1) El documento presenta transformaciones trigonométricas y sus demostraciones, incluyendo transformaciones de suma a producto, producto a suma y diferencia, y series trigonométricas. 2) Se resuelven varios problemas como ejemplo de aplicación de las transformaciones. 3) El documento concluye presentando problemas adicionales para que el estudiante practique con diferentes tipos de expresiones trigonométricas.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-II
TRIGONOMETRÍA
“Transformaciones Trigonométricas”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con transformaciones trigonométricas.
A) TRANSFORMACIONES DE SUMA O
DIFERENCIA A PRODUCTO.
Demostración:
Conocemos:
Si sumamos (1) + (2) obtenemos:
Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ....... (*)
Hacemos un cambio de variable :
Sea: obtenemos:
Luego en (*):
Las restantes identidades pueden verificarse en
forma análoga.
OBSERVACIÓN: debemos percatarnos de que
solamente se aplican las formulas dadas en
caso de tener suma o diferencia de senos o de
cosenos.
B) TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO
A SUMA O DIFERENCIA.
Siendo: x > y
PROPIEDADES IMPORTANTES
Si A, B, y C son los ángulos de un triangulo se
obtiene:
2
cos.
2
cos.
2
cos4)1
CBA
senCsenBsenA 
2
cos.
2
.
2
4)2
CB
sen
A
sensenCsenBsenA 
1
2
.
2
.
2
4coscoscos)3 
C
sen
B
sen
A
senCBA
1
2
.
2
cos.
2
cos4coscoscos)4 
C
sen
BA
CBA
SERIES TRIGONOMÉTRICAS:
Para la suma de Senos o Cosenos cuyos
ángulos están en progresión aritmética.





 





 





 





 





 





 





 





 

2
BAenS
2
BASen2CosACosB
2
BACos
2
BACos2CosBCosA
2
BACos
2
BASen2SenBSenA
2
BA
Cos
2
BA
Sen2SenBSenA










(4)..................SenxSenyCosxCosy)yx(Cos
(3)..................SenxSenyCosxCosy)yx(Cos
(2)..................CosxSenySenxCosy)yx(Sen
(1)..................CosxSenySenxCosy)yx(Sen





Byx
Ayx
2
BAy
2
BAx 





 





 
2
BACos
2
BASen2SenBSenA
2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x y)
2 Seny Cosx = Sen(x + y) Sen(x y) 
2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x y)
2 Senx Seny = Cos(x y) Cos(x + y) 
Semana Nº 11

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
  )
2
(.
)
2
(
)
2
(
)1(...)2()(
UP
sen
r
sen
nr
sen
rnAsenrAsenrAsensenA


  )
2
cos(.
)
2
(
)
2
(
)1cos(...)2cos()cos(cos
UP
r
sen
nr
sen
rnArArAA


PROBLEMAS RESUELTOS
1. En un triángulo ABC, reducir:
2 2
sen A sen B
M ,
sen2A sen2B



si: A B
4

 
a) 1
tanC
2
b) 1
tanC
2

c) ½ d) tan c e) –tanc
RESOLUCIÓN
   
   
sen A B sen A B
M
2sen A B cos A B
 

 
M=
 
1
tg A B
2

Pero: 1 1
A B M tg
4 2 4 2
  
     
 
RPTA.: C
2. Si:  
sen7 x
a b cos2x cos 4x cos6x
senx
   
Calcule: a + b
a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
RESOLUCIÓN

b
sen7x asen x 2senx cos2x
2
   2senx
cos4x 2senx cos6x

b
sen7x asen x sen3x senx
2
   
sen5x sen3x sen7x sen5x  
 b b
sen7x asenx sen7x senx
2 2
  
Luego:
b
1 b 2
2
  
 b
a 0
2
 
b
a 1
2
  
 b = 2
 a + b = 3 RPTA.: D
3. Calcule aproximadamente el valor de:
24
K sen34º sen52º sen88º
25
 
A) - ¼ B) – ½ C)-1/3 D)–1/5 E)–1/9
RESOLUCIÓN
2k 2sen74ºsen34º 2sen52ºsen88º 
1 1
k cos40º cos108 cos36º cos140º
2 2
         
cos40º cos72º cos36º cos40º
k
2 2 2 2
   
cos72º cos36º
k
2


sen18º cos36º 1
k
2 4

   RPTA.: A
4. Calcule:
2 4 6
M cos 2cos 3cos
11 11 11
  
   
20
... 10cos
11

 
A)–9/2 B)-11/2 C) 9/2 D) 11/2 E)- 9
RESOLUCIÓN
2 4 6
M cos 2cos 3cos
11 11 11
  
   
… 20
10 cos
11


20 18 16
M cos 2cos 3cos
11 11 11
  
   
… 20
10 cos
11


2 4 6
2M 11 cos cos cos ...
11 11 11
  
   

20
10 cos
11
 
 

10 2 2 20
sen
2 11 11 112M 11 cos
1 2 2
sen
2 11
   
  
    
    
 
10
sen
112M 11 cos 2M
sen
11
 
 
    
  
 
11
M
2
 
RPTA.: B
PROBLEMAS DE CLASE
1. Si: 𝑥 =
𝜋
13
𝑟𝑎𝑑 , entonces el valor de la
expresión: 𝐸 =
𝐶𝑜𝑠𝑥.𝐶𝑜𝑠10𝑥
𝐶𝑜𝑠2𝑥+𝐶𝑜𝑠4𝑥
, es :
A) - ½ B) ½ C) 1 D) – 3/2 E) - 1
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
2. En un triángulo ABC se cumple: 𝑆𝑒𝑛 𝐴 =
𝑆𝑒𝑛𝐵+𝑆𝑒𝑛𝐶
𝐶𝑜𝑠𝐵+𝐶𝑜𝑠𝐶
, dicho triangulo es:
a) Equilátero b) isósceles c) rectángulo
d) obtusángulo e) acutángulo
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
Donde :
n : # de términos
r : razón de la P.A.
P : primer ángulo
U : último ángulo

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
3. Calcular el valor de º360,º0x , que vuelve
máximo la expresión:
)º30()º40(  xsenxsenE
a) 65º b) 75º c) 85º d) 95º e)105º
4. Calcule el máximo valor de:
F= cos(30º+x)cos x
A) B) C) D) E)
5. Del gráfico , Calcular
AB
BC
T 
a)tgb) tg2 c) tg3 d) Ctg3e)
Ctg2

6. En un triángulo ABC, simplificar la expresión:
A) 1 B)2 C)3 D) 4 E) 5
7. Simplificar:
A) 1/27 B) 9/4 C) 1/8 D)11/8 E)9/8
8. Calcular :
15
33
...
15
9
15
5
15

sensensensenH 
a) Sen
5
 b) csc
15
 c) tg
15
 d) ctg
15
 e)1
9. Calcular:
17
8
cos...
17
3
cos
17
2
cos
17
cos 2222 
H
a) Sen2
17
 b) cos2
17
 c)
15
4 d)
4
15 e)1
10. Si : Senx + Seny = a ; Cosx - Cosy = b
Calcular:
a) b) ab c) d) e)
11. Simplificar :
a) 2Tan20º b) Tan40º
c) 2Tan40º d) Tan20º e) Sec20º
12. Reducir:
xxxxx
xsenxsenxsenxsenxsen
H
10cos8cos6cos4cos2cos1
108642



a) tg5x b) ctg5x c) tg6x d)ctg6x e)tg7x
13. Si:
7
5
cos
7
3
cos
7
cos

M y
7
8
cos
7
4
cos
7
2
cos

N
Calcular: M.N
a) – ½ b) – ¼ c) 1 d) ¼ e) ½
14. En el C.T. adjunto determinar el área de la
región sombreada.

2
3
4
a) -cos2.cos b) - sen.cos2
c) sen2.cos d) sen2.sen e) – sen.sen2
PROBLEMAS DE REPASO
1) Sea la expresión:
12
1

R , transforme a
producto:
a) 4cos105º.cos15º b) 2cos52º30´cos15º
c) 2cos37º30´.cos7º30´d)4cos52º30´.cos7º30´
e)4cos37º30´.cos7º30´
3 1
2
 3 2
2
 3 1
4
 3 2
4
 3
4
sen2A sen2B sen2C
F
2sen(A B)sen(A C)sen(B C)
 

  
4 4 4
W cos 80º cos 40º cos 20º  
)yx(aCos)yx(Sena
)yx(Cos)yx(aSen1
M



1
a
b 
ba  a
b
b
a
º20Sen31
º20SenE



4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
2) A partir de la figura mostrada calcular el valor
de “x”
a) 33 b) 36 c) 37 d) 39 e) 312
3) Calcular: º180...º3º2º1 sensensensenH 
a) Sen1º b) csc2º c) tg30´ d) ctg 30´ e)1
4) En un triángulo ABC; reducir:
a) 2CosC b) - 2CosC c) 2SenC
d) - 2SenC e) - CosC
5) Si:
6
1
senx ,
calcular:
senxxsen
xxsenx
H



5
4coscos 44
a)
5
6 b)
4
6 c)
2
6 d) 6 e) 62
6) Simplificar:


20cos14cos8cos2cos
201482

 sensensensen
a) tg3 b)tg6 c) tg11 d) ctg11 e) tg13
7) Transformar en producto la siguiente expresión:
a) Cos2x Cos3x b)
c) d)
e)
8) Si : ;
; Calcular:
a) b) c)
d) e)
9) La expresión : Es igual a:
a) b)
c) d) e)
10) Al simplificar la expresión:
, se obtiene:
A) cos x B) 2cos x C) cos 3x
D) 2cos 3x E) 2cos 2x
11) Reducir: F = 2sen40º.cos10º– cos40º
A) 1 B) C) D) E)
15. La suma de los senos de tres arcos en
progresión aritmética de razón es :
a)1 b) 0 c) – 1 d) 2/3 e) No se puede determinar.
12) Sea la expresión:
2
2
2
3
 , transforme a
producto:
a)4sen105º.cos15º b)4sen52º30´cos15º
c)2cos37º30´.cos7º30´d)2sen52º30´.cos7º30´
e)4cos37º30´.cos7º30´
13) Del gráfico, calcule "x" (Cos40º = 0,766)
a) 2,532 b) 3,156 c) 2,216 d) 3,108 e) 2,748
14) Si: A + B + C =90º, simplificar la expresión:
A) ½ B)¼ C)1 D)2 E)4
)BA(Sen
B2SenA2SenL


xSen42x8Cosx4Cos
2

x3xSen2Cos4
2
x2xSen2Cos2
2
x3xCos2Cos4
2
x2xCos4Cos4
2
aSenSen  bCosCos 
)0ba( 22
 )(Cos 
22
ba
ab2
 22
ba
ab2
 22
22
ba
b3a


22
22
ab
ab


ab2
ab
22

CosyCosx
SenySenx







 
2
yx
Tan 




 
2
yx
Sen





 
2
yx
Cos 




 
2
yx
Cot
)yx(Cos
)yx(Sen


2sen2x sen4x sen8x
F
sen5x senx
 


1
2
3
4
3
2 3
3
2
50º
10º
A B
C
D
4
x
sen2A sen2B sen2C
F
4 cosAcosBcosC
 


5. 5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo