mecanismos

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Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales
TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJO VIRTUALES
5.1. Desplazamientos virtuales
5.2. Desplazamiento virtual de un sólido no restringido
5.3. Partición de coordenadas
5.4. Matriz jacobiana de restricciones
5.5. Trabajos virtuales
5.6. Fuerzas generalizadas
5.7. Transformación de coordenadas
5.8. Elementos fuerza

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Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales
2TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.1. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
Para la aplicación de este principio son esenciales las definiciones de:
- desplazamientos virtuales
- fuerzas generalizadas
Asociadas a estas últimas está el concepto de coordenadas generalizadas:
Cualquier conjunto de coordenadas usadas para describir la configuración
del sistema.
Un desplazamiento virtual se define como un desplazamiento infinitesimal
que es compatible con las restricciones cinemáticas del sistema. Estos
desplazamientos son imaginarios, es decir, ocurren mientras que el tiempo
permanece fijo.

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3TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.2. DESPLAZAMIENTO VIRTUAL DE UN SÓLIDO NO RESTRINGIDO
( )
{ }
( ) [ ]PiiPi
T
i
T
ii
iPiiPiiiPi
PiiiPi
i
Pi
i
i
uAIr
Rq
qruARr
uARr
q
r
q
q
θ∂
∂
θ
==
θ=
δ=δθ+δ=δ
+=
El desplazamiento virtual del vector de posición de un punto arbitrario del
cuerpo, puede ser expresado en función de los desplazamientos virtuales en
las coordenadas que definen la posición del cuerpo

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4TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.3. PARTICIÓN DE COORDENADAS
En un sistema restringido dinámicamente, el número de ecuaciones de
restricción nr es menor que el número de coordenadas n.
Se pueden utilizar las ecuaciones de restricción para poner un subconjunto
de coordenadas en función de las restantes.
Las coordenadas se pueden dividir en:
- nr coordenadas dependientes qd
- n-nr coordenadas independientes qi
Partiendo de estas relaciones, los desplazamientos virtuales en las
coordenadas dependientes pueden ponerse en función de los de las
independientes.

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5TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.1
En el péndulo de la figura calcular la relación entre el desplazamiento
virtual en las coordenadas absolutas y el del grado de libertad θ2.
222
22
22
2222
2222
222
222
1
2
2
2
2
2
2
δθ
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
=δ
δθ=δθ
δθ=δ
δθ−=δ
=
=
c
s
cR
sR
sR
cR
l
l
l
y
l
x
l
y
l
x
q

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6TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.4. MATRIZ JACOBIANA DE RESTRICCIONES
( ) 0, =tqC
C qqδ = 0
{ }TT
i
T
d qqq =
0=δ+δ id id
qCqC qq
Cqd
Vamos a generalizar los cálculos anteriores.
Partiendo de las ecuaciones de restricción:
Aplicamos un desplazamiento virtual:
Particionando el vector de coordenadas:
La ecuación de desplazamiento virtual quedará:
Las coordenadas dependientes e independientes se escogerán de manera que
la matriz no sea singular. Entonces:
iii
di
i
d
idiid id
qBq
I
C
q
q
q
qCqCCq qq
δ=δ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
δ
δ
=δ
δ=δ−=δ −1

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7TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.2
Aplicar el método de partición de coordenadas para obtener la relación
entre los desplazamientos virtuales en las coordenadas absolutas y el
desplazamiento virtual en la coordenada independiente θ2
( )
id
c
s
sR
cR
t
l
l
l
y
l
x
qq
q
CC
C
qC
10
01
0
0
,
22
22
222
222
2
2
2
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
=
2222
22
22
221
1
-
-
- 2
2
2
2
δθ=δθ
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=δ⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
== −
i
l
l
l
l
di c
s
c
s
id
BqCCC qq

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8TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.5. TRABAJOS VIRTUALES
El trabajo virtual asociado a un sólido rígido sometido a una fuerza y a un
momento resultante externos a lo largo de un desplazamiento virtual se
define como:
iiPi
T
iiW δθ+δ=δ MrF

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9TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.6. FUERZAS GENERALIZADAS
δ δ δθθr R A uPi i i Pi i= +
( )
( ) iii
T
iiiPii
T
ii
T
i
iiiPiii
T
ii
QM
MW
δθ+δ=δθ++δ=
=δθ+δθ+δ=δ
θθ
θ
RQuAFRF
uARF
R
qQ δ=δ++δ+δ=δ T
nn qQqQqQW K2211
El desplazamiento virtual asociado a un punto Pi será:
Por tanto el trabajo virtual quedará:
Las diversas Q constituyen las denominadas fuerzas generalizadas
asociadas a cada desplazamiento virtual. El número de fuerzas
generalizadas coincide con el de coordenadas generalizadas. El mínimo
número de fuerzas generalizadas es el de g.d.l.
En un sistema con n coordenadas, el trabajo virtual será:

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10TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.3
En el mecanismo de péndulo, suponiendo que está sometido a una fuerza
F aplicada en el punto P y a un momento M sobre la barra 2, calcular las
fuerzas generalizadas en las coordenadas absolutas.
{ }
2
2
2
2
22
2
2
2
22
22
2
2
22
2
2
2
22
2
2
22
2
2
222
22
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
c
l
Fs
l
FMQ
FQ
FQ
c
l
Fs
l
FMRFRF
c
l
R
s
l
R
FFMW
c
l
R
s
l
R
MW
yx
yR
xR
yxyyxx
y
x
yx
y
x
PP
PP
P
T
y
x
+−=
=
=
δθ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+δ+δ=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
δθ+δ
δθ−δ
+δθ=δ
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
δθ+δ
δθ−δ
=δθ+δ=δ
+=
δ+δθ=δ
θ
θ uARr
uARr
rF

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11TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.7. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
{ }T
mppp K21=p
δ δ
δ δ δ
q B p
Q B p Q p Q B Q
=
= = ⇒ =
qp
T
qp p
T
p qp
T
W
La ecuación anterior define las fuerzas generalizadas asociadas a un
conjunto de coordenadas. En otro conjunto de coordenadas, dichas
fuerzas pueden obtenerse a partir de la matriz de transformación que
relaciona ambos conjuntos.
Supongamos que
es un conjunto de coordenadas y que los desplazamientos virtuales en q
pueden expresarse en función de p.

12. Universidad Politécnica de Valencia
Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales
12TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.4
A partir de las fuerzas generalizadas calculadas en el ejemplo 6.3 calcular la
fuerza generalizada en θ2.
{ }
{ }
{ }
2222
2
2
2
2
2222
T
qpp
22
22
qp
2
222
22
1-
δ
1
-
δδ
22
2
2
clFslFM
c
l
Fs
l
FM
F
F
cs
c
s
RR
yx
yx
y
x
ll
l
l
T
yx
+−=
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−
==
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
=
=
QBQ
ppBq
p
q
θ
θ

13. Universidad Politécnica de Valencia
Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales
13TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: GRAVEDAD
δ δW m g yi i i= −
δ δy Ri yi=
( )
( ) iiyiRyiiyixiiyiii
iyixiyii
yixiyii
QRQuugmRgmW
uuRy
uuRy
δθ+δ=δθθ−θ−δ−=δ
δθθ−θ+δ=δ
θ+θ+=
θii
ii
ii
sencos
sencos
cossen
El trabajo virtual de las fuerzas de gravedad que actúan en un cuerpo i será:
donde yi es la dirección en que actúa la fuerza de gravedad. Si el c.d.m.
coincide con el origen del sistema de referencia local
En general, si el c.d.m. no coincide con el origen del sistema de referencia
y conocemos la posición de dicho centro respecto el sistema de referencia
local:

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Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales
14TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: MUELLE-AMORTIGUADOR ACTUADOR LINEAL
( ) as flcllkf +−−= &
0
lfW sδ−=δ
r R A u R A uPij i i Pi j j Pj= + − −
La fuerza total transmitida por el elemento muelle será:
El trabajo virtual será
El vector de posición de Pj respecto Pi será:
siendo
( ) 21
Pij
T
Pijl rr=

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15TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: MUELLE-AMORTIGUADOR ACTUADOR LINEAL
( ) [ ]
[ ] [ ]
[ ]
qlq
l
Au
IQ
Q
l
Au
IQ
Q
qQqQ
q
q
l
uAIuAI
q
q
lqqrrrq
q
r
q
q
r
q
r
q
r
q
r
q
r
q
r
q
rr
q
r
q
&&&
∂
∂
∂
∂
θθ
θθ
∂
∂
∂
∂
θ∂
∂
θ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂−
∂
∂
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
δ+δ=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
δ
δ
−=δ
−==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
δ
δ
=δ=δ=δ=δ
Pij
j
Pij
i
Pij
j
Pij
i
Pij
j
Pij
i
PijPij
T
PijPij
Tl
j
T
Pj
s
j
Rj
j
i
T
Pi
s
i
Ri
i
j
T
ji
T
i
j
iT
s
PjjPii
j
iT
l
T
PijPij
T
Pij
l
l
f
Q
f
Q
fW
l
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ21

16. Universidad Politécnica de Valencia
Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales
16TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.5
En el mecanismo de la figura, suponiendo un muelle lineal de constante
elástica k y de longitud libre l0, calcular las fuerzas generalizadas asociadas
al muelle en las coordenadas absolutas de la barra 3.
X
Y
X2
Y2
X3Y3
2
3( )0llkfs −=
lfW sδ−=δ
{ }
( ) ( )2
1
2
1
2
3
2
33232
3332
22233332
yxP
T
P
yx
T
P
PPP
RRl
RR
+=⋅=
=
−−+=
rr
r
uARuARr

17. Universidad Politécnica de Valencia
Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales
17TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.5
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
011
010
001ˆ
32
132
13
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
3
2
3
0
32
3
2
3
0
2
3
2
3
3333
0
2
3
2
3
2
3
2
3
3333
3
3
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3
3
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−−=
+
δ+δ
−+−=δ−=δ
+
δ+δ
=
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
δθ
δ
δ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
++
=δ=δ
θ
∂
∂
QR
RR
l
kQR
RR
l
kQ
RR
RRRR
lRRklfW
RR
RRRR
R
R
RR
R
RR
R
l
y
yx
Rx
yx
R
yx
yyxx
yxs
yx
yyxx
y
x
yx
y
yx
x
i
T
yx
i
Pij
ql q
r

18. Universidad Politécnica de Valencia
Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales
18TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: MUELLE-AMORTIGUADOR ROTACIONAL
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( ) θ+θ−θ=
θ+θ−θ−=
δθ+δθ=δθ−δθθ+θ−θ−=
=δθθ+θ−θ−=δθ−=δ
θ−θ=θ
θ+θ−θ=
θ
θ
θθ
&
&
&
&
&
rrj
rri
jjiijirr
rrs
ji
rrs
ckQ
ckQ
QQck
ckMW
ckM
0
0
0
0
0

19. Universidad Politécnica de Valencia
Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales
19TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: FUERZAS DE RESTRICCIÓN
0=δ+δ
δ=δδ−=δ
ji
P
T
cijjP
T
ciji
WW
WW rFrF
Las uniones mecánicas introducen fuerzas de restricción que hay que
considerar en el equilibrio de cada cuerpo. Estas fuerzas aparecen como
incógnitas en las ecuaciones del movimiento. Existen cierto tipo de uniones,
denominadas ideales, que permiten la eliminación de las fuerzas de
restricción al considerar el equilibrio global del sistema.
ARTICULACION IDEAL (SIN ROZAMIENTO)