: { Fi } = [ T ] { F } { F} = [ T ]T { FL } Se recomienda usar coordenadas locales para calcular [ KL ] y después efectuar el triple producto [ T ]T [ KL ] [ T ] = [ K ] En este caso se calculan las fuerzas internas transformando primero los desplazamientos { uL } = [ T ] { u } { uL } = Desplazamientos en nudos locales { FL } = { FE L } + [ KL ] { uL } { u } = Desplazamientos en nudos globales
- 35. 35 Problema: Resolver el siguiente pórtico: HEA300 EA = 200 GPa A = 0,0113 m2 Ixx = 1,826x10-4 m4 Iyy = 6,31x10-5 m4 EI = 36,52 MN m2 AE = 2260 MN L1 = 3.606 m L2 = 5.0 m 1. Se numeran los elementos, nudos y grados de libertad. Grados de libertad libres. Ux1, Uy1, θ1. Matriz de 3x3 2. Se calculan las fuerzas de extremo fijo en coordenadas locales. ? ? ? Θ3
- 36. 36 F1XL = F2XL = 0 F1YL = F2YL = (WL)/2 = (40x3.606)/2 = 72.11 KN ME 2-1 = - ME 1-2 = (WL2 )/12 = 43.33 KN m Senθ1 = 3/3,606 = 0,832 Cosθ1 = 2/3.606 = 0,555 Cosθ2 = 4/5 = 0,8 Senθ2 = 3/5 = 0,6 FX2-3L = FX3-2L = 24KN ME 1-3 = - ME 3-1 = (PL)/8 = 40 KN m FY2-3L = FY3-2L = 32 KN Las fuerzas de empotramiento deben de transformarse a un sistema de coordenadas globales. ? ? Θ1 Θ2
- 37. 37 { FE L } = [ T ] { FE} { FE } = [ T ]T { FE L} Elemento ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 72.11 43.33 0 72.11 െ43.33ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0.555 0.832 െ0.832 0.555 1 0.555 0.832 െ0.832 0.555 1 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଶିଵ ܨ௬ଶିଵ ܯଶିଵ ܨ௫ଵିଶ ܨ௬ଵିଶ ܯଵିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ ܨ௫ଶିଵ ா ܨ௬ଶିଵ ா ܯଶିଵ ா ܨ௫ଵିଶ ா ܨ௬ଵିଶ ா ܯଵିଶ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ െ59.98 40.01 43.33 െ59.98 40.01 െ43.33ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Elemento ە ۖ ۔ ۖ ۓ 24 32 40 0 32 െ40ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0.8 0.6 െ0.6 0.8 1 0.8 0.6 െ0.6 0.8 1 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଵିଷ ܨ௬ଵିଷ ܯଵିଷ ܨ௫ଷିଵ ܨ௬ଷିଵ ܯଷିଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ ܨ௫ଷିଵ ா ܨ௬ଷିଵ ா ܯଷିଵ ா ܨ௫ଵିଷ ா ܨ௬ଵିଷ ா ܯଵିଷ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 40 40 0 40 െ40ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Se hallan las ecuaciones de equilibrio estático en coordenadas locales Elemento 0 0 0 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ ܨ௫ଶିଵ ܨ௬ଶିଵ ܯଶିଵ ܨ௫ଵିଶ ܨ௬ଵିଶ ܯଵିଶ ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ626.81 0 0 0 െ9.35 16.86 0 െ16.86 20.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 626.81 0 0 0 9.35 െ16.86 0 െ16.86 40.52 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 72.11 43.33 0 72.11 െ43.33ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ 1 2 1
- 38. 38 Elemento ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 0 0 0 ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଵିଶ ܨ௬ଵିଶ ܯଵିଶ ܨ௫ଶିଵ ܨ௬ଶିଵ ܯଶିଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 452 0 0 0 3.51 8.76 0 8.76 29.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ452 0 0 0 െ3.51 െ8.76 0 8.76 14.61 0 0 0 0 0 0 0 0 0ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 24 32 40 24 32 െ40ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Se transforman las matrices de rigidez de cada elemento a coordenadas globales. [ K ] = [ T ]T [ K ]L [ T ] y solo se tienen en cuanta los grados de libertad libres para ensamblar los elementos. Elemento 0 0 0 ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଶିଵ ܨ௬ଶିଵ ܯଶିଵ ܨ௫ଵିଶ ܨ௬ଵିଶ ܯଶିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ199.5 െ285.05 14.02 െ285.05 436.66 9.35 14.03 െ9.36 20.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 199.5 285.05 14.02 285.05 436.66 െ9.35 14.03 െ9.36 40.52 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ െ59.98 40.01 43.33 െ59.98 40.01 െ43.33ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Elemento ܷ1ݔ ܷ1ݕ ߠ1 0 0 0 ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଵିଷ ܨ௬ଵିଷ ܯଵିଷ ܨ௫ଷିଵ ܨ௬ଷିଵ ܯଷିଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 290.54 215.28 െ14.02 215.28 164.97 9.35 െ5.26 7.0 20.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ290.54 െ215.28 14.02 െ215.28 െ164.97 െ9.35 െ5.28 7.0 40.52 0 0 0 0 0 0 0 0 0ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 40 40 0 40 െ40ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Ensamblando la matriz de rigidez del sistema. ൝ െ59.98 80 െ3.33 ൡ ൌ 490.04 500.33 0 500.33 601.63 0 8.77 െ2.36 60.78 ൩ ቐ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ቑ Despejando ቐ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ቑ ൌ ൝ #"$#" #"$"# "#$#$ ൡ 2 1 2
- 39. 39 Problema: Usar el método de la rigidez directa para resolver el siguiente problema. Realizar los diagramas de cortante, momento y carga axial, también pintar la deformada. Se presenta un asentamiento diferencial en el extremo B igual a uBy = 2 cm. Propiedades: Ec=21549 MPa Viga: 25*35 cm A=0, 25*0,35=0,0875 m2 ܣ ൌ 0,25 כ 0,35ଶ 12 ൌ 8,93201ݔିସ ݉ସ AE = 1884,8 MN EI=19,24 MN.m2 1. Se numeran los grados de libertad ܷଶ௫ ൌ ܷଶ௬ ൌ ߠଶ ൌ 0 ܨଵ௬ ൌ ܷଵ௬ܭ ൌ 0,02 כ 650 ൌ െ13 ݇ܰ Hacia abajo por el asentamiento ? ? 2
- 40. 40 2. Fuerzas de empotramiento sinߠ ൌ ଷ ହ ൌ 0,6 cos ߠ ൌ ସ ହ ൌ 0,8 ܨଵ௫ ൌ ܨଶ௫ ൌ 12݇ܰ ܨଵ௬ ൌ ܨଶ௬ ൌ 16݇ܰ ܯଵ ா ൌ െܯଶ ா ൌ ܲ ככ ܮ 8 ൌ 30݇ܰ כ ݉ 3. Ecuaciones estáticas para el elemento ሼܨሽ ൌ ሾܭሿሼߤሽ 4. Ecuaciones estáticas para el elemento { FL } = [ KL ] { UL } T T T T T ? ? ? ?
- 41. 41 ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨଵ௫ ܨଵ௬ ܯଵ ܨଶ௫ ܨଶ௬ ܯଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 251,3 0 0 0 0,55 2,05 0 2,05 10,26 െ251,3 0 0 0 െ0,55 2,05 0 െ2,05 5,13 െ251,3 0 0 0 െ0,55 െ2,05 0 2,05 5,13 251,3 0 0 0 0,55 െ2,05 0 െ2,05 10,26ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې כ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ߤଵ௫ ߤଶ௫ ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ െ12 16 30 െ12 16 െ30ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ La matriz de rigidez en coordenadas globales es: ሾܭሿ ൌ ሾܶሿ்ሾܭሿሾܶሿ ሾܶሿ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0,8 0,6 0 െ0,6 0,8 0 0 0 1 0,8 0,6 0 െ0,6 0,8 0 0 0 1ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ሾܭሿ௦௧ ൌ ቂ 650 650 െ650 െ650 ቃ ሾܭሿ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 161,03 120,36 െ1,23 120,36 90,82 1,64 െ1,23 1,64 10,26 െ161,03 െ120,36 െ1,23 െ120,36 െ90,82 1,64 1,23 െ1,64 5,13 െ161,03 െ120,36 10,26 െ120,36 െ90,82 1,23 െ1,23 1,64 െ1,64 161,03 120,36 1,23 120,36 90,82 െ1,64 1,23 െ1,64 10,26 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ሾ݉/ܰܯሿ Las fuerzas de extremo en coordenadas globales. ሼܨ ாሽ ൌ ሾܶሿሼܨாሽ ሼܨாሽ ൌ ሾܶሿିଵሼܨ ாሽ ሼܨாሽ ൌ ە ۖ ۔ ۖ ۓ െ19,2 5,6 30 െ19,2 5,6 െ30 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ۀܰ݇ڿ ܨଵ௬ ൌ 650 כ 0,02 ൌ 13݇ܰ La ecuación de equilibrio estático esta en coordenadas globales queda: ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨଵ௫ െ13 ܯଵ ܨଶ௫ ܨଶ௬ ܯଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 161,03 120,36 െ1,23 120,36 91,47 1,64 െ1,23 1,64 10,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ161,03 െ120,36 1,23 െ120,36 െ90,82 െ1,64 െ1,23 1,64 5,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې כ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ߤଵ௫ 0,02 ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ െ19,2 5,6 30 െ19,2 5,6 െ30 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Kresorte + Kviga = 90,82 + 0,65 = 91,47
- 42. 42 Usando solo los grados de libertad libres. ൝ 19,2 െ18,6 െ30 ൡ ൌ 161,03 120,36 െ1,23 120,36 91,47 1,64 െ1,23 1,64 10,26 ൩ ൝ ߤଵ௫ 0,02 ߠଵ ൡ -13 + (-5,6) = -18,6 *1000 ߤଵ௫ ൌ 2,208 ݔ 10ିଶ ݉ ߤଵ௬ ൌ 0,02913 ݉ ߠଵ ൌ 4,41 ݔ 10ିଷ ݀ܽݎ se transforman a coordenadas locales. Se transforman a coordenadas locales ߤ ൌ ሾܶሿሼߤሽ Y se reemplaza en la ecuación de equilibrio local y despejo ሼܨሽ ൝ ߤଵ௫ ߤଶ௫ ߠଵ ൡ ൌ 0,8 0,6 0 െ0,6 0,8 0 0 0 1 ൩ ቐ 2,208 ݔ 10ିଶ 0,02913 4,41 ݔ 10ିଷ ቑ ൌ ቐ 6,82 ݔ 10ିହ െ3,67 ݔ 10ିଶ 4,41 ݔ 10ିଷ ቑ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨଵ௫ ܨଵ௬ ܯଵ ܨଶ௫ ܨଶ௬ ܯଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 3,64 4,85 0 െ27,64 27,15 െ82,63ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ
- 43. 43 Matriz de rigidez de elemento sometido a torsión – Parrillas Ecuación de deformación en torsión para sección circular. ൌ ்כ ீכ Φ = Giro relativo J= Constante torsional igual momento polar de inercia. Ecuación de la deformación por torsión para secciones rectangulares. ܬ ൌ ݐܾܥଷ Constante torsional ܥ ൌ 1 3 െ 0,21 ൬ ݐ ܾ ൰ ቈ1 െ 1 12 ൬ ݐ ܾ ൰ ସ Ecuación estática ሼܨሽ ൌ ሾܭሿሼߤሽ ൜ ܶ௫ ܶ௫ ൠ ൌ ൦ ܩ כ ܬ ܮ െ ܩ כ ܬ ܮ െ ܩ כ ܬ ܮ ܩ כ ܬ ܮ ൪ ൜ ߠ௫ ߠ௫ ൠ
- 44. 44 Problema: resolver el siguiente problema ܩ ൌ 80 ܽܲܩ ܩ௨ ൌ 28 ܽܲܩ 1. se numeran los nudos y los grados de libertad 2. Ensambla la matriz de cada elemento ܩ כ ܬ ܮ ൌ 8001ݔଽ כ ߨ 2 כ 0,04ସ 1,0 ൌ 321,7 ݇ܰ כ ݉ ܽܿ݁ݎ ܩ כ ܬ ܮ ൌ 2801ݔଽ כ ߨ 2 כ 0,08ସ 2 ൌ 900,76 ݇ܰ כ ݉ ݈ܽ݅݊݅݉ݑ Elemento 3-1 0 ߠଵ ൜ ܶ௫ଷିଵ ܶ௫ଵିଷ ൠ ൌ ቂ 0 െ321,7 0 321,7 ቃ 0 ߠଵ ൨ Nota: las fuerzas de extremo son cero Elemento 1-2 ߠଵ 0 ቄ ܶ௫ଵିଶ ܿ ቅ ൌ ቂ 900,76 0 െ900,76 0 ቃ ቂ ߠଵ 0 ቃ Matriz de rigidez del sistema - grados de libertad libres ܶ௫ଵିଷ ܶ௫ଵିଶ ൌ െ1,0 ൌ 1222,46 כ ߠଵ ߠଵ ൌ 8,18 כ 10ିସ ݀ܽݎ
- 45. 45 3. Reemplazado en las ecuaciones de cada elemento ܶ௫ଷିଵ ൌ െ321,7 כ ߠଵ ൌ െ321,701ݔଷ כ 8,1801ݔିସ ൌ െ263,15 ܰ כ ݉ ܶ௫ଵିଷ ൌ 321,701ݔଷ כ 8,1801ݔିସ ൌ 736,15 ܰ כ ݉ ܶ௫ଵିଶ ൌ 900,7601ݔଷ כ 8,1801ݔିସ ൌ 736,82 ܰ כ ݉ ܶ௫ଶିଵ ൌ െ736,82 ܰ כ ݉ Matriz de una parrilla Estructuras retractiles con cargas perpendiculares al eje longitudinal, como losas de entrepisos, tableros de puentes Elemento orientado en la dirección x
- 46. 46 La ecuación básica queda: ە ۖ ۔ ۖ ۓ ݅ݔܯ ݅ݕܯ ݅ܨ ݆ݔܯ ݆ݕܯ ݆ܨ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ െ ܬܩ ܮ 0 0 0 4ܫܧ ܮ െ6ܫܧ ܮଶ 0 െ6ܫܧ ܮଶ 12ܫܧ ܮଷ െܬܩ ܮ 0 0 0 2ܫܧ ܮ 6ܫܧ ܮଶ 0 െ6ܫܧ ܮଶ െ 12ܫܧ ܮଷ െܬܩ ܮ 0 0 0 2ܫܧ ܮ െ6ܫܧ ܮଶ 0 6ܫܧ ܮଶ െ 12ܫܧ ܮଷ ܬܩ ܮ 0 0 0 4ܫܧ ܮ 6ܫܧ ܮଶ 0 6ܫܧ ܮଶ 12ܫܧ ܮଷ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ߠ݅ݔ ߠ݅ݕ ݅ݑ ߠ݆ݔ ߠ݆ݕ ݆ݑ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ ܯ௫ ா ܯ௬ ா ܨ௭ ா ܯ௫ ா ܯ௬ ா ܨ௭ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ Para el elemento orientado en la dirección Y . ە ۖ ۔ ۖ ۓ ݅ݔܯ ݅ݕܯ ݅ܨ ݆ݔܯ ݆ݕܯ ݆ܨ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ 4ܫܧ ܮ 0 6ܫܧ ܮଶ 0 ܬܩ ܮ 0 6ܫܧ ܮଶ 0 12ܫܧ ܮଷ 2ܫܧ ܮ 0 െ 6ܫܧ ܮଶ 0 െܬܩ ܮ 0 6ܫܧ ܮଶ 0 െ 12ܫܧ ܮଷ 2ܫܧ ܮ 0 6ܫܧ ܮଶ 0 െܬܩ ܮ 0 െ6ܫܧ ܮଶ 0 െ 12ܫܧ ܮଷ 4ܫܧ ܮ 0 െ 6ܫܧ ܮଶ 0 ܬܩ ܮ 0 െ 6ܫܧ ܮଶ 0 12ܫܧ ܮଷ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ߠ݅ݔ ߠ݅ݕ ݅ݑ ߠ݆ݔ ߠ݆ݕ ݆ݑ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ ܯ௫ ா ܯ௬ ா ܨ௭ ா ܯ௫ ா ܯ௬ ா ܨ௭ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ
- 47. 47 Problema: Resolver la siguiente parrilla. Vigas 30x40 cm, f`c = 21 MPa 11. CONDENSACIÓN En estructuras grandes, el tamaño de las ecuaciones puede ser de cientos o de incluso miles de grados de libertad. La condensación consiste en reducir el tamaño del sistema de ecuaciones eliminando grados de libertad. Las ecuaciones quedan en función de los grados condensados ߲ ൌ ൜ ߲ ߲ா ൠ ߲: ݃ݏ݀ܽݎ ݀݁ ݈ܾ݅݁݀ܽݐݎ ܿݏ݀ܽݏ݊݁݀݊ ߲ா: ݃ݏ݀ܽݎ ݀݁ ݈ܾ݅݁݀ܽݐݎ ݈݁݅݉݅݊ܽ݀ݏ ሼܨሽ ൌ ሾܭሿሼ߲ሽ Expandiendo ൜ ܨ ܨா ൠ ൌ ܭ ܭா ܭா ܭாா ൨ ൜ ߲ ߲ா ൠ Se expande la fila 2 y despejo ሼ߲ாሽ ሼܨாሽ ൌ ሾܭாሿሼ߲ሽ ሾܭாሿሼ߲ாሽ ሾܭாாሿሼ߲ாሽ ൌ ሼܨாሽ െ ሾܭாሿሼ߲ሽ ሼ߲ாሽ ൌ ሾܭாாሿିଵሼܨாሽ െ ሾܭாாሿିଵሾܭாሿሼ߲ሽ Reemplazando en la fila 1: ሼܨሽ ൌ ሾܭሿሼ߲ሽ ሾܭாሿሼ߲ாሽ ሼܨሽ ൌ ሾܭሿሼ߲ሽ ሾܭாሿሾܭாாሿିଵሼܨாሽ െ ሾܭாሿሾܭாாሿିଵሾܭாሿሼ߲ሽ ሼܨሽ ൌ ൣሾܭሿ െ ሾܭாሿሾܭாாሿିଵሾܭாሿ൧ሼ߲ሽ ሾܭாሿሾܭாாሿିଵሼܨாሽ ሼܨሽ െ ሾܭሿሾܭாாሿିଵሼܨாሽ ൌ ൣሾܭሿ െ ሾܭாሿሾܭாாሿିଵሾܭாሿ൧ሼ߲ሽ
- 48. 48 Se busca una ecuación de la forma ሼܨ כ ሽ ൌ ሾܭ כ ሿሼ߲ሽ (1) Por analogía se tiene ሼܨ כ ሽ ൌ ሼܨሽ െ ሾܭாሿሾܭாாሿିଵሼܨாሽ ሾܭ כ ሿ ൌ െሾܭሿ െ ሾܭாሿሾܭாாሿିଵሾܭாሿ Estas 2 formulas sirven para encontrar los desplazamientos condensados, despejando la ecuación (1) ሼ߲ሽ ൌ ሾܭ כ ሿିଵሼܨ כ ሽ Y los desplazamientos eliminados ሼ߲ாሽ ൌ ሾܭாாሿିଵሼܨாሽ െ ሾܭாாሿିଵሾܭாሿሾܭ כ ሿିଵሼܨ כ ሽ Los desplazamientos eliminados no deben confundirse con los despreciables Cuando ሼܨாሽ ൌ ሼ0ሽ ሼ߲ாሽ ൌ െሾܭாாሿିଵሾܭாሿሾܭ כ ሿିଵሼܨ כ ሽ ሼ߲ሽ ൌ ሾܭ כ ሿିଵሼܨ כ ሽ 12. GRADOS DE LIBERTAD DESPRECIABLES En las matrices no se tienen en cuenta los grados de libertad asociados a las deformaciones de flexión producidos por cortante, mientras que los grados de libertad axiales en columnas, por carga axial para edificios bajos, se pueden despreciar. Para sistemas con diafragma rígido, se supone la losa con rigidez axial muy grande y se puede despreciar la deformación axial en vigas. En principio se debe eliminar las columnas de la matriz Knn pero para conservar la simetría, también se deben eliminar las filas 13. relaciones lineales entre grados de libertad Para un sistema de grados de libertad i x j ܽଵ߲ଵ ܽଶ߲ଶ … … … … … … … ܽଵ߲ ܽଵ߲ଵ ܽଶ߲ଶ … … … … … … … ߲ܽ
- 49. 49 Matricialmente ሾܽሿሼ߲ሽ ൌ ሼ0ሽ ሾܽሿ൛߲ ൟ ሾܽଵሿሼ߲ሽ ൌ ሾ0ሿ Despejando ሼ߲ሽ ሼ߲ሽ ൌ ሾܽଵሿିଵሾܽሿ൛߲ ൟ Se define ሾܴሿ ൌ ሾܽଵሿିଵሾܽሿ ሾܴሿ ൌ ܫ ܴ ൨ I: identidad ሼ߲ሽ ൌ ൜߲ ߲ൠ ൌ ܫ ܴ ൨ ൛߲ ൟ ൌ ሾܴሿ൛߲ ൟ Ecuación estática ሼܨሽ ൌ ሾܭሿሼ߲ሽ ൌ ሾܭሿሾܴሿ൛߲ ൟ Se quiere encontrar una ecuación de la forma ൛ܨ ൟ ൌ ሾܭሿ൛߲ ൟ ൛ܨ ൟ : Fuerzas inerciales asociados a los grados de libertad independientes Por la ley de BettI: ൛ܨ ൟ ൌ ሾܴሿ்ሼܨሽ Reemplazando ൛ܨ ൟ ൌ ሾܴሿ்ሾܭሿሾܴሿ൛߲ ൟ ሾܭሿ ൌ ሾܴሿ்ሾܭሿሾܴሿ ൛߲ ൟ ൌ ሾܭሿିଵ ൛ܨ ൟ Procedimiento 1, Se define la matriz [a] 2. Se hace la partición de acuerdo a los grados de libertad independientes ൛߲ ൟ y los dependientes ሼ߲ሽ 3. Se calcula, ሾܴሿ y ሾܴሿ.
- 50. 50 4. se calcula ሾܭሿ y ൛߲ ൟ 5. Se calcula ሼ∂୮ሽ 14. IGUALACIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD Simétrico Subíndice i: simétrica ߤ௫ି௦ ൌ െߤ௫ ߤ௬ି௦ ൌ ߤ௬ ߠି௦ ൌ െߠ௦ Anti simétrico
- 51. 51 ߤ௫ି௦ ൌ ߤ௫ ߤ௬ି௦ ൌ െߤ௬ ߠ௦ ൌ ߠ௦ Problema: Resuelva el pórtico usando igualación de grados de libertad y desprecie las deformaciones axiales. F´c = 21 MPa Ec = 21540 MPa Columna 30x30 cm Vigas 25x35 cm 1. Grados de libertad 2. Propiedades sección Viga ா ൌ .ଶହ௫.ଷହ௫ଶଵହସ௫ଵల ൌ 314.3 ெே ܫܧ ൌ 21540ݔ .ଶହ௫.ଷହయ ଵଶ ൌ 19.24 ܰܯ ݉ଶ ସாூ ൌ 12.83 ݉/ܰܯ ଶாூ ൌ 6.41 ݉/ܰܯ ாூ మ ൌ 3.21 ݉/ܰܯ ଵଶாூ య ൌ 1.069 ݉/ܰܯ
- 52. 52 Columna: ா ൌ .ଷ௫.ଷ௫ଶଵହସ௫ଵల ଷ ൌ 646.2 ݉/ܰܯ ܫܧ ൌ 21540ݔ .ଷర ଵଶ ൌ 14.54 ܰܯ ݉ଶ ସாூ ൌ 19.39 ݉/ܰܯ ଶாூ ൌ 9.69 ݉/ܰܯ ாூ మ ൌ 9.39 ݉/ܰܯ ଵଶாூ య ൌ 6.46 ݉/ܰܯ 3. Fuerzas de extremo ܯଵିଶ ா ൌ െܯଶିଵ ா ൌ ௐమ ଵଶ ൌ ଷ௫ଷ ଵଶ ൌ 90 ݇ܰ ݉ ܨ௬ଵିଶ ா ൌ ܨ௬ଶିଵ ா ൌ ௐ ଶ ൌ 90 ݇ܰ ܨ௫ଵିଷ ா ܨ௫ଶିଵ ா ൌ 10 ݇ܰ 4. Sistema en coordenadas locales. 4.1 Viga ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଵିଶ ܨ௬ଵିଶ ܯଵିଶ ܨ௫ଶିଵ ܨ௬ଶିଵ ܯଵିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 314.3 0 0 0 0 3.21 0 0 12.83 െ314.21 0 0 0 0 3.21 0 0 6.41 െ314.3 0 0 0 0 െ3.21 0 0 6.41 314.21 0 0 0 0 െ3.21 0 0 12.83ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܷଵ௫ 0 ߠଵ ܷଵ௫ 0 ߠଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 90 90 0 90 െ90ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଷିଵ ܨ௬ଷିଵ ܯଷିଵ ܨ௫ଵିଷ ܨ௬ଵିଷ ܯଵିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ6.46 0 െ9.69 0 0 0 9.69 0 9.69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.46 0 9.69 0 0 0 9.69 0 12.83 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 ܷଵ௫ 0 ߠଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଷିଵ ܨ௬ଷିଵ ܯଷିଵ ܨ௫ଵିଷ ܨ௬ଵିଷ ܯଵିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ6.46 0 െ9.69 0 0 0 9.69 0 9.69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.46 0 9.69 0 0 0 9.69 0 19.39 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 0 0 ܷଶ௫ 0 ߠଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Fx1-3 = Fx2-4 = 10 5. Ensamble la matriz del sistema. ൞ ܨ௫ଵିଶ ܯଵିଶ ܨ௫ଶିଵ ܨ௫ଶିଵ ൢ ൌ 320.76 9.69 9.69 32.22 െ314.3 0 0 6.41 െ314.3 0 0 6.41 െ320.76 9.69 9.69 0 ൞ ܷଵ ߠଵ ܷ2ଵ ߠଵ ൢ ൞ 0 10 90 0 െ90 ൢ
- 53. 53 En la ecuación anterior se suma la tercera columna a la primera U1x = U2x Se suman las rigideces. ൞ ܨ௫ଵିଶ ܯଵିଶ ܨ௫ଶିଵ ܨ௫ଶିଵ ൢ ൌ 6.46 9.69 9.69 32.33 0 6.46 6.46 9.69 0 6.46 9.69 32. .33 ൝ ܷଵ௫ ߠଵ ߠଶ ൡ ൞ 10 90 0 െ90 ൢ Ux = -1.24x10-3 m Θ1 = -2.809x10-3 rad Θ2 = - 3.431x10-3 rad Hacen el examen θ1 = θ2 Sumar columna 3 +2 6. Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio de cada elemento modificado. Viga: ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଵିଶ ܨ௬ଵିଶ ܯଵିଶ ܨ௫ଶିଵ ܨ௬ଶିଵ ܯଵିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 0 0 0 3.21 . 21 0 12.83 6.41 0 0 0 0 െ3.21 െ3.21 0 6.41 12.83ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ൝ െ1.2401ݔିଷ െ2.80901ݔିଷ 3.431 01ݔିଷ ൡ ە ۖ ۔ ۖ ۓ 0 90 90 0 90 െ90ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 0 92 75.96 0 88 െ64 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Columna 3-1 ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ଷିଵ ܨ௬ଷିଵ ܯଷିଵ ܨ௫ଵିଷ ܨ௬ଵିଷ ܯଵିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ െ6.46 0 9.69 െ9.69 0 9.69 6.46 0 9.69 9.69 0 19.39ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ൜ െ1.24 01ݔିଷ െ2.80901ݔିଷൠ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ 35.23 0 െ39.24 െ35.23 0 െ66.49ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې Columna 4-2 ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܨ௫ସିଶ ܨ௬ସିଶ ܯସିଶ ܨ௫ଶିସ ܨ௬ଶିସ ܯଶିସ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ െ6.46 0 9.69 െ9.69 0 9.69 6.46 0 9.69 9.69 0 19.39ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ൜ െ1.24 01ݔିଷ െ3.43101ݔିଷൠ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ െ25.23 0 21.22 25.23 0 54.51 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې 7. Utilizando la metodología de las relaciones lineales entre los grados de libertad y la ecuación de relación por simetría, igualando θ1=θ1, queda :
- 54. 54 1 0 0 0 0 0 0 0 1 െ1 0 0 0 0 0 0 0 െ1 ൩ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ݑଵ௫ ݑଵ௬ ߠଵ ݑଶ௫ ݑଶ௬ ߠଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ሾ0ሿ ቂ 1 0 0 1 െ1 0 0 െ1 ቃ ൞ ݑଵ௫ ߠଵ ݑଶ௫ ߠଶ ൢ ൌ ሾ0ሿ ሾܽ ܽଵሿ ൜ ߜ݅ ߜ ൠ ൌ ሾ0ሿ ሼߜ݅ሽ ൌ ݏ݀ܽݎܩ ݀݁ ݈ܾ݅݁݀ܽݐݎ ݅݊݀݁ݏ݁ݐ݊݁݅݀݊݁ ݊݀ݑ ሺ1ሻ ሼߜሽ ൌ ݏ݀ܽݎܩ ݀݁ ݈ܾ݅݁݀ܽݐݎ ݀݁ݏ݁ݐ݊݁݅݀݊݁ ݊݀ݑ ሺ2ሻ ሾܽሿ ൌ ቂ 1 0 0 1 ቃ ሾܽଵሿ ൌ ቂ െ1 0 0 െ1 ቃ ሼߜ݅ሽ ൌ ቄ ݑଵ௫ ߠଵ ቅ ሼߜሽ ൌ ቄ ݑଵ௫ ߠଵ ቅ ሾܴሿ ൌ െሾܽଵሿିଵሾܽሿ ൌ ቂ 1 0 0 1 ቃ ሾܴሿ ൌ ቂ ܫ ܴ ቃ ൌ 1 0 0 1 1 0 0 1 ሾܴሿ் ൌ ቂ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቃ La matriz [ Ki ]= [ R ]T [ T ] [ R ] de grados de libertad independientes ሾ݅ܭሿ ൌ ቂ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቃ 320.76 9.69 9.69 32.22 െ314.3 0 0 6.41 െ314.3 0 0 6.41 320.76 9.69 9.69 32.22 1 0 0 1 1 0 0 1 ൌ ቂ 12920 19380 19380 77260 ቃ ሾே/ሿ { Fi } = [ R ]T { F } ሼܨሽ ൌ ቂ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቃ ൦ െ10 െ90 0 90 ൪ ൌ ቄ െ10 0 ቅ { Fi } = [ Ki ]-1 { Fi } ቄ ݑଵ௫ ߠଵ ቅ ൌ ൜െ1.24101ݔିଷ 3.11301ݔିସ ൠ ሼߜ݅ሽ ൌ ሾܴሿሼߜ݅ሽ ൌ ቂ 1 0 0 1 ቃ ቄ ݑଶ௫ ߠଶ ቅ ൌ െ1.24101ݔିଷ 3.11301ݔିସ ൨