El documento presenta información sobre conjuntos matemáticos. Define qué es un conjunto, cómo se representan y expresan los conjuntos (por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal). Luego explica las operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y tipos específicos de conjuntos como vacío, universal, finito e infinito. Finalmente, introduce conceptos sobre números reales, desigualdades matemáticas y sus propiedades.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DE LARA
ANDRÉS ELOY BLANCO
PNF EN HIGIENE Y SEGURIDAD LABORAL
MATEMÁTICA
Autora: Fabiana Timaure
CIV- 28732093
PNF Higiene y Seguridad Laboral
Trayecto: Inicial
Sección: HS0101
BARQUISIMETO, ENERO 2021

2. Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que
se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.
Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.
Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica
como: x1∈A . En caso de que un elemento y1 no pertenezca a este mismo conjunto se
utiliza la notación: y1∉A
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y
separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus
elementos entre llaves.
2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición
que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa
“tal que". En forma simbólica es:
A = { xP(x) }= {x1,x2 ,x3 ,⋅⋅⋅,xn }
que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la
condición P
(x
) es verdadera, como x1,x2,x3, etc1
.
3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el
contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos2
.
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que
es común para los elementos.
5) Ejemplo.
Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por
extensión, comprensión y por diagrama de Venn.

3. Solución.
Por extensión: V=a,e,i,o,u}
Por comprensión: V={xx es una vocal
}
Por diagrama de Venn:
Ejemplo.
Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.
Solución.
Por extensión P=
{Mercurio,Venus,Tierra,Marte,Júpiter,Saturno,Urano,Neptuno,Plutón}
Por comprensión: P ={ xx es un planeta del sistema solar }
Por diagrama de Venn:
Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se
dice que A es un subconjunto de B . La notación A ⊂B significa que A está incluido en B y
se lee: “ A es subconjunto de B ” o “ A está contenido en B ”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice
que A no es subconjunto de B . En este caso la notación A ⊄B significa que A no es un
subconjunto de B .
Gráficamente, esto es:
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Saturno
Urano
Neptuno
Júpiter
Plutón
P
A
B
A
B
A
B
a
e
i
c
u

4. En los ejemplos
A⊂B
B⊄A
anteriores, si
A⊄B
B⊄A
F =
{a,e,o} es el
A⊄B
B⊄A
conjunto de las vocales fuertes y
S =
{Mercurio,Venus
} es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple
que:
F ⊂V y que S ⊂P . De la misma forma, nótese como: F ⊄P , S ⊄V , F ⊄S y S⊄F .
Conjunto con nombres específicos
 Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien
por { }. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de
cualquier conjunto.
Ejemplos.
φ={ xx son los dinosaurios que viven en la actualidad }{}={ xx son los hombres mayores de
300 años }φ={ xx son números positivos menores que cero}
 Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se
denota por U
Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.
Ejemplos.
U ={ x x son los días de la semana }={lunes, martes, miércoles , jueves, viernes, sábado,
domingo }A ={ x x son los días de la semana inglesa}={lunes, martes, miércoles, jueves,
viernes}
B = { x x son los días del fin de semana}= {sábado, domingo}
C = { x x son los días de la semana con menos de siete letras}= {lunes, martes, jueves,
sábado}
Nótese cómo: A ⊂U, B ⊂U , C ⊂U
 Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
Ejemplos.

5. J = { x x es el número de un día del mes de junio }
 Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su
cardinalidad no está definida.
Ejemplos.
Q = { xx es la cantidad de puntos en una línea }
 Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el
símbolo = .
Ejemplo.
R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
S ={ xx es un dígito}
R = S
 Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si
no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠ .
Ejemplo.
D ={xx2
=9}
E = {− 2,2}
D≠E
 Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es
decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈ .
Ejemplos.
W =
{xx son las estaciones del año}
Z =
{xx es un punto
W ≈ Z
Operaciones con conjuntos

6.  La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los
elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪B . Esto es:
A∪B={ xx∈A o x∈B}
Gráficamente:
Ejemplo.
A =
{mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía }
B ={durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano }
A∪B =
{mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía, durazno, melón, plátano}
• La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también
pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:
A∩B={ xx∈A y x∈B}
Gráficamente:
B
A
A B
U
B
A
A B
U

7. Ejemplo.
A=
{mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía }
B={durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano }A ∩ B ={ uva, naranja, sandía }
Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es
decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo:
A =
{mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía }
E =
{limón, fresa, pera, mandarina, cereza}
A∩ E = φ
Números reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta
real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y
más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente
dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen
que buscarse expresamente.
Además de las características particulares de cada conjunto que compone el
superconjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características. Todos
los números reales tienen un orden
Los números reales se representan mediante la letra R ↓ R
Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números
comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el
conjunto.

8. Dominio de los números reales.
Números reales en la recta real
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella
todos los números reales.
Línea real.
.
Esquema de los números reales
En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números
reales es similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba o abajo.
Clasificación de los números reales. Tal y como hemos visto, los números reales
pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Números Naturales, los números naturales es el primer conjunto de números que
aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto
que se especifique lo contrario (cero neutral).
Expresión: los números enteros se representan mediante N

9. Primeros elementos del conjunto de números naturales.
Números Enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y
todos los números negativos.
Expresión: Los números enteros se representan con la letra Z
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
Los números enteros nos sirven para representar números positivos: ganancias, grados
sobre cero, distancias a la derecha; representar números negativos: deudas, pérdidas,
grados bajo cero y distancias a la izquierda
Números Racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los
números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números
enteros.
Expresión: La letra q representa el conjunto de números racionales Q
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
Números Irracionales
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de
manera exacta ni de manera periódica.
Expresión: La letra I representa el conjunto de números irracionales

10. Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.
Desigualdad matemática
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre
dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor
que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando
ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole,
se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
 mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
 Menor que <
 Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥

11. Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de
las expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
 Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad
se mantiene.
 Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se
mantiene.
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se
mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las
siguientes propiedades:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son
diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener
solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación.
Por ejemplo
3 < 5

12. Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una
inecuación puesto que no tiene incógnitas.
Tipología de desigualdades
Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su nivel de aceptación.
Ninguna de ellas no incluye la desigualdad general (≠). Son las siguientes:
 Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la igualdad entre
elementos. De este modo, entenderemos como desigualdades de este tipo el “mayor
que” (>) o “menor que” (<).
 Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las que no se
especifica si uno de los elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos
hablando de “menor o igual que” (≤), o bien “mayor o igual que” (≥).
Propiedades
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
 Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no
cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 >
9+3
Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que cambia de
sentido:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia
de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia de
sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3
Notación encadenada

13. Conocemos por desigualdad de notación encadenada todas aquellas expresiones
de desigualdad en las que se relacionan más de dos elementos. Sería este caso si, por
ejemplo, relacionamos a, b y c de modo que cada uno es menor al otro.
Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a es menor que b” y, a su vez, “b es
menor que c”. De modo que podemos deducir que “a es menor que c”, esta propiedad la
conocemos por el nombre de propiedad transitiva.
Diferencia entre desigualdad e inecuación
Es importante conocer que existe un elemento matemático diferente a la
desigualdad matemática que es usualmente confundido con ella: las inecuaciones.
Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser incongruente o,
simplemente, denotar que no existe solución posible al enunciado. Por lo tanto, una
inecuación puede ser una desigualdad, pero, por otro lado, una desigualdad no tiene por
qué ser una inecuación.
Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca una inecuación
porque no contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. No necesita contener una incógnita y si es así
puede ser, a la vez, una inecuación. Para operar con ellas debes entender sus
propiedades ante la suma, resta, multiplicación y división de sus elementos.
Valor Absoluto
El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta
numérica hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son
números reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo, sea este
positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5. Los
valores absolutos están representados por dos líneas verticales, tales como |x| (el cual se
lee como módulo de x).
El valor absoluto se representa como |A| , donde A es el número cuyo valor
absoluto tiene que ser determinado.

14. El valor absoluto se define como:
 |x| = x si x ≥ 0
 |x| = -x si x < 0
Definiciones Equivalentes
Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido
de las dos siguientes maneras:
 |x| = √(x2
)
 |x| es igual al máximo de { x, -x }
Propiedades
Propiedades Fundamentales
 |x| > 0 No negatividad
 |x| = 0 ↔ x = 0 Definición positiva
 |x∙y| = |x|∙|y| Propiedad multiplicativa
 |x + y| ≤ |x| + |y| Desigualdad triangular
Otras Propiedades
 |-x| = |x| Simetría
 |a – b| = 0 ↔ a = b Identidad de indiscernibles
 |a – b| ≤ |a – c| + |c – b| Desigualdad triangular
 |a – b| ≥ |(|a| – |b|)| (equivalente a la propiedad aditiva)
 |x ÷ y|= |x| ÷ |y| si b ≠ 0 Preservación de la división (equivalente a la
propiedad multiplicativa)
Valor absoluto de un número real
Para todos los números reales los valores absolutos “x” satisfacen las siguientes
condiciones:

15.  |x| = x ; si x ≥ 0
 |x| = -x ; si x < 0
En una recta numérica, las representaciones de los valores absolutos de un
número real es la distancia entre número y el cero u origen. Por ejemplo, |3| es la
distancia de tres unidades al cero.
Tanto 3 y -3 son las distancias de dos unidades desde el cero. |3| = |-3| = 3. En
matemática, la medición de cualquier distancia siempre es un valor no negativo.
El valor absoluto de un número real x, es siempre positivo o cero, pero nunca
negativo
Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.

16. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.

17. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así: