calculo ejercicios

1. Pág. 48-53
1. Hallar la longitud de arco de la hélice cónica 𝑪: 𝒂( 𝒕) = [ 𝒂𝒆𝑪𝒐𝒔( 𝑻), 𝒂𝒆𝑺𝒆𝒏( 𝑻), 𝒂𝒆 𝒕] desde el
punto ( 𝟎, 𝟎, 𝟎) hasta el punto A ( 𝒂, 𝟎, 𝒂)
SOLUCION
La longitud de arcode una curva paramétrica
𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 + [ 𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego: 𝑎( 𝑡) = [ 𝑎𝑒′ 𝐶𝑜𝑠( 𝑡), 𝑎𝑒′ 𝑆𝑒𝑛( 𝑡), 𝑎𝑒′], 𝑡 ∈ (−∞,0)
𝑎( 𝑡) = [ 𝑎𝑒′ 𝐶𝑜𝑠( 𝑡) − 𝑎𝑒′ 𝑆𝑒𝑛( 𝑡) − 𝑎𝑒𝑆𝑒𝑛( 𝑡) + 𝑎𝑒(cos( 𝑡) , 𝑎𝑒′]
𝐿 = ∫ √ 𝑎′𝑒′[ 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) − 2𝑆𝑒𝑛( 𝑡) 𝐶𝑜𝑠( 𝑡) + 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) 𝐶𝑜𝑠2 + 2𝑆𝑒𝑛( 𝑡) 𝐶𝑜𝑠( 𝑡) + 𝐶𝑜𝑠2 + 1] 𝑑𝑡
0
−∞
𝐿 = ∫ √𝑎′ 𝑒′[1+1+1]
𝑑𝑡 = ∫ 𝑎𝑒 𝑡√3𝑑𝑡 = 𝑎𝑒 𝑡√3∫ = 𝑎√3
0
−∞
0
−∞
0
−∞
2. Calcular L, para la función vectorial definida por :
𝒂( 𝒕) = [ 𝒂𝑪𝒐𝒔( 𝒕), 𝒂𝑺𝒆𝒏( 𝒕), 𝒅𝒕] 𝒆𝒏 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝝅/𝟐
SOLUCION
La longitudde arcode una curva paramétrica:
𝐿 = ∫ ! 𝑓( 𝑡)! 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]−2 + [ 𝑧′(𝑡)]−2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego
𝑎( 𝑡) = [ 𝑎𝐶𝑜𝑠( 𝑡), 𝑎𝑆𝑒𝑛( 𝑡), 𝑑𝑡] 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2
𝑎′( 𝑡) = [−𝑎𝑆𝑒𝑛( 𝑡), 𝑎𝐶𝑜𝑠( 𝑡), 𝑐]
𝐿 = ∫ √[ 𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑡)]2 + [ 𝑎𝐶𝑜𝑠(𝑡)]2 + 𝑐2 𝑑𝑡 = √ 𝑎2 + 𝑐2 ∫ 𝑑𝑥 =
𝜋√𝑎2 + 𝑐2
2
𝑥
2
0
𝑋
2
0

2. 3. Encontrar la longitud de la curva definida por 𝒇( 𝒕) = [∫
𝑪𝒐𝒔(𝜽)
√𝜽
𝒅𝜽 , ∫
𝑺𝒆𝒏(𝜽)
√𝜽
𝒅𝜽, 𝟒√ 𝒕
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
]
entre 𝒕 = 𝟏 𝒚 𝒕 = 𝒕 , sabiendo que 𝒇(𝒕) es el punto donde 𝒇′(𝒕𝟏)es paralelo al plano YZ
⟨ 𝟏 < | 𝟏 < 𝟐⟩.
SOLUCION
La longitudde arcode la curva paramétrica:
𝐿 = ∫ || 𝑓(𝑡)|| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 + [ 𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego:
𝑓(𝑡) = [∫
𝐶𝑜𝑠( 𝜃)
√ 𝜃
1
0
𝑑𝜃 ,∫
𝑆𝑒𝑛( 𝜃)
√ 𝜃
1
0
𝑑𝜃,4√ 𝑡 ]0 ≤ 𝑡 ≪ 𝑡1
𝑓′( 𝑡) = [
𝐶𝑜𝑠(𝑡)
√ 𝑡
,
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
√ 𝑡
𝑑𝜃,
2
√2
]
𝐿 = √[
𝐶𝑜𝑠(𝑡)
√ 𝑡
]
2
+ [
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
√ 𝑡
]
2
+
4
𝑡
𝑑𝑡 = ∫ √
𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) + 𝑆𝑒𝑛( 𝑡) + 4
𝑡
𝑡1
1
𝑑𝑡 = ∫
√5
𝑡 𝑡1+1 𝑑𝑡
𝑡1
0
𝐿 =
√5𝑡
1
2⁄
∮ 2√5(√𝑡1− 1)
𝑡1
1
4. Una partícula se mueve en el plano XY según la ecuación 𝒙 = 𝒆−𝟐𝒕
𝑪𝒐𝒔( 𝟑𝒕), 𝒚 = 𝒆−𝟐𝒕
𝑺𝒆𝒏(𝟑𝒕)
encuentra la trayectoria desde t=0 a t=𝝅
SOLUCION
. La longitudde arcode la curva paramétrica:
𝐿 = ∫ ! 𝑓( 𝑡)! 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]−2 + [ 𝑧′(𝑡)]−2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego
𝑓( 𝑡) = [ 𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡), 𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡)] 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
𝑓( 𝑡) = [−2𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡) − 3𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡),−2𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡) + 3𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡)]

3. 𝐿 = ∫ √[−2𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡) − 3𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡)]1 + [ −2𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡) + 3𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑋
0
𝐿 = ∫ √ 𝑒−2𝑡[4𝐶𝑜𝑠2(3𝑡) + 12𝑆𝑒𝑛(3𝑡) 𝐶𝑜𝑠(3𝑡) + 9𝑆𝑒𝑛2(3𝑡)] 𝑑𝑡
𝑋
0
𝐿
= ∫ √𝑒−2𝑡[[4𝐶𝑜𝑠2(3𝑡] + 12𝑆𝑒𝑛(3𝜋) 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) + 9𝑆𝑒𝑛′(3𝜋)4𝑆𝑒𝑛′(3𝜋)− 12𝑆𝑒𝑛(3𝜋) 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) + 9𝐶𝑜𝑠′(3𝜋)]
𝑋
0
𝑑𝑡
𝐿 = ∫ √ 𝑒−4𝑡(4 + 9)𝑑𝑡 = √13∫ 𝑒−2𝜋 𝑑𝑡 =
√13
2
𝑒−2𝑡
𝜋
0
|
𝜋
0
=
√13
2
(1 − 𝑒−2)
𝜋
0
5. Considere la curva descrita por 𝒇( 𝒕) = [𝒕, 𝒂𝑪𝒉(
𝒕
𝒂
) , 𝒂𝑺𝒉(
𝒕
𝒂
)] demuestre que la distanciaa lo
largo de la curva desde (0, a, 0) hasta Pº en la curva es proporcional a la distancia de Pº al plano
XY.
SOLUCION
La longitudde arcode una curva paramétrica
𝐿 = ∫ || 𝑓(𝑡)|| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 + [ 𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego
𝑓( 𝑡) = [ 𝑡, 𝑎𝐶ℎ(
𝑡
𝑎
), 𝑎𝑆ℎ (
𝑡
𝑎
)] 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑝º
𝑓′( 𝑡) = [1, 𝑆ℎ (
𝑡
𝑎
), 𝐶ℎ(
𝑡
𝑎
)]
𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑆ℎ (
𝑡
𝑎
)]
1
+ [ 𝐶ℎ(
𝑡
𝑎
)]
−2
𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑆ℎ(
𝑡
𝑎
)]
1
+ [ 𝐶ℎ(
𝑡
𝑎
)]
2
𝑑𝑡
𝑃º
0
𝑃º
0
𝐿 = √2 ∫ 𝑆ℎ (
𝑡
𝑎
)
𝑃º
0
𝑑𝑡 = 𝑎√2𝑆ℎ(
𝑡
𝑎
){
𝑃º
0
= 𝑎√2𝑆ℎ(
𝑃º
𝑎
)

4. 6. Sea la función 𝒓 = 𝒈(𝜽) con derivada continua en 𝒕 ∈ ⟨ 𝒂| 𝒃⟩. Demuestre que la longitud de la
curva es 𝑳 = ∫ √𝑺 𝟐 + ( 𝑺 𝟐) 𝟐 𝒅𝒕
𝒃
𝒂
SOLUCION
La longituddarco de una curva paramétrica:
𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑋`′(𝑡)]2 +
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
[ 𝑌′(𝑡)]2 𝑑𝑡
Luego 𝑦 = 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) , 𝑥 = 𝑟𝐶𝑜𝑠( 𝜃)
𝑌 = 𝑆𝑒𝑛( 𝜃) + 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) ; 𝑥′ = 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) − 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃)
Arreglándolosegúnlaexpresióndada:
(𝑥)2 + (𝑦)2 = [ 𝑟′ 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) − 𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)]2 + [ 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) + 𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)]2
(𝑥)2 + (𝑦)2 = (𝑟′)2 𝐶𝑜𝑠2( 𝜃) − 𝑟′𝑆𝑒𝑛(𝜃) [ 𝑟′ 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) − 𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)]2 + [ 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) + 𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)]2
𝑟𝑒′ 𝑆𝑒𝑛( 𝜃) 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) + ( 𝑟)2 𝐶𝑜𝑠2(𝜃)
(𝑥)2 + (𝑦)2 = (𝑟′)2 + 𝑟2
Luego:
𝐿 = ∫ √[ 𝑟′]2 + [ 𝑟]2𝑏
𝑎 𝑑𝑡 = ∫ √𝑔2 + [ 𝑔′2]
𝑏
𝑎 𝑑𝑡 Demostrado
7. Se la elipse descrita por 𝒙 = 𝒂𝑪𝒐𝒔( 𝒕), 𝒚 = 𝒃𝑺𝒆𝒏( 𝒕), 𝒕 ∈ [ 𝟎, 𝟐𝒙], 𝟎 < 𝒃 < 𝒂 . demuestra que la
longitud de la elipse es 𝑳 = 𝟒𝒂∫ √ 𝟏 − 𝒆 𝟐(𝒕)
𝝅
𝟐⁄
𝒖
𝒅𝒕 donde 𝒆 es la excentricidad de la elipse.
SOLUCION
La longitudde arcode una curva paramétrica:
𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego 𝑦 = 𝑏𝑆𝑒𝑛( 𝑡) , 𝑥 = 𝑎𝐶𝑜𝑠( 𝑡)
𝑦 = 𝑏𝐶𝑜𝑠( 𝑡) , 𝑥′ = 𝑎𝑆𝑒𝑛( 𝑡) , Pero 𝑒 =
𝑐
𝑎
, 𝑐 = 𝑒𝑎 , 𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2
𝑎2 = 𝑒2 + 𝑎2 + 𝑏2 𝑏2 = 𝑎2 + (1 − 𝑒2)

5. Arreglandosegúnlaexpresióndada:
( 𝑥2)+ ( 𝑦2) = [ 𝑏𝐶𝑜𝑠(𝑡)]2 + [−𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑡)]2
( 𝑥2) + ( 𝑦2) = 𝑏2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) + 𝑎2 𝑆𝑒𝑛2( 𝑡) = 𝑎2(1 − 𝑒2) 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡)+ 𝑎2 𝑆𝑒𝑛2( 𝑡)
( 𝑥2) + ( 𝑦2) = 𝑎2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) − 𝑎2 𝑒2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) + 𝑎2[1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝑡)]
( 𝑥2) + ( 𝑦2) = 𝑎2 − 𝑎2 𝑒2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) = 𝑎2[1− 𝐶𝑜𝑠2(𝑡)]
Luego:4 regionessi se considera 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
2⁄
𝐿 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= 4 ∫ √𝑎2[1 − 𝑒2𝐶𝑜𝑠2(𝑡)] 𝑑𝑡
𝜋
2⁄
0
Demostrado
𝐿 = 4∫ √𝑎2[1 − 𝑒2𝐶𝑜𝑠2(𝑡)] 𝑑𝑡
𝜋
2⁄
0
8. Hallar la longitud de arco de la línea 𝑪: 𝒙 𝟐
= 𝟑𝒚, 𝟐𝒙𝒚 = 𝟗𝒛 desde el punto ( 𝟎, 𝟎, 𝟎)hasta el
punto (𝟑, 𝟑, 𝟐)
SOLUCION
Parametrizamoslasecuacionesdadas:x=t,
𝑦 =
𝑡2
3
, 𝑧 =
2𝑡𝑡2
3(9)
=
2𝑡2
27
La longitudde arcode una curva paramétrica
𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]−2 + [ 𝑦′(𝑡)]−2 + [ 𝑧′(𝑡)]−2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego
𝑥 = 1 𝑦 =
𝑡2
3
; 𝑧 =
2𝑡2
27
; 0 ≤ 𝑡 ≤ 3
𝑥′ = 1 𝑦′ =
𝑡2
3
; 𝑧′ =
2𝑡2
27
𝐿 = ∫ √1 + (
2𝑡
3
)
2
+ (
2𝑡
9
)
23
0
𝑑𝑡 = ∫ √
81 + 36𝑡2 + 4𝑡4
81
𝑑𝑡 =
3
0
∫ √
(2𝑡2 + 9)2
81
𝑑𝑡
3
0
𝐿 = ∫ √
(2𝑡2 + 9)2
81
𝑑𝑡
3
0
=
2𝑡3
27
+ 𝑡 {
3
0
= 2 + 3 = 5