Esta breve guía, da un recorrido por esfuerzos bidimensionales, deformación, elasticidad y esfuerzos tridimensionales

1. I.A.A.F.S.
Fundamentos de Geomecánica
Mecánica de Rocas I
Prof. Jarufe, A. & Prof. Orrego, C.
Aytes. Fritzler, I., Gómez, P., Herrera, F. & Yelicich, V.
2017
Ejercicios Propuestos
PEP 1
1. Para el testigo de roca presentado en la ilustración 1, el cual fue sometido a un Ensayo Triaxial,
considerado no válido por fallar a través de estructura, además de presentar una leve inclinación
en la superficie horizontal, se solicita determinar:
a. Orientación de los esfuerzos principales.
b. Esfuerzos actuantes en el plano de falla A-A´.
c. Suponga un plano con ángulo de ruptura de 20° en sentido horario, determine esfuerzos
actuantes en ese plano, además demuestre que los esfuerzos obtenidos en este plano
mediante el Círculo de Mohr serán los mismos que por el método analítico.
Tabla 1. Resultados obtenidos de Ensayo Triaxial (MPa)
σ1 σ3
35 16
Ilustración 1. Visualización de Ensayo Triaxial

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2. En el siguiente elemento de roca, se identificaron dos planos de ruptura aa´ y bb´ como se aprecia
a continuación.
Ilustración 2. Representación de planos aa´ y bb´
Además, son perpendiculares entre sí, y presentan ángulos de ruptura de 20° y 110° (aa´ y bb´
respectivamente) medidos en sentido anti horario desde la horizontal. El estado tensional de estos
planos se representó de la siguiente manera.
𝜎 𝑎𝑎´ = 13 𝑀𝑃𝑎, 𝜎 𝑏𝑏´ = 19 𝑀𝑃𝑎, 𝜏 𝑎𝑎´𝑏𝑏´ = 4.5 𝑀𝑃𝑎
Se solicita determinar:
a. Deformaciones axiales.
b. Deformaciones principales con sus orientaciones.
c. Deformaciones actuantes en un plano medido 40° sentido anti horario desde la horizontal.
Nota:
En caso de un supuesto de deformación plana considerar G = 1.01 GPa y ν = 0.23

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3. Se está evaluando una nueva extensión en el transporte subterráneo que conecte una línea de metro
con otra estación, dicha labor corresponde a una galería circular de 25 m2
con 500 m de longitud,
por el momento sólo se ha estudiado el estado tensional in situ, mediante el método de HI Cell (3
especímenes), la información correspondiente se presenta a continuación.
Tabla 2. Resultados obtenidos vía HI Cell
σ1 I1 AZ1 σ2 I2 AZ2 σ3 I3 AZ3
68 5 25 45 16 115 23 83 210
65 3 28 22 15 110 48 89 205
67 4 26 43 13 105 71 84 209
σ: Esfuerzo (MPa), I: Inclinación (°), AZ: Azimut (°)
La nueva extensión que se desea excavar, se pretende realizar perpendicular a la línea de metro,
como se aprecia en la ilustración 2, además la línea de metro se presenta con una inclinación de
8° y la nueva extensión se prevé horizontal.
Se solicita analizar y determinar a partir de la información entregada:
a. Esfuerzos principales actuantes (Magnitud y Orientación) en el contorno de la nueva
extensión.
b. ¿En dónde se produce mayor sobre excavación, en la línea de metro o en la nueva extensión?
Ilustración 3. Vista planta de la nueva extensión

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Formulario
C =
σx + σy
2
R = √(
σx − σy
2
)
2
+ τxy
2
P, Q = C ± R
σθ = (
σx + σy
2
) + (
σx − σy
2
) ∙ cos 2θ + τxy ∙ sin 2θ
τθ = τxy ∙ cos 2θ − (
σx − σy
2
) ∙ sin 2θ
σxyz = LT
∙ σ123 ∙ L
σxyz = (
σx τxy τxz
τyx σy τyz
τzx τzy σz
)
σ123 = (
σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 σ3
)
L = (
lx mx nx
ly my ny
lz mz nz
)
li = cos βi ∙ cos δi
mi = sin βi ∙ cos δi
ni = sin δi
σx´y´z´ = L´ ∙ σxyz ∙ L´T
P, Q =
σx + σy
2
± √(
σx − σy
2
)
2
+ τxy
2
P
Q
θP =
1
2
∙ tan−1
(
2τxy
σx − σy
)
θQ = θP + 90°
G =
E
2(1 + ν)
εθ = (
εx + εy
2
) + (
εx − εy
2
) ∙ cos 2θ +
γxy
2
∙ sin 2θ
γθ = γxy ∙ cos 2θ − (εx − εy) ∙ sin 2θ
εx =
1
E
∙ [(1 − ν2) ∙ σx − ν ∙ (1 + ν) ∙ σy]
εy =
1
E
∙ [(1 − ν2) ∙ σy − ν ∙ (1 + ν) ∙ σx]
γxy =
2 ∙ (1 + ν)
E
∙ τxy
εP,Q =
εx + εy
2
±
1
2
√(εx − εy)
2
+ γxy
2
θεP =
1
2
∙ tan−1
(
γxy
εx − εy
)
θεP = θεP + 90°

5. I.A.A.F.S.
Fundamentos de Geomecánica
Mecánica de Rocas I
Prof. Jarufe, A. & Prof. Orrego, C.
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Solución
1.
a. σ1: 100°, σ3: 10°
b. σn: 31.6 MPa, τ: 7.3 MPa
c. σn: 32.8 MPa, τ: -6.1 MPa
(Para efectos de demostrar, básicamente es utilizar ambos métodos y corroborar que el
resultado sea el mismo, pero para eso, se debe considerar la convención propuesta tanto por
el método analítico como el de Mohr, el resultado tanto en b como c son basados en Círculos
de Mohr)
2.
a. εX: 3.97x10-3
, εy: 4.57x10-3
, γxy: -5.35x10-3
b. εP: 6.96x10-3
, θP: -41.8°, εQ: 1.58x10-3
, θQ: -131.8°
c. ε40°: 6.85x10-3
, γ40°: 1.52x10-3
3.
a. P: 54.14 MPa, θP: 14.13°, Q: 24.85 MPa, θQ: 104.13°
b. La mayor sobre excavación se producirá en la nueva extensión con una razón de esfuerzos
principales secundarios o de anisotropía de 2.18 versus un 1.86 correspondiente a la línea
de metro.
Nota:
Los esfuerzos principales pueden ser denotados tanto por σ1,2,3 como por P - Q, siendo la primera notación
utilizada de manera más general en mecánica de materiales, geología, etc., además representa los esfuerzos
de manera tridimensional, referente a la notación P - Q, hace referencia a esfuerzos principales en dos
dimensiones y es empleada en la mecánica de roca, estás dos componentes a su vez, hacen referencia al
esfuerzo principal máximo y mínimo de la dimensión 2D analizada.