este trabajo trata de la eswtadisitica y como se debe utilizar en el medio ambiente

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “SIMÓN RODRÍGUEZ”
NÚCLEO PALO VERDE “EXTENSIÓN LA GUAIRA”
ESTADISTICA II, SECCIÓN “D-G”
UNIDAD III:
TEORIA DE LAS PROBABILIDADES
PARTICIPANTES:
SETIM GONCALVES EDILIANA DEL VALLE C.I. 20.780.029
FACILITADOR:
DIAZ, ALAYS
LA GUAIRA, 11 DE DICIEMBRE 2021

2. ii
INDICE
p.p
Índice 2
Introducción 3
Distribuciones de variables aleatorias discretas 5
Distribución Binomial 6
Esperanza matemática y variianza de la distribución Binomial 11
Distribución de Poisson 16
Esperanza matemática y varianza de la distribución de Poisson 18
Distribución geométrica 21
Esperanza matemática y varianza de la distribución geométrica 23
Distribución hipergeométrica 24
Esperanza matemática y varianza de la distribución hipergeométrica 26
Distribuciones de variables aleatorias continuas 29
Distribución Uniforme 31
Esperanza matemática y varianza de la distribución uniforme 32
Distribución Exponencial 34
Esperanza matemática y varianza de la distribución Exponencial 38
Distribución Gamma 40
Esperanza matemática y varianza de la distribución Gamma 42
Distribución normal 43
Esperanza matemática y varianza de la distribución normal 47
Distribución χ² de Pearson 50
Esperanza 54
Conclusión 58
Bibliografía 60

3. 3
INTRODUCCIÓN
La Edad media termina históricamente en el año 1453 con la caída de
Constantinopla por parte de los otomanes, dando paso a la etapa conocida como
renacimiento, la cual se destacó por la actividad mercantil, industrial, artística,
arquitectónica, intelectual y científica, entre otras. A partir de esta etapa con el avance
en las matemáticas y la filosofía, se empieza a dar una explicación coherente a
muchos fenómenos que no seguían un patrón determinístico, sino aleatorio. Un día
en el año 1654, Blas Pascal (1623 - 1662) matemático francés, hacía un viaje en
compañía de un jugador más o menos profesional conocido como el caballero Meré,
quien era una persona apasionada por el juego de los dados y las cartas, siendo
además un hombre ilustrado. Este caballero creyó que había encontrado una
"falsedad" en los números al analizar el juego de los dados.
Mere, analizo el comportamiento de los dados y determino que era diferente
cuando se utilizaba un dado que cuando se empleaban dos dados. La "falsedad"
partía simplemente de una comparación errónea entre las probabilidades de sacar un
seis con un solo dado o de sacar un seis con dos dados. Para este hombre, debería
existir una relación proporcional entre el número de jugadas necesarias para
conseguir el efecto deseado en uno y otro caso. Asimismo, el problema radicó en que
el citado caballero no tuvo en cuenta que en el segundo caso estaba analizando una
probabilidad compuesta en donde las probabilidades se deben calcular
multiplicativamente.
Pascal, en una carta a Fermat, narraba esta anécdota concluía que Meré tenía
mucho talento, pero que no era geómetra; esto es, como saber un gran defecto" (carta
del 29 de julio de 1654). A Raíz del anterior problema y en especial con base en los
siguientes planteamientos, Pascal se comunica de nuevo con Pierre Fermat (1601 -
1665), francés, abogado de profesión pero gran amante de las matemáticas; con el
cual compartió los problemas propuestos por el citado caballero, siendo considerada
esta correspondencia como el punto de partida de la teoría de la probabilidad. Aunque
algunos afirman que fue en el año de 1563 cuando apareció el primer libro de

4. 4
probabilidad llamado "Liber de Lulo Alae", libro sobre el juego de los dados, escrito y
publicado por el italiano Girdamo Cardano (1501 - 1576).
Por otra parte los conceptos y métodos estadísticos no son solo útiles, sino
con frecuencia son indispensables para entender el mundo que nos rodea. Estos
conceptos proporcionan formas de obtener ideas nuevas del comportamiento de
muchos fenómenos que se presentarán en su campo de especialización escogido en
ingeniería o ciencia. Asimismo la disciplina de estadística nos enseña cómo realizar
juicios inteligentes y tomar decisiones informadas entre la presencia de incertidumbre
y variación. Esto proporciona recursos para analizar datos críticamente y para
formarse una opinión fundamentada acerca de las decisiones que toman las
administraciones, las empresas y otros colectivos, así como acerca de la marcha
general de la sociedad.
Además, la probabilidad y la estadística contribuyen una imagen mucho más
equilibrada de la ciencia que tradicionalmente ha presentado ante el investigador un
carácter marcadamente determinante en el que todo es explicable en términos de
causas y efectos. En el estudio de la probabilidad matemática, nos interesa la
derivación de las leyes del azar y los resultados que éstas determinan. Asimismo, si
lanzamos al aire una moneda diez veces, podemos calcular la probabilidad de que
una de las caras en particular no aparezca hacia arriba, de que aparezca una sola
vez, de que aparezca dos veces, etc.
S imilarmente, si una muestra de diez focos de árbol de Navidad de seleccionar
al azar de un terreno, se prueba y si sabe que el promedio de focos defectuosos es
el 3%, entonces podemos calcular la probabilidad de que esta muestra contenga por
lo menos cinco focos defectuosos. Por consecuente estos son ejemplos de
experimentos que pueden verificarse en la realidad o en nuestra imaginación; los
experimentos constituyen una parte importante de los procesos empleados en
probabilidad, los resultados de estos experimentos se les llama eventos.
La probabilidad o el azar juegan un papel muy importante en el razonamiento
científico. A continuación se explicara los tipo de distribución de probabilidades.

5. 5
Distribuciones de variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria se llama discreta si se puede contar su conjunto de
resultados posibles. Las variables aleatorias discretas son variables aleatorias cuyo
intervalo de valores es finito o contablemente infinito. Según la lista de los resultados
de un experimento con las probabilidades que se esperan, se asociarán a esos
resultados. Si (x) es una variable aleatoria discreta, la función dada por f=(x) para
cada (x) contenida en el intervalo de (x) se denomina función de probabilidad, o
distribución de probabilidad, de (x). Una función puede fungir como la distribución de
probabilidad de una variable aleatoria discreta (x) si y sólo si sus valores, f=(x), cumple
las condiciones siguientes:
f ( x) ≥ 0 para cada valor contenido en su dominio
∑ f (x) = 1, donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores contenidos en su
dominio
Ejercicio 1
Sea el experimento “Tirar un dado”. El espacio muestral es entonces:
E = {1,2,3,4,5,6}
Los valores correspondientes a la variable aleatoria “Resultado obtenido”
Serían:
X(1 ) = 1
X(2 ) = 2
X( 3) = 3
X(4 ) = 4
X(5 ) = 5
X(6 ) = 6
sus correspondientes probabilidades:
P(X=1)= 1/6
P(X=2)= 1/6
P(X=3)= 1/6

6. 6
P(X=4)= 1/6
P(X=5)= 1/6
P(X=6)= 1/6
Obsérvese que para cualquier valor x real tiene sentido calcular:
Ejercicio 2
Distribución Binominal
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución binomial o distribución
binómica es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos
en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí con una

7. 7
probabilidad fija p de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Un experimento de
Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles,
a uno de estos se le denomina “éxito” y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al
otro se le denomina “fracaso” y tiene una probabilidad q=1-p.
Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser
caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de
una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5
veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra
distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.
Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos
en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra
variable aleatoria.
Propiedades de la distribución binomial
Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial,
tiene que cumplir las siguientes propiedades:
 En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito
o fracaso).
 La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la
letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta
es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las
probabilidades de sacar cara son constantes.
 La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa
mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que, mediante esa ecuación,
sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
 El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por
lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
 Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2
al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al
lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo

8. 8
 Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2
ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si
no sale cara ha de salir cruz.
 La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar
como X ~ (n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y
p la probabilidad de éxito.
Formula de la distribución binomial
La fórmula para calcular la distribución normal es:
Donde:
n = Número de ensayos/experimentos
x = Número de éxitos
p = Probabilidad de éxito
q = Probabilidad de fracaso (1-p)
Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión
matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene
con la siguiente formula:
El signo de exclamación en la expresión anterior representa el símbolo de
factorial.

9. 9
Ejercicio 1
Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la
final del último mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar,
¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido?
Definamos las variables del experimento:
n = 4 (es el total de la muestra que tenemos)
x = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la
probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.
p = probabilidad de éxito (0,8)
q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.
tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.
El numerador de la factorial se obtendría de multiplicar 4x3x2x1 = 24 y en el
denominador tendríamos 3 x 2 x 1 x 1 = 6. Por lo tanto, el resultado de la factorial
sería 24/6 = 4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,83
= 0,512 y el
segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).
Por tanto, nuestro resultado final sería: 4 x 0,512 x 0,2 = 0,4096. Si
multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los
4 amigos haya visto el partido de la final del mundial.
Esperanza matemática y varianza
Esperanza matemática
La esperanza matemática de una variable aleatoria X, es el número que
expresa el valor medio del fenómeno que representa dicha variable.

10. 10
La esperanza matemática, también llamada valor esperado, es igual al
sumatorio de las probabilidades de que exista un suceso aleatorio, multiplicado por el
valor del suceso aleatorio. Dicho de otra forma, es el valor medio de un conjunto de
datos. Esto, teniendo en cuenta que el término esperanza matemática está acuñado
por la teoría de la probabilidad.
Cálculo de la esperanza matemática
La esperanza matemática se calcula utilizando la probabilidad de cada
suceso. La fórmula que formaliza este cálculo se enuncia como sigue:
Dónde:
X = valor del suceso.
P = Probabilidad de que ocurra.
i = Periodo en el que se da dicho suceso.
N = Número total de periodos u observaciones.
No siempre la probabilidad de que ocurra un suceso es la misma, como con
las monedas. Existen infinidad de casos en que un suceso tiene más probabilidad de
salir que otro. Por eso utilizamos en la fórmula la P. Además, al calcular números
matemáticos debemos multiplicar por el valor del suceso.
Uso de la esperanza matemática
La esperanza matemática se utiliza en todas aquellas disciplinas en las que la
presencia de sucesos probabilísticos es inherente a las mismas. Disciplinas tales
como la estadística teórica, la física cuántica, la econometría, la biología o los

11. 11
mercados financieros. Una gran cantidad de procesos y sucesos que ocurren en el
mundo son inexactos. Un ejemplo claro y fácil de entender es el de la bolsa de valores.
En la bolsa de valores, todo se calcula en base a valores esperados ¿Por qué
valores esperados? Porque es lo que esperamos que suceda, pero no podemos
confirmarlo. Todo se basa en probabilidades, no en certezas. Si el valor esperado o
esperanza matemática de la rentabilidad de un activo es de un 10% anual, querrá
decir que, según la información que tenemos del pasado, lo más probable es que la
rentabilidad vuelva a ser de un 10%. Si solo tenemos en cuenta, claro está, la
esperanza matemática como método para tomar nuestras decisiones de inversión.
Ejercicio 1
Dada la siguiente función de distribución:
F(x)
0 x < 0
0,1 0 ≤ x < 1
0,1 + a 1 ≤ x < 2
0,1 + a + b 2 ≤ x < 3
0,1 + a + b + c 3 ≤ x < 4
0,1 + a + b + c + 0,2 4 ≤ x
y sabiendo que P (x ≤ 2) = 0,7 y P (x ≥ 2) = 0,75. Hallar la esperanza matemática, la
varianza y la desviación típica.
Dado que P (x ≤ 2) = 0,7 = 0,1 + a + b y P (x ≥ 2) = 0,75 = 1 - P (x < 2) = 0,9 – a,
tenemos el siguiente sistema de ecuaciones.
0,1 + a + b = 0,7
0,9 - a = 0,75

12. 12
cuya solución es a = 0,15 y b = 0,45. Por último, tenemos por la función de distribución
que: 0,1 + a + b + c + 0,2 = 1
sustituyendo los valores de a y b y despejando para c obtenemos que c = 0.1. De aquí
se sigue que:
Dada la función de distribución anterior, podemos obtener la función de
probabilidad, la cual está dada por
F(x)
0,1 x = 0
0,15 x = 1
0,45 x = 2
0,1 x = 3
0,2 x = 4
x pi xpi x2
pi
0 0,1 0 0
1 0,15 0,15 0,15
2 0,45 0,9 1,8
3 0,1 0,3 0,9
4 0,2 0,8 3,2
2,15 6,05
µ = 2,15
σ2
= 6,05 – 2,152
≈ 1,4275 ≈ 2,9167
σ = ≈ 1,19
√1,4275
0 x < 0
0,1 0 ≤ x < 1
0,25 1 ≤ x < 2
0,7 2 ≤ x < 3
0,8 3 ≤ x < 4
1 4 ≤ x
F(x)

13. 13
Ejercicio 2
Al lanzar un dado normal de 6 caras, sea X la variable aleatoria definida por X
= el cuadrado del resultado que muestra el dado. ¿Cuál es la esperanza matemática
de X?
x: 1, 4, 9, 16, 25, 36
x 1 4 9 16 25 36
P(X=x) 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16
E(x) =
91
≈ 15,17
6
Varianza
La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de
una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los
residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. También se puede
calcular como la desviación típica al cuadrado. Dicho sea de paso, entendemos como
residuo a la diferencia entre el valor de una variable en un momento y el valor medio
de toda la variable.
Fórmula para calcular la varianza
La unidad de medida de la varianza será siempre la unidad de medida
correspondiente a los datos, pero elevada al cuadrado. La varianza siempre es mayor
o igual que cero. Al elevarse los residuos al cuadrado es matemáticamente imposible
que la varianza salga negativa. Y de esa forma no puede ser menor que cero.
1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6
+ 25. + 36.
E(x) =∑ x. P(X=x) = 1. + 4. + 9. + 16.

14. 14
donde
 X: variable sobre la que se pretenden calcular la varianza
 xi: observación número i de la variable X. i puede tomará valores entre 1 y n.
 n: número de observaciones.
 x
̄ : Es la media de la variable X.
o lo que es lo mismo:
Ejercicio 2
Vamos a acuñar una serie de datos sobre salarios. Tenemos cinco personas, cada
uno con un salario diferente:
Alays: 1.500,00 bolívares
Pedro: 1.200,00 bolívares
José: 1.700,00 bolívares
Andrés: 1.300,00 bolívares
Marcos: 1.800,00 bolívares
La media del salario, la cual necesitamos para nuestro cálculo, es de (1.500,00
+ 1.200,00 + 1.700,00 + 1.300,00 + 1.800,00) /5) = 1.500,00 bolívares.
dado que la fórmula de la varianza en su forma desglosada se formula como sigue:
Var (X) =
(1.500,00 - 1.500,00)2
+ (1.200,00 - 1.500,00)2
+ (1.700,00 - 1.500,00)2
+ (1.300,00 - 1.500,00)2
+
(1.800,00 - 1.500,00)2
5

15. 15
Var (X) =
(0)2
+ (-300,00)2
+ (200,00)2
+ (-200,00)2
+
(300)2
Var (X) =
0 + 9.000,00 + 4.000,00 + 4.000,00 +
9.000,00
5
Var (X) = 5.200,00
Ejercicio 3
Se supone que la probabilidad de nacer niño es del 0,50. Calcula la
probabilidad de que en una familia de seis hijos sean:
a) Todos varones.
b) Al menos, dos varones.
c) Tres varones.
d) Calcula la media y la varianza.
Estamos ante una distribución binomial B (6, 1/2), de parámetros n = 6 y p = 1/2
= 0,5.
Sea X la variable que expresa el número de hijos varones en las familias de seis hijos.
a.- Que todos sean varones: P (X = 6) =
6
2
1
6
6















= 0,015625.
b.- Que, al menos, haya dos varones: P (X≥ 2) =1 - P (X < 2) = 1 - P (X = 0) - P (X =1)
=
=
5
6
2
1
2
1
1
6
2
1
0
6
1 






























 = 1 - 0, 109375= 0,890625
c.- Que tres sean varones: P (X =3) =
3
3
2
1
2
1
3
6




















= 0,3125.

16. 16
d.-La media es: μ = n.p = 6.
2
1
= 3 varones.
la varianza vale: σ = q
p
n 
 = 2
/
1
2
/
1
6 
 =1,225
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que se
aplica a las ocurrencias de algún suceso durante un intervalo determinado. Nuestra
variable aleatoria x representará el número de ocurrencias de un suceso en un
intervalo determinado, el cual podrá ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna
otra unidad similar o derivada de éstas.
La distribución de Poisson debe de cumplir los siguientes requisitos:
 La variable discreta es el número de ocurrencias de un suceso durante un
intervalo (esto es la propia definición que hemos dado anteriormente).
 Las ocurrencias deben ser aleatorias y no contener ningún vicio que favorezca
unas ocurrencias en favor de otras.
 Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo
que se emplee.
 Dada una variable aleatoria discreta X decimos que su frecuencia se puede
aproximar satisfactoriamente a una distribución de Poisson, tal que:
A diferencia de la distribución normal, la distribución de Poisson solo depende
de un parámetro, mu (marcado en amarillo). Mu informa del número esperado de
eventos que ocurrirán en un intervalo de tiempo fijado. Cuando se habla de algo
“esperado” tenemos que redirigirlo a pensar en la media. Por tanto, mu es la media
de la frecuencia de los eventos. Tanto la media como la varianza de esta distribución
son mu, estrictamente positiva.

17. 17
Ejercicio 1
Suponemos que estamos en temporada de invierno y queremos ir a esquiar
antes de diciembre. La probabilidad que abran las estaciones de esquí antes de
diciembre es del 5%. De las 100 estaciones de esquí, queremos saber la probabilidad
de que la estación de esquí más cercana abra antes de diciembre. La valoración de
esta estación de esquí es de 6 puntos.
Los inputs necesarios para calcular la función de probabilidad de densidad de la
Poisson son el conjunto de datos y mu:
Conjunto de datos = 100 estaciones de esquí.
Mu = 5% * 100 = 5 es el número de estaciones de esquí esperado dado el conjunto
de datos.
Ejercicio 2
Supongamos que un restaurante determinado, recibe un promedio de 100
clientes por día. Podemos usar la calculadora de distribución de Poisson para
encontrar la probabilidad de que el restaurante reciba más de un cierto número de
clientes:
P (X> 110 clientes) = 0,14714
P (X> 120 clientes) = 0.02267
P (X> 130 clientes) = 0,00171
Y así.
Esto les da a los gerentes de restaurantes una idea de la probabilidad de que
reciban más de un cierto número de clientes en un día determinado.
Esperanza matemática y varianza de la distribución de Poisson

18. 18
Esperanza matemática y varianza de la distribución de Poisson
La esperanza matemática de la variable aleatoria X es:
E[X] = ƛ
La varianza de la variable aleatoria X es
Ejercicio 1
Tres ejecutivos del Insalud opinan que el número medio de pacientes que
llegan a cierto servicio nocturno de guardia durante una hora es 2, según el primero,
3, según el segundo, y 5 según el tercero. Sus opiniones pueden ponderarse teniendo
en cuenta que el primero tiene el doble de experiencia profesional que los otros dos.
Para tomar una decisión de asignación de personal en ese servicio quieren estimar el
número medio de pacientes, sin despreciar sus opiniones, por lo que realiza una
experiencia controlando una hora de actividad en el servicio en la que acuden 3
pacientes. Esta información la van a combinar con la inicial a través de un proceso
Bayesiano :¿cómo lo harían?

19. 19
La distribución a priori será tal que deberá asignarse el doble de probabilidad
a la alternativa propuesta por el primer experto que a las de los otros dos. Así que
será:
i i)
2 0,5
3 0,25
4 0,25
de manera que la estimación inicial de sería, la media de la distribución a priori:
Realizada la experiencia, las verosimilitudes de las tres alternativas nos vendrán
dadas por la función de cuantía de la distribución de Poisson, con
i
2 0,180447
3 0,224042
5 0,140374
La función de cuantía de la distribución a posteriori la obtendremos aplicando el
Teorema de Bayes y resultará ser:

20. 20
i
2 0,497572
3 0,308891
5 0,193536
Esta distribución a posteriori nos dará cuenta de toda la información disponible
acerca del parámetro desconocido, (número medio de pacientes por hora); tanto de
la información subjetiva de los expertos (convenientemente ponderada) como de la
información empírica suministrada por la observación.
A partir de esta distribución a posteriori podemos plantear nos dar un valor
concreto para la estimación de considerando una función de pérdida cuadrática. La
estimación adecuada sería la media de la distribución a posteriori:
pacientes la hora
Ejercicio 2
Los buses llegan a cierta terminal de transporte, y se sabe que siguen un
proceso de Poisson, con tasa de 8 buses por hora, de modo que el número de
llegadas por un período de horas es una variable de Poisson con parámetro ƛ = 8t.
 ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 buses lleguen durante un
periodo de una hora?
 ¿Cuántos buses se pueden esperar a que lleguen durante 90 minutos?
La llegada de los buses a la terminal de transporte se distribuye según
Poisson. Es decir, tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria
con distribución de Poisson son iguales a ƛ. Sea X una variable que representa el

21. 21
número de buses que llegan a la terminal de transporte durante un periodo de tiempo
t.
ƛ = 8 buses x tiempo = 8x1 = 8
Se pide calcular la probabilidad de que lleguen exactamente 5 buses durante
una hora.
P(X = 5) =
e-ƛ ƛk
=
e-8.85
= 0,091
k! 5!
Por tanto, existe una probabilidad del 9.1% de que lleguen exactamente 5
buses a la terminal durante una hora.
Se pide calcular la cantidad de buses que podrían llegar en un tiempo de hora
y media.
E(X) = ƛ = 8 x 1,5 = 12 buses
Ahora bien, por propiedad de la distribución de Poisson Var(X) = 12. Con lo
cual tendríamos que la desviación estándar, D.E., para este caso es D.E. = √12 ≈
3,46. Se espera entonces, que en una hora y media lleguen, en promedio, 12 buses
a la terminal de transporte, con una desviación estándar de 3 buses. Esto quiere decir
que, en realidad, se espera que lleguen entre 9 y 15 buses.
Distribución geométrica
La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en
los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene
interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera. También
implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de
las pruebas entre sí. Son proceso experimental del que se puede hacer derivar

22. 22
Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de
Bernouilli en el que tengamos las siguientes características:
El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos
separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el
resultado deseado (éxito). Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente
excluyentes: A y no A La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es
p y la de obtener un resultado no A es q
siendo (p + q = 1).
Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas, por tanto, las
pruebas, son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará
a , cabo con devolución del individuo extraído) .
Ejercicio 1
Supongamos que queremos saber cuántas veces tendremos que lanzar una
moneda justa hasta que caiga cara.
Podemos usar las siguientes fórmulas para determinar la probabilidad de
experimentar 0, 1, 2, 3 fallas, etc. antes de que la moneda caiga en cara:
Nota: La moneda puede experimentar 0 «fallos» si cae cara en el primer lanzamiento.
P (X = 0) = (1-.5) 0 (.5) = 0.5
P (X = 1) = (1-.5) 1 (.5) = 0.25
P (X = 2) = (1-.5) 2 (.5) = 0.125
P (X = 3) = (1-.5) 3 (.5) = 0.0625

23. 23
Ejercicio 2
Suponga que un investigador está esperando fuera de una biblioteca para
preguntarle a la gente si apoya una determinada ley. La probabilidad de que una
persona determinada apoye la ley es p = 0,2.
Podemos utilizar las siguientes fórmulas para determinar la probabilidad de
entrevistar a 0, 1, 2 personas, etc. antes de que el investigador hable con alguien que
apoye la ley:
P (X = 0) = (1-.2) 0 (.2) = 0.2
P (X = 1) = (1-.2) 1 (.2) = 0.16
P (X = 2) = (1-.2) 2 (.2) = 0,128
Esperanza matemática y varianza de la distribución geométrica
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 𝑬(𝒙) =
𝟏 − 𝒑
𝒑
𝒗𝒂𝒓(𝒙) =
𝟏 − 𝒑
𝒑𝟐
Ejercicio 1
Suponga que cada una de sus llamadas a una estación de radio popular tiene
una probabilidad de 0,02 de ser respondida. Asumiendo que las llamadas son
independientes,
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que respondan a la décima llamada?,
b.- ¿Cuál es el número medio de llamadas a conectar?
X = número de llamadas a la estación hasta ser atendido
Éxito: llamada respondida p = 0,02
Fracaso: llamada no respondida 1 – p = 0,98
a.- f(x) = (1-p)x-1p
f(x) = (0,98)9(0,02)
f(x) = 0,0167

24. 24
b.- E(x) = 1/p
E(x) = 1/0,02
E(x) = 50
es decir, se necesitan 50 llamadas en promedio para ser atendido.
Ejercicio 2
La probabilidad de calibrar un transductor en un instrumento electrónico de
acuerdo con las especificaciones del sistema de medida es de 0,6. Asumiendo que
los intentos de calibración son independientes.
¿cuál es la probabilidad de que cuando mucho tres intentos de calibración sean
requeridos para satisfacer las especificaciones?
X = intentos para lograr la calibración
Éxito: que se logre la calibración p = 0,6
Fracaso: que no se logre la calibración 1 – p = 0,4
a.- P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
f(x) = p(1 – p´)x-1
f(1) = (0,6) (0,4)0 = 0,6
f(2) = (0,6) (0,4)1 = 0,24
f(3) = (0,6) (0,4)2 = 0,096
P(X ≤ 3) = 0,936
b.- E(x) = 1/p
E(x) = 1/0,6
E(x) = 1,66
es decir, se necesitan 1,66 intentos en promedio para ser calibrado.
Distribución hipergeométrica
La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos
en los que se extraigan muestras o se realicen experiencias repetidas sin devolución
del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial. Es una

25. 25
distribución fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones
pequeñas y en el cálculo de probabilidades de juegos de azar. Tiene grandes
aplicaciones en el control de calidad para procesos experimentales en los que no es
posible retornar a la situación de partida.
Ejercicio 1:
Diez refrigeradores de cierto tipo han sido devueltos a un distribuidor debido
al a presencia de un ruido oscilante agudo cuando el refrigerador está funcionando.
Supongamos que 4 de estos 10 refrigeradores tienen compresores defectuosos y los
otros 6 tienen problemas más leves. Si se examinan al azar 5 de estos 10
refrigeradores, y se define la variable aleatoria X: “el número entre los 5 examinados
que tienen un compresor defectuoso”. Indicar:
La distribución de la variable aleatoria X
La probabilidad de que no todos tengan fallas leves
La probabilidad de que a lo sumo cuatro tengan fallas de compresor
Ilustremos con un esquema la situación:
a)
El tamaño de la población finita es de:
10 ⇒N=10⇒N=10.

26. 26
En esa población finita hay 4 éxitos (compresores defectuosos) y 6 fracasos
(problemas más leves).
⇒M=4⇒M=4. El tamaño de la muestra es de 5, ⇒n=5⇒n=5.
Entonces la variable XX número de refrigeradores con compresores defectuosos de
un total de 5 analizados, tiene distribución:
b) X∼Hipergeométrica(N=10,M=4,n=5)X∼Hipergeométrica(N=10,M=4,n=5)
Es conveniente pensar cómo expresar en términos de X a la condición “que no todos
tengan fallas leves”. Si no ocurre que todos tengan fallas leves, es porque alguno
tiene compresores defectuosos. Es decir que X≥1X≥1.
P(X≥1)=1–P(X=0)=1–(40)(65)(105)=0,97619
Ejercicio 2
Una máquina de tacos plásticos funciona de tal forma que de cada 10 piezas,
una sale deformada. En una muestra de 5 piezas que posibilidad hay que una sola
pieza salga defectuosa.
Población: N=10
Número n de defectuosas por cada N: n=1
Tamaño de la muestra: m=5
P(10, 1, 5; 1) = C(1,1)*C(9,4)/C(10,5)= 1*126/252 = 0.5
Por lo tanto hay un 50% de probabilidad de que en una muestra de 5, un taco salga
deforme.
Esperanza matemática y varianza de la distribución hipergeométrica
𝒗𝒂𝒓[𝒙] =
𝒏𝒌
𝑵
(
𝑵−𝑲
𝑵
)(
𝑵−𝒏
𝑵−𝟏
)

27. 27
𝑬(𝒙) =
𝒏𝑲
𝑵
Ejercicio 1
Una fábrica de vehículos, en la ultima semana produjo 17 vehículos, de los
cuales la autoridad estatal de control de calidad tomo una muestra aleatoria de 7
vehículos para control.
El ingeniero de planta indica al gerente que 8 de los 17 vehículos tienen una
leve falla en el motor. Cual es la probabilidad de que en la muestra encuentren:
a.- Exactamente 3 con fallas de motor. x = 3 con fallas; k = 8
b.- A lo mucho 2 con fallas de motor. x ≤ 2 con fallas; k = 8
c.- Por lo menos 3 con fallas de motor. x ≥ 3 con fallas; k = 8
d.- exactamente 3 sin fallas de motor. x = 3 sin fallas: k = 9
N = 17
m = 7
k = 8 con fallas o 9 sin fallas
a.- Exactamente 3 con fallas de motor.
N = 17; m = 7; x = 3; k = 8
P(x, m, k, N) =
(𝑘
𝑥)⋅(
𝑁 − 𝑘
𝑚 − 𝑥
)
(𝑁
𝑚)
P(x = 3) =
(8
3)⋅(
17 − 8
7 − 3
)
(17
7 )
P(x = 3) =
(8
3
)⋅(9
4
)
(17
7 )
= 0,3628 = 36,28%

28. 28
b.- A lo mucho 2 con fallas de motor.
P(x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)
P(x = 0)
P(x) =
(𝑘
𝑥)⋅(
𝑁 − 𝑘
𝑚 − 𝑥
)
(𝑁
𝑚)
P(x = 0) =
(8
0)⋅(
17 − 8
7 − 0
)
(17
7 )
= 0,0019
P(x = 1)
P(x = 1) =
(8
1
)⋅(
17 − 8
7 − 1
)
(17
7 )
= 0,0346
P(x = 2)
P(x = 2) =
(8
2
)⋅(
17 − 8
7 − 2
)
(17
7 )
= 0,1814
P(x ≤ 2) = 0,2179 = 21,79%
c.- Por lo menos 3 con fallas de motor.
x = {3; 4; 5; 6; 7} aplicamos la ley de complemento
P(A) = 1 – P(Â)
P(x ≥ 3) = 1 - P(x ≤ 2)

29. 29
P(x ≥ 3) = 1 – 0,2179
P(x ≥ 3) = 0,7821 = 78,21%
d.- exactamente 3 sin fallas de motor.
P(x = 3) =
(9
3)⋅(
17 − 9
7 − 3
)
(17
7 )
P(x = 3) =
(9
3
)⋅(8
4
)
(17
7 )
= 0,3023 = 30,23%
Calculamos la esperanza y la varianza de vehículos entregados con fallas de motor
en la muestra k = 8
E(x) = m.
k
N
V(x) = m .
k
. ( 1 -
k
) . (
N - m
)
N N N -1
E(x) = 7 .
8
17
E(x) = 3,2941
V(x) = 7 .
8
. ( 1 -
8
) . (
17 - 7
)
17 17 17 - 1
V(x) = 1,09

30. 30
Ejercicio 1
Un mazo de baraja española tiene 40 cartas, de las cuales 10 tienen oro y las
restantes 30 no lo tienen. Supongamos que de ese mazo se extraen al azar 7 cartas,
las cuales no se reincorporan al mazo.
Si X es el número de oros presentes en las 7 cartas extraídas, entonces la
probabilidad que se tengan x oros en una extracción de 7 cartas está dado por la
distribución hipergeométrica P(40,10,7;x).
veamos esto así: para calcular la probabilidad de tener 4 oros en una
extracción de 7 cartas usamos la fórmula de la distribución hipergeométrica con los
siguientes valores:
y el resultado es: 4,57% de probabilidad.
calculamos la esperanza y la varianza
E(x) = m.
k
N
V(x) = m .
k
. ( 1 -
k
) . (
N - m
)
N N N -1
E(x) = 7 .
10
40
E(x) = 1,75
V(x) = 7 .
10
. ( 1 -
10
) . (
40 - 7
)
40 40 40 - 1

31. 31
V(x) = 1,10
Distribuciones de variables aleatorias continuas
Las variables aleatorias continuas son esas variables aleatorias que tienen
cómo recorrido un conjunto infinito no numerable. (Para simplificar se podría pensar
en que entre dos valores de la variable existen infinitos valores intermedios. En
general, tiempo, volumen, peso, áreas son variables continuas.) Es necesario
entender que es una variable aleatoria, que es la función de densidad de probabilidad,
que es la función de distribución, la esperanza, la varianza, y las propiedades de
esperanza y varianza.
Ejercicio 1
La longitud de ciertos tornillos (en centímetros) es una variable aleatoria con
la siguiente función de densidad:
f(x) =
3
(-x2 + 4x - 3 si 1 ≤ x ≤ 3)
4
0 en otro punto
Para hacer cierto trabajo se prefieren tornillos con longitud entre 1,7 cm y 2,4
cm. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo tenga dicha longitud?
La variable es X: longitud de ciertos tornillos (en cm).
Calculamos la probabilidad pedida P (1,7 ≤ X ≤ 2,4) cómo el área bajo la curva
de densidad entre x=1,7 y x=2:
𝑃(𝐼, 7 ≤ 𝑥 ≤ 2,4) = ∫
2,4
1,7
3
4
(−𝑥2
+ 4 × 3) dx
= 3/4 [– x3/3 + 2x2 – 3x] =

32. 32
= 3/4 [(– (2,4)3/3 + 2(2,4)2 – 3(2,4)) – ((1,7)3/3 + 2(1,7)2 – 3(1,7))]
= 0,50225
Ejercicio 2
Las marcas obtenidas por un lanzador (distancias medidas en decámetros) es
una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad:
f(x) =
k
x2
si 0 ≤ x ≤ 3
9
0 en otro punto
Encontrar el valor de k.
Si f es función de densidad, entonces el área bajo la curva en todo su recorrido
debe ser 1:
∫ 𝑘 ⋅
𝑥2
9
ⅆ𝑥
3
0
= [𝑘 ⋅
𝑥3
9.3
]
0
3
= 𝑘 = 1
Distribución Uniforme
La distribución uniforme es una distribución continua que modela un rango de
valores con igual probabilidad. La distribución uniforme se especifica mediante cotas
inferior y superior. Por ejemplo, la siguiente gráfica ilustra una distribución uniforme.
La distribución uniforme no suele ocurrir en la naturaleza, pero es importante como
una distribución de referencia. La distribución uniforme también se conoce como la
distribución rectangular.

33. 34
Ejercicio 1
Sea la variable aleatoria continua x la corriente medida, en miliamperes, en
un alambre delgado de cobre. supongase que el rango de x es 0.20 mA y que la
función de densidad de probabilidad de x es:
F(x)=0.05
0 ≤ 𝑥 ≤ 20
a)¿Cual es la probabilidad de que una medición de corriente este entre 5 y 10
miliamperes?
b) Obtenga la media y la varianza de x
La probabilidad se calcula por:
𝑷(𝟓𝒙 < 𝟏𝟎) =
𝟏
𝟐𝟎
∫ 𝒅𝒙
𝟏𝟎
𝟓
=
𝟏𝟎 − 𝟓
𝟐𝟎
=
𝟓
𝟐𝟎
= 𝟎. 𝟐𝟓
𝑬(𝒙) =
𝒂 + 𝒃
𝟐
=
𝟎 + 𝟐𝟎
𝟐
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎𝒎𝑨
𝒗(𝒙) =
(𝒃 − 𝒂𝟐
)
𝟏𝟐
=
(𝟐𝟎 − 𝟎𝟐
)
𝟏𝟐
=
𝟐𝟎𝟐
𝟏𝟐
= 𝟑𝟑. 𝟑𝟑𝒎𝑨𝟐
Ejercicio 2
Suponga un experimento en el que de alguna manera se hace medición al
azar y esta tiene una distribución uniforme en el intervalo 0.3. Calcule la probabilidad
de que la medición este entre 1.5 y 2.
a) Por medio de su función de densidad.
b)Por medio de su función acumulada.

34. 34
a) Sea x la variable aleatoria continua definida en el experimento, se ha mencionado
en las condiciones del problema que x tiene una distribución en 0.3. Por lo tanto, su
función de densidad estará dada por:
La probabilidad se calcula por:
𝒑(𝟏. 𝟓 < 𝒙 < 𝟐) =
𝟏
𝟑
∫ 𝒅𝒙
𝟐
𝟏.𝟓
=
𝟐 − 𝟏. 𝟓
𝟑
=
𝟏
𝟔
b) De forma similar al inciso (a), tenemos que su función acumulada de x estará dada
por :
Por lo tanto, la probabilidad P(1.5) es menor que x, x menor que 2 , se puede calcular
de la siguiente manera:
𝒑(𝟏. 𝟓) < 𝒙 < 𝟐) = 𝑭(𝟐) − 𝑭(𝟏. 𝟓) =
=
𝟐
𝟑
−
𝟏. 𝟓
𝟑
=
𝟐 − 𝟏. 𝟓
𝟑
=
𝟎. 𝟓
𝟑
=
𝟏
𝟔
Esperanza matemática y varianza de la distribución uniforme
Ejercicio 1
Cierta variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo
[0,100]. Determinar:
 a.- La probabilidad de que el valor de X sea menor que 22.
 b.- La probabilidad de que X tome valores entre 20 y 35.
 c.- El valor esperado, la varianza y la desviación estándar de esta distribución.

35. 35
 Se determina de modo semejante al ejemplo anterior, pero antes hay que
determinar la altura del rectángulo, recordando que el área total debe ser igual
a 1:
Área = 100 × altura = 1
Por lo tanto, el rectángulo tiene una altura igual a 1/100 = 0.01
P(X<22) = 22×0.01 = 0.22
 La probabilidad pedida equivale al área del rectángulo cuyo ancho es (35 –
20) y cuya altura es 0.01:
P (22<X<35) = (35 – 20) × 0.01 = 0.15
Si se prefiere acudir directamente a la función de distribución dada anteriormente,
entonces solo hay que sustituir los valores en:
P(20≤X≤35) = F(35) - F(20)
con F(x) dada por:
F (x) = (x-a) / (b-a)
Los valores a introducir son:
a = 0
b= 100
F(35) = (35-0) / (100-0) = 0.35

36. 36
F(20) = (20-0) / (100-0) = 0.20
P(20 ≤ X ≤ 35) =0.35-0.20 = 0.15
 El valor esperado es:
E(X)= (a + b)/2 = (100+0)/2 = 50
La varianza es:
V(X)=(b-a)2/12= (100-0)2/12 = 833.33
y la desviación estándar es:
D(X) = √833.33 = 28.87
Ejercicio 2
El espesor del borde de un componente de una aeronave está distribuido de
manera uniforme entre 0.95 y 1.05 milímetros. a) Obtenga la función de distribución
acumulada del espesor del borde. b) Calcule la proporción de bordes cuyo espesor
es mayor que 1.02 milímetros. c) ¿Qué espesor está excedido por el 90% de los
bordes? d) Calcule la media y la varianza del espesor del borde.
caso a)
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢) ⅆ𝑢
𝑥
−∞
f(x) =
1
b - a
f(x) =
1
= 10
1,05 - 0,95

37. 37
𝐹(𝑥) = ∫ 10 ⅆ𝑢
𝑥
0,95
F(x) = 10x 10(0,95)
F(x) = 10x – 9,5 ------- 0,95 ≤ x ≤ 1,05
caso b)
F(1,02) = 10(1,02) – 9,5
F(1,02) = 0,7
P(X > 1,02) = 1 – 0,7 = 0,3
caso c)
f(x) = 10
F(x) = 10 – 9,5
P(X ≤ x) = 0,1 = F(x)
0,1 = 10x – 9,5
10x = 0,1 + 9,5 = 9,6
x = 9,6/10 = 0,96
caso d)

38. 38
E(X) =
a + b
2
E(X) =
0,95 + 1,05
= 1
2
E(X) = 1
V(X) =
(b - a)2
12
V(X) =
(1,05 - 0,95)2
12
V(X) =
0,01
= 0,00083
12
Distribución Exponencial
A pesar de la sencillez analítica de sus funciones de definición, la distribución
exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un
modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos
hechos que sigan un proceso de Poisson. De hecho la distribución exponencial puede
derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que
las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como
variable aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho
Obviamente, entonces, la variable aleatoria será continua. Por otro lado existe una
relación entre el parámetro a de la distribución exponencial, que más tarde aparecerá,
y el parámetro de intensidad del proceso l , esta relación es a = l
Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los
siguientes casos:
 Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson

39. 39
 Distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se
cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante
no depende del tiempo transcurrido .Aplicaciones en fiabilidad y teoría de la
supervivencia.
Ejercicio 1
El tiempo de revisión del motor de un avión sigue una distribución exponencial
con media 22 minutos.
a) Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor a 10 minutos.
Queremos averiguar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor a
10 minutos. Y conocemos la función de distribución de la variable. Así que basta con
reemplazar por x = 10 en la función de distribución.
𝑃(𝑥 < 10) = 𝐹(10) = 1 − ⅇ−
10
22 = 0,3652
También se podría calcular (mediante integrales) el área comprendida entre x = 0
y x = 10.
Ejercicio 2
El tiempo de vida de una lámpara especial sigue una distribución exponencial con
media 100 hs.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara dure por lo menos 30 horas?
b) Si una lámpara ya lleva 50 horas de uso, ¿cuál es la probabilidad de que dure más
de 80 horas?
c) Se seleccionan cinco lámparas, ¿Cuál es el número esperado de lámparas que
duran por lo menos 30 hs (considerando las 5)?
Caso a
X: tiempo de vida de una lámpara especial.

40. 40
Sabemos que la esperanza de una variable exponencial es E(X) = 1/λ. Cómo la
esperanza es 100, entonces λ = 1/100.
Entonces la distribución es:
𝑥~ 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛ⅇ𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝜆 =
1
100
)
𝑃(𝑋 > 30) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 30) = 1 − (1 − ⅇ−
30
100) = ⅇ−
30
100 = 0,7408
Caso b
P(X>80|X>50)
Por la propiedad de falta de memoria esta propiedad es igual a:
P(X>30) = 0,7408
Probabilidad que ya habíamos calculado en el ítem a.
Caso c
Y ∼ Binomial (n = 5, p = 0,7408)
E(Y)= 5. 0,7408 = 3,704
Esperanza matemática y varianza de la distribución Exponencial
Esperanza Varianza
E(x) = µ V(x) = µ2
µ = 1/ƛ
Ejercicio 1
El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta
que falle se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas
igual a 360 días.

41. 41
Halle la probabilidad que el tiempo que la batería trabaja hasta que falle sea mayor
que 400 días.
X = ?
P(X > 400)
X ~ Exp(ƛ)
f(x) = ƛe-ƛx , ƛ > 0 , x > 0
E(X) = 1/ƛ V(X) = 1/ƛ2
F(x) = 1 – e-ƛx
Falta de memoria: P(x > m + k/x > m) ------ P(x > k)
360 = 1/ƛ ------ ƛ = 1/360
P(X > 400) = 1 – P(X ≤ 400)
= 1 – F(400) -------- = 1 – (1 – e-1/360(400))
= 1 – 1 + e-400/360
= e-400/360
= 0,3292
Calculamos la esperanza y varianza
E(X) = 1/ƛ
E(X) = 1/0.0027
E(X) = 37,03
V(X) = 1/ƛ2
V(X) = 1/(0.0027)2
V(X) = 1/0,00000729
V(X) = 137174,21
Ejercicio 2
El tiempo necesario para que un individuo sea atendido en una cafetería es
una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4
minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3
minutos en al menos de 4 de los siguientes 6 días?

42. 42
E(X) = 4 E(X) = 1/ƛ
4 = 1/ƛ -------- ƛ = ¼
Varianza
V(X) = 1/ƛ2
V(X) = 1/(0,25)2
V(X) = 16
Distribución Gamma
En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gamma es una
distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad
continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son
casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones
que suelen usarse
Con parámetro de forma k y parámetro de escala Ɵ.
Con parámetro de forma α = k y parámetro inverso de escala ƛ = 1/ Ɵ.
Ejercicio 1
El tiempo en horas que semanalmente requiere una maquina para
mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros
α = 3, β = 2.
Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento
sea mayor a 8 horas.
Solución
Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria) su densidad
de probabilidad es:
𝐹(𝑋) =
1
𝛽𝛼𝛤(𝛼)
𝑥𝛼−1
ⅇ
−
𝑥
𝛽
𝐹(𝑋) =
1
23𝛤(𝛼3)
𝑥3−1
ⅇ−
𝑥
2
𝐹(𝑋) =
1
16
𝑥2
ⅇ−
𝑥
2

43. 43
Ejercicio 2
Si el costo de mantenimiento en dólares es
C = 30x + 2x2
siendo x el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.
Nos solicitan el costo promedio ósea la esperanza de la función de costo
E[C] = E[30x + 2x2]
= 30E[x] + 2E[x2]
E[x] = α.β = 3(2) = 6
Esperanza matemática y varianza de Distribución de Gamma
La media de la variable aleatoria X es
E[X] = α.β
Varianza
La varianza de la variable aleatoria X es
V[X] = α.β2
Ejercicio 1
Si el costo de mantenimiento en dólares es: C = 30x + 2x2
siendo x el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.
Nos solicitan el costo promedio ósea la esperanza de la función de costo
E[C] = E[30x + 2x2]
= 30E[x] + 2E[x2]
E[x] = α.β
E[x] = α.β = 3(2) = 6
V[X] = α.β2
V[X] = 3/22 = 12

44. 44
Ejercicio 2
El Tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para
mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros α =
4, β = 7
E[X] = α.β
E[X] = 4.7 = 28
V[X] = α.β2
V[X] = 4.(7)2
V[X] = 4.49
V[X] = 196
Distribución normal
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de
Gauss, distribución gaussiana o distribución de Laplace-Gauss, a una de
las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia
aparece en estadística y en la teoría de probabilidades. La gráfica de su función de
densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un
determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y
es el gráfico de una función gaussiana. La importancia de esta distribución radica en
que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos
son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos
intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada
observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
De hecho, la estadística descriptiva solo permite describir un fenómeno, sin
explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de
ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método

45. 45
correlacional. La distribución normal también es importante por su relación con la
estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y
antiguos.
Ejercicio 1
Suponemos que queremos saber si los resultados de un examen pueden
aproximarse satisfactoriamente a una distribución normal. Sabemos que en este
examen participan 476 estudiantes y que los resultados podrán oscilar entre 0 y 10.
Calculamos la media y la desviación típica a partir de las observaciones (resultados
del examen). Entonces, definimos la variable aleatoria X como los resultados del
examen que depende de cada resultado individual. Matemáticamente,
X(x1, x2,…, x476) = resultado del examen  N(µ = 4,8, σ = 3,09)
La variable aleatoria X representa la variable resultados del examen y puede
aproximarse a una distribución normal de media 4,8 y desviación típica de 3,09.
El resultado de cada estudiante se anota en una tabla. De esta forma,
obtendremos una visión global de los resultados y de su frecuencia.
Resultados Frecuencia
0 20
1 31
2 44
3 56
4 64
5 66
6 62
7 51
8 39
9 26
10 16
Total 475

46. 46
Una vez hecha la tabla, representamos los resultados del examen y las
frecuencias. Si el gráfico se parece a la imagen anterior y cumple con las propiedades,
entonces, la variable resultados del examen puede aproximarse satisfactoriamente a
una distribución normal de media 4,8 y desviación típica de 3,09.
Ejercicio 2
Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con
media de 1200 bolívares, y desviación estándar de 200 bolívares. ¿Qué porcentaje
de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 bolívares?
µ = 1200; σ = 200
Parte 1: P(1000 ≤ x ≤ 1200)
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Resultado del examen
Frecuencia

47. 47
Z1 =
1000 - 1200
=
-200
= -1
200 200
Parte 2:
P(1200 ≤ x ≤ 1550)
Z2 =
1550 - 1200
=
350
= 1,5
200 200
Z2 = 1,5 A2 = 0,4599
Sumando ambas probabilidades: 0.3413 + 0.4599 = 0.8012 (respuesta)
Esperanza matemática y varianza
Esperanza matemática
Es el momento ordinario de primer orden (E(x) = α1) y, por lo tanto, será (según el
teorema que conocemos como de los momentos) el valor que tome la primera
derivada de la función generatriz en el punto t = 0.
Luego aplicamos lo enunciado:
ϐ(t) = (µ + 1/2σ22t)ϐ(t) = (µ + σ2t) que para el valor de t = 0
tomará el valor Ɵ(t=0) = (µ+0). 1 = µ con lo que queda demostrado que la media de
la distribución normal es su parámetro µ.
E[X] = µ
Varianza
Como conocemos, es D2(x) = α2 - µ2 siendo α2 el momento ordinario de orden
segundo; que obtendremos aplicando el valor t = 0 a la segunda derivada de la función
generatriz del momento.
Var [X] = σ2

48. 48
Esperanza matemática y varianza de la distribución Normal
Ejercicio 1
Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas
siguen una distribución una distribución N(65, 18).
Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general,
de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el
primero un 20 % la población, un 65 % el segundo y un 15 % en el tercero.
¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
Localizamos en nuestra tabla el parámetro correspondiente a la
probabilidad 0,2 (20%), el cual es -0,84%:
P(Z ≤ Z1) = 0,2 Z1 ≈ -0,84
Por lo que, si Z1 = X1-65/18, entonces
X1 – 65 = -0,84
18
X1 = (0,84)(18) + 65
X1 = 49,88
X1 ≈ 50
Ahora localizamos en la tabla el parámetro para la probabilidad de 0,85 el cual es
1,04 lo que significa que
P(Z ≤ Z2) = 0,85 Z2 ≈ 1,04
Por lo que si, Z2 = X2 – 65/18, entonces

49. 49
X2 – 65 = 1,04
18
X2 = (1,04)(18) + 65
X2 = 83,72
X2 ≈ 84
.- Baja cultura hasta 50 puntos
.- Cultura aceptable entre 50 y 84
.- Excelente cultura a partir de 84 puntos.
Ejercicio 2
En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono.
Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por
lo menos 30 con teléfono.
n = 90
p = 1/3
q = 2/3
n: Cantidad de familias a elegir.
p: Probabilidad de seleccionar una familia que tenga teléfono.
q: Complemento de la probabilidad.
Para resolver este tipo de ejercicios usaremos el Teorema de Moivre-Laplace para
Probabilidad:
Si tenemos que X es una variable aleatoria binomial de parámetros n y p,
X ~ B(n, p) entonces X se puede aproximar a una distribución normal de media µ =
np y desviación típica σ = √npq (donde q = 1 – p) si se cumplen las dos condiciones
Condición 1. n ≥ 30.
Condición 2. np, nq ≥ 5
Entonces la variable binominal X  B(n-p) quedaría aproximada por la variable
normal X ~ N(np, √nqp),
como n = 90, se cumple la condición 1.

50. 50
n.p = 90. 1/3 = 30
n.p = 90.2/3 = 60
entonces se cumple la condición 2.
Entonces utilizamos la formula X ~ N(np, √npq),
Sustituimos los datos
B(90,1/3) N(90.1/3, √90.1/3.2/3) = N(30, 4,47)
Ahora usamos la fórmula de la distribución normal
Z = X - µ
σ
P(X > 30) = P (Z > (30-30)/4,47)
= P(Z > 0)
= 1 – P(Z < 0)
= 1 – 0,5
= 0,5
Al seleccionar 90 familias al azar, existe una probabilidad de 0.5 de haber
seleccionado por lo menos 30 familias con teléfono.
Distribución χ² de Pearson
En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución ji al cuadrado
(también llamada distribución de Pearson o distribución X2) con k Є N grados de
libertad de la suma del cuadrado de k variables aleatorias independientes con
distribución normal estándar. La distribución chi cuadrada es un caso especial de la
distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en
Inferencia Estadística, principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de
intervalos de confianza.

51. 51
X2 = ∑
(fo - fe)2
fe
Ejercicio 1
En un grupo de enfermos que se quejaban de que no dormían se les dio somníferos
y placebos. Con los siguientes resultados. Nivel de significación: 0, 05.
Duermen bien Duermen mal
Somníferos 44 10
Placebos 81 35
¿Es lo mismo tomar somníferos o placebos para dormir bien o mal en este grupo de
enfermos?
Las hipótesis de este ejercicio, serían las siguientes:
Ho: No es lo mismo tomar somníferos o placebos para dormir mal o bien
H1: Es lo mismo tomar somníferos o placebos para dormir bien o mal.
Para la realización del problema se muestran los pasos a seguir, a continuación.
Paso 1: Completar la tabla de las frecuencias observadas.
Duermen bien Duermen mal Total
Somníferos 44 10 54
Placebos 81 35 116
Total 125 45 170
Paso 2: Calcular las frecuencias teóricas.
(Es importante caer en la cuenta de que la suma de las frecuencias observadas
debe de ser igual a la suma de las frecuencias teóricas).

52. 52
Para este cálculo, tenemos que basarnos en la fórmula: (total filas x total
columnas) / total.
– ƒe 1 (Duermen bien con somníferos):
125 x 54
= 39,71
170
– ƒe 2 (Duermen bien con placebos):
116 x 125
= 85,29
170
– ƒe 3 (Duermen mal con somníferos):
45 x 54
= 14,29
170
– ƒe 4 (Duermen mal con placebos):
45 x 116
= 30,71
170
Como dijimos antes, la suma de las frecuencias observables debía de ser igual a
la suma de las frecuencias esperadas. En este caso podemos decir, que dicho
pronóstico se cumple:
– Suma frecuencias observadas = 170
– Suma de frecuencias esperadas: 39, 71 + 85, 29 + 14, 29 + 30, 71 = 170
Paso 3: Calcular los grados de libertad. En este caso, como son dos los criterios de
clasificación, el grado de libertad se calcularía así:
Grados de libertad = (nº de filas – 1) por (nº de columnas – 1)
Grados de libertad = (2 – 1) x (2 – 1) = 1 x 1 = 1
Paso 4: Calcular el valor de chi cuadrado (usando para ello la fórmula escrita al
principio de esta entrada)

53. 53
X2 = ∑ (fo - fe)2 = (44 - 39,71)2 + (81 - 85,29)2 +
(10 -
14,29)2 +
(35 -
30,71)2
fe 39,71 85,29 14,29 30,71
X2 = 0,46 + 0,22 + 1,29 + 0,6 = 2,57
Ejercicio 2
Para estudiar la relación entre la edad de las mujeres y su aceptación de una
ley sobre interrupción del embarazo se ha llevado a cabo una encuesta sobre 400
mujeres. Como resultado de aplicar la prueba ji-cuadrado de Pearson se obtuvo como
valor del estadístico X2=19,2828. Este valor por si solo no permite extraer ninguna
conclusión; debe compararse con el valor de la distribución ji-cuadrado de (5-1) x (3-
1) = 8 grados de libertad que deja un 5% de probabilidad a su derecha, fijado un nivel
de significación del 5% o, equivalentemente, un nivel de confianza del 95%. Este
valor, llamado punto crítico, delimita la zona de rechazo de la hipótesis nula de no
asociación entre las variables.
1. Calcular el valor de la ji-cuadrado con 8 grados de libertad que deja a su derecha
un área bajo la curva igual a 0,05.
Datos:
Distribución ji cuadrado (n)
Parámetros:
n: Grado de libertad: 8
Cola izquierda Pr[X < = x]: 0,95
Cola Derecha Pr[X > x]: 0,05
Punto x
15,5073

54. 54
Media Mediana Moda Varianza Asimetría Curtosis
8 7,3441 6 16 1 1,5
El valor 15,5073 es el punto crítico del test para un nivel de significación del 5%, ya
que deja a su derecha una cola de probabilidad 0,05.
Esperanza distribución X2 de Pearson
Ejercicio 1
En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se contrastó la incidencia
del
tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. Considerando una gradación
de
Muy fumador hasta No fumador como media del tabaquismo, y una gradación de Muy
grave a Leve en el tipo de accidente. Se extrajo una muestra de 525 individuos que
habían sufrido un accidente laboral. Los resultados se presentan en la siguiente tabla
de contingencia (tabla de doble entrada):
Muy Grave Grave Lesiones Medias Leves
Muy Fumador 20 10 10 30
Fumador 30 40 20 50
Fumador Esporádico 10 60 80 60
No Fumador 5 20 30 50
Se pide:
 Calcular las distribuciones marginales para cada una de las variables de
estudio.

55. 56
 Construir una tabla de distribución de frecuencias porcentuales donde
aparezcan las distribuciones de la variable de tipo de Lesión condicionada a
cada una de las variables del Fumador.
 Estudiar si las variables están asociadas o no por medio de una medida
descriptiva. Realizar un análisis gráfico y comentar los resultados.
Se obtiene a partir de la tabla de doble entrada sumando las frecuencias y las filas, o
bien por columnas según el caso.
Marg. Tabaquismo FREC. Marg. Accid. Lab. FREC.
Muy Fumador 70 Muy Grave 65
Fumador 140 Grave 130
Fumador Esporádico 210 Lesión media 140
No Fumador 105 Leve 190
525 525
La distribución de una variable condicionada a que otra variable tome un determinado
valor de la distribución de frecuencias de la variable cuando mantenemos fijo el valor
condicionante de otra variable.
Muy Grave Grave Lesión Med. Leve
Muy Fumador 28,57 14,29 14,29 42,85 100%
Fumador 21,43 28,57 14,29 35,71 100%
Fumador Esporádico 4,76 28,57 38,10 28,57 100%
No Fumador 4,76 19,05 28,57 47,62 100%

56. 56
Marg. Lesión 12,38 24,76 26,67 36,19 100%
Como ejemplo del cálculo de la distribución porcentual del Tipo de lesión
condicionado al individuo sea Muy Fumador se realizará dividiendo cada una de las
frecuencias de la fila Fumador entre el número total de Muy Fumadores y después
multiplicaríamos como ((20/70)*100=28.57; (10/70)*100=14.29,…).
La medida descriptiva de la asociación entre las variables viene dada a través
de la medida que indica la distancia relativa que existe entre la tabla de frecuencias
observadas en la tabla de frecuencias esperadas si las variables fueran
independientes. La expresión para las frecuencias esperadas es la siguiente:
Eij = Fi x Cj
n
Donde E es la frecuencia esperada en la celda (i,j), F es la suma de las
frecuencias de f y C es la suma de las frecuencias de la fila j. La distancia relativa al
cuadrado que existe entre una celda de la tabla de frecuencias observadas es la
misma celda de la tabla de esperadas viene dada por:
Z2ij = (Oij - Eij)2/Eij
Y la suma de todas ellas recibe el nombre de x2 (ji-cuadrado). Por otra parte,
podemos estudiar cuáles son los pares de categorías que influyen en mayor medida
en la existencia de la asociación. Este lo realizaremos por medio de análisis gráfico
atendiendo al siguiente criterio:
[zij]<1.645, le asignaremos el símbolo. (influencia débil)
1.645<[zij] 1.960, le asignamos o. (influencia débil)
1.960<[zij] 2.576 le asignamos O (influencia fuerte)
[zij] > 2.576, le asignamos @ (influencia muy fuerte)

57. 57
Muy Grave Grave Lesión Med. Leve Marg. Tab.
M.F. Obs. 20,00 10,00 10 30 70
M.F. Esp 8667,00 17.333 18.667 25.333 70
M. F. z 3850,00 -1.761 -2.006 0,927 70
M.F. Sim. @ O O . 70
F. Obs 30 40,00 20 50 140
F. Esp. 17.333 34667,00 37.333 50.667 140
F: z 3.043 0,906 -2.837 -0,094 140
X2 = 75.917 este valor depende del tamaño de la muestra y de la forma de la tabla,
por tanto, utilizaremos el valor V de Cramer como medida descriptiva de la asociación
entre variables, esta medida está comprendida entre 0 y 1, siendo las variables
independientes cuando vale 0 y existiendo asociación perfecta cuando vale1. La
expresión para V es:
√
𝑥2
𝑛 . [𝑓𝑖𝑙𝑎, 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠) − 1
En este caso vale 0,220

58. 58
CONCLUSIÓN
Una vez desarrollado y analizado el tema, se puede concluir que a través de
muchas construcciones teóricas en donde se puede experimentar todo lo que en
realidad no se permitía, las distribuciones de las probabilidades se usan cada vez más
extensamente en áreas como la estadística, y toda aquella ciencia que tiene como
finalidad establecer conclusiones sobre la probabilidad de muchos sucesos
potenciales con sistemas complejos. Los análisis estadísticos de datos, se expresan
en muchas ocasiones en términos de probabilidad, ya que implícitamente se está
introduciendo la aleatoriedad debida a la muestra de sujetos con el que se trabaja y
que generalmente no coincide con toda la población bajo estudio. Asimismo, el
estudio estadístico se centra en la información recogida sobre alguna variable
relacionada directamente con los objetivos del diseño experimental planteado. Un
hecho cierto es que debido a la aleatoriedad de los sujetos resulta imposible saber
con certeza el valor de dicha variable para un sujeto en particular.
Por consecuente, las múltiples necesidades de poder modelar las
distribuciones probabilísticas constituyen un importante parámetro en la
determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos
dentro de un rango estadístico, este rango crea un modelo que a su vez resulta
extremadamente útil, siempre que se corresponda con la realidad que pretende como
es este caso representar y predecir, por ello es muy necesario poder conocer cada
distribución de la probabilidad y aplicarlo dependiendo el caso específico ya que de
lo contrario si no se sabe usar y aplicar se estaría cometiendo errores de repercusión
inimaginable.
Una de las preocupaciones de los científicos ha sido construir modelos de
distribuciones de probabilidad que pudieran representar el comportamiento teórico de
diferentes fenómenos aleatorios que aparecían en el mundo real. La pretensión de
explicar lo observable, ha constituido siempre una necesidad básica para el científico
empírico, dado que, a través de esas construcciones teóricas, los modelos, podían
experimentar sobre aquello que la realidad no le permitía. Por otra parte, un modelo
resulta extremadamente útil, siempre que se corresponda con la realidad que

59. 59
pretende representar o predecir, de manera que ponga de relieve las propiedades
más importantes del mundo que nos rodea, aunque sea a costa de la simplificación
que implica todo modelo.
La toma de decisiones bajo riesgo implica que algunos parámetros alternativos
de la estadística es considerar las variables aleatorias, ya que se usan sobre la forma
en que las distribuciones de las probabilidades utilizan esas variables para poder
explicar la forma en que varían las estimaciones de los valores de parámetros, Los
resultados de un experimento pueden ser causa de múltiples variables. El estudio
sistemático de las probabilidades para aplicarlas a la estadística tiene que ver
principalmente con la organización y análisis de datos. Con el análisis de esos datos,
probablemente experimentales, se busca la toma de decisiones razonables, basadas
en gran medida en las conclusiones que se hayan obtenido de esos datos.
No debe olvidarse que, para ciertas condiciones experimentales, la mejor
opción para ciertos experimentos según su condición debe de tomarse en cuenta la
distribución binomial, sobre todo cuando el tema experimentado obliga a manejar
tamaños de muestras muy reducidos, sea por el costo del experimento o porque
implica la destrucción de material experimental.
Nos encontramos en un mundo altamente probabilístico, por lo tanto se
necesita que nosotros tengamos conocimientos de probabilidad desde muy temprana
edad, ya que la utilizaremos a cada instante de nuestras vida, además actualmente
la aplicación de la probabilidad es tan amplia que abarca múltiples campos científicos,
siendo de gran ayuda en la resolución de problemas en la economía, biología,
piscología y otras muchas ciencias, para eso es muy importante poder manejar con
gran facilidad las diferentes distribuciones de probabilidades que acabamos de
investigar ya que dependiendo del grado de dificultad en que se base cada uno de
las diferentes investigación que vayamos a realizar se podrá elegir cuál de ellas es la
más idónea con la finalidad de poder resolver a cabalidad cada uno de ellos.

60. 60
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