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- 2. Métodos Numéricos Aproximar un número Redondeo Para redondear un número a una unidad determinada, debemos fijarnos en la cifra inmediatamente posterior (la que le sigue) y: Si es mayor o igual que 5, se aumenta en uno la cifra anterior. Si es menor que 5, se deja la cifra igual. Truncamiento Para truncar un número se eliminan las cifras que están a la derecha de la unidad a la que debemos truncar. TÉCNICAS DE APROXIMACIÓN
- 3. Aproximar los siguientes números: Número # cifras Redondear Truncar 2.4564 2 2.46 2.45 -1.5451 3 -1.545 -1.545 45.1297 3 3.5981 0 4 3 TÉCNICAS DE APROXIMACIÓN Métodos Numéricos
- 4. ABSOLUTO 𝜺𝒂 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐 RELATIVO 𝜺𝒓 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 RELATIVO PORCENTUAL 𝜺𝒓 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 ∙ 𝟏𝟎𝟎% Errores Métodos Numéricos
- 5. Ejemplo: La población mundial ha crecido de forma exponencial desde 1650. La función exponencial que aproxima la población mundial, en miles de millones, con proyección a 2020 es: 𝑃 𝑡 = 1 2 ∙ 𝑑0.0072𝑡 Con 𝑑 como la tasa de crecimiento de la población y 𝑡 representa el tiempo medido en años. Calcule el ERROR RELATIVO PORCENTUAL de la población para el año de 1950, si se conoce que la tasa de crecimiento es 2.71825; REDONDEANDO la tasa a 2 decimales. TÉCNICAS DE APROXIMACIÓN Métodos Numéricos
- 6. Es una técnica del análisis numérico empleado para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando valores y propiedades de la función. Definición usual de derivada 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ Progresiva Centrada Regresiva 𝑓′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) ℎ 𝑓′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥 − ℎ) 2ℎ 𝑓′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 − ℎ) ℎ DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Métodos Numéricos
- 7. REGLA DE 3 PUNTOS Progresivas 𝑓′ 𝑥 = −3𝑓 𝑥 +4𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥+2ℎ) 2ℎ Centrada 𝑓′ 𝑥 = 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥−ℎ) 2ℎ Regresiva 𝑓′ 𝑥 = 3𝑓 𝑥 −4𝑓 𝑥−ℎ +𝑓(𝑥−2ℎ) 2ℎ REGLA DE 5 PUNTOS Progresivas 𝑓′ 𝑥 = −25𝑓 𝑥 +48𝑓 𝑥+ℎ −36𝑓 𝑥+2ℎ +16𝑓 𝑥+3ℎ −3𝑓(𝑥+4ℎ) 12ℎ Centrada 𝑓′ 𝑥 = 𝑓 𝑥−2ℎ −8𝑓 𝑥−ℎ +8𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥+2ℎ) 12ℎ Regresiva 𝑓′ 𝑥 = 25𝑓 𝑥 −48𝑓 𝑥−ℎ +36𝑓 𝑥−2ℎ −16𝑓 𝑥−3ℎ +3𝑓(𝑥−4ℎ) 12ℎ DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Métodos Numéricos
- 8. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Métodos Numéricos Ejemplo: Se han tomado algunas mediciones respecto al radio de un globo que se desinfla: Utilice la regla de 3 puntos para estimar la tasa de variación del volumen del globo pasados 1.5 𝑠𝑒𝑔. 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐𝒔𝒆𝒈 0 0.5 1.0 1.5 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐𝒄𝒎 30 22.3 18.6 15.1
- 9. Métodos Numéricos Ejemplo: Datos suministrados por la entidades gubernamentales de los Estados Unidos, se deduce que la deuda nacional, entre los años de 1980 y 2000, se resume en la siguiente tabla: Estime la razón de cambio del aumento de la deuda para: a) El año 2000, con la regla de 3 puntos correspondiente b) El año de 1980, con la regla de 5 puntos correspondiente c) El año de 1990. Año Deuda (miles de millones) 1980 930,2 1985 1945,9 1990 3233,3 1995 4974,0 2000 5674,2 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
- 10. Métodos Numéricos Progresiva DIFERENCIACIÓN DE ORDEN SUPERIOR
- 13. Métodos Numéricos Ejemplo o La ecuación 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 + 𝑤2 𝑦 = 0 representa un movimiento armónico simple en un sistema masa-resorte, donde 𝑤2 = 𝛽 𝑚 . 𝛽 representa la constante de elasticidad y 𝑚 es la masa considerada en el sistema. Considere el esquema: 𝒇′′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝟐𝒇 𝒙 − 𝒉 + 𝒇(𝒙 − 𝟐𝒉) 𝒉𝟐 para determinar el valor de 𝛽, en un sistema con una masa de 1.5 Kg, sabiendo que la solución de la ecuación que modela el movimiento es y 𝑡 = 10 cos(4𝑡) para 𝑡 = 1.7 𝑠𝑒𝑔. Utilice ℎ = 0.2
- 14. Métodos Numéricos 𝑥1 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥1 + ℎ ∙ 𝑓 𝑥2 + ⋯ + ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛 ℎ = ∆𝑥𝑖 𝑥2 𝑥𝑛 Punto medio INTEGRACIÓN ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖 2
- 15. Métodos Numéricos 𝑥1 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥1 + ℎ ∙ 𝑓 𝑥2 + ⋯ + ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛 ℎ = ∆𝑥𝑖 𝑥2 𝑥𝑛 ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖 2 = ℎ 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 ℎ = ∆𝑥𝑖 Punto medio INTEGRACIÓN
- 16. Métodos Numéricos 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 2 + ℎ ∙ 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 2 + ⋯ + ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 2 𝑥0 ℎ = ∆𝑥 𝑥1 𝑥𝑛 𝑥0 1 trapecio 2 trapecio Trapecio INTEGRACIÓN
- 17. Métodos Numéricos 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 2 + ℎ ∙ 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 2 + ⋯ + ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 2 𝑥0 ℎ = ∆𝑥 𝑥1 𝑥𝑛 𝑥0 = ℎ 2 [𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + 𝑓 𝑥2 + 𝑓 𝑥3 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ] Trapecio INTEGRACIÓN = ℎ 2 [𝑓 𝑥0 + 2𝑓 𝑥1 + 2𝑓 𝑥2 + 2𝑓 𝑥3 + ⋯ + 2𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ]
- 18. Métodos Numéricos Regla 𝟏 𝟑 de Simpson Polinomios Cuadráticos Regla 𝟑 𝟖 de Simpson Polinomios Cúbicos INTEGRACIÓN Regla de Simpson
- 19. Métodos Numéricos Regla de Simpson INTEGRACIÓN Regla 𝟏 𝟑 de Simpson Polinomios Cuadráticos Regla 𝟑 𝟖 de Simpson Polinomios Cúbicos 6 intervalos
- 20. Métodos Numéricos Regla de Simpson INTEGRACIÓN Sea 𝑓 continua en 𝑎, 𝑏 y sea 𝑛 ∈ Ζ, se tiene que: • La regla de 1 3 de Simpson: Sea 𝑛 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟, aproxima a 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 como: 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ℎ 3 𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 2𝑓 𝑥2 + 4𝑓 𝑥3 + 2𝑓 𝑥4 + ⋯ + 4𝑓 𝑥 𝑛−1 + 𝑓(𝑥𝑛) • La regla de 3 8 de Simpson: Sea 𝑛 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 3𝑘, aproxima a 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 como: 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 3ℎ 8 𝑓 𝑥0 + 3𝑓 𝑥1 + 3𝑓 𝑥2 + 2𝑓 𝑥3 + 3𝑓 𝑥4 + ⋯ + 3𝑓 𝑥 𝑛−1 + 𝑓(𝑥𝑛)
- 21. Métodos Numéricos Ejercicio Aproxime el área de la región sombreada utilizando la regla de Simpson con 𝑛 = 4 INTEGRACIÓN