intyregracion

1. INTEGRACÓN POR FRACCIONES PARCIALES
∫
(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙
( 𝒙 − 𝟏)( 𝒙 + 𝟏) 𝟐
Al ser una función racional podemos efectuar directamente la descomposición en
fracciones parciales.
(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟑)
( 𝒙 − 𝟏)( 𝒙 + 𝟏) 𝟐
=
𝑨
𝑿 − 𝟏
+
𝑩
𝑿 + 𝟏
+
𝑪
( 𝒙 + 𝟏) 𝟐
Desarrollando encontramos.
𝐴 =
3
2
, 𝐵 = −
1
2
𝑦𝐶 = −1
∫
( 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙
( 𝒙 − 𝟏)( 𝒙 + 𝟏) 𝟐
=
3
2
∫
𝑑𝑥
𝑥 − 1
−
1
2
∫
𝑑𝑥
𝑥 + 1
− ∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)2
Ya descompuesta la integral en integrales más sencillas se la resuelve mediante
tablas.
=
𝟑
𝟐
𝒍𝒏| 𝒙 − 𝟏| −
𝟏
𝟐
𝒍𝒏| 𝒙 + 𝟏| +
𝟏
𝒙 + 𝟏
+ 𝑪
 ∫
𝟑𝒅𝒙
( 𝟐𝒙−𝟏) 𝟑
Podemos hacer la sustitución u=2x-1 du=2dx se
sigue ∫
𝟑𝒅𝒙
( 𝟐𝒙−𝟏) 𝟑
= 𝟑∫
𝒅𝒖
𝟐𝒖 𝟑
=
𝟑
𝟐
∫ 𝒖−𝟑
𝒅𝒖

2. =
3𝑢−3+1
2 − 3 + 1
𝐶
3
4 𝑈
− 2 + 𝑐
=
3
4(2𝑥 − 1)2
+ 𝐶
Ahora vemos que pasa con las integrales del tipo.
∫
( 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑑𝑥
( 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝐶) 𝑚