Teoría de Einstein predice un universo en expansión

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2010-I
Solucionario de la semana Nº 16 Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Habilidad Verbal
SEMANA 16 A
TEXTO CIENTÍFICO
El texto científico da a conocer información o resultados asociados con la práctica de
la investigación científica. Algunos textos muestran un hecho basado en una descripción
objetiva y rigurosa que, en principio, es susceptible de confirmación. Otros describen un
experimento que permitió establecer un resultado: la corroboración de una hipótesis (o un
descubrimiento de impacto) o la refutación de una hipótesis.
No pocos textos científicos explican una teoría o un aspecto involucrado en ella,
fundamentada en una profunda elucidación conceptual. Pero en su mayoría son textos de
divulgación científica, en los cuales, sin perder su exactitud, se pone al alcance de la
comprensión de los lectores no especializados información de alto nivel académico.
Texto de ejemplo
En 1973 comencé a investigar el efecto que tendría el principio de indeterminación
de Heisenberg en el espacio-tiempo curvo de las proximidades de un agujero negro. Lo
curioso fue que descubrí que el agujero no sería completamente negro. El principio de
indeterminación permitiría que escapasen a un ritmo constante partículas y radiación.
Este resultado constituyó para mí, y para cualquiera, una completa sorpresa y fue acogido
con un escepticismo general. Pero si se reflexiona detenidamente, tendría que haber sido
obvio. Un agujero negro es una región del espacio de la que es imposible escapar si uno
viaja a una velocidad inferior a la de la luz, pero la suma de historias de Feynman afirma
que las partículas pueden seguir cualquier trayectoria a través del espacio-tiempo. Así, es
posible que una partícula se desplace más rápido que la luz. Resulta escasa la
probabilidad de que recorra una larga distancia por encima de la velocidad de la luz, pero
puede desplazarse más veloz que la luz para salir del agujero negro y, entonces,
continuar más lenta que la luz. De este modo, el principio de indeterminación permite que
las partículas escapen de lo que se consideraba una prisión definitiva, un agujero negro.
La probabilidad de que una partícula salga de un agujero negro de la masa del Sol sería
muy reducida, porque tendría que viajar a velocidad mayor que la de la luz durante varios
kilómetros, pero pueden existir agujeros negros mucho más pequeños, formados en el
universo primitivo. Estos agujeros negros primordiales podrían tener un tamaño inferior al
del núcleo de un átomo y, sin embargo, su masa sería de mil millones de toneladas, la del
monte Fuji. Es posible que emitan tanta energía como una gran central eléctrica. ¡Si
consiguiéramos encontrar uno de esos diminutos agujeros negros y aprovechar su
energía! Por desgracia, no parece haber muchos en el universo. La predicción de
radiación de los agujeros negros fue el primer resultado no trivial de la combinación de la
relatividad general de Einstein con el principio cuántico. Demostró que el colapso
gravitatorio no era un callejón sin salida como parecía ser. Las partículas de un agujero
negro no tienen por qué tener un final de sus historias en una singularidad. De hecho,
pueden escapar del agujero negro y proseguir más allá sus historias. Tal vez el principio
cuántico signifique que también uno es capaz de sustraerse a las historias contando con
un comienzo en el tiempo, un punto de creación, en el Big Bang.

1. En el texto, el término ESCEPTICISMO significa
A) suspicacia. B) malicia. C) incredulidad.*
D) contradicción. E) desdén.
Algo tan asombroso suscita incredulidad.
2. ¿Cuál es el tema central del texto?
A) La confirmación de la existencia de los agujeros negros.
B) El descubrimiento de la radiación de los agujeros negros.*
C) Los colapsos gravitatorios como un callejón sin salida.
D) El valor del principio de indeterminación de Heisenberg.
E) Las trayectorias de la luz a través del espacio tiempo.
El autor explica su gran descubrimiento de 1973: contra lo que se pensaba, los
agujeros negros tienen una radiación.
3. El descubrimiento de que el agujero negro no es completamente negro es de índole
A) trivial. B) filosófica. C) experimental.
D) teórica.* E) observacional.
El trabajo es eminentemente teórico: la consideración del principio de Heisenberg y
de las trayectorias de Feynman traen como consecuencia que el colapso gravitatorio
de la relatividad no es del todo irreversible.
4. Resulta incompatible con el texto aseverar que
A) la relatividad se puede combinar con la física cuántica.
B) los miniagujeros negros son abundantes en el universo.*
C) hay partículas que pueden superar la velocidad de la luz.
D) según Feynman las partículas tienen varias trayectorias.
E) los agujeros negros primordiales emiten mucha energía.
Los agujeros negros pequeños son muy escasos en el universo.
5. Para predecir que los agujeros negros pueden emitir partículas es fundamental
A) dejar sin efecto la suma de historias de Feynman.
B) refrendar que la velocidad de la luz es insuperable.
C) hacer la síntesis entre relatividad y física cuántica.*
D) considerar que los agujeros negros carecen de masa.
E) establecer un límite al principio de indeterminación.
Se trata de la primera predicción no trivial de la síntesis entre la relatividad general y
la mecánica cuántica.
6. Si ninguna partícula pudiese moverse más rápido que la luz,
A) el agujero negro dejaría de ser una prisión.
B) la teoría de la relatividad sería totalmente falsa.
C) el principio de indeterminación sería inválido.
D) los agujeros negros dejarían de tener masa.
E) la radiación del agujero negro sería imposible.*

La suma de las historias de Feynman establece la posibilidad de que una partícula
se desplace más rápido de la luz y así puede salir del agujero negro. Mas si esa
trayectoria no fuese posible, ninguna partícula podría escapar de un agujero negro.
COMPRENSIÓN DE TEXTOS
TEXTO 1
En la teoría general de la relatividad de Einstein, el espacio y el tiempo pasaron a
ser de un mero escenario pasivo en que se producen los acontecimientos a participantes
activos en la dinámica del universo. Ello condujo a un gran problema que se ha mantenido
en la frontera de la física a lo largo del siglo XX. El universo está lleno de materia, y ésta
deforma el espacio- tiempo de tal suerte que los cuerpos se atraen. Einstein halló que sus
ecuaciones no admitían ninguna solución que describiera un universo estático, invariable
en el tiempo. En vez de abandonar el universo perdurable, trucó sus ecuaciones
añadiéndoles un término denominado la constante cosmológica que brindaba una
solución estática para el universo. Si Einstein se hubiera atenido a sus ecuaciones
originales, podría haber predicho que el universo se está expandiendo o contrayendo.
Luego se probó que el universo está en expansión y cuanto más lejos se hallan las
otras galaxias, con mayor velocidad se separan de nosotros. Este descubrimiento eliminó
la necesidad de una constante cosmológica que proporcionara una solución estática para
el universo. Años después, Einstein dijo que la constante cosmológica había sido el mayor
error de su vida.
En realidad, la relatividad general predice que el universo comenzó en lo que se
llama la gran explosión, de manera que la teoría de Einstein implica que el tiempo tuvo un
comienzo, aunque a él nunca le gusto esa idea. En efecto, si las galaxias se están
separando, ello significa que en el pasado deberían haber estado más juntas. Hace unos
quince mil millones de años, todo el universo habría estado concentrado en lo que el
sacerdote católico Georges Lemaître denominó «átomo primordial».
1. ¿Cuál es la mejor síntesis del texto?
A) El más grave error que cometió el gran científico Albert Einstein fue postular la
necesidad de una constante cosmológica para explicar la simetría del cosmos.
B) Se ha logrado probar suficientemente que la materia que copa el inmenso
universo deforma el espacio circundante y produce una curvatura en el espacio-
tiempo.
C) Gracias a la hipótesis de la constante cosmológica, Einstein pudo demostrar la
índole estacionaria de nuestro universo, procedimiento útil para explicar el origen
del cosmos.
D) La teoría de la relatividad predice correctamente un universo dinámico, pero
como Einstein no creía en ello, incorporó, erróneamente, una constante
cosmológica.*
E) De acuerdo con la teoría de la relatividad general, todo el universo visible estuvo
concentrado, hace unos quince millones de años, en una especie de átomo
primordial.
Se explica que la teoría de la relatividad predice un universo en expansión o en
contracción. Ahora bien, como Einstein no creía en ello, postuló la constante
cosmológica, el mayor error de su vida.
2. En el texto, el término HALLAR se puede reemplazar por
A) formular. B) constatar.* C) predecir. D) perseguir. E) mirar.

Einstein halló que sus ecuaciones implicaban una solución dinámica. Es decir,
constató.
3. Resulta incompatible con el texto aseverar que
A) La idea de un universo en expansión es una hipótesis ya corroborada
científicamente.
B) El átomo primordial de Lemaître implica una refutación a la relatividad de A.
Einstein.*
C) La atracción de los cuerpos es una consecuencia de la estructura del espacio-
tiempo.
D) A mayor distancia, las galaxias se distancian de nosotros con una mayor
velocidad.
E) Si el universo está en expansión, ello significa que estuvo concentrado en un
átomo.
Enunciado incompatible, puesto que se dice en el texto que es una consecuencia
lógica.
4. Si Einstein, desde el inicio, hubiese creído en un universo en expansión;
A) no habría recurrido a la hipótesis de la constante cosmológica.*
B) habría recusado la teoría del átomo primordial de Lemaître.
C) habría planteado igualmente el término de la constante cosmológica.
D) no habría estado de acuerdo con la idea de la materia cósmica.
E) no habría sostenido que el espacio-tiempo cósmico está deformado.
En efecto, la constante cosmológica fue planteada por Einstein para trucar las
ecuaciones y eliminar las consecuencias de un universo dinámico.
5. Se infiere que cosmología decimonónica propugnaba un universo
A) dinámico. B) heterogéneo. C) infinito.
D) curvado. E) estático.*
En el siglo XIX, el espacio y el tiempo configuraban un escenario pasivo. Por lo
tanto, se propugnaba un universo estático, no dinámico.
TEXTO 2
La doctrina de los ciclos, que su más reciente inventor llama del Eterno
Retorno, se puede formular así:
El número de todos los átomos que componen el mundo es, aunque
desmesurado, finito, y solo capaz como tal de un número finito (aunque
desmesurado también) de permutaciones. En un tiempo infinito, el
número de las permutaciones posibles debe ser alcanzado, y el
universo tiene que repetirse. De nuevo nacerás de un vientre, de nuevo
crecerá tu esqueleto, de nuevo arribará esta misma página a tus manos
iguales, de nuevo cursarás todas las horas hasta la de tu muerte
increíble.
Tal es el orden habitual de aquel argumento, desde el preludio insípido hasta
el enorme desenlace amenazador. Es común atribuirlo a Nietzsche. Conviene
concebir, siquiera de lejos, las sobrehumanas cifras que invoca. Empecemos por el
átomo. El diámetro de un átomo de hidrógeno ha sido calculado, salvo error, en un
cienmillonésimo de centímetro. Concibamos un frugal universo, compuesto de diez

átomos. Se trata, claro está, de un modesto universo experimental: invisible, ya
que no lo sospechan los microscopios; imponderable, ya que ninguna balanza lo
apreciaría. Postulemos también, siempre de acuerdo con la conjetura de
Nietzsche, que el número de cambios de ese universo es el de las maneras en que
se pueden disponer los diez átomos, variando el orden en que estén colocados.
¿Cuántos estados diferentes puede conocer ese mundo, antes de un eterno
retorno? La indagación es fácil: basta multiplicar 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1, prolija
operación que nos da la cifra de 3 628 800. Si una partícula casi infinitesimal de
universo es capaz de esa variedad, poca o ninguna fe debemos prestar a una
monotonía del cosmos. Hemos considerado diez átomos; para obtener dos gramos
de hidrógeno, precisaríamos bastante más de un billón de billones. Hacer el
cómputo de los cambios posibles en ese par de gramos –vale decir, multiplicar un
billón de billones por cada uno de los números naturales que lo anteceden– es ya
una operación muy superior a la paciencia humana.
Nietzsche podría replicar: ―Yo jamás desmentí que las vicisitudes de la
materia fueran cuantiosas; yo he declarado solamente que no eran infinitas‖. Esa
verosímil contestación de Nietzsche nos hace recurrir a Georg Cantor y a su
heroica teoría de los conjuntos. Cantor destruye el fundamento de la tesis de
Nietzsche. Afirma la perfecta infinitud del número de puntos del universo, y hasta
de un metro de universo, o de una fracción de ese metro. La operación de contar
no es otra cosa para él que la de equiparar dos series. El conjunto de los números
naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como
los pares:
Al 1 corresponde el 2
al 3 corresponde el 4
al 5 corresponde el 6, etcétera.
La prueba es tan irreprochable como baladí, pero no difiere de la que
sostiene que hay tantos múltiplos de tres mil dieciocho como números hay, sin
excluir de estos al tres mil dieciocho y sus múltiplos.
Al 1 corresponde el 3018
al 6036 corresponde el 18216648, etcétera.
Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una
colección infinita –verbigracia, la serie natural de números enteros– es una
colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas. Mejor,
para eludir toda ambigüedad: conjunto infinito es aquel conjunto que puede
equivaler a uno de sus conjuntos parciales. La parte, en esas elevadas latitudes de
la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que
hay en el universo es la que hay en un metro, o en un decímetro, o en la más
honda trayectoria estelar. El roce del hermoso juego de Cantor con el hermoso
juego de Nietzsche es mortal para este último. Si el universo consta de un número
infinito de términos, es rigurosamente capaz de un número infinito de

combinaciones y la necesidad de un regreso queda vencida. Queda su mera
posibilidad, computable en cero.
1. La idea principal del texto sostiene que
A) todo lo que es, ha sido y volverá a ser indefinidamente, pues la naturaleza
del tiempo es circular.
B) el eterno retorno es una concepción inexpugnable del célebre filósofo
Friedrich Nietzsche.
C) la tesis nietzscheana del eterno retorno se ve impugnada por la teoría de
conjuntos de Cantor. *
D) el heroico esfuerzo de G. Cantor sirvió para darle a la matemática el sitial
que le corresponde.
E) la prueba de la infinitud en matemática suele ser baladí, pero es
lógicamente irreprochable.
SOLUCIÓN: El roce del hermoso juego de Cantor con el hermoso juego de
Nietzsche es mortal para este último. Si el universo consta de un número
infinito de términos, es rigurosamente capaz de un número infinito de
combinaciones y la necesidad de un regreso queda vencida.
Clave: C
2. La expresión MONOTONÍA DEL COSMOS alude específicamente
A) a la rigidez de propuestas filosóficas.
B) al corto alcance de las matemáticas.
C) a la falta de diversidad en el universo.
D) al tedio de hacer cálculos enormes.
E) a la naturaleza cíclica del universo. *
SOLUCIÓN: Si un universo experimental conformado por diez átomos es
capaz de una cantidad enorme de combinaciones, poca o ninguna fe se le
debe prestar a una monotonía del cosmos, es decir, al Eterno Retorno.
Clave: E
3. Un enunciado incompatible con la concepción de conjunto infinito sostendría
que
A) un conjunto infinito posee una variedad de elementos sin término.
B) en el conjunto de números naturales hay tantos pares como nones.
C) un conjunto infinito no puede contener a otro de la misma naturaleza. *
D) tanto los naturales como los enteros constituyen conjuntos infinitos.
E) los números naturales pares son tantos como los múltiplos de tres.
SOLUCIÓN: Conjunto infinito es aquel conjunto que puede equivaler a uno de
sus conjuntos parciales. La parte, en esas elevadas latitudes de la
numeración, no es menos copiosa que el todo.
Clave: C

4. Si la cantidad de átomos que hay en el universo fuese una cantidad finita
extremadamente grande,
A) resultaría insostenible la tesis de Eterno Retorno.
B) la doctrina de los ciclos adquiriría plausibilidad. *
C) sería imposible calcular las ordenaciones posibles.
D) la tesis de Georg Cantor hallaría corroboración.
E) se podría rebatir fácilmente la postura de Nietzsche.
SOLUCIÓN: El Eterno Retorno solo queda vencido cuando se afirma que la
cantidad de términos que conforman el universo es infinita. De lo contrario,
siempre queda la posibilidad de agotar las ordenaciones posibles del
universo.
Clave: B
5. A partir de la teoría de Cantor se deduce que
A) los efectos son anteriores a las causas naturales.
B) los hechos pasados volverán a ocurrir cíclicamente.
C) los números pares superan a los números impares.
D) una parte puede ser tan grande como un todo infinito.*
E) la operación de contar es imposible en matemáticas.
En efecto, los números naturales son infinitos y los pares (un subconjunto) también
son infinitos.
SERIES VERBALES
1. Irrefragable, indudable, inconcuso,
A) asertivo. B) apodíctico. C) inope.
D) insigne. E) deleznable.
Solución:
Serie verbal sinonímica que se proyecta coherentemente en ‗apodíctico‘.
Clave: B
2. Banal, insustancial, superfluo,
A) puntilloso. B) melifluo. C) remilgado.
D) fútil.* E) consustancial.
Solución: Palabras cuyo significado remite a lo inútil.
3. Hendidura, abertura, orificio,
A) tachadura. B) remanso. C) grúa.
D) puntillazo. E) resquicio.*
Solución: Campo semántica de la abertura.
4. Lánguido, extenuado, abatido,
A) exánime. * B) suntuoso. C) idóneo.
D) regio. E) estoico.
Solución: Palabras cuyo significado remite a la debilidad.

5. Cuerdo, insano; torpe, perspicaz; diáfano, caliginoso;
A) yermo, apático. B) sórdido, límpido.*
C) somero, superfluo. D) lento, flemático.
E) cicatero, solemne.
Solución: Serie verbal basada en una relación antonímica.
6. Novel, inexperto, desmañado
A) ávido. B) bisoño. C) matrero.
D) insipiente. E) tozudo.
Solución:
Serie verbal sinonímica que se proyecta en ‗bisoño‘.
Clave: B
7. Inconquistable, imbatible, invencible,
A) ineluctable. B) imperdible. C) inescrutable.
D) ininteligible. E) inexpugnable.
Solución:
La serie hace referencia a lo que no se puede vencer o batir.
Clave: E
8. Presumido, arrogante, ufano,
A) lujoso. B) insulso. C) orondo.* D) fastuoso. E) circunspecto.
Serie de sinónimos continúa orondo, que está satisfecho de sí mismo.
9. Párvulo, infante; austero, botarate; tunante, taimado;
A) negligente, desidioso D) nefasto, ominoso
B) lunático, laberíntico E) sicalíptico, lascivo
C) simétrico, caótico*
Serie de sinónimos, antónimos, sinónimos, continúa un par de antónimos.
10. Diligencia, incuria; sapiencia, ignorancia; valentía, pavor;
A) estudio, método B) belleza, horridez* C) azar, suerte
D) celibato, soltería E) beligerancia, guerra
SOLUCIÓN: B. La serie verbal está conformada por pares de palabras que guardan
la relación semántica de antonimia. Completan la serie las palabras BELLEZA y
HORRIDEZ.
SEMANA 16 B
TEXTO 1
Schopenhauer es un buen ejemplo de cómo el hechizo del orientalismo
podía transformar la vida de un pensador a principios del siglo diecinueve.
Siendo un joven estudiante de filosofía, Schopenhauer había hallado una
traducción francesa de los Upanishads indios, y quedó cautivado con las
doctrinas hinduistas y budistas acerca del renunciamiento. El principal trabajo
filosófico de Schopenhauer, El mundo como voluntad y representación (1818),

contrastaba la versión mística oriental de la sabiduría con la fe iluminista en la
razón, la ciencia y la civilización.
El mundo que percibimos, explicaba Schopenhauer, ―el mundo como
representación‖, es una creación de nuestro limitado yo. Es una ilusión, la
proyección de nuestros temores y esperanzas. Schopenhauer coincidía con los
filósofos románticos alemanes en que la única realidad es la voluntad humana.
No obstante, las influencias orientales de Schopenhauer lo impulsaban hacia
una posición más radical. La voluntad subjetiva humana es la fuente de toda
lucha, por dinero, amor y poder. También es la fuente de nuestra angustia.
Debemos aprender a abandonarla, renunciar a ella, para escapar de aquello que
Schopenhauer llamaba ―la enfermedad‖ de nuestra vida en el mundo. El objetivo
final del sabio es aquello que los budistas llamaban nirvana o ―vacío‖, una
liberación final de la voluntad y del deseo que al fin conduce a la extinción y la
muerte. Con frecuencia se le atribuye la frase ―La vida no debería ser‖, en
referencia a la vida según la tradición secular europea u occidental.
Schopenhauer apuntaba su filosofía del renunciamiento contra dos blancos
principales. El primero era el Iluminismo, con su falso optimismo y su vacua fe en
la razón y el progreso, cuyo epítome era la filosofía de Hegel. El segundo blanco
de Schopenhauer era el cristianismo, o mejor dicho la tradición judeocristiana. La
mayoría de los románticos entendían que el Iluminismo y la religión organizada
eran enemigos. Schopenhauer, en cambio, los veía como
aliados. Ambos exhortaban a los hombres a luchar por su salvación en este
mundo, fuera por medio del racionalismo científico, del estado-nación o de la
adherencia a una ley religiosa. Schopenhauer sentía animadversión por los
judíos en este aspecto. Creía que el judaísmo había infectado el cristianismo con
la ilusión de ―la voluntad como representación‖, el afán de modificar o alterar el
mundo para acomodarlo a un conjunto de prejuicios religiosos y morales, que los
judíos y los cristianos llamaban las leyes de Dios.
Ahora sólo queda un camino de liberación, el arte, sobre todo la música. El
arte se convierte en el nuevo modo de conocer el mundo, inmune a los
implacables deseos del yo y del ―mundo como representación‖. Por medio de
una experiencia estética experimentamos el mundo de nuevo modo y nos
liberamos momentáneamente de la cárcel del deseo. El arte y la música brindan
instantes de contemplación pura, no corrompida por el contacto con la tosca
materia que nos rodea. Así deben permanecer, declaraba Schopenhauer, si han
de ser ―verdadera filosofía‖.
1. Fundamentalmente, el texto
A) presenta una crítica de las ideas de Schopenhauer.
B) muestra un ejemplo del influjo de la visión oriental.
C) contrasta la visión oriental y occidental sobre la vida.
D) presenta el pensamiento filosófico de Schopenhauer.*
E) desarrolla la influencia de Schopenhauer en Occidente.
Solución: D. El texto presenta el pensamiento de Schopenhauer bajo la
influencia oriental.
2. En el texto el termino HECHIZO tiene el sentido de
A) conjuro. B) determinismo. C) fascinación.*
D) embuste. E) mitología.
Solución: C. El hechizo del orientalismo se refiere al poder de atracción o

fascinación que tenían las doctrinas orientales de allí que Schopenhauer
quedase cautivado con esas doctrinas.
3. En el texto, el antónimo de RADICAL es
A) total. B) moderada.* C) original.
D) secundaria. E) crítica.
Solución: B. Lo impulsaban hacia una posición más radical, es decir, a una
posición más extrema o profunda, su antónimo sería somera.
4. Marque la alternativa que es incompatible con el texto.
A) Schopenhauer se opone a la filosofía de Hegel.
B) La tradición budista propugna el renunciamiento.
C) Para los románticos la voluntad es inexistente.*
D) La música puede ser un nuevo modo de filosofía.
E) El judaísmo influyó negativamente en el cristianismo.
Solución: C. Los románticos son filósofos de la voluntad.
5. Se colige del texto que el concepto fundamental en la filosofía de
Schopenhauer es el de
A) la vida. D) el renunciamiento.*
B) la aniquilación. E) la razón.
C) el iluminismo.
Solución: B. Schopenhauer quedo fascinado por las doctrinas hinduistas y
budistas sobre el renunciamiento, debemos aprender a renunciar a la
voluntad subjetiva y todo lo que implica.
6. Se deduce que Schopenhauer desarrolla una filosofía
A) atomista. B) racionalista. C) panteísta.
D) subjetivista. E) pesimista.*
Solución: Schopenhauer es un crítico del optimismo de los iluministas.
7. Se colige del texto que, para Schopenhauer, una forma suprema de
conocimiento se puede volcar en
A) un tratado. B) una novela. C) una técnica.
D) un silogismo. E) una sinfonía.*
Solución: D. El arte musical se convierte en un nuevo modo de conocer el mundo,
inmune a todo deseo.
8. Se colige del texto que para Schopenhauer la fuente de nuestros impulsos
positivos y negativos es
A) la experiencia cotidiana.
B) la liberación final de la voluntad.
C) la fe absoluta en la razón.
D) la voluntad subjetiva humana.*
E) la vida según la tradición occidental.

Solución: D. Para Schopenhauer la voluntad subjetiva humana es fuente de
toda lucha, también es la fuente de nuestra angustia.
TEXTO 2
La Nouvelle Revue Francaise ha hecho circular entre escritores de diversas lenguas
una pequeña encuesta: "¿Cree usted que, aparte de la trilogía Grandes Vinos-Alta Costura-
Perfumes, existen aún signos perceptibles de la identidad francesa? ¿Comparte usted la idea
según la cual con el Nouveau Roman se inició la decadencia de la literatura francesa en el
extranjero? ¿Qué espera de Francia, en todos los campos?". No resisto a la tentación de
responder públicamente.
Toda preocupación por la "identidad" de un grupo humano me pone los pelos de punta
pues he llegado al convencimiento de que tras ella se embosca siempre una conjura contra la
libertad individual. No niego, claro está, algo tan obvio como que un conjunto de personas que
hablan la misma lengua, o han nacido y viven en un mismo territorio y enfrentan los mismos
problemas y practican la misma religión y/o costumbres, tienen características comunes, pero
sí que este denominador colectivo pueda definir a cada una de ellas cabalmente, aboliendo, o
relegando a un segundo término desdeñable, lo que hay en cada miembro del grupo de
específico, la suma de atributos o rasgos propios que lo diferencia de los demás.
El concepto de "identidad", cuando no se emplea a una escala exclusivamente
individual y aspira a representar a un conglomerado, es reductor y deshumanizador, un pase
mágico ideológico de signo colectivista que abstrae todo lo que hay de original y creativo en el
ser humano, aquello que no le ha sido impuesto por la herencia ni por el medio geográfico ni
la presión social, sino que ha resultado de su capacidad de resistir esas influencias y
contrarrestarlas con actos libres, de invención personal.
Es posible, tal vez, que, en recónditos rincones de la Amazonía, de Borneo o del África,
sobrevivan culturas tan aisladas y primitivas, tan estabilizadas en el tiempo prehistórico de la
repetición ritual de todos los actos del vivir, que en ellas el individuo no haya aún propiamente
nacido y la existencia del todo social sea tan ensimismada, compacta e idéntica para hacer
posible la supervivencia de la tribu contra la fiera, el trueno y las magias innumerables del
mundo que lo compartido sea en ellas lo único que realmente cuente, los rasgos que
prevalecen de manera aplastante sobre los mínimos diferenciales de cada integrante de la
tribu. En esa pequeña humanidad de seres clónicos, la noción de "identidad" colectiva —
peligrosa ficción que es el cimiento del nacionalismo— tendría, tal vez, razón de ser.
1. ¿Cuál es la idea principal del texto?
A) Es posible, en recónditos rincones de la Amazonía, de Borneo o del África,
encontrar culturas primitivas estables.
B) El empleo de la noción de ―identidad‖ colectiva es un atentado embozado contra
la libertad individual.*
C) Las comunidades más aisladas y arcaicas desconocen la trascendencia de la
expresión ―identidad‖ colectiva.
D) El denominador colectivo define y establece lo que hay en cada miembro de un
grupo específico francés.
E) La angustia por una supuesta decadencia de la literatura francesa amerita una
revisión del vocablo ―identidad‖.
Solución:
El concepto de "identidad", cuando no se emplea a una escala exclusivamente
individual y aspira a representar a un conglomerado, es reductor y deshumanizador.

2. El término EMBOSCA puede ser reemplazado por
A) erige. B) funda. C) oculta.*
D) yergue. E) difumina.
Solución: Con el término embosca, el autor se refiere a que se oculta una suerte de
conspiración contra la libertad individual.
3. Resulta incompatible con el texto afirmar que la noción de ―identidad‖ colectiva
A) se afianza en comunidades arcaicas.
B) tiene razón de ser en una tribu.
C) deshumaniza, pues borra lo diferencial.
D) imprime una personalidad ficticia.
E) propicia la emancipación individual.*
Solución: Por el contrario, la noción de ―identidad‖ colectiva abstrae lo individual.
4. Al autor le parece espeluznante la encuesta porque
A) detecta síntomas de nacionalismo.*
B) incluye interrogantes muy baladíes.
C) se restringe a una sola realidad.
D) no apunta a un problema real.
E) socava la literatura francesa.
Solución: La noción de "identidad" colectiva es el cimiento del nacionalismo.
5. Si un filósofo afirmara que las diferencias individuales prevalecen sobre las
colectivas,
A) carecería de una base empírica para su aseveración.
B) coincidiría claramente con la perspectiva del autor.*
C) podría objetar todas las investigaciones antropológicas.
D) habría prescindido de un método correcto de análisis.
E) habría esbozado un punto de vista básicamente trivial.
Solución: Notoriamente, ambos compartirían la idea de que los rasgos propios de
un individuo lo caracterizan frente a los demás.
6. Se deduce del pensamiento del autor que la modernidad
A) socava la idea de libertad individual.
B) debe conservar la esencia de la tribal.
C) es incompatible con el nacionalismo.*
D) debe fomentar el monolingüismo.
E) cancela la meta del progreso social.
El nacionalismo se puede defender en sociedades clónicas, en las que el individuo
no surge con todo su esplendor. En una sociedad moderna, es inadmisible, según la
perspectiva del autor.

ELIMINACIÓN DE ORACIONES
1. I) Las prisiones son medios usados por los Estados para la protección de la
sociedad civil. II) En las prisiones los presos viven hacinados, mal alimentados y
enfermos. III) En las prisiones los reos perfeccionan sus ―artes‖ delictivas. IV) Los
maltratos que allí sufren los presos generan en ellos impulsos vengativos que se
materializarán al salir en libertad. V) Tras los muros de las prisiones, se planifican y
dirigen asaltos cruentos y secuestros protervos.
A) III B) I* C) V D) IV E) II
Solución B: Se elimina la oración I, por impertinencia
2. I) En la Escuela de Bellas Artes los jóvenes pintores aprenden a delinear las
formas y volúmenes. II) Sus miradas se aguzan para identificar las tonalidades de
sombras. III) Sus manos van adquiriendo habilidad para dar formas volumétricas a la
figura trabajada en el lienzo. IV) Adquieren la paciencia que guiada por la inspiración
moldea sus obras. V) Los pintores profesionales esperan que algún coleccionista
pueda adquirir sus obras en las exposiciones.
A) I B) III C) II D) IV E) V*
Solución E: Se elimina la oración V, por impertinencia
3. I) La enfermedad de Tay-Sachs es una anomalía autosómica recesiva que
da lugar a una degeneración progresiva del sistema nervioso central. II) La
enfermedad de Tay-Sachs se produce como consecuencia de la pérdida de
actividad de la enzima Hexosaminidasa A. III) La enfermedad de Tay-Sachs
recibe el nombre de los primeros que describieron sus síntomas hacia finales
del siglo XIX, Warren Tay y Bernard Sachs. IV) Los bebés con Tay-Sachs
parecen normales al nacer y parece que se desarrollan normalmente hasta los
seis meses, perdiendo luego gradualmente sus capacidades físicas y
mentales. V) Los bebés afectados por Tay-Sachs quedan paralizados en tan
solo uno o dos años y la mayoría no pasa más allá de los cinco años de vida.
A) IV B) I C) III * D) II E) V
Solución: Se elimina III por impertinencia. El tema es la descripción y etiología
de la enfermedad de Tay-Sachs.
4. I) En su primer viaje a Italia, en 1494, Durero conoció la nobleza y el equilibrio de
los mármoles romanos. II) En 1505, Durero realizó un segundo viaje a Italia. III)
Durero permaneció quince meses en Venecia, con visitas a Ferrara y Bolonia, y
pudo estudiar a fondo el arte veneciano de la época. IV) A su regreso a Nuremberg,
Durero pintó dos tablas, a modo de díptico, representando a Adán y Eva, bajo la
evidente influencia de sus amigos venecianos. V) En el Renacimiento, el tema de
Adán y Eva en el paraíso fue una excelente excusa para representar el cuerpo
humano desnudo.
A) I B) II C) III D) IV E) V*

Solución: E. V es impertinente el tema es Durero.
5. I) En el plano afectivo, la adolescencia se caracteriza por una profunda crisis que
hace emerger el sujeto individualizado del mundo protegido de la infancia. II) En el
aspecto físico, la adolescencia abarca tres fases sucesivas: la prepubertad, la
pubertad y la pospubertad. III) El adolescente empieza a descubrir su propio yo en
un plano de nuevos e inquietantes afectos. IV) El adolescente necesita afirmarse en
contra de sus padres y de toda infancia para encontrarse a sí mismo. V) Los
conflictos afectivos hacen del adolescente un personaje aparentemente
contradictorio, impulsivo e hipersensible.
A) I B) III C) V D) II* E) IV
Solución: II es impertinente el tema es el aspecto afectivo de la adolescencia no el
aspecto físico.
6. I) Un asentamiento informal es un lugar donde se establece una persona o
una comunidad que no está dentro del margen de las normas establecidas. II)
Los asentamientos informales, coloquialmente referidos como "invasiones",
por lo general son densos establecimientos que abarcan a comunidades o
individuos albergados en viviendas autoconstruidas bajo deficientes
condiciones de vida. III) Toman forma de establecimientos espontáneos sin
reconocimiento ni derechos legales, expandiendo los bordes de las ciudades
en terrenos marginados que están dentro de los límites de las zonas urbanas.
IV) Son característicos en los países en vías de desarrollo o zonas de pobreza
de comunidades de inmigrantes o minorías étnicas en países desarrollados.
V) Típicamente son el producto de una necesidad urgente de obtención de
vivienda de las comunidades urbanas de escasos recursos económicos.
A) III B) V C) IV D) I* E) II
Solución: Redundancia.
SEMANA 16 C
TEXTO 1
La expresión "muerte de Dios" había sido utilizada con anterioridad a Nietzsche por
el maestro Eckhart, Lutero, Hegel, Heine y, sobre todo, por el poeta Jean Paul Richter.
Pero fue Nietzsche quien hizo de la metáfora "muerte de Dios" uno de los ejes en torno a
los que gira su filosofía. Dos pasajes de su obra destacan sobre ese fondo temático
constante. En el prólogo de Así habló Zaratustra, Nietzsche describe a Zaratustra
llegando a los bosques donde encuentra a un anciano eremita que había abandonado su
santa choza para buscar raíces en el bosque. ¿Y qué hace el santo en el bosque?,
preguntó Zaratustra. El santo respondió:
―Hago canciones y las canto, y, al hacerlas, río, lloro y gruño; así alabo a Dios.
Cantando, llorando, riendo y gruñendo alabo al Dios que es mi Dios. Mas, ¿qué
regalo es el que tú nos traes?". Cuando Zaratustra hubo oído estas palabras saludó
al santo y dijo: "¡Qué podría yo daros a vosotros! ¡Pero déjame irme aprisa, para
que no os quite nada!". Así se separaron, el anciano y el hombre, riendo como los
niños. Cuando Zaratustra estuvo solo, habló así a su corazón: "¡Será posible! ¡Este
viejo santo en su bosque no ha oído todavía nada de que Dios ha muerto!".

En la Parte IV de la misma obra bajo el título "Jubilado" un Papa jubilado busca al
mismo eremita que Zaratustra había encontrado: "Yo buscaba al último hombre piadoso,
un santo y un eremita, que, solo en su bosque, no había oído aún nada de lo que todo el
mundo sabe hoy. ¿Qué sabe hoy todo el mundo? preguntó Zaratustra. ¿Acaso que no
vive ya el viejo Dios en quien todo el mundo creyó en otro tiempo? Tú lo has dicho,
respondió el anciano atribulado. Y yo he servido a ese viejo Dios hasta su última hora".
En la obra que precedió a Así habló Zaratustra, La gaya ciencia Nietzsche había ofrecido
ya en la parábola del loco la idea de una búsqueda inconducente de Dios. El loco estaba
en el mercado público con una linterna, como Diógenes, gritando sin cesar:
"¡Estoy buscando a Dios! La gente no lo entendía, o cuando creía entenderlo
se reía: ¿Se habrá extraviado Dios? ¿Se esconde en alguna parte? ¿Estará
de viaje? Pero el demente les respondió: Os diré dónde está Dios, Lo hemos
matado –vosotros y yo–. Todos somos sus asesinos" "¡Dios ha muerto! ¡Dios
sigue muerto! ¡Y lo hemos matado!".
Pero seguían sin entender de qué hablaba, por lo que el loco les dijo que había
llegado prematuramente; la muerte de Dios era un hecho que está todavía sucediendo.
Estos pasajes no eran simples manifestaciones de ateísmo. El ateo afirma que Dios no
existe y Nietzsche proclama que Dios ha muerto. Por tanto, antes de morir Dios estaba
vivo y el hombre contemporáneo ha sido su asesino. Como no se pueden interpretar
'matado' y 'asesinado' en sentidos literales, hay que suponer que tienen un sentido
metafórico. Dios ha muerto cultural o espiritualmente cuando los hombres han dejado de
creer en Dios, aun cuando algunos sigan actuando como si creyeran. Esto tiene un
alcance mayor que el que podría tener el abandono de otras muchas creencias, al dejar
de creer en Dios los hombres han asestado un golpe de muerte a un sistema de valores.
La muerte de Dios es la máxima expresión del nihilismo un nihilismo sin el cual no podría
tener lugar "la transmutación de todos los valores" o "transvaloración".
1. Medularmente, el texto aborda
A) la demostración de Nietzsche sobre la inexistencia de Dios.
B) el tema central de Así habló Zaratustra y La gaya ciencia.
C) la ―muerte de Dios‖ como una metáfora esencial de Occidente.
D) una dilucidación de la expresión Dios ha muerto en Nietszche.*
E) un análisis profundo del concepto de nihilismo en Nietzsche.
Solución D: El texto se centra en explicación del sentido metafórico en que
Nietszche utiliza la expresión Dios ha muerto.
2. El sentido de la palabra ATRIBULADO es
A) atosigado. B) acuclillado. C) contristado.*
D) deslucido. E) adocenado.
Solución C: El autor dice textualmente ―Dios ha muerto cultural o espiritualmente
cuando los hombres han dejado de creer en Dios, aun cuando algunos sigan
actuando como si creyeran‖, por lo que el sentido del vocablo nihilismo es
incredulidad.
3. Se deduce que el nihilismo entraña, sobre todo, una crisis
A) gnoseológica. B) metodológica. C) estética.
D) metafórica. E) axiológica.*

El nihilismo abandona la creencia en Dios y de ese modo se derruye todo un sistema
de valores.
4. No se condice con el texto aseverar que
A) el tema de la ―muerte de Dios‖ es uno de los ejes de la obra de Nietzsche.
B) el loco de La gaya ciencia estaba buscando a Dios en el mercado público.
C) la muerte de Dios es un hecho que todavía sigue dándose actualmente.
D) el nihilismo será superado con la transmutación de todos los valores.
E) para Nietzsche, la muerte de Dios deja incólumes los valores tradicionales.*
Solución E: El autor al explicar el sentido metafórico de la expresión Dios ha muerto,
pone énfasis en que ―al dejar de creer en Dios los hombres han asestado un golpe
de muerte a un sistema de valores‖.
5. Si la frase nietzscheana ―Dios ha muerto‖ significara que Dios es una entelequia, la
posición nietzscheana se podría adscribir al
A) socialismo. B) agnosticismo. C) idealismo.
D) ateísmo.* E) fideísmo.
Solución D: El autor sostiene que la posición nietzscheana no es como el mero
ateísmo por los significados metafóricos asociados a la idea de la muerte de Dios.
6. Según el pensamiento de Nietzsche, intentar hallar a Dios en nuestros tiempos es
una empresa
A) inmoral. B) racional. C) infructuosa.*
D) lúdica. E) encomiable.
Buscar a Dios es actuar como el loco de La gaya ciencia: una búsqueda inútil.
TEXTO 2
El mito del marco puede enunciarse brevemente en los siguientes términos: Es
imposible toda discusión racional o fructífera, a menos que los participantes compartan un
marco común de supuestos básicos o que, como mínimo, se hayan puesto de acuerdo
sobre dicho marco en vistas de la discusión. Este es el mito que me dispongo a criticar.
Tal como lo he enunciado, el mito tiene el aspecto de un juicio sobrio, de una
advertencia sensible a la que deberíamos prestar atención a la hora de mantener una
discusión racional. Incluso hay gente que piensa que lo que describo como mito es un
principio lógico, o se basa en un principio lógico. Por el contrario, no sólo pienso que se
trata de un enunciado falso, sino también de un enunciado perverso que, si fueran
muchos los que creyeran en él, socavaría la unidad de la humanidad y, por tanto,
incrementaría enormemente la probabilidad de la violencia y de guerra. Esta es la razón
principal por la que quiero combatirlo y refutarlo.
Como he indicado, entiendo por ―marco‖ un conjunto de supuestos básicos o
principios fundamentales; esto es, un marco intelectual. Es importante distinguir ese
marco de ciertas actitudes que en verdad pueden ser precondiciones de una discusión,
como el deseo de lograr la verdad o de acercarse a ella, la voluntad de compartir
problemas o de emprender los objetivos y afrontar en conjunto los problemas de otra
persona.
De entrada diré que el mito contiene un núcleo de verdad. Aunque considero muy
peligroso decir que es imposible toda discusión fructífera a menos que los participantes
compartan un marco común, estoy completamente dispuesto a admitir que una discusión

entre participantes que no comparten un marco común puede ser difícil. También será
difícil una discusión si los marcos tienen poco en común. En verdad, si los participantes
están de acuerdo en todo, la discusión puede resultar más cómoda, fácil y racional,
aunque tal vez soporífera para un verdadero polemista.
¿Y en cuanto a la utilidad? En la formulación del mito que he presentado, lo que se
declara imposible es una discusión fructífera. Contra esto defenderé la tesis directamente
opuesta: que no es probable que sea fructífera una discusión entre personas que
comparten muchos puntos de vista, aun cuando pueda ser agradable; mientras que una
discusión entre marcos muy diferentes puede ser extremadamente fructífera, aun cuando
a veces puede ser extremadamente difícil y, tal vez, en absoluto tan agradable (si bien
podemos aprender a disfrutar de ella).
A mi juicio, se puede decir que una discusión es tanto más fructífera cuanto más
aprendan en ella sus participantes. Y esto quiere decir que cuanto más interesantes y
difíciles sean las cuestiones a las que se enfrenten, tanto más novedosas serán las
respuestas que se verán inducidos a pensar, tanto más sacudidos se sentirán en sus
opiniones y tanto más podrán considerar las cosas de diferente manera después de la
discusión; en resumen, tanto más se ensancharán sus horizontes intelectuales.
En este sentido, la utilidad dependerá siempre de la distancia originaria entre las
opiniones de los participantes en la discusión. Cuanto más grande sea esa distancia, más
fructífera puede ser la discusión, siempre suponiendo, claro está, que tal discusión no es
en absoluto imposible como afirma el mito del marco.
1. En el texto, el término SOPORÍFERA se puede reemplazar por
A) enervante. B) tediosa.* C) paradójica.
D) perniciosa. E) apacible.
Si estamos de acuerdo en todo, se puede suscitar una conversación aburrida o
tediosa.
2. ¿Cuál es la idea principal que defiende el autor?
A) El marco común es la base de toda discusión provechosa en la ciencia.
B) El mito del marco común puede contener, en el fondo, algo de verdad.
C) La búsqueda de la verdad solamente es posible en un marco común.
D) La discusión es más proficua cuando hay divergencia de posiciones.*
E) La discusión entre marcos distintos suele ser difícil y conlleva inquina.
El autor defiende que cuanta más diferencia de opinión, la discusión será más
proficua.
3. ¿Cuál es el enunciado incompatible con la opinión del autor?
A) El mito del marco coadyuva a la violencia y la guerra.
B) El diálogo es fructífero cuando los marcos son diferentes.
C) La discusión basada en un marco común es muy útil.*
D) Conversar sobre la base de un marco común es gratificante.
E) El mito del marco común intenta definir una discusión racional.
Según el autor, es todo lo contrario: es inútil.
4. Si el mito del marco común fuera verdadero,
A) se eliminarían todos los conflictos sociales.
B) toda discusión sería agradable y fructífera.
C) sería racional la búsqueda de una idea común.*
D) la antítesis sería determinante en la ciencia.
E) el debate debería propender al antagonismo.

Según el mito, la discusión racional implica la existencia de acuerdos previos.
5. Se deduce que, para el autor, el mito del marco común
A) es un óbice para el progreso científico.*
B) es la base de cualquier discusión racional.
C) permite llegar a avances en una discusión.
D) fomenta la discusión con marcos opuestos.
E) nos acerca al conocimiento de la verdad.
No garantiza el desarrollo del conocimiento porque no expande horizontes.
6. Si dos personas con teorías irreconciliables discuten acaloradamente,
A) propiciarán un diálogo soporífero.
B) la discusión será vacua y difícil.
C) incrementarán sus conocimientos.*
D) no podrán entablar conversación.
E) aceptarán el mito del marco común.
Al considerar nuevas posibilidades, incrementarán sus horizontes intelectuales.
TEXTO 3
Un sabio inició el interrogatorio de Beremiz. Este ulema era historiador famoso que
había dado lecciones durante veinte años en Córdoba y más tarde, por cuestiones
políticas, se trasladó a El Cairo, donde pasó a residir bajo la protección del Califa. Era un
hombre bajo, cuyo rostro bronceado aparecía enmarcado en una barba elíptica. Tenía los
ojos mortecinos, sin brillo.
He aquí las preguntas que el sabio historiador dirigió a Beremiz:
–¡En nombre de Alá, Clemente y Misericordioso! ¡Se engañan quienes aprecian el
valor de un matemático por la mayor o menor habilidad con que efectúa las operaciones o
aplica las reglas banales del cálculo! A mi ver, el verdadero geómetra es el que conoce
con absoluta seguridad el desarrollo y el progreso de la Matemática a través de los siglos.
Estudiar la Historia de la Matemática es rendir homenaje a los ingenios maravillosos que
enaltecieron y dignificaron a las antiguas civilizaciones que por su esfuerzo e ingenio
pudieron desvelar algunos de los misterios más profundos de la inmensa Naturaleza,
consiguiendo, por la ciencia, elevar y mejorar la miserable condición humana. Logramos
además, por medio de las páginas de la Historia, honrar a los gloriosos antepasados que
trabajaron en la formación de la Matemática, y conservamos el nombre de las obras que
dejaron. Quiero, pues, interrogar al Calculador sobre un hecho interesante de la Historia
de la Matemática. ―¿Cuál fue el célebre geómetra que se suicidó al no poder mirar al
cielo?‖.
Beremiz meditó unos instantes y exclamó:
–Fue Eratóstenes, matemático de Cirenaica y educado al principio en Alejandría y
más tarde en la Escuela de Atenas, donde aprendió las doctrinas de Platón.
Y completando la respuesta prosiguió:
–Eratóstenes fue elegido para dirigir la gran Biblioteca de la Universidad de
Alejandría, cargo que ejerció hasta el fin de sus días. Además de poseer envidiables
conocimientos científicos y literarios que lo distinguieron entre los mayores sabios de su
tiempo, era Eratóstenes poeta, orador, filósofo y un completo atleta. Basta decir que
conquistó el título excepcional de vencedor del pentatlón, las cinco pruebas máximas de
los Juegos Olímpicos. Grecia se hallaba entonces en el periodo áureo de su desarrollo
científico y literario. Era la patria de los aedos, poetas que declamaban, con
acompañamiento musical, en los banquetes y en las reuniones de los reyes y de los
grandes jerarcas.

No sería prolijo decir que, entre los griegos de mayor cultura y valor, el sabio
Eratóstenes era considerado como un hombre extraordinario que tiraba la jabalina,
escribía poemas, vencía a los grandes corredores y resolvía problemas astronómicos.
Eratóstenes legó a la posteridad varias obras. Al rey Ptolomeo III de Egipto le presentó
una tabla de números primos hechos sobre una plancha metálica en la que los números
múltiplos estaban marcados con un pequeño agujero. Se dio por eso el nombre de ―Criba
de Eratóstenes‖ al proceso de que se servía el sabio astrónomo para formar su tabla.
A consecuencia de una enfermedad en los ojos, adquirida a orillas del Nilo durante
un viaje, Eratóstenes quedó ciego. Él, que cultivaba con pasión la astronomía, se hallaba
impedido de mirar al cielo y de admirar la belleza incomparable del firmamento en las
noches estrelladas.
La luz azulada de Al-Schira jamás podría vencer aquella nube negra que le cubría
los ojos. Abrumado por tan enorme desgracia, y no pudiendo resistir el pesar que le
causaba la ceguera, el sabio y atleta se suicidó dejándose morir de hambre, encerrado en
su biblioteca.
El sabio historiador de ojos mortecinos, se volvió hacia el Califa y declaró, tras
breve silencio:
–Me considero plenamente satisfecho con la brillante exposición histórica hecha
por el sabio calculador persa. El único geómetra célebre que se suicidó fue realmente el
griego Eratóstenes, poeta, astrónomo y atleta, amigo fraternal del famosísimo Arquímedes
de Siracusa.
1. La expresión ‗ojos mortecinos‘ quiere decir ojos
A) turbios. B) cerrados. C) apagados.*
D) mortales. E) perecederos.
El sabio tenía ojos mortecinos, esto es, apagados.
2. El ulema le plantea al calculista un problema de ……………. matemática.
A) invención. B) erudición.* C) lógica.
D) disciplina. E) habilidad.
El sabio le plantea una cuestión que implica un conocimiento erudito.
3. Se deduce que la muerte de Eratóstenes fue
A) violenta. B) súbita. C) irracional.
D) lenta.* E) accidental.
Murió de inanición, no fue una muerte súbita ni accidental.
4. El suicidio de Eratóstenes se presenta como un acto
A) ilógico. B) protervo. C) frenético.
D) comprensible.* E) indefendible.
Resulta comprensible que ya no quiera vivir un hombre que tenía tanta pasión por la
astronomía, una ciencia visual por excelencia.
5. Resulta incompatible con el texto decir que Eratóstenes fue
A) bibliotecario. B) platónico. C) calculista.
D) poeta. E) ágrafo.*
Era autor de diversas obras.

6. El texto anterior se puede interpretar, medularmente, como
A) una prolija crítica de la historia matemática.
B) una revaloración total de la cultura griega.
C) una apología del gran sabio Eratóstenes.*
D) una demostración de la habilidad de cálculo.
E) una censura contra los métodos del cálculo.
La pregunta del ulema conlleva a presentar a Eratóstenes en toda su áurea
magnitud.
SERIES VERBALES
1. Talega, lienzo; odre, cuero; sillín, madera;
A) sinecura, trabajo. D) cesta, mimbre.*
B) zarcillo, arete. E) plástico, bolsa.
C) caña, miel.
Serie verbal basada en la analogía de producto-materia.
2. Desaseado, sucio, sórdido,
A) tacaño. B) malévolo. C) impío.
D) inope. E) roñoso.*
Campo semántico de la suciedad.
3. Elija la tríada de sinónimos.
A) Crueldad, sevicia, murria. D) Nobleza, hidalguía, pobreza.
B) Lendel, huella, fábula. E) Incuria, recato, decencia.
C) Júbilo, exultación, regocijo.*
Habilidad Lógico Matemática
EJERCICIOS DE CLASE Nº 16
1. La figura muestra circunferencias tangentes. Recorriendo por las líneas de la figura,
sin pasar dos veces por el mismo tramo, ¿cuántas rutas distintas existen desde el
punto P al punto Q?
A) 54
B) 108
C) 81
D) 90
E) 96 Q
P

Solución:
Nota: Tramo es la que tiene longitud positiva. Un punto no es tramo, puesto que
tiene longitud cero.
Número de rutas de P al punto de tangencia del cuello del osito: 3+3 = 6.
Número de rutas del punto de tangencia del cuello del osito a Q: 3x3+3x3 = 18.
Por el principio de multiplicación, número de rutas de P a Q: 6x18 =108.
Clave: B
2. La figura muestra una pirámide con base cuadrilátera y en esta base se ha trazado
MN. Recorriendo solamente por las aristas de la pirámide o por MN, sin pasar dos
veces por el mismo punto, ¿cuántas rutas distintas existen desde el punto P al punto
Q, pasando siempre por MN?
A) 4
B) 10
C) 6
D) 8
E) 12
Solución:
Nota: MN NM .
Número de rutas pasando por M: 3.
Número de rutas pasando por N: 3.
Número de rutas de P a Q: 3+3.=.6.
Clave: C
3. La figura muestra dos circunferencias tangentes y dos triángulos, uno inscrito y el
otro circunscrito a las circunferencias. Recorriendo por las líneas de la figura, sin
pasar dos veces por el mismo punto, ¿cuántas rutas distintas existen desde el punto
M al punto N?
A) 72
B) 64
C) 81
D) 49
E) 54
Solución:
Número de rutas de M al punto de tangencia: 4+4=8.
Número de rutas del punto de tangencia a N: 4+4=8.
Por el principio de multiplicación, número de rutas de M a N: 8x8 =64.
Clave: B
P
Q
M
N
M
N

4. La figura mostrada está formada por tres tetraedros unidos por los vértices A y B.
Recorriendo solamente por las aristas de los tetraedros, sin pasar dos veces por el
mismo punto, ¿cuántas rutas distintas existen desde el punto M al punto N?
A) 100
B) 27
C) 216
D) 64
E) 125
Solución:
Aplicamos el principio de multiplicación.
Número de rutas de M a N: 5x5x5 = 125.
Clave: E
5. En la figura, recorriendo solamente por los segmentos, hacia la derecha o hacia
abajo, ¿cuántas rutas distintas existen desde el punto A al punto B?
A) 118
B) 130
C) 120
D) 140
E) 160
Solución:
Clave: C
6. En la figura, recorriendo solamente por los segmentos, hacia la derecha o hacia
abajo, ¿cuántas rutas distintas existen desde el punto A al punto B?
A) 80
B) 100
C) 110
D) 120
E) 160
NM
A B
derecha
B
abajo
A
A derecha
abajo
B
B
A 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
1 3 6 6 13
1 4 6 19
1 5 6 25
1 6 12 16 16 22 37
1 7 19 35 51 73 120

Solución:
DDDDDDDAAA: PERMUTACION DE 10 CON REPETICIÓN DE 7 Y DE 3= 120
Clave: D
7. En la siguiente figura están representados los caminos y las ciudades. ¿De
cuántas maneras diferentes se puede ir de la ciudad A a V sin pasar dos veces
por un mismo punto?
A) 6 B) 7
C) 8 D) 9
E) 10
Solución:
Pasando por I: Pasando por N:
AIPGV ANDCIPGV
AICFPGV ANDCFPGV
AICDEFPGV ANDEFPGV
ANDEFCIPGV
Total de maneras = 3 + 4 = 7
Clave: B
8. Recorriendo solamente por los segmentos hacia la derecha o hacia abajo, ¿cuántas
rutas distintas existen desde el punto M al punto N?
A) 296
B) 336
C) 264
D) 256
E) 304
Solución:
Rpta: A
Ir de
74 2 2 = 296 rutas
VI
E
F
C
DN
A P
G
N
M
P
Q
derecha
abajo
VI
E
F
C
DN
A P
G
2 3 4
4
5
3 6 21 28
25 46 74
M
P
1 1 1 1 1 1
1
1
6 7
15
10
Q
N
10

9. Al repartir cierta cantidad directamente proporcional a 2, p y q, la parte
correspondiente a p es 720, que a su vez es la media aritmética de las otras dos
partes. Si se sabe que p+q=7, ¿cuál es la menor parte obtenida en el reparto?
A) 640 B) 480 C) 960 D) 720 E) 740
Solución:
1º) Sean las partes: A; 720; B
A 720 B A B 720
2 p q 2 p q
2º)
A B
720 A B 1440
2
3º) Dato p+q=7, luego (2º), (3º) en (1º)
; B 960
A 720 B 1440 720
, A 480 ; p 3 ; q 4
2 p q 7 2
Clave: B
10. Tres hermanos deciden repartirse una herencia, el primero recibe 3/11 del total no
realizando gasto alguno y los otros 2 se reparten el resto. El segundo gasta 4/13 de
lo que recibe y el tercero gasta S/. 300, quedándose los tres con la misma suma de
dinero. ¿A cuánto ascendió la herencia?
A) S/. 5500 B) S/. 4950 C) S/. 5720 D) S/. 5005 E) S/. 7150
Solución:
Herencia: T
T
n
8
1ro. 2do. 3ro.
Les corresponde 3/11T M
mT
11
8
Gasto:
m
13
4 300
Queda:
m
13
9
300
11
8
mT
Dato: 4950T300mT
11
8
m
13
9
T
11
3
.
Clave: B
11. Simplifique la expresión: 2
4
log .log .logb ac
A x b c
A)
3
log
5
a c B)
1
log
2
a x C) 2loga x D) logc x E) 3logx c

Solución:
A= = =
= = = 2
Clave : C
12. Simplifique la expresión:
( 1)! ( 2)( 1)!
!.( 2) ( 1)!
n n n
N
n n n
A)
1
n
n
B)
2
n
n
C) 2n D)
3
2
n E)
1
n
n
Solución:
.
Se tiene.
= (n2
+2)/n = n + 2/n.
Clave: B
13. Doblando la siguiente plancha metálica de 20 por 10 m de lado se obtiene un cajón
(cortando las esquinas). Si el área exterior total es mayor a 100 m2
, ¿cuál es la
altura máxima entera de dicho cajón?
A) 6 m
B) 5 m
C) 4 m
D) 7 m
E) 3 m
Solución:
h ; la altura de la caja, por condición:
2(20-2h)h+2(10-2h)h+(10-2h)(20-2h)> 100
40h – 4h2
+ 20h – 4h2
+ 200 – 60h + 4h2
> 100
- 4h2
> -100 (h – 5)(h + 5) < 0
h es máxima, además (10 – 2h) > 0 Clave: “C”
10m
20m
h h
h
hh
h
h
h

abajo
derecha
fondo
N
P
M
BA
14. La longitud de una de las diagonales de un cubo es igual a la longitud de la diagonal
de una de las caras de otro cubo. ¿Qué relación existe entre las áreas totales de
estos dos cubos?
A) 1/3 B) 2/5 C) 2/3 D) 3/5 E) 3/4
Solución:
D = 3 a D² = 3a² 2D² = 6a
2
2
D3
2
D
6
R =
3
2
D3
D2
2
2
Clave: C
EVALUACIÓN DE CLASE Nº 16
1. La figura mostrada es un paralelepípedo, construido de alambre. Recorriendo
solamente por lo segmentos alámbricos, hacia la derecha, hacia abajo ó hacia el
fondo. ¿Cuántas rutas distintas existen desde el punto M al punto N, pasando
siempre por el punto P?
A) 40
B) 28
C) 30
D) 32
E) 36
Solución:
De M a P: 6 caminos
De P a N: 6 caminos
Luego de M a N: 6X6 =36 caminos
Clave: “E”
2. La figura muestra una red de caminos. Sin pasar dos veces por el mismo punto,
¿cuántas formas diferentes existen, para ir de A hacia B?
A) 30
B) 28
C) 24
D) 34
E) 36
D = 3a
a D
D
2

Resolución:
Total de formas diferentes: 9 + 6 + 6 + 9 = 30.
Clave:”A”
3. En la figura mostrada, ¿de cuántas maneras distintas se puede llegar a Q partiendo
de P, viajando solamente en dirección Este o Sur por cada tramo segmentario de la
figura?
A) 8 690
B) 9 860
C) 6 890
D) 8 960
E) 9 680
Solución:
Clave: D
4. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá llegar desde P hasta Q avanzando
solamente sobre las aristas y solamente hacia abajo, hacia la derecha o hacia el
fondo?
A) 72
B) 18
C) 12
D) 24
E) 48
Solución:
De P a M: FDAA 12
!2
!4
De M a Q: FDA 3! = 6
En total : 12 x 6 = 72
Clave: A
P
Q
N
EO
S
P
Q
abajo
derecha
fondo
O
P
Q
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
2 3 4 5 6 7
3 6 10 15 21 28
4 10 21 49
5 15
6 21
7 28 49 70 112 224 224 224 224 224
224
224
224
224
448
672
896
1120
672 896 1120
1120
3360
8960
3360 5600
21
21 21 42
70
112
1344
2240
P
Q
M

5. Se desea repartir el número 145 800 en partes proporcionales a todos los números
pares desde 10 hasta el 98. ¿Cuánto es la suma de las cantidades que le toca al
que es proporcional a 12 y al que es proporcional 60?
A) 4320 B) 320 C) 3600 D) 3200 E) 4000
Solución:
Cantidad: 145 800
Partes : 10, 12, 14, …, 98
10k+12k+14k+…+98k=145 800
2k(5+6+7+…+49)=145 800
k=60 por tanto: 12(60)+60(60)=4320
Clave: A
6. El señor Gómez decide repartir los cuatro quintos de sus ahorros de manera
equitativa a sus 3 hijos: Rubén, Jorge y Rita, quedándose con el resto. A su vez,
Rubén renuncia a su herencia a favor de sus hijas Ana, Mili y María, que se dividen
lo heredado en partes iguales. Jorge que es el padrino de María, le da a su ahijada
la mitad de lo que le corresponde. Si María recibe en total $8000, ¿con cuánto se
quedó el señor Gómez?
A) 4860 B) 5240 C) 8640 D) 6250 E) 7200
Solución:
Ahorro = x
Se queda el Sr. Gómez con x
5
1
c/ hijo le corresponde x
15
4
x
3
1
.
5
4
Luego:
Rubén reparte su derecho a sus 3 hijas, a c/hija le corresponde x
3
1
.
15
4
x
45
4
Además: Jorge le da la mitad que le corresponde a su ahijada Maria:
8000x
15
2
x
45
4
8000x
45
10
36000x
El Sr. Gómez se queda con: 7200.
Clave: E
7. Halle la suma de los valores de x que satisface la siguiente igualdad
42
2log
64log
2log
5xlog
64
2
x
2
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

Solución:
4264log64log)5x(logxlog42
log
64log
2log
5log
22222
64
2
x
x
2
6xlog5)x(log 2
2
2
0)2x(log)3x(log06log5)x(log 222
2
2
3 2
2 2log 3 log 2 2 2 8 4 12x x x x
Clave: B
8. Si ( x ! + 5 ) ! = [ 4 ! + 5 ! + ( 4 ! )² ] ( 3 ! + 0! ) , halle el valor de
!x
!)3x(
.
A) 210 B) 6 C) 24 D) 120 E) 60
Solución:
(x! + 5) ! = [ 4! (1 + 5 + 4!) ] (7)
= 4 ! (30) (7)
= 4! (5) (6) (7)
(x! + 5) ! = 7!
x! = 2 x = 2 60
!2
!5
!x
)!3x(
Clave: E
9. Hallar el área total de la banca. Si cada cubo que la forma tiene un volumen de
8000 cm3
. Además la altura de la banca es 60 cm.
A) 3.62 m2
B) 2.80 m2
C) 2.72 m2
D) 2.64 m2
E) 1.85 m2
Solución:
3
CUBO
2 2 2 2 2 2 2 2 2
total
1). Sea "a" la arista del cubo: V =a =8000 a=20cm
2). Area lateral =18a 16a 12a 6a 8a 8a 2a 70a 70(400) 2.80m
Clave: B

Aritmética
1. Sea n N , n 3 , si
1
2 2 1
2 1
2
70
n
n n n
k k k
k
k C C C ,
hallar el valor de n! + 4n.
A) 140 B) 40 C) 20 D) 100 E) 60
Solución:
1 1
1
1
2 2
70 70
n n
n n
k k
k k
n
k C k C
k
1 1 1 1
0 1 2 1
70 2...n n n n
n n
n C C C C n
n 2n
= 70 + 2n n = 5
5! + 4(5) = 140
Clave: A
2. Si 1 x 1! + 2 x 2! + 3 x 3! + … + 23 x 23! = (n!)! – 1 , hallar le valor de n! + 3n.
A) 15 B) 135 C) 60 D) 40 E) 36
Solución:
23
1
1( !)( !)!
x
X X n
23 23
1 1
1 1 1 1( !) ( )! ! ( !)!
x x
X X x x n
Luego n = 4
4! + 3(4) = 36
Clave: E
3. ¿Cuántos productos diferentes múltiplos de 5, de 3 factores se pueden formar
con los números 5, 7, 11, 19, 23, 29 y 31?
A) 20 B) 15 C) 10 D) 30 E) 18
Solución:
6
2 15
5 5
C
xaxb
Clave: B

4. Pedro, Luis, Ana, Eva y Julio forman una fila para realizar un pago. ¿De
cuántas maneras diferentes pueden formar la fila los cinco, si Ana debe pagar
antes que Eva?
A) 50 B) 70 C) 60 D) 65 E) 55
Solución:
Casos:
___ ___ ___ ___ Ana : 4! = 24
___ ___ ___ Ana ___ : 3(3!) = 18
___ ___ Ana ___ ___ : 2(3!) = 12
___ Ana ___ ___ ___ : 1(3!) = 6 , Total = 60
Clave: C
5. ¿De cuántas otras maneras se pueden ordenar en fila, las siguientes figuras?
A) 215 B) 208 C) 218 D) 209 E) 215
Solución:
7!
Total = = 210
(3!)(2!)(2!)
, otras maneras: 209
Clave: D
6. ¿De cuántas maneras diferentes se puede sentar en una fila de 9 asientos 4
hombres, 3 mujeres y 2 niños, si las tres mujeres no pueden sentarse juntas?
A) 66(7!) B) 8! C) 9! D) 60(7!) E) 50(7!)
Solución:
Total = mujeres juntas + mujeres separadas
9! = (7!)(3!) + mujeres separadas
mujeres separadas = 66 (7!)
Clave: A
7. Mario tiene 2 hijos, 6 sobrinos y 6 sobrinas. Si desea salir a pasear con uno de
sus hijos, con tres sobrinas y por lo menos 1 sobrino, ¿de cuántas maneras
diferentes puede hacerlo?
A) 2500 B) 2600 C) 2710 D) 2520 E) 2350
Solución:
Maneras diferentes = 2 6 6 2 6 6 2 6 6 2 6 6 2 6 6 2 6 6
1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6
2520C C C C C C C C C C C C C C C C C C
Clave: D
8. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse alrededor de una mesa
circular 4 varones, 5 mujeres y 3 niños, si los niños siempre deben estar
juntos?
A) 12! B) 54(8!) C) 10! D) 60(7!) E) 50(7!)

Solución:
Total niños juntos = (10 – 1)! (3!) = 54(8!)
Clave: B
9. Cuatro parejas de esposos se sientan alrededor de una mesa circular de 8
sillas, ¿de cuántas formas diferentes se podrán ubicar, si las parejas no deben
separarse?
A) 96 B) 100 C) 85 D) 90 E) 105
Solución:
Maneras de sentarse = (4-1)! (2!)4
= 96
Clave: A
10. ¿Cuántos números diferentes de 5 cifras existen de manera que el producto de
sus cifras sea igual a 12?
A) 80 B) 90 C70 D) 60 E) 82
Solución:
Como = 12 = 3 x 4 = 3 x 2 x 2 = 6 x 2
Total de números =
5! 5! 5!
+ + = 70
3! (2!)(2!) 3!
Clave: C
11. De un grupo de profesores conformado por 5 matemáticas y 3 literatos se
desea formar un comité de 4 personas. ¿De cuántas maneras diferentes, puede
formarse el comité que incluya al menos un literato?
A) 60 B) 55 C) 70 D) 65 E) 80
Solución:
Maneras de sentarse =
3 5 3 5 3 5
1 3 2 2 3 1
65C C C C C C
Clave: D
12. Hallar el número de ordenamientos diferentes que se pueden realizar con las
letras de la palabra YOSIPUEDO, si las vocales deben permanecer juntas.
A) 7200 B) 7100 C) 7000 D) 7120 E) 7300
Solución:
Total = OIVEO ( YSPD) =
5
5 7200
2
!
( !)
!
Clave: A
1. Sea n N , n 3 , si
3 3 2
3 2 1
3
26
n
n n n
k k k
k
C C C ,
hallar el valor de n! – 20b.
A) 100 B) 700 C) 4 D) 120 E) 60

Solución:
1
1
3
26
n
n
k
k
C
1 1 1 1 1 1
0 1 2 1 0 1
26...n n n n n n
n
C C C C C C
2n – 1
= 26 + n n = 6
6! – 20 = 700
Clave: B
2. Si m es el número de las diferentes “palabras” que se pueden formar con las
letras de la palabra SOLIDARIDAD, hallar el valor de m
9900
.
A) 168 B) 160 C) 200 D) 170 E) 150
Solución:
11!
m = = 210x720x11
(2!)(3!)(2!)
Luego: 168
9900
m
Clave: A
3. Hallar el número de maneras diferentes que se puede colocar en una fila 5
libros grandes, 4 medianos y 3 pequeños de modo que los libros de igual
tamaño estén siempre juntos?
A) 9! B) 22! C) 50(5!) D) 80(3!)4
E) 10!
Solución:
Total = (3!) (5!) (4!) (3!) = 80 (3!)4
Clave: D
4. En una reunión familiar hay 4 parejas de esposos y 5 niños. Si para comprar
los víveres se desea formar un grupo, conformado por 3 hombres, 1 niño y por
lo menos una mujer, ¿de cuántas maneras diferentes se puede formar el
grupo?
A) 250 B) 280 C) 310 D) 300 E) 260
Solución:
Total =
4 5 4 4 5 4 4 5 4 4 5 4
3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4
300C C C C C C C C C C C C
Clave: D
5. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos un 5 en su escritura en el
sistema decimal?
A) 230 B) 220 C) 240 D) 260 E) 252

Solución:
Total de números = ningún 5 + por lo menos un 5
9(10) (10) = 8 (9) (9) + por lo menos un 5
por lo menos un 5 = 252
Clave: E
6. En un campeonato de fútbol se jugaron de local y visita 110 partidos. ¿Cuántos
equipos participaron?
A) 11 B) 9 C) 10 D) 8 E) 12
Solución:
número de equipos = n
total de partidos = 2
2 110 11n
C n
Clave: A
7. En una competencia atlética participaron 10 estudiantes. Determinar de
cuántas maneras pueden ocupar los 4 primeros puestos.
A) 5200 B) 5040 C) 10! D) 5500 E) 5100
Solución:
Número de maneras =
10
4
5040V
Clave: B
8. Hallar el número de las diferentes comisiones mixtas de 4 personas que se
pueden formar con 5 hombres y 6 mujeres.
A) 300 B) 320 C) 310 D) 325 E) 330
Solución:
Total de comisiones =
5 6 5 6 5 6
1 3 2 4 3 1
310C C C C C C
Clave: C
9. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 8 personas en una mesa
circular de 5 asientos, si 3 de ellas están en espera?
A) 1344 B) 1200 C) 1180 D) 1250 E) 1100
Solución:
Total = (Elijo) (se sientan) =
8
5
5 1 1344( )!C
Clave: A
10. Luis tiene 11 amigos, de cuántas maneras diferentes puede invitar a 5 de ellos
a una fiesta, si dos de ellos no se llevan bien y no deben asistir juntos?
A) 350 B) 380 C) 378 D) 360 E) 365
Solución:
Total = no invita a los enemistados + invita sólo a uno
=
9 9
5 4
2 126 252 378C C
Clave: C

Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Al resolver la ecuación 01x10x7xlog 23
)x1(
, hallar la suma de
sus soluciones.
A) – 5 B) – 2 C) 3 D) – 3 E) – 7
Solución:
725solucionesdeSuma
2,5S.C
2x5x0x
02x5xx
010x7xx
0x10x7x
11x10x7x
2
23
23
Clave: E
2. Si a es solución de la ecuación
3log3
)1x(
)1x(
)x5(log
)x35(log
, hallar el valor de 2
)1a( .
A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25
Solución:
41a
3a
3S.C
2x3x
2x3x0
6x5x0
x15x75900
xx15x75125x35
x5x35
3x35log
2
2
2
323
33
3
)x5(
Clave:B

3. Hallar el conjunto solución de la ecuación xlog3
xlog
1x
1
log
)1x(
4log
)2x(
)2x(
9 .
A) ,2 B) R+
1,2 C) D) 3,2 E) ,3
Solución:
S.C
11xlog
2enemplazandoRe
1a
01a
01a2a
a
1
2a
:1enemplazandoRe
2........a1xlogSea
1.........xlog21xlog
xlog4
1x
1
log
xlog4
1x
1
log
xlog3
1x
1
log
x
2
2
x
)1x(x
)1x(x
)1x(
3log
x
)1x(
4log
x
2
1
9
9
Clave: C
4. Si log 2 = m y log 3 = n , hallar 15log6
.
A) m B) n C) m – n D)
nm
1nm
E)
nm
1mn
Solución:
nm
nm1
3log2log
3log2log10log
3log2log
3log
2
10
log
3log2log
3log5log
6log
15log
15log
6
Clave: E
5. Si x > 1 , hallar el conjunto solución de la inecuación 2)6x(log
x
.
A) 3,1 B) ,1 C) 3,1 D) ,3 E) ,3

Solución:
,3x
iiiyii,i:ciónsecerint)iv
,32,x
02x3x
06xx
x6x
26xlog)iii
,6x
06x)ii
,1x
1x)i
2
2
x
3
,3S.C Clave: D
6. Hallar la suma de los cuadrados de los elementos del conjunto solución de la
inecuación 2
2
2
2
xlog)1x2(log .
A) 2 B) 5 C) 6 D) 13 E) 14
Solución:
211soluciónconjuntodel
eleentoslosdecuadradoslosdeSuma
1,1S.C
1x1x
1x
01x
01x2x
x1x2
xlog1x2log
xlog1x2log
22
2
2
24
42
4
2
2
2
22
2
2
2
2
2
Clave: A
7. Si b,a es el conjunto solución de la inecuación
2
9
1
2
3
1
1xlog1xx2log y ( x > –1 ), hallar .)b2(loga
A) 1 B) – 1 C) 0 D) 2 E) 3

Solución:
01x)ii
,
2
1
1,x
01x1x2
01xx2)i
2
2
x R 1
1)b2(log
1b,
2
1
a
1,
2
1
S.C
)iiiy)ii,)i:ciónsecerint)iv
1,1x
01x1x2
02x2
1x1xx2
1xlog1xx2log
1xlog1xx2log)iii
a
2
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1 2
Clave: B
8. Hallar la suma de los elementos enteros del conjunto solución de la
inecuación
x21x4x
2
1
2
2
2
1
2
.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9
Solución:
2x4x4x
x42x4x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

02x3x
06x5x
2x4x4x
2
2
+ – +
2 3
C.S = 3,2
la suma de los elementos enteros del conjunto solución = 5
Clave: C
9. Al resolver la ecuación 02eex2xexe xx2xx2
, hallar la suma de las
soluciones.
A) 2 B) ln( 2e) C) ln2 D) 1 E) ln( 3e)
Solución:
e2ln
eln2lnsolucionesdeSuma
lne,ln2CS
1x1e2e
01x1e2e
01x2ee
01x21xe1xe
02eex2xexe
xx
xx
xx2
xx2
xx2xx2
Clave: B
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Si a y b son las soluciones de la ecuación 234
)3x(
Lne)3x10x4x(log ,
hallar .)ba( 2
A) 0 B) 1 C)4 D)9 E) 16
Solución:

3x4x
4x0x
012x16xx4x
9x6x3x10x4x
3x3x10x4x
2
2
234
234
234
1112ba
1,2S.C
1x3x2x2x
01x3x2x2x
222
Clave: B
2. Si (a + 4) es solución de la ecuación
49log)7x4x(log x
2
x 57 , hallar 1a2
.
A) 1 B) 2 C)5 D) 10 E) 17
Solución:
171a
4a
84a
8S.C
4x8x
04x8x
032x4x
257x4x
25log7x4xlog
5log27x4xlog
)7(7
497
2
2
2
x
2
x
x
2
5log2
7x4xlog
5log7x4xlog
x
2
x
2
x
x
x
Clave: E

3. Hallar la solución de la ecuación
100log495
2
x
log32logxlog
2log4log
2
3 725 .
A) 8 B) 5 C) 4 D) 7 E) 6
Solución:
8S.C
8x0x
08xx
x8x
4
x
32
x
2
x
32
x
242
2
x
log
32
x
log
10log74
2
x
log
32
x
log
2
23
23
23
23
22log25log
23
725
Clave: A
4. Si log 3 = n y log 5 = m , hallar 225log30
.
A)
n
nm
B)
1n
nm
C)
1n
)nm(2
D)
nm
1n
E)
1n
)nm(2
Solución:
1n
nm2
10log3log
3log25log2
103log
9log25log
30log
925log
225log30
Clave: C
5. Si b,a es el conjunto solución de la inecuación 1)12x3(log
2x2
, hallar la
diferencia positiva de las soluciones enteras de la inecuación
aaxxbx2
1x1x
2
.

A)1 B)2 C)3 D)4 E) 5
Solución:
)iiy)idotansecerint
5,2x
02x5x
010x3x
2x12x3)ii
,4x
4x
012x3)i
2
2
02x1x2
02x3x2
2x2x5x2
1x1x
5b
2aemplazandoRe
1x1x)iii
5b
2a
5,2S.C
2
2
2x2x5x2
aaxbxx2
2
2
+ - +
2
1
2
Soluciones enteras = 1,2
Diferencia positiva de las soluciones enteras = 1
Clave: A
6. Hallar la suma de los cuadrados de los elementos enteros del conjunto
solución de la inecuación )1x(log1)1x3x2(log
)1x(
2
)1x( 22
.
A) 1 B) 5 C) 10 D) 13 E)14

Solución:
521solucionconjuntodel
enteroselementoslosdecuadradoslosdeSuma
2,1enterasSoluciones
2,0S.C
)ivy)iii,)ii,)iciónsecerint
2,01,x
01x2xx
1xxx1x3x2
1x1x1x3x2)iv
0x
11x)iii
,1x
1x
01x)ii
,
2
1
1,x
01x1x2
01x3x2)i
22
232
22
2
2
Clave: B
7. Si 1b,1a es el conjunto solución de la inecuación
1xlog3xlog
2
2
2
1
, hallar a
b
1
blog .
A)
4
1
B)
2
1
C) 1 D) 2 E) 4
Solución:
1,2x
01x2x
02xx
1x2x3x
1xlog3xlog)i
2
2
2
2
1
2
1

22log
2b2a
11b11a
1,1S.C
)iiiy)ii,)iciónsecerint
,1x
01x)iii
,3x
03x)ii
2
2 1
Clave: D
8. Hallar la suma de los dos menores elementos enteros positivos del conjunto
solución de la inecuacion 26x
1x
2
4x
e
e
1
e
1
2
.
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
Solución:
03x4x
28xx24x
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
2
26x2x24x
26x2x24x
2
2
+ – +
– 3 4
C.S = ,43,
Suma de los dos menores elementos enteros positivos
del conjunto solución = 4+5 = 9
Clave: D
9. Al resolver la ecuación 024e48e3e8e16e x2x2xxx3
, hallar la suma
de las soluciones.
A) ln2 B) ln3 C) ln6 D) ln12 E) ln16
Solución:

A
B
C
x
y
O
A
B
C
x
y
O
2
3 2
3
3ln,2lnS.C
2e2e3e
0e4e3e
0e168e3e
xxx
2xxx
x2x2x
Clave: C
Geometría
1. En la figura, se tiene A(0,2) y B(3,0). Si AB = BC, halle las coordenadas del punto C.
A) (4,3)
B) (5,3)
C) (6,3)
D) (6,4)
E) (7,5)
Solución:
AOB BDC
BD = 2 y CD = 3
C(5,3)
Clave: B
2. Un punto P equidista de los puntos A(2,3), B(4,–1) y C(5,2). Halle las coordenadas
de P.
A) (4,1) B) (2,3) C) (3,2) D) (–3,–1) E) (3,1)
Solución:
d1 = 19 = 10
d2 = 91 = 10
d3 = 19 = 10
ACB es rectángulo
P es circuncentro
P(3,1)
Clave: E

3. Los puntos A(3,1), B(5,7), C(8,9) y D son los vértices de un paralelogramo. Halle las
coordenadas del punto D.
A) (4,8) B) (3,6) C) (6,3) D) (8,4) E) (6,4)
Solución:
M = 5,
2
11
=
2
7b
,
2
5a
a + 5 = 11 a = 6
b + 7 = 10 b = 3
D = (6,3)
Clave: C
4. En la figura, se tiene A(– 2,3) y B(7,6). Si QB = 3AQ, halle la ecuación general de la
recta L.
A) 4x – 9y – 7 = 0
B) 3x – 9y + 4 = 0
C) 2x – 6y – 9 = 0
D) 3x – 5y + 10 = 0
E) 6x + 2y – 9 = 0
Solución:
Coord. De Q.
Q =
4
1633
,
4
732
Q =
4
15
,
4
1
mAB =
27
36
=
3
1
mL = –3
4
1
x
4
15
y
= – 3 6x + 2y – 9 = 0
Clave: E

45º
0
A
B
M
Y
X
5. En la figura, se tiene A(4,a) y B(2a,9). Si M es punto medio de AB, halle la
pendiente de L.
A)
2
1
B)
3
2
C)
2
3
D)
3
1
E)
4
3
Solución:
mL =
4a2
a9
M =
2
9a
,
2
a24
4 + 2a = a + 9 a = 5
mL =
6
4
=
3
2
Clave: B
6. Halle la ecuación general de una recta que pasa por el punto (2,3) y es perpendicular
a la recta 3x + 4y + 7 = 0.
A) 4x + 3y + 1 = 0 B) 3x – 4y + 1 = 0 C) 4x – 3y + 3 =
0
D) 4x – 3y + 1 = 0 E) 4x + 3y – 1 = 0
Solución:
mL = –
4
3
mL
x
=
3
4
mL
x
=
2x
3y
=
3
4
3y – 9 = 4x – 8
4x – 3y + 1 = 0
Clave: D
7. Halle la medida del ángulo agudo que determinan las rectas L1 y L2.
L1: 3x – 4y + 6 = 0
L2: 24x – 7y – 177 = 0
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°

Solución:
tg =
4
3
·
7
24
1
4
3
7
24
tg =
4
3
= 37°
Clave: B
8. En la figura, se tiene A(–2,1) , B(1,5) y C(3,2). Halle BH en metros.
A)
26
2617
B)
9
319
C)
5
157
D)
2
57
E)
12
617
Solución:
Ec. de AC
_____________________
mAC =
2x
1y
=
5
1
5y – 5 = x + 2
x – 5y + 7 = 0
Distancia
BH =
26
7251
BH =
26
2617
Clave: A
9. Halle la distancia en metros entre las rectas L1 y L2.
L1 : 3x + 5y – 11 = 0
L2 : 6x + 10y – 5 = 0
A) m34 B) m
8
34
C) m
4
34
D) m
2
34
E) m
6
34

Solución:
Distancia d
d =
22
53
2
5
11
d = m
4
34
Clave: C
10. El área de una región triangular ABC es 16 m2
, A(1,4) y B(7,–1). Si el lado BC es
paralelo a la recta L : x – 2y – 32 = 0, halle las coordenadas del vértice C.
A) (3,3) B) (3,–1) C) (1,–3) D) (11,1) E) (1,11)
Solución:
A =
2
4b1a
56
= 16
6b + 5a = 61 . . . (I)
mL = mBC
2
1
=
7a
1b
a = 2b + 9 . . . (II)
De (I) y (II)
a = 11 y b = 1
C(11,1)
Clave: D
11. Halle el área del círculo en metros cuadrados, cuya circunferencia correspondiente
tiene por ecuación:
x2
+ y2
– 4x + 6y – 3 = 0
A) 12 m2
B) 16 m2
C) 15 m2
D) 14 m2
E) 9 m2
Solución:
x2
+ y2
– 4x + 6y – 3 = 0
x2
– 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 16
(x – 2)2
+ (y + 3)2
= 42
r = 4
A = 16
Clave: B
12. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene
su centro en el punto común de las rectas L1 : x + 3y – 6 = 0 y L2 : x – 2y – 1 = 0.

A) x2
+ y2
= 10 B) (x – 1)2
+ (y – 3)2
= 10
C) (x – 3)2
+ (y – 1)2
= 10 D) x2
+ y2
= 5
E) x2
+ y2
= 10
Solución:
)(
01y2x
06y3x
3x1y
05y5
Ec. C :
(x – 3)2
+ (y – 1)2
= 10
Clave: C
13. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje Y, la cual pasa por
los puntos A( 0,62 ) y B(3, 5).
A) x2
+ (y + 1)2
= 25 B) x2
+ (y – 1)2
= 25 C) x2
+ (y – 2)2
=
25 D) x2
+ (y + 2)2
= 25 E) x2
+ (y – 5)2
= 16
Solución:
r2
= 9 + (5 – a)2
= 24 + a2
9 + 25 + a2
– 10a = 24 + a2
10a = 10 a = 1
x2
+ (y – 1)2
= 25
Clave: B
14. La circunferencia C pasa por el punto A(3,5) y la recta L : 3x + y + 2 = 0 es tangente
a C en el punto B(–1,1). Halle las coordenadas del centro C.
A) C(2,–2) B) C(–2,2) C) C(2,2) D) C(–2,–2) E) C(3,2)
Solución:
BC
m · mL = – 1
1a
1b
=
3
1
a = 3b – 4 . . . (I)
r2
= (a + 1)2
+ (b – 1)2
= (a – 3)2
+ (b – 5)2
a + b = 4 . . . (II)
a = 2 y b = 2
C = (2,2)
Clave: C
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 16

1. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(–3,–1), B(–1,5) y C(5,3).
Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice B y es paralelo al lado AC .
A) 2x – 3y – 10 = 0 B) x – 3y + 12 = 0 C) x – 2y + 11 =
0
D) x – 4y + 13 = 0 E) 2x – 5y + 14 = 0
Solución:
mL = mAC =
8
4
=
2
1
mL =
1x
5y
=
2
1
x + 1 = 2y – 10
x – 2y + 11 = 0
Clave: C
2. Una recta L pasa por el punto (4,3) y es perpendicular a la recta que pasa por los
puntos A(0, –3) y B(6,1). Halle la ecuación de la recta L.
A) 3x + 2y – 20 = 0 B) 3x + y – 5 = 0 C) 3x +2y – 18 = 0
D) x – 3y + 4 = 0 E) x + 3y – 18 = 0
Solución:
mAB =
6
4
=
3
2
mL = –
2
3
mL =
4x
3y
= –
2
3
x + 1 = 2y – 10
x – 2y + 11 = 0
Clave: C
3. El punto C(3,–1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta
L : 2x – 5y + 18 = 0 determinando una cuerda cuya longitud es 6 m. Halle la longitud
del radio.
A) 29 m B) 19 m C) 38 m D) 2 19 m E) 2 38 m
Solución:

Distancia (d)
d =
22
52
18)1(5)3(2
= 29
R2
= d2
+ 9
R = 38
Clave: C
4. Dados los puntos A(–3,2) y B(5,8), halle la ecuación de la circunferencia tal que
AB sea uno de sus diámetros.
A) (x + 1)2
+ (y – 5)2
= 25 B) (x – 1)2
+ (y – 5)2
= 25
C) (x – 1)2
+ (y – 5)2
= 5 D) x2
+ y2
= 25
E) (x – 1)2
+ (y + 5)2
= 25
Solución:
d = 22
68 = 10 = 2r
r = 5
O = (1, 5)
(x – 1)2
+ (y – 5)2
= 25
Clave: B
5. La recta L : 3x – y + 2 = 0 es tangente a una circunferencia cuyo centro está en el
origen de coordenadas. Halle la ecuación de la circunferencia.
A)
25
4
yx
22
B)
5
2
yx
22
C)
25
1
yx
22
D)
25
9
yx
22
E)
5
3
yx
22
Solución:
r =
10
20)0(3
=
10
2
x2
+ y2
=
5
2
Clave: B

6. Halle el área de un círculo en metros cuadrados, cuya circunferencia es concéntrica
con otra que tiene por ecuación C : x2
+ y2
– 6x + 10y – 2 = 0 y cuyo radio mide la
tercera parte de la longitud del radio de C.
A) 4 m2
B) 6 m2
C) 2 m2
D) 9 m2
E) 8 m2
Solución:
C : x2
+ y2
– 6x + 10y – 2 = 0
x2
– 6x + 9 + y2
+ 10y + 25 = 36
(x – 3)2
+ (y + 5)2
= 62
r =
3
6
= 2
A = 4
Clave: A
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 16
1. Si [a, b] es el rango de la función real f definida por f(x) = sen2x - cos2x , 0 x
π
2
,
calcule a2
+ b2
- 1.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solución:
Como 0 x
2
1
sen 2x 1
42
1 2sen 2x 2
4
1 f(x) 2 a 1 b 2
2 2
a b 1 2
Clave: C
2. Halle el periodo de la función real f definida por f(x) = cos8x + sen5x.
A)
π
8
B)
π2
5
C) D)
π2
15
E) 2
Solución:

1 1cos8 x T cos 8x 8T cos8x 1T , ,...,2 ,..
4 2
2 2sen5 x T sen 5x 5T sen5x 2
2 4
T , ,...,2 ,..
5 5
T 2
Clave:E
3. Si el rango de la función real f definida por f(x) = 1 – 2cos senx
4
es [a, b],
halle (1 2 )b + a.
A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 3
Solución:
Como 1 senx 1 senx
4 4 4
2
cos senx 1
2 4
2 2cos senx 2
4
1 f(x) 1 2 a 1 b 1 2
(1 2)b a 2
Clave:A
4. Halle el rango de la función real f definida por f(x) = 5 – cos4x - 4sen2
2x.
A) 4,6 B) 2, 2 C) 1,1 D) 2, 4 E) 1, 5
Solución:
Tenemos 2
f(x) 5 cos4x 2(2sen 2x) 3 cos4x
Como 1 cosx 1 2 3 cos4x 4 Ranf 2,4
Clave:D
5. Halle el dominio de la función real f definida por f(x) =
tgx
1
+
1
senx
.
A) R – Zk/k B) R – Zk/
2
k
C) R – Zk/k2
D) R – Zk/)1k2( E) R – Zk/
3
k
Solución:

Tenemos
x
cos
1 1 cosx 1 x2f(x) ctg
xtgx senx senx 2sen
2
x k
2
Domf=
k
R – / k Z
2
Clave: B
6. Halle el dominio de la función real f definida por f(x) =
cosx sen7x cos3x
+
x x
sen cos
2 2
.
A) R – Zk/k B) R – Zk/
2
k
C) R – Zk/k2
D) R – Zk/)1k2( E) R – Zk/
3
k
Solución:
x x
2(cosxcos +sen sen7xcos3x)
cosx sen7x cos3x 2 2f(x) + =
x x x x
sen cos 2sen cos
2 2 2 2
senx 0 x k ,k Z Dom f R k / k Z
Clave: A
7. Halle el rango de la función real f definida por f(x) = tg(2x+
π
6
), x
π π π π
, ,
12 6 6 2
.
A)
3
- , 2 , 2 3
3
B) - , 3 C)
3
- , 3 , +
3
D) - , - 3 2 , + E) - , -1 3 , +
Solución:

π π π π π π π π π π
, , , , , ,
12 6 6 2
7
x 2x 2x
6 3 3 6 3 2 2 6
3
tg 2x , 3,
6 3
Ran f
3
, 3,
3
Clave: C
8. Halle el rango de la función real f definida por f(x) =
senx + 1
senx - 2
.
A) ,-13 B) -2, 0 C) -3, 1 D) -2, 1 E) 2, 0
Solución:
Tenemos
senx + 1 3
f(x) 1
senx - 2 senx 2
Como 1 senx 1 3 senx 2 1
1 1
1
senx 2 3
3
3 1
senx 2
2 f(x) 0
Ran f = 2,0
Clave: E
9. Determine el dominio de la función real f definida por f(x) = 2cos 1x +
cos x , si Dom(f) π0,2
.
A)
3π
π,
4
B)
5π 3π
,
46
C)
5π 7π
,
6 6
D)
2π 4π
,
3 3
E)
2
,
3
Solución:
Tenemos 2cosx 1 0 cosx 0 1 2cosx 0 cosx
1
1 cosx
2
Dom f=
2 4
,
3 3

Clave: D
10. Halle el rango de la función real f definida por f(x) =1-senx- cos2
x.
A) 1, 1 B) ,
1
2
4
C) ,
1
2
4
D) ,
1
2
4
E) ,
1
2
4
Solución:
Tenemos
2
2 1 1
f(x) senx sen x senx
2 4
Como 1 senx 1
3 1 1
senx
2 2 2
2
1 9
0 senx
2 4
2
1 1 1
senx 2
4 2 4
Clave: C
EVALUACIÓN Nº 16
1. Si T es el periodo de la función real f definida por f(x)= cos3
10x - sen20
5x ,halle el
rango de la función real g definida por g(x)=cos(
5
4
Tsenx).
A)
2
, 1
2
B)
2
0,
2
C)
3 3
,
2 2
D) 0, 1 E)
1
0,
2
Solución:
Tenemos T=
5
entonces Tsenx
5 5
5
Tsenx
4 4 4
2
f(x) 1
2
Clave: A
2. Halle el periodo de la función real f definida por f(x) =2 sen2x + 5 .

A) 2 B) π C)
π
2
D)
π
3
E)
4
Solución:
f(x T) f(x) 2 sen2(x T) 5 2 sen2x 5 sen2x 2T sen2x
sen(2x 2T) sen2x T
2
Clave: C
3. Halle el mínimo valor de función real f definida por f(x) = cos2
2x + 3cos2x + 7, x
π 4π
,
4 6
.
.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Solución:
Tenemos
2
3 19
f(x) cos2x
2 4
Como
4
x
4 6
1 cos2x 0
1 3 3
cos2x
2 2 2
2
1 3 9
cos2x
4 2 4
2
3 19
5 cos2x 7
2 4
Clave: C
4. Determine el dominio de la función real f definida por f(x) = 2
cos5 1
1
x
x
.
A) Zk/k B)
2kπ
5
/ k Z C) Zk/k2
D)
π(2k 1)
/ k Z
5
E)
k
/ k Z
5
Solución:
cos5x 1 0 cos5x 1

cos5x 1
k
x ,k Z
5
Clave: E
5. Sea f una función real definida por f(x) = ( 6 2) sen x + ( 6 2) cos x
,
π
12
x
7π
12
. Si el rango de f es a,b ,halle 2
a b .
A) 2 7 B) 4 3 C) 2 3 D) 8 E) 4
Solución:
Tenemos f(x) 4sen(x 15)
Como
7
x
12 12
2
x
6 12 3
1
sen x 1
2 12
2 f(x) 4
2
a 2 b 4 a b 8
Clave: D
Lenguaje
1. Marque la opción que presenta el enunciado conceptualmente correcto.
A) Toda proposición subordinada se caracteriza por ser independiente.
B) La subordinada sustantiva no puede desempeñar múltiples funciones.
C) La proposición subordinada sustantiva solo funciona como sujeto.
D) Las proposiciones subordinadas de sujeto solo presentan verbo conjugado.
E) La subordinada sustantiva cumple la función del sustantivo.
Clave: E. Toda proposición que cumple la función de sustantivo es clasificada como
subordinada sustantiva.
2. Señale la alternativa que contiene proposición subordinada.
A) Podemos aprender de los errores o equivocaciones cometidos.
B) Las causas que produjeron el accidente aún son investigadas. *
C) Nosotros bailamos que bailamos muy alegres toda esa noche.
D) Habremos de festejar aquel evento importante de nuestras vidas.
E) Invitaron a pocos, sin embargo, llegó una gran cantidad de gente.
Clave: B. En dicha oración, la proposición que produjeron el accidente es
subordinada adjetiva.

3. Identifique la opción que contiene proposición subordinada en función de
objeto directo.
A) Me sorprendió que Julio no le dijera la verdad.
B) Recordaré aquella fecha que es muy especial.
C) Nos complace que mañana vayas a visitarnos.
D) Siempre compra artefactos que están en oferta.
E) Lisa piensa contratar nuevo personal de apoyo. *
Clave: E. La proposición subordinada sustantiva contratar nuevo personal de apoyo
está en función de objeto directo.
4. En el enunciado «cada día, ella me repite: “Este será un buen año para ti y para
mí”», la proposición subrayada es clasificada como
A) coordinada yuxtapuesta. B) subordinada sustantiva de OD. *
C) coordinada conjuntiva. D) subordinada sustantiva de sujeto.
E) subordinada sustantiva de atributo.
Clave: B. La proposición ―este será un buen año para ti y para mí‖ es subordinada
sustantiva en función de objeto directo.
5. Marque la opción donde hay proposición subordinada sustantiva.
A) El vehículo rojo que compraron es nuevo.
B) Apenas supo la noticia, saltó de felicidad.
C) No olvidemos qué sucedió en el pasado. *
D) Álex nos prestará el libro que nos prometió.
E) Veremos la nueva película que estrenaron.
Clave: C. La proposición subordinada qué sucedió en el pasado es sustantiva y
funciona como el objeto directo de la oración.
6. En la oración “es muy importante que contraten buenos asesores para su
campaña”, la proposición subordinada sustantiva cumple la función de
A) sujeto. * B) objeto directo. C) atributo.
D) complemento de adjetivo. E) complemento de nombre.
Clave: A. La proposición subordinada que contraten buenos asesores para su
campaña cumple la función de sujeto de la oración.
7. Marque la alternativa donde hay proposición subordinada en función de objeto
directo.
A) Que Julio crea en sus mentiras es inadmisible.
B) Ha sido oportuno que tú y yo nos encontremos.
C) Ella le contaba el cuento que inventó hace poco.
D) Pronto sabremos quién será el nuevo presidente. *
E) Los voluntarios reunirán los fondos necesarios.
Clave: D. La proposición subordinada quién será el nuevo presidente cumple la
función de objeto directo de la oración.

8. Marque la alternativa donde se presenta proposición subordinada sustantiva
en función de atributo.
A) Será necesario que sigas los consejos brindados.
B) El objetivo de la fiesta será presentar el producto. *
C) Ahora ellos tienen que ser muy pacientes con él.
D) José es el médico que atiende a la familia Aquino.
E) Practicar deportes en el parque fue una gran idea.
Clave: B. La proposición subordinada en función de atributo de la oración es
presentar el producto.
9. En las oraciones compuestas “creer en fantasmas le causó un gran susto” y
“los ciudadanos no se arrepintieron de haberla elegido alcaldesa”, las
proposiciones subordinadas sustantivas subrayadas cumplen,
respectivamente, las funciones de
A) complemento de verbo y sujeto. B) objeto directo y sujeto.
C) sujeto y complemento de verbo. * D) sujeto y complemento de adjetivo.
E) atributo y objeto directo.
Clave: C. La proposición creer en fantasmas es subordinada sustantiva y funciona
como el sujeto de la oración; mientras que la proposición subordinada sustantiva de
haberla elegido alcaldesa funciona como complemento del verbo arrepintieron.
10. Reconozca la función que cumple cada proposición subordinada sustantiva en
las siguientes oraciones.
A) Es importante que comprendan todo lo leído. ________________
B) La noticia de que había vuelto alegró a todos. ________________
C) Dijeron ser los representantes de aquella artista. ________________
D) Él siempre evita consumir leche y sus derivados. ________________
E) Confía en que pronto logrará todas sus metas. ________________
F) La propuesta es que investiguen las obras realizadas. ________________
G) Estamos alegres de que consiguieras el ascenso. ________________
H) Era abrumador que todos preguntaran a la vez. ________________
Clave: A) Sujeto, B) complemento de nombre, C) OD, D) OD, E) complemento de
verbo, F) atributo, G) complemento de adjetivo, H) sujeto
11. Indique la opción que contiene proposición subordinada.
A) Los candidatos tienen que ser los idóneos.
B) Aquella mujer tejía y destejía las mantas.
C) La idea de Juan ha sido la mejor de todas.
D) Nuestro deseo es que seas muy feliz, Anita. *
E) Empezaron tarde, pero terminaron temprano.
Clave: D. En la oración, se presenta la proposición subordinada que seasmuy feliz,
que cumple la función de atributo de la oración.
12. Señale la opción donde se presenta proposición subordinada sustantiva.

A) El practicar todos los días le ayudó mucho.
B) Aquel verano habría sido el más caluroso.
C) Les entregaron el examen que rindieron.
D) Bebió el yogur que le trajeron de Arequipa.
E) Será necesario que tomes esa decisión. *
Clave: E. En la oración compuesta será necesario que tomes esa decisión, se
presenta la proposición subordinada sustantiva que tomes esa decisión, que cumple
la función del sujeto de la oración.
13. En el enunciado “la noticia de que su café era el mejor del mundo causó que
los habitantes de aquel pueblo sintieran mucho orgullo” se presentan,
respectivamente, proposiciones subordinadas sustantivas en función de
A) complemento de nombre y OD. *
B) sujeto y objeto directo.
C) sujeto y complemento de verbo.
D) complemento de nombre y atributo.
E) complemento de nombre y complemento de adjetivo.
Clave: A. La proposición subordinada sustantiva de que su café era el mejor del
mundo cumple la función de complemento del nombre noticia, y la proposición que
los habitantes de aquel pueblo sintieran mucho orgullo cumple la función de OD de
la oración.
14. Indique la alternativa donde hay proposición subordinada sustantiva en
función de sujeto.
A) El debate que se realizó ayer duró tres horas.
B) El sueño que tuvimos lo estamos cumpliendo.
C) Es primordial practicar deportes diariamente. *
D) La película que vi recibió buenos comentarios.
E) La voz que tú oyes es la voz de tu conciencia.
Clave: C. En la oración es primordial practicar deportes diariamente, la proposición
que funciona como sujeto es practicar deportes diariamente.
15. En la oración compuesta “queremos que cumplan sus promesas”, la
proposición subrayada es subordinada sustantiva en función de
A) sujeto. B) atributo.
C) complemento de nombre. D) complemento de verbo.
E) objeto directo. *
Clave: E. La proposición subrayada cumple la función de objeto directo de la
oración.
16. Marque la alternativa que contiene, respectivamente, proposiciones
subordinadas sustantivas, una en función de sujeto y otra en función de
atributo.

A) Lo mejor será estudiar hoy. B) Recordar es vivir otra vez. *
C) Tus aportes son buenos. D) Fumar es dañino para ti.
E) Escribir es su pasatiempo.
Clave: B. La oración presenta las proposiciones subordinadas sustantivas de sujeto:
recordar, y de atributo: vivir otra vez.
17. La proposición subrayada de la oración “nos dio la noticia de que vendrías”
funciona como
A) sujeto. B) atributo. C) objeto directo.
D) complemento de nombre. * E) complemento de adjetivo.
Clave: D. La proposición funciona como complemento del nombre o sustantivo
noticia.
18. En las oraciones compuestas “es injusto que hayamos perdido el partido” y
“tuvieron que aceptar que eran los responsables”, las proposiciones
subordinadas subrayadas cumplen, respectivamente, las funciones de
A) sujeto y objeto directo. * B) sujeto y atributo.
C) atributo y objeto directo. D) sujeto y complemento de nombre.
E) objeto directo y complemento de verbo.
Clave: A. Las proposiciones subrayadas cumplen, respectivamente, las funciones
de sujeto y objeto directo de la oración.
19. Indique la oración que presenta proposición subordinada en función de
complemento de nombre.
A) Felipe sabe producir germinados caseros.
B) Tal vez ya sea la hora de cambiar de auto. *
C) Se olvidó de que debía tramitar su DNI hoy.
D) ¿Te incomoda que fumen cerca de ti, Álex?
E) Estuvieron atentos a todo lo que decía ella.
Clave: B. La proposición de cambiar de auto actúa como complemento del
sustantivo hora.
20. Marque la oración que presenta proposición subordinada en función de
complemento de adjetivo.
A) Todos los simpatizantes querían que su equipo gane hoy.
B) Hoy me acordé de que debía devolverte los poemarios.
C) ¿Te alegra que tu nuevo vecino sea un artista conocido?
D) Me entusiasma la idea de abrir pronto un nuevo negocio.
E) Esos docentes estaban animados de trabajar en equipo. *
Clave: E. La proposición de trabajar en equipo es el complemento del adjetivo
animados.

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