Dinamica de fluidos

MecMecáánica y fluidosnica y fluidos
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©©2007 Departamento de F2007 Departamento de Fíísicasica
Universidad de SonoraUniversidad de Sonora

DinDináámica de Fluidosmica de Fluidos

TemarioTemario
7. Din7. Dináámica de fluidosmica de fluidos
DinDináámica de fluidos (2.5 semanas)mica de fluidos (2.5 semanas)
1.1. CaracterCaracteríísticas de los fluidos ideales y viscosossticas de los fluidos ideales y viscosos
2.2. Concepto de gasto o flujo volumConcepto de gasto o flujo voluméétrico y su conservacitrico y su conservacióónn
3.3. Flujo de masa y ecuaciFlujo de masa y ecuacióón de continuidadn de continuidad
4.4. EcuaciEcuacióón de Bernoulli para fluidos no viscososn de Bernoulli para fluidos no viscosos
5.5. PresiPresióón en fluidos no viscosos en movimiento a travn en fluidos no viscosos en movimiento a travéés de tubers de tuberííasas
6.6. AplicaciAplicacióón de la ecuacin de la ecuacióón de Bernoullin de Bernoulli
Medidor deMedidor de VenturiVenturi
Ventura de vacVentura de vacíío y sus aplicacioneso y sus aplicaciones
Velocidad de salida de un lVelocidad de salida de un lííquido por un orificio en un recipientequido por un orificio en un recipiente
con diferentes condiciones geomcon diferentes condiciones geoméétricastricas
ElevaciElevacióón de aviones y otros ejemplosn de aviones y otros ejemplos
7.7. La viscosidad de las sustancias y sus caracterLa viscosidad de las sustancias y sus caracteríísticassticas
Comportamiento de viscosidad con temperaturaComportamiento de viscosidad con temperatura

TemarioTemario
ContinuaciContinuacióón Dinn Dináámica de fluidosmica de fluidos
DinDináámica de fluidos (2.5 semanas)mica de fluidos (2.5 semanas)
8.8. Ley deLey de HagenHagen--Poiseuille para flujo laminarPoiseuille para flujo laminar
9.9. Perfil de velocidad en rPerfil de velocidad en réégimen laminargimen laminar
10.10. NNúúmero demero de ReynoldsReynolds y regimenes de flujoy regimenes de flujo
11.11. Estudio de objetos moviEstudio de objetos moviééndose en un fluido viscoso en reposondose en un fluido viscoso en reposo
Ley deLey de StokesStokes
Velocidad terminalVelocidad terminal
SedimentaciSedimentacióón en centrifugasn en centrifugas

Fluido idealFluido ideal
1.1. Flujo estacionarioFlujo estacionario:: Cada punto del fluido no varia en funciCada punto del fluido no varia en funcióónn
del tiempo.del tiempo.
2.2. IncompresibleIncompresible (su densidad no puede cambiar): Los l(su densidad no puede cambiar): Los lííquidosquidos
generalmente son incompresibles, aunque tambigeneralmente son incompresibles, aunque tambiéén pueden puede
tratarse a los gases como incompresibles, si las diferencias detratarse a los gases como incompresibles, si las diferencias de
presipresióón no son muy grandesn no son muy grandes
3.3. Fluido no viscosoFluido no viscoso:: Es un fluido NO viscoso, cuando la fricciEs un fluido NO viscoso, cuando la friccióónn
interna es nula o despreciable. Un objeto desplazinterna es nula o despreciable. Un objeto desplazáándose en unndose en un
fluido no viscoso no presenta retardo por fuerzas viscosas.fluido no viscoso no presenta retardo por fuerzas viscosas.
4.4. Irrotacional:Irrotacional: Un fluido es irrotacional si no posee velocidadUn fluido es irrotacional si no posee velocidad
angular. Imaginemos una pequeangular. Imaginemos una pequeñña rueda de paletas sumergidaa rueda de paletas sumergida
en un len un lííquido que fluye. Si la rueda de paleta se desplaza sinquido que fluye. Si la rueda de paleta se desplaza sin
girar el fluido es irrotacional, en caso contrario es rotacionalgirar el fluido es irrotacional, en caso contrario es rotacional..

Al estudiar la dinAl estudiar la dináámica de fluidos, se supondrmica de fluidos, se supondráá que todos los fluidosque todos los fluidos
en movimiento exhiben un flujo laminar.en movimiento exhiben un flujo laminar.
El flujo laminar es el movimiento de un fluido en el que todaEl flujo laminar es el movimiento de un fluido en el que toda
partpartíícula del mismo sigue la misma trayectoria (al pasar por uncula del mismo sigue la misma trayectoria (al pasar por un
punto en partpunto en partíículas) que la seguida por las partculas) que la seguida por las partíículas anteriores.culas anteriores.
Flujo laminarFlujo laminar Flujo turbulentoFlujo turbulento

El flujo turbulento puede visualizarse como un torbellino, en elEl flujo turbulento puede visualizarse como un torbellino, en el
cual, la trayectoria que sigue un punto en el fluido no es predecual, la trayectoria que sigue un punto en el fluido no es predecible.cible.
Pudiendo formarse en el interior del fluido remolinos. Como el qPudiendo formarse en el interior del fluido remolinos. Como el queue
aparece en la figura.aparece en la figura.
En este curso no nos enfocaremos en este tipo de flujos, debidoEn este curso no nos enfocaremos en este tipo de flujos, debido a sua su
complejidad fcomplejidad fíísica y matemsica y matemáática, quedando para cursos elevados.tica, quedando para cursos elevados.

LLííneas de corrienteneas de corriente
Los flujos que trataremosLos flujos que trataremos
son la zona correspondienteson la zona correspondiente
a la regia la regióón mn máás prs próóxima alxima al
tubo.tubo.
La trayectoria que toma una partLa trayectoria que toma una partíículacula
de un fluido es denominada lde un fluido es denominada líínea denea de
flujo.flujo.
La velocidad de la partLa velocidad de la partíícula siempre escula siempre es
tangencial a las ltangencial a las lííneas de flujo.neas de flujo.
Dos lDos lííneas de flujo NUNCA se cruzan,neas de flujo NUNCA se cruzan,
si esto ocurre, una partsi esto ocurre, una partíícula de fluidocula de fluido
podrpodríía seguir por cualquiera de las dos,a seguir por cualquiera de las dos,
y el flujo sery el flujo seríía no estacionarioa no estacionario
Un conjunto de lUn conjunto de lííneas de flujo formanneas de flujo forman
un tubo de flujo.un tubo de flujo.
RepresentaciRepresentacióón den de
las llas lííneas de flujo.neas de flujo.

22. Concepto de gasto o flujo volum. Concepto de gasto o flujo voluméétrico ytrico y
su conservacisu conservacióónn
1 1 2 2 .Av A v cte= =
EL fluido de la parte baja de la imagenEL fluido de la parte baja de la imagen
que se encuentra en el tubo, se desplazaque se encuentra en el tubo, se desplaza
en unen un ΔΔtt, un, un ΔΔxx11=v=v11 ΔΔtt
AA11 es eles el áárea de la seccirea de la seccióón transversal enn transversal en
esta regiesta regióón, entonces la masa que sen, entonces la masa que se
desplaza esdesplaza es ΔΔmm11= A= A11vv11 ΔΔxx11 ==ρρ11AA11vv11 ΔΔtt
Para la parte superior se tiene dePara la parte superior se tiene de
manera similar,manera similar, AA22, y la masa, y la masa
ΔΔmm22= A= A22vv22 ΔΔxx22 ==ρρ22AA22vv22 ΔΔtt
Por la conservaciPor la conservacióón de la masan de la masa
ΔΔmm11== ΔΔmm22 oo ρρ11AA11vv11 == ρρ22AA22vv22
Se le conoce como ecuaciSe le conoce como ecuacióón den de
continuidadcontinuidad
Si la densidad es constanteSi la densidad es constante ρρ, se tiene, se tiene
entoncesentonces Se denomina a la constante,Se denomina a la constante,
RazRazóón de flujo, gasto o flujon de flujo, gasto o flujo
de volumende volumen

Una seUna seññora esta regando el jardora esta regando el jardíín y le tapan y le tapa
con el dedo a la manguera, dejando unacon el dedo a la manguera, dejando una
abertura de aproximadamente 1/3 delabertura de aproximadamente 1/3 del áárearea
original.original. ¿¿SaldrSaldráá mmáás rs ráápido el aguapido el agua
tapando la boca de la manguera con eltapando la boca de la manguera con el
dedo o sin tapar?dedo o sin tapar?
Si en la tele nos dicen que normalmenteSi en la tele nos dicen que normalmente
de la llave salen 20de la llave salen 20 litros por minutos, ylitros por minutos, y
la manguera es de aproximadamente dela manguera es de aproximadamente de
2cm. de di2cm. de diáámetro. La velocidad entoncesmetro. La velocidad entonces
puede ser determinada utilizando la leypuede ser determinada utilizando la ley
del gasto.del gasto.
Ejemplo de GASTOEjemplo de GASTO
Respuesta:Respuesta:
2
2 2
1 1
d v
d v
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 2 2 .Av A v cte Q= = =
2 2
1 2
1 2 .
2 2
d d
v v cte Qπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dondedonde
despejandodespejando
Sabemos que dSabemos que d11=3d=3d22 y ademy ademáás ques que
1lt = 1dm1lt = 1dm33 =(0.1m)=(0.1m)33, as, asíí se tiene quese tiene que
20lt =20(0.1m)20lt =20(0.1m)33 cada 60 seg. Ascada 60 seg. Asíí
vv11=(20lt/60seg)/A=(20lt/60seg)/A11
=(20*=(20*(0.1m)(0.1m)33//60seg60seg)/()/(π∗(0π∗(0.01m).01m)22))
AdemAdemáás sabemos ques sabemos que
vv22=9v=9v11

4.4. EcuaciEcuacióón de Bernoulli para fluidos non de Bernoulli para fluidos no
viscososviscosos
Daniel BernoulliDaniel Bernoulli
FFíísico y matemsico y matemáático suizo, nacitico suizo, nacióó el 8 deel 8 de
Febrero de 1700. Hizo importantesFebrero de 1700. Hizo importantes
aportaciones enaportaciones en hidrodinhidrodináámicamica. Su trabajo m. Su trabajo mááss
importante trata sobre el estudio teimportante trata sobre el estudio teóóricorico
experimental de fluidos tanto en equilibrioexperimental de fluidos tanto en equilibrio
como en movimiento. Su mcomo en movimiento. Su mááxima obra, llamadoxima obra, llamado
hoy en dhoy en dííaa Principio de BernoulliPrincipio de Bernoulli, versa sobre la, versa sobre la
descripcidescripcióón de fluidos desplazn de fluidos desplazáándose alndose al
interior de un tubo. Su obra esta basada en unainterior de un tubo. Su obra esta basada en una
descripcidescripcióón utilizando el principio den utilizando el principio de
conservaciconservacióón de la energn de la energíía.a.

4.4. EcuaciEcuacióón de Bernoulli para fluidos no viscososn de Bernoulli para fluidos no viscosos
Cuando un fluido pasa a travCuando un fluido pasa a travéés de un tubo donde los extremoss de un tubo donde los extremos
estestáán a diferente altura y tienen diferenten a diferente altura y tienen diferente áárea transversal, larea transversal, la
presipresióón del fluido varia.n del fluido varia.
Daniel Bernoulli fue el primero en relacionar la presiDaniel Bernoulli fue el primero en relacionar la presióón con lan con la
velocidad del fluido, y elevacivelocidad del fluido, y elevacióón, utilizando la conservacin, utilizando la conservacióón de lan de la
energenergíía.a.
Punto 2Punto 2
Punto 1Punto 1
Suposiciones de BernoulliSuposiciones de Bernoulli
El fluido es incompresible,El fluido es incompresible,
irrotacional, y no viscoso,irrotacional, y no viscoso,
ademademáás fluye de maneras fluye de manera
estacionaria.estacionaria.
ElEl áárea en los extremos del tuborea en los extremos del tubo
son Ason A11 (punto 1) y A(punto 1) y A22 (punto 2)(punto 2)
respectivamente y se encuentranrespectivamente y se encuentran
a una elevacia una elevacióón respecto al planon respecto al plano
horizontal yhorizontal y11 y yy y22..
La velocidad de entrada y salidaLa velocidad de entrada y salida
son vson v11 (punto 1) y v(punto 1) y v22 (punto 2)(punto 2)

ContinuaciContinuacióón 1n 1
1 1 1 1 1 1 1W F x P A x P V= Δ = = Δ
En unEn un ΔΔtt, se aplica una fuerza F, se aplica una fuerza F11 sobre elsobre el
fluido en Pfluido en P11, es decir sobre la secci, es decir sobre la seccióónn
transversal Atransversal A11. Esto hace que se efect. Esto hace que se efectúúe une un
trabajo para poder desplazar el fluido untrabajo para poder desplazar el fluido un ΔΔxx11..
Dando como resultadoDando como resultado
Punto 2Punto 2
Punto 1Punto 1
2 2 2 2 2W P A x P V= − = Δ
dondedonde ΔΔV es el volumen de la regiV es el volumen de la regióónn
sombreada en el punto 1.sombreada en el punto 1.
De manera similar para el punto 2, el trabajo realizado sobre elDe manera similar para el punto 2, el trabajo realizado sobre el fluido en afluido en a
travtravéés del punto 1 en un tiempos del punto 1 en un tiempo ΔΔtt, es igual al volumen que pasa por el, es igual al volumen que pasa por el
punto 2.punto 2.
El trabajo en punto 2 esta dado porEl trabajo en punto 2 esta dado por
Los volLos volúúmenes en los puntos 1 y 2 son iguales.menes en los puntos 1 y 2 son iguales.
El trabajo es negativo debido a que la fuerza en el segmento vaEl trabajo es negativo debido a que la fuerza en el segmento va hacia la izquierdahacia la izquierda
Y se desplaza hacia la derecha.Y se desplaza hacia la derecha.

( )1 1 2W P P V= − Δ
2 2
2 1
1 1
2 2
K mv mvΔ = −
AsAsíí el trabajo neto llevado a cabo sobre elel trabajo neto llevado a cabo sobre el
segmento, por estas dos fuerzas en elsegmento, por estas dos fuerzas en el
intervalointervalo ΔΔtt esta dado poresta dado por
Punto 2Punto 2
Punto 1Punto 1
parte de este trabajo se transforma enparte de este trabajo se transforma en
energenergíía cina cinéética y parte en energtica y parte en energííaa
potencial gravitacional.potencial gravitacional.
El cambio de energEl cambio de energíía cina cinéética en el intervalo de tiempotica en el intervalo de tiempo ΔΔtt, se da como un, se da como un
cambio en la velocidad al pasar de vcambio en la velocidad al pasar de v11 a va v22. Esto es debido a que se considera que. Esto es debido a que se considera que
la masa permanece constante, porque el volumen permanece constala masa permanece constante, porque el volumen permanece constante.nte.
La forma del cambio de energLa forma del cambio de energíía cina cinéética esta dada por:tica esta dada por:
El cambio en la energEl cambio en la energíía potencial gravitacional, se da por cambios en la elevacia potencial gravitacional, se da por cambios en la elevacióónn
(cambio de y(cambio de y11 a ya y22) de una porci) de una porcióón del fluido en el intervalo de tiempon del fluido en el intervalo de tiempo ΔΔtt..
2 1U mgy mgyΔ = −

( ) ( )2 2
1 2 2 1 2 1
1 1
2 2
P P v v gy gyρ ρ ρ ρ
⎛ ⎞
− = − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
W K U= Δ + Δ
( ) ( )2 2
1 2 2 1 2 1
1 1
2 2
P P V mv mv mg y y
⎛ ⎞
− = − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
El trabajo total llevado a cabo por el fluidoEl trabajo total llevado a cabo por el fluido
sobre la regisobre la regióón sombreada es igual a lan sombreada es igual a la
energenergíía meca mecáánicanica
Punto 2Punto 2
Punto 1Punto 1
Sustituyendo los tSustituyendo los téérminos de las energrminos de las energííasas
da como resultadoda como resultado
Si dividimos entre V y definiendo aSi dividimos entre V y definiendo a ρρ=m/V, tenemos=m/V, tenemos
Reagrupando tReagrupando téérminosrminos
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2
P v gy P v gyρ ρ ρ ρ+ + = + +
Esta es la ecuaciEsta es la ecuacióón de Bernoulli para unn de Bernoulli para un
fluido idealfluido ideal

La expresiLa expresióón de Bernoulli para un fluidon de Bernoulli para un fluido
ideal, es expresada comideal, es expresada comúúnmente como:nmente como:
Punto 2Punto 2
Punto 1Punto 1
AsAsíí tambitambiéén podemos decir que cuando la altura aumentan podemos decir que cuando la altura aumenta
la presila presióón disminuye.n disminuye.
21
.
2
P v gy cteρ ρ+ + =
Esta expresiEsta expresióón indica:n indica:
Si la velocidad aumenta la presiSi la velocidad aumenta la presióón disminuyen disminuye

a) Aplicacia) Aplicacióón a hidrostn a hidrostááticatica
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2
Consideremos el caso para la expresiConsideremos el caso para la expresióón den de
de Bernoulli en el cual se tiene que lasde Bernoulli en el cual se tiene que las
velocidades vvelocidades v11=v=v22=0=0
1 2 2 1P P gy gyρ ρ− = −
P gyρ=
Sustituyendo, las velocidades y reagrupandoSustituyendo, las velocidades y reagrupando
Definiendo y=yDefiniendo y=y22--yy11
ExpresiExpresióón para la hidrostn para la hidrostááticatica

b) Teorema deb) Teorema de TorricelliTorricelli
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2
Consideremos el caso de un lConsideremos el caso de un lííquido dequido de
densidaddensidad ρρ, encerrado en un tanque. En la, encerrado en un tanque. En la
parte inferior y a una altura yparte inferior y a una altura y11 del fondo tienedel fondo tiene
un agujero deun agujero de áárea Area A11, que da al exterior. El, que da al exterior. El
áárea del agujero es mucho mrea del agujero es mucho máás peques pequeñño queo que
elel áárea Area A22 del tanque. El aire en el tanque pordel tanque. El aire en el tanque por
encima del lencima del lííquido se encuentra a unaquido se encuentra a una
presipresióón P.n P. ¿¿CuCuáál serl seráá la velocidad de salidala velocidad de salida
del liquido por el agujero, si el nivel deldel liquido por el agujero, si el nivel del
liquido es h?liquido es h?
Partiendo de la expresiPartiendo de la expresióón de Bernoulli,n de Bernoulli,

b) Cont. Teorema deb) Cont. Teorema de TorricelliTorricelli
2
1 1 2
1
2
oP v gy P gyρ ρ ρ+ + = +
Como AComo A22 >> A1 y utilizando le expresi>> A1 y utilizando le expresióón para el gaston para el gasto
1 1 2 2 2. 0Av A v cte v= = → =
Y PY P11=Presi=Presióón atmosfn atmosféérica, Prica, P22=P. Sustituyendo en la=P. Sustituyendo en la
ecuaciecuacióón de Bernoulli,n de Bernoulli,
Reagrupando y haciendo h=yReagrupando y haciendo h=y22--yy11
( )
1
2
2oP P
v gh
ρ
−⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )2
1 o
o
P
si P P v
ρ
→ =

b) Cont. Teorema deb) Cont. Teorema de TorricelliTorricelli
Si el tanque no esta tapado, se tiene entonces que laSi el tanque no esta tapado, se tiene entonces que la
presipresióón P=n P=PoPo, as, asíí la expresila expresióón de la velocidad se ven de la velocidad se ve
modificada por la siguiente expresimodificada por la siguiente expresióónn
La velocidad no depende de la densidad del fluido.La velocidad no depende de la densidad del fluido.
1 2v gh=

c) Tubo dec) Tubo de VenturiVenturi
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
P v P vρ ρ+ = +
Consiste en un tubo horizontal en dondeConsiste en un tubo horizontal en donde
estrechamiento en una de las partes de unestrechamiento en una de las partes de un
tubo es producido. La estrangulacitubo es producido. La estrangulacióón deln del
tubo se da de manera gradual. De estatubo se da de manera gradual. De esta
manera se evita la produccimanera se evita la produccióón de remolinos yn de remolinos y
queda asegurado un rqueda asegurado un réégimen estacionario.gimen estacionario.
Se tiene que ySe tiene que y11=y=y22, en la expresi, en la expresióón de Bernoulli,n de Bernoulli,
De la ecuaciDe la ecuacióón de continuidadn de continuidad
2
1 1 2 2 1 2
1
A
Av A v v v
A
= → =

c) Continuacic) Continuacióón Tubo den Tubo de VenturiVenturi
2
22
1 2 2 2
1
1 1
2 2
A
P v P v
A
ρ ρ
⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Reagrupando se tieneReagrupando se tiene
Sustituyendo en la expresiSustituyendo en la expresióón de energn de energíías, se tieneas, se tiene
2
2 22
1 2 2 2
1
1 1
2 2
A
P P v v
A
ρ ρ
⎛ ⎞
− + = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
( )
1 2
2 1 2 2
1 2
2 P P
v A
A Aρ
−
=
−
Despejando vDespejando v22
Como AComo A11 >A>A22, entonces v, entonces v22>v>v11
indicando que Pindicando que P11>P>P22

d) Trayectoria de una pelota en rotacid) Trayectoria de una pelota en rotacióónn
Al lanzar una pelota girando y siguiendoAl lanzar una pelota girando y siguiendo
una trayectoria horizontal y recta, estauna trayectoria horizontal y recta, esta
arrastra consigo una pequearrastra consigo una pequeñña capa de airea capa de aire
que la rodea.que la rodea.
Entonces se puede ver como si la pelotaEntonces se puede ver como si la pelota
estuviera inmestuviera inmóóvil y el aire se desplazaravil y el aire se desplazara
con la misma velocidad que lo hace lacon la misma velocidad que lo hace la
pelota (velocidad relativa).pelota (velocidad relativa).

Si consideramos que la pelota gira en elSi consideramos que la pelota gira en el
sentido de las manecillas del reloj y sesentido de las manecillas del reloj y se
desplaza hacia la izquierda. Se tienedesplaza hacia la izquierda. Se tiene
entonces:entonces:
Las lLas lííneas de flujo se distorsionanneas de flujo se distorsionan
La velocidad en la parte superior esLa velocidad en la parte superior es
mayor que en la parte inferior de lamayor que en la parte inferior de la
pelota.pelota.
Utilizando la expresiUtilizando la expresióón de Bernoulli, eston de Bernoulli, esto
implica que la presiimplica que la presióón arriba es menorn arriba es menor
que en la parte de abajo.que en la parte de abajo.

La pelota se desplaza hacia la parteLa pelota se desplaza hacia la parte
superior debido a la diferencia desuperior debido a la diferencia de
presiones que siente.presiones que siente.
Menor v
Mayor P
Mayor v
Menor P

Ya con esto podemos lanzar bolas de tipo:Ya con esto podemos lanzar bolas de tipo:
Curvas yCurvas y ““ScrewballsScrewballs””

Ejemplo 1Ejemplo 1
1 1
1 1
0.5 / , 3 ,
0, 0.1
v m s P atm
y d m
= =
= =
RespuestaRespuesta
Por una casa circula agua a travPor una casa circula agua a travéés de un sistema de calefaccis de un sistema de calefaccióón. Si se bombea a unan. Si se bombea a una
velocidad de 0.5m/s por una tubervelocidad de 0.5m/s por una tuberíía de .1m de dia de .1m de diáámetro situada en el smetro situada en el sóótano con unatano con una
presipresióón de 3atm.,n de 3atm., ¿¿cucuáál serl seráá la velocidad de circulacila velocidad de circulacióón y la presin y la presióón en una tubern en una tuberííaa
de .06m de dide .06m de diáámetro situada en el segundo piso a 5mts mmetro situada en el segundo piso a 5mts máás arriba?s arriba?
La tuberLa tuberíía en el sa en el sóótano:tano: La tuberLa tuberíía en el sa en el sóótano:tano:
2 2
2 2
? / , ? ,
5 , 0.06
v m s P atm
y m d m
= =
= =

ContinuaciContinuacióón Ejemplo 1n Ejemplo 1
1
1 1 2 2 2 1
2
A
Av A v v v
A
⎛ ⎞
= → = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
EcuaciEcuacióón de continuidadn de continuidad
Sustituyendo en la ecuaciSustituyendo en la ecuacióón de Bernoullin de Bernoulli
2 2.5P atm=
2
2 1
1 1 1 2 1 2
2
1 1
2 2
A
P v gy P v gy
A
ρ ρ ρ ρ
⎛ ⎞
+ + = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Sustituyendo los valores para cada uno de los tSustituyendo los valores para cada uno de los téérminos nos queda:rminos nos queda:

1 2 .P P cte= =
Bernoulli dice que si una sustancia, digamos agua,Bernoulli dice que si una sustancia, digamos agua,
circula por una tubercircula por una tuberíía o manguera que se encuentrea o manguera que se encuentre
de manera horizontal a la misma altura y ademde manera horizontal a la misma altura y ademáás els el
didiáámetro de la tubermetro de la tuberíía no varia no variéé, entonces la, entonces la presipresióón deln del
fluidofluido no variano varia
En la prEn la prááctica SI VARIA. La razctica SI VARIA. La razóón la vamos a tratar a continuacin la vamos a tratar a continuacióónn
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2

La variaciLa variacióón en la presin en la presióón es debido a fuerzas den es debido a fuerzas de
frenado ofrenado o ““friccifriccióónn”” que existen entre las diferentesque existen entre las diferentes
capas que componen el fluido. Este rozamiento escapas que componen el fluido. Este rozamiento es
interno al material, y de ninguna manera se estainterno al material, y de ninguna manera se esta
considerando la fricciconsiderando la friccióón entre el fluido y la tubern entre el fluido y la tuberííaa
por la que circula.por la que circula.
Consideraremos una tuberConsideraremos una tuberíía circular, en donde las capas del fluido quea circular, en donde las capas del fluido que
estestáán en contacto con el tubo, se encuentran a velocidad cero (en ren en contacto con el tubo, se encuentran a velocidad cero (en reposo) .poso) .
La expresiLa expresióón de Bernoulli nos indica que la presin de Bernoulli nos indica que la presióón en las capas mn en las capas mááss
internas es menor que las capas minternas es menor que las capas máás externas. Debido a la diferencia des externas. Debido a la diferencia de
velocidad que existe.velocidad que existe.
1 2 .P P P cte RΔ = − = La resistencia al flujo, R, depende de laLa resistencia al flujo, R, depende de la
longitud del tubolongitud del tubo
Las capas de fluido forman cLas capas de fluido forman cíírculos concrculos concééntricos de la forma de la tuberntricos de la forma de la tuberíía.a.
La velocidad de la capa central es mayor, respecto a las capas mLa velocidad de la capa central es mayor, respecto a las capas máás externass externas

La resistencia al flujo, o viscosidad depende de muchosLa resistencia al flujo, o viscosidad depende de muchos
parparáámetros fisicoqumetros fisicoquíímicos.micos.
Primeramente consideremos que la viscosidad delPrimeramente consideremos que la viscosidad del
material no depende de la temperatura, concentracimaterial no depende de la temperatura, concentracióón, etc.n, etc.
La manera mLa manera máás sencilla de determinar la dependencia ys sencilla de determinar la dependencia y
valor de la resistencia es :valor de la resistencia es :
Consideremos dos placas planas y paralelas entre lasConsideremos dos placas planas y paralelas entre las
cuales se coloca la muestra o fluido al que se le quieracuales se coloca la muestra o fluido al que se le quiera
determinar el valor de la viscosidad (resistencia al flujo).determinar el valor de la viscosidad (resistencia al flujo).
A la placa superior se le aplica una fuerza constante yA la placa superior se le aplica una fuerza constante y
paralela a la placa, mientras que la placa inferiorparalela a la placa, mientras que la placa inferior
permanece inmpermanece inmóóvilvil
Supondremos que el fluido se desplaza en capas, cadaSupondremos que el fluido se desplaza en capas, cada
una con velocidad constante.una con velocidad constante.

Las capa del fluido en contacto con las placas seLas capa del fluido en contacto con las placas se
desplazan con la misma velocidad que las placasdesplazan con la misma velocidad que las placas
Supondremos que el perfil con el que se desplazan entreSupondremos que el perfil con el que se desplazan entre
si las diferentes capas de fluido posee una forma lineal.si las diferentes capas de fluido posee una forma lineal.
vA
F
z
η=
Las unidades de la viscosidadLas unidades de la viscosidad ηη son:son:
1 . 10
1 0.01
Pa s P
cP P
=
=
2
.
/
Nm
Pa s
m m s
=
2
( )
/
dina
P poise
cm s
=
MKS CGSMKS CGS

7.7. Valores de la viscosidad para algunos fluidosValores de la viscosidad para algunos fluidos
La viscosidad disminuye a medida que la temperatura aumentaLa viscosidad disminuye a medida que la temperatura aumenta

¿¿QuQuéé otro tipos de materiales?otro tipos de materiales?
Pinturas y RecubrimientosPinturas y Recubrimientos
MedicamentosMedicamentosCosmCosmééticosticos
MedicinaMedicinaAlimentosAlimentos

8.8. Ley deLey de HagenHagen--Poiseuille para flujo laminarPoiseuille para flujo laminar
4
8 L
R
r
η
π
=
Para un fluido incomprensible circulando por una tuberPara un fluido incomprensible circulando por una tuberííaa
de seccide seccióón transversal circular, la resistencia al flujo sen transversal circular, la resistencia al flujo se
expresa comoexpresa como
1 2 4
8 L
P P P C
r
η
π
Δ = − =
De la expresiones anteriores podemos concluir que:De la expresiones anteriores podemos concluir que:
Si la viscosidad aumenta, la caSi la viscosidad aumenta, la caíída de presida de presióón aumentan aumenta
Si aumenta la longitud del tubo, es mayor la caSi aumenta la longitud del tubo, es mayor la caíída de presida de presióónn
La caLa caíída de presida de presióón depende fuertemente con el radio del tubo.n depende fuertemente con el radio del tubo.

9.9. Perfil de velocidad en rPerfil de velocidad en réégimen laminargimen laminar
En la prEn la prááctica los perfiles con los que viaja un elemento de volumen a trctica los perfiles con los que viaja un elemento de volumen a travavéés de unas de una
tubertuberíía vara varíían dependiendo diversos factores como son: viscosidad del fluidoan dependiendo diversos factores como son: viscosidad del fluido,,
Velocidad del fluido, longitud del fluido, entre otros.Velocidad del fluido, longitud del fluido, entre otros.
Algunos de los perfiles mAlgunos de los perfiles máás comunes vienen a ser:s comunes vienen a ser:
El perfil plano de velocidad caracterizan a los fluidos en un iEl perfil plano de velocidad caracterizan a los fluidos en un instante de tiemponstante de tiempo
El perfil parabEl perfil parabóólico viene a ser observado una vez que la velocidad y la viscosilico viene a ser observado una vez que la velocidad y la viscosidad deldad del
Fluido no son muy grandesFluido no son muy grandes
EsteEste úúltimo perfil de velocidades es tomado para representar a un fluiltimo perfil de velocidades es tomado para representar a un fluido turbulento.do turbulento.

La experiencia indica que hay una combinaciLa experiencia indica que hay una combinacióón de cuatro factores quen de cuatro factores que
determinan cuando el rdeterminan cuando el réégimen de un fluido viscoso a travgimen de un fluido viscoso a travéés de un tubos de un tubo
eses laminarlaminar oo turbulentoturbulento..
R
vD
N
ρ
η
=
Estas combinaciones se denominaEstas combinaciones se denomina nnúúmero demero de ReynoldsReynolds, N, NRR, y se define, y se define
mediante la expresimediante la expresióónn
ρρ = densidad del fluido= densidad del fluido
v = velocidad mediav = velocidad media
ηη = coeficiente de viscosidad= coeficiente de viscosidad
D = diD = diáámetro del tubometro del tubo
La velocidad real no es la mismaLa velocidad real no es la misma
en toda la seccien toda la seccióón del tubo.n del tubo.
La velocidad media se define comoLa velocidad media se define como
la velocidad uniforme que resultarla velocidad uniforme que resultarííaa
para la misma salida de lpara la misma salida de lííquido porquido por
unidad de tiempo.unidad de tiempo.

El nEl núúmero demero de ReynoldsReynolds es un nes un núúmero abstracto, es decir, su valor nummero abstracto, es decir, su valor numééricorico
es el mismo en cualquier sistema de unidadeses el mismo en cualquier sistema de unidades
R
vD
N
ρ
η
=
Para un nPara un núúmero demero de ReynoldsReynolds entre 0 y 2000 es un rentre 0 y 2000 es un réégimen laminagimen lamina
NNRR > 3000 r> 3000 réégimen turbulentogimen turbulento
EjemploEjemplo
Cual es el nCual es el núúmero demero de ReynoldsReynolds para el agua a 20C circula por unapara el agua a 20C circula por una tuberiatuberia
De 1cm de diDe 1cm de diáámetro a una velocidad de 10cm/s.metro a una velocidad de 10cm/s.
SustituyendoSustituyendo NNRR=1000=1000

NNúúmero demero de ReynoldsReynolds

Aire caliente que subeAire caliente que sube
de una lde una láámpara dempara de
alcoholalcohol
Humo de unHumo de un
cigarrocigarro

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