Este documento contiene apuntes sobre operaciones con matrices. Explica cómo se calcula el producto de dos matrices, incluyendo ejemplos numéricos. También define propiedades como la asociatividad, no conmutatividad y distribución, ilustrándolas con ejemplos. Por último, introduce el concepto de potencia de una matriz y cómo calcular An para diferentes valores de n.

1. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 1
MATEMÁTICAS A. CS II
Tema II
Matrices

2. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 2
OPERACIONES:
PRODUCTO DE MATRICES
TEMA 2.3 * 2º BCS

3. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 3
PRODUCTO DE MATRICES
• Para multiplicar una matriz fila de tamaño 1xn por una matriz
columna de tamaño nx1, se van multiplicando elemento a elemento
y sumando los resultados parciales, de modo que el resultado final
es un número real.
• Ejemplo_1
• d
• ( a b c ) e = a.d + b.e + c.f
• f
• Ejemplo_2
• 4 4.2 4.5 4.(-7) 8 20 -28
• -3 ( 2 5 -7 ) = -3.2 -3.5 -3.(-7) = -6 -15 21
• 1 1.2 1.5 1.(-7) 2 5 -7

4. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 4
Producto: DEFINICIÓN
• Dadas dos matrices A y B de tamaño mxn y nxp respectivamente,
dos matrices en que el nº de columnas de la 1ª coincide con el nº
de filas de la 2ª, se llama matriz producto A.B a una nueva matriz
en la que el elemento de lugar (i,j) se obtiene multiplicando la matriz
fila i de A por la matriz columna j de B.
• El resultado es una matriz de tamaño mxp.
2 3 4
5 6 7
a d
. b e
c f
2a+3b+4c 2d+3e+4f
=
5a+6b+7c 5d+6e+7f
Una matriz [2x3] multiplicada por otra [3x2] da por resultado una [2x2]

5. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 5
Ejemplos
2 -3
-5 6
-1
. 4
2(-1)+(-3).4
= -5(-1)+6.4
-14
= 29
2 -3
-5 6
-1 2
. 4 3
2(-1)+(-3).4 2.2+(-3).3
= -5(-1)+6.4 -5.2+6.3
-14 -5
= 29 8
2 -3
-1 2
. 4 3
= 2(-1)+(-3).4 2.2+(-3).3 = -14 -5

6. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 6
Más ejemplos
2 -3 0
-5 6 1
-1
. 4
2
2(-1)+(-3).4+0.2
= -5(-1)+6.4+1.2
-14
= 31
1 -2
0 3
-4 1
-1 2
. 4 3
1.(-1)+(-2).4 1.2+(-2).3
= 0.(-1)+3.4 0.2+3.3
(-4).(-1)+1.4 (-4).2+1.3
-9 -4
= 12 9
8 -5
1 0 -1
0 1 3
-1 1 0
5
. 7
4
5+0–4
= 0+7+12
-5+7+0
1
= 19
2

7. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 7
Último ejemplo
2 -3 4
-5 6 -1
-1 2
. 4 3
-2 -5
2(-1)-3.4+4(-2) 2.2-3.3+4(-5)
=
-5(-1)+6.4-1(-2) -5.2+6.3-1(-5)
-22 -25
=
31 13
-1 2
4 3 .
-2 -5
2 -3 4
-5 6 -1
-2-10 3+12 -4-2
= 8-15 -12+18 16-3
-4+25 6-30 -8+5
-12 15 -6
= -7 6 13
21 -24 -3
•El producto de matrices NO es conmutativo: A.B <> B.A
•Sea la matriz A [2x3] y la matriz B [3x2]
•Como se puede observar los resultados son distintos: A.B = [2x2] y B.A = [3x3]

8. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 8
Propiedades del PRODUCTO
• PROPIEDADES
• Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C
• (En ocasiones hay que multiplicar entre sí más de dos matrices)
• No es conmutativa: A.B <> B.A
• (Muy importante en las operaciones con matrices)
• Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I).
• (La matriz I es siempre cuadrado, presenta todos unos en la diagonal
principal y los demás elementos son ceros)
• Distributiva respecto a la suma:
• A.(B+C) = A.B+A.C
• (Hay que tener presente que A.(B+C) <> (B+C).A , en general.)
• Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre.
• (Imprescindible para poder dividir matrices. Si A.B = C, nos dan A y C,
para hallar B tenemos: B=C / A = (1 / A).C , donde 1/A es la matriz inversa
de A.)

9. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 9
Ejemplo
1 1
0 1
-1 2
. 4 3
•PROPIEDAD ASOCIATIVA: A.(B.C) = (A.B).C
0 1
. 2 1
1 1
= 0 1
-1 2
. 4 3
0 1
. 2 1
1 1
0 1
4 1
. 6 7
3 5
= 4 3
0 1
. 2 1
10 8
6 7
10 8
= 6 7

10. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 10
Ejemplo
1 1
0 1
-1 2
. 4 3
•PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: A.(B+C) = A.B+A.C
0 1
+ 2 1
1 1
= 0 1
-1 2
. 4 3
0 1
. 2 1
1 1
0 1
-1 3
. 6 4
3 5
= 4 3
2 2
+ 2 1
5 7
6 4
5 7
= 6 4
1 1
+ 0 1

11. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 11
1 2
A.B = 4 5 .
4 7
2 5
8 17
=
26 53
4 7
B.A = 2 5 .
1 2
4 5
32 43
=
22 29
Otro ejemplo de propiedad
anticommutativa del producto

12. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 12
POTENCIA DE UNA MATRIZ
•
• A2
= A.A
•
• A3
= A2
.A
• A4
= A3
.A
• An
= An – 1
. A
• En todos los casos los valores de los términos del resultado siguen
una ley de formación, una serie.
• 1 0
• Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz A =
• 1 1

13. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 13
• 2 1 0 1 0 1 0
• A = =
• 1 1 1 1 2 1
• 3 1 0 1 0 1 0
• A = =
• 2 1 1 1 3 1
• 4 n
• ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ?
Ejemplo de potencias de matrices
Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz
1 0
A =
1 1

14. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 14
• 2 1 0 1 0 1 0
• A = =
• 1 0 1 0 1 0
• 3 1 0 1 0 1 0
• A = =
• 1 0 1 0 1 0
• 4 n
• ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ?
Otro ejemplo de potencias
Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz
1 0
A =
1 0

15. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 15
• 2 0 1 0 1 1 0
• A = =
• 1 0 1 0 0 1
• 3 1 0 0 1 0 1
• A = =
• 0 1 1 0 1 0
• 4
• ¿Qué valdrá A ?  Lo mismo que A
• n
• ¿ Y A ?  A si n es par, e I si n es impar
Otro ejemplo de potencias
Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz
0 1
A =
1 0