DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTÍNUA

1. 3 Distribuciones continuas

2. Recordamos que una variable aleatoria continua es una variable
cuyo valor no puede predecirse con exactitud (aunque sí en términos
“probabilísticos”, es decir, con determinado grado de incertidumbre)
y que toma valores en un intervalo.
¿Qué es la función de densidad, en este caso?

3. Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de
pájaro; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos,
y calculamos los porcentajes.
150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
100
Peso
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40

4. 150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
100
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40
¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?
Prob.=%=Area
1
Peso

5. 150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
100
Peso
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40
Prob.=%=Area
¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?

6. Peso
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40
Prob.=%=Area
150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
100
¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?

7. Peso
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40
Prob. (muestra)
Muestra
POBLACION
Conocida (DATOS)
Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces?
¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?

8. ¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?
170
%
Peso
Función de
densidad
y = f(x)
170
Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse
como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con
un peso superior a 170.

9. ¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?
170
%
Peso
Función de
densidad
y = f(x)
170
Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como
∫
∞
170
)( dxxf

10. DEFINICION (Función de densidad): Dada una variable
aleatoria continua X decimos que f(x) es una función de
densidad, si:
1.- f(x)≥0 para todo valor de x
2.- Se cumple:
∫
∞
∞−
= 1)( dxxf

11. En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de que
la variable X esté entre los valores a y b), se calcula como:
∫=≤≤
b
a
dxxfbXaP )()(
a b
f(x)

12. IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la
variable X tome un valor determinado, es CERO:
0)()( === ∫
a
a
dxxfaXP
Por lo tanto,
)(
)()()(
bXaP
bXaPbXaPbXaP
<<=
=<≤=≤<=≤≤

13. DEFINICION (Función de distribución): Dada una
variable aleatoria continua X, con función de densidad
f(x), la función de distribución F(x) es la función que
para cada valor de x nos da la probabilidad de que X
tome un valor menor o igual que x.
∫=≤=
x
a
dttfxXPxF )()()(

14. La función de distribución cumple:
1. La derivada de la función de distribución,
es la función de densidad.
2. Se verifica:
)()(' xfxF =
)()()( aFbFbXaP −=≤≤

15. MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA
MEDIA:
Variable discreta:
∑=
⋅=
k
i
ii px
1
µ ))(( ii xXPp ==
Variable continua:
∫
∞
∞−
⋅= dxxfx )(µ

16. MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA
VARIANZA:
Variable discreta:
Variable continua:
( )∑ ∑= =
−⋅=⋅−=
k
i
k
i
iiii pxpx
1 1
2222
µµσ
( ) ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−⋅=⋅−= 2222
)()( µµσ dxxfxdxxfx

17. MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA
DESVIACION TIPICA:
2
σσ =

18. LECCIÓN 5:
ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTÍNUAS
•Distribución Uniforma Continua
•Distribución Normal
•Distribución Normal General
•Distribución Normal Tipificada
•Teorema de la adición
•Distribución Gamma
•Distribución Exponencial
•Distribuciones relacionadas con la normal
•Distribución chi-cuadrado
•Distribución F de Fisher-Snedecor
•Distribución t de Student

19. DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA (Rectangular)
Una variable aleatoria se distribuye de forma uniforme en un
intervalo (a,b) con -∞<a<b<∞ si su función de densidad viene
dada por
Función de densidad
0 resto
1/(b-a) si a ≤x ≤ b
f(x)=
Función de distribución
0 si x<a
x-a si a≤x ≤b
b-a
1 si x>b
F(x)=
f(x) F(x)
a b a b

20. DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
Momentos:
•Media µ= E[x]= ∫ x/(b-a)dx= (b+a)/2
•Varianza Var(x)= E[x2
]- [E[x]]2
= (b-a)2
/12
•Función generatriz de momentos
etb
- eta
si t≠0
t(b-a)
1 si t=0
gx(t)=

21. Uniforme discreta, EJEMPLOS:
1. El tiempo que tarda un alumno en ir desde su domicilio a la
facultad varía entre 30 y 40 minutos. Diariamente debe llegar a
clase a las 9h.
a) A qué hora debe salir de su casa para tener la probabilidad de
0.8 de no llegar tarde a clase
b) Cuál es el tiempo medio que tarda en ir a clase, y la varianza.
2. De la Estación de San Telmo sale una guagua en dirección
Las Palmas-Telde cada 15 minutos. Un viajero llega de
improviso en cualquier momento.
a) Probabilidad de que el viajero espere menos de 5 minutos
b) Probabilidad de que el viajero espere exactamente 10
minutos.
c) Media y varianza del tiempo de espera del viajero.

22. DISTRIBUCIÓN NORMAL N(µ,σ2
)
a) Existen muchas variables en las cuales su variación parece
coincidir con una distribución normal (pesos, alturas, medidas de
calidad, etc.)
b) Muchos estadísticos se distribuyen con una Normal.
c) Se presenta como una excelente aproximación de otras
distribuciones (Binomial, Poisson), cuando el tamaño de la
muestra es grande.
Función de densidad Función de distribución
F(x)= de difícil manejo
Función Generatriz
2
2
21
2
1 σ
µ
πσ
)(
/
)(
−
−
=
x
exf
-∞<x<∞ 222/1
)( tt
exgt σµ +
=

23. DISTRIBUCIÓN NORMAL N(µ,σ2
) Propiedades
1. Es simétrica respecto de la media x=µ , f(µ-x)=f(µ+x) ∀x∈R.
2. Alcanza su máximo en µ=x.
3. Es creciente para x<µ y decreciente para x> µ.
4. Los puntos de abcisas (µ-σ) y (µ+σ) son de inflexión.
5. La recta y=0 es una asíntota de f(x).
Para el cálculo de probabilidades utilizamos la Normal tipificada
o estándar. N(0,1)
X→ N(µ,σ2
), para Z=(x-µ)/σ, Z→ N (0,1)

24. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR N(0,1)
2
2
2
1
)(
x
exf
−
=
π
Función de densidad
1. Es simétrica respecto de la media x=0 , f(x)=f(-x) ∀x∈R.
2. Alcanza su máximo en µ=0, f(x=0)=1/√2π.
3. Es creciente para x<0 y decreciente para x> 0.
4. Los puntos de abcisas 1 y -1 son de inflexión.
5. La recta y=0 es una asíntota de f(x).
Particularidades:
Me=Moda=0
1er cuartil x= -0.675

25. TEOREMA DE LA ADICIÓN
Cualquier combinación lineal de variables normales e independientes
sigue una distribución normal.
Si x1,x2,....,xn son independientes
xi→N(µσ2
) con σi
2
>0 para todo i=1,2,....,n
y dados a1,a2,...,an, b ∈ℜ con ai≠0
Llamando
∑
=
+=
n
i
ii bxax
1
∑ ∑
= =
+→
n
i
n
i
iiii abaNx
1 1
22
),( σµ

26. Corolario 1.1
Si x1,x2,....,xn son independientesy con la misma distribución Normal
xi→N(µσ2
) con σ2
>0 para todo i=1,2,....,n
Entonces
∑
=
→=
n
i
nnNxiX
1
2
),( σµ
Corolario 1.2
La variable “media muestral” sigue una distribución Normal
),(
1
21
_
∑
=
→=
n
i
nin NxXn σ
µ

27. REFERENCIAS
http://www3.uah.es/juange_alcazar/Analisis%20de%20Datos%20Amb/Tema
%205_aleat_cont.ppt
http://www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/Probabilidad/6_variable_aleatoria
_continua.ppt
http://es.scribd.com/doc/21065741/DISTRIBUCION-UNIFORME#scribd
http://www3.uah.es/juange_alcazar/Analisis%20de%20Datos%20Amb/Tema
%205_aleat_cont.ppt
http://www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/Probabilidad/7_distribucion_nor
mal.pptx