Cuadernillo de ejercicios para la unidad 1

1. MATEMATICAS IV – CALCULO DIFERENCIAL
UNIDAD 1
OBJETIVO: Que el estudiante aplique conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de distintos
contextos (social, natural, científico y tecnológico, entre otros)..
INDICE PRE-CALCULO:
 Antecedentes del Calculo Diferencial
 Los números reales y su clasificación
 Intervalos: clasificación, notación y propiedades
 Desigualdades
 Videos y páginas web recomendados para esta unidad
 Anexos
 Bibliografía
1

2. UNIDAD I – PRECALCULO
La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras e incluso algunos historiadores la
definen como “piedra en el zapato”. Desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del
cálculo, o de las matemáticas. Sus orígenes se remontan a unos 2,500 años por lo menos, hasta los antiguos
griegos, quienes hallaron áreas aplicando el "método de agotamiento".
El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la
historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron
en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe,
indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante conocer el
desarrollo de todos estos conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar
lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva
idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado
actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento.
TAREA No. 1 :
LOS ANTECEDENTES HISTORICOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
1era parte: Realizar un resumen en Word de los antecedentes del cálculo diferencial.
El resumen debe tener un mínimo de dos a un máximo de cinco cuartillas (incluyendo
portada), su bibliografía correspondiente e interlineado sencillo.
2da parte: Crear un cuadro sinóptico del mismo en una cartulina para exponerlo en clase
(Rubrica de cómo será evaluada esta tarea se encuentra en la parte de Anexos de este cuadernillo)
FUENTES DE APOYO
Conamat (2009), Cálculo diferencial Primera edición, México: Editorial Pearson.
El descubrimiento del Calculo: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo.pdf
Antilogía del Cálculo, CECYTEC:
http://www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/antologia_de_calculo.pdf
LOS NUMEROS REALES SE CLASIFICAN EN:
ENTEROS
POSITIVOS
NEGATIVOS
RACIONALES
IRRACIONALES
REALES = R FRACCIONARIOS
NUMERICAS O ABSOLUTAS
CONSTANTES
ARBITRARIAS O PARAMETROS
VARIABLES INDEPENDIENTE O ARGUMENTO
DEPENDIENTE O FUNCION
2

3. REALES: son todos los números que podemos representar en la recta numérica y pueden ser:
TAREA No. 2 INVESTIGUE LA DEFINICION DE LO SIGUIENTE:
NUMEROS ENTEROS:
LOS NÚMEROS POSITIVOS
LOS NÚMEROS NEGATIVOS
NÚMEROS RACIONALES:
NÚMERO IRRACIONAL
FRACCIONARIOS:
CONSTANTES Y VARIABLES
CONSTANTES
En las expresiones
2
bh
A = y A= π 2
r Los numero 2 y π son constantes ya que nunca cambian. Por
eso cada una se llama CONSTANTE ABSOLUTA y se le designa con números.
En la ecuación de la recta y = mx+b las constantes son las letras m y b, a las cuales se les asigna valores
que permanecen durante la solución de un problema especifico y se les conoce como
CONSTANTES ARBITRARIAS O PARAMETROS
VARIABLES
En las expresiones:
2
rA Π= a las literales A y r se les llama variables
34x + 2y + 4 a las literales x y y se les llama variables
Si los valores de una variable , por ejemplo de y, depende de los de otra, por ejemplo de x.
Una vez realizadas las operaciones que se indiquen, si a cada valor asignado a x le corresponde una o
mas y, decimos entonces que hay una relación entre x y y.
A la variable x se le llama VARIABLE INDEPENDIENTE y a la variable y se le llama VARIABLE
DEPENDEIENTE
3

4. EJERCICIO Clasifica los números:
Ejemplo: -6, número real, negativo, entero y racional
Definición de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre dos NUMEROS
dados, o un número dado y el “infinito”
NOTA: A los números dados se les denomina extremos del intervalo
En este caso a y b que son los extremos del intervalo.
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que
a y menores o iguales que b.
El intervalo cerrado INCLUYE a los extremos
[a, b] = a ≤ x ≤ b o bien b ≥ x ≥ a
a=numero menor b = numero mayor en una recta numérica
Ejemplo con números reales:
[-1, 3] = -1 ≤ X ≤ 3 O BIEN [-1, 3] = 3 ≥ X ≥
4

5. EJERCICIOS:
1. [0, 7]
2.
3. 5 ≥ X ≥ -2
4. [-11, -3]
5. [1, 8]
6. 2 ≤ X ≤ 4
5

6. Intervalo abierto
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y
menores que b.
El Intervalo abierto NO INCLUYE a los extremos
(a, b) = a < x < b o bien b > x > a
a=numero menor b = numero mayor en una recta numérica
EJEMPLO CON NUMEROS REALES
(-1, 3) = -1 < X < 3 O BIEN (-1, 3) = 3 > X >
EJERCICIOS:
1. (0,5)
2. -3<X<4
3. 5>X>2
4.
6

7. EJERCICIOS
1. (-1,4)
2. [-1, 5]
3. -2<X<3
4. 3 ≥ X ≥ -6
5. [0, 8]
6. 3 ≤ X ≤ 7
7. 5>X> 0
7

8. Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda , (a, b], es el conjunto de todos los números reales
mayores que a y menores o iguales que b .
El valor de a no esta incluido en el intervalo el de b si pues es cerrado
(a, b] = a < x ≤ b o bien b ≥ x > a
CON NUMEROS REALES (2, 5]
2<X≤5 O BIEN 5≥ X > 2
EJERCICIOS
1. (-1, 6]
2. -1<X≤4
3. 8 ≥ X > 3
4.
8

9. Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha , [a, b), es el conjunto de todos los números reales
mayores o iguales que a y menores que b .
El valor de a SI esta incluido en el intervalo el de b no
[a, b) = a ≤ x < b o bien b > x ≥ a
CON NUMEROS REALES [2, 5)
2≤X<5 O BIEN 5> X ≥ 2
EJERCICIOS
1. [-4, -1)
2. -7≤X<0
3. 7>X ≥ -1
4.
9

10. TAREA 3
1. [-3, 2)
2. -2<X≤3
3. 0≤X<4
4. 8 ≥ X > 2
5. 6>X ≥ -2
6.
7. (-7, 6]
8.
10

11. Intervalo infinito abierto no contiene a su extremo izquierdo
Intervalo infinito abierto (a,+∞) no contiene a su extremo izquierdo, pero se extiende
indefinidamente a su derecha.
Los extremos NO están incluidos en el intervalo NOTA: EL INFINITO SIEMPRE VA A
SER INTERVALO ABIERTO
(a, +∞) = a < x o bien x > a
CON NUMEROS REALES ( 2, ∞ )
2 < X o bien X > 2
EJERCICIO
1. (-1, ∞ )
2. 3 < X
3. X > - 5
4.
11

12. Intervalo infinito abierto no contiene a su extremo derecho
Intervalo infinito abierto (-∞, b) no contiene a su extremo derecho, pero se extiende
indefinidamente a su derecha.
Los extremos NO están incluidos en el intervalo
(-∞, b) = x < b o bien b > x
CON NUMEROS REALES (- ∞, 2 )
X < 2 o bien 2 > X
EJERCICIO
1. (- ∞, -3 )
2. X<-1
3. 3 > X
4.
TAREA 4
12

13. 1. (- ∞, 9 )
2. - 6 < X
3.
4. X< -6
5. 7 > X
6. (9 , ∞ )
7. X > - 8
8.
Intervalo infinito cerrado que contiene a su extremo izquierdo “a”
13

14. Intervalo infinito cerrado [a,+∞) que contiene a su extremo izquierdo “a”, pero se
extiende indefinidamente a su derecha.
El extremo a Si esta incluido mientras que el infinito No
[a, +∞) = a ≤ x o bien x ≥ a
CON NUMEROS REALES [2, ∞ )
2 ≤ X o bien X ≥ 2
EJERCICIO
1. [-6, ∞ )
2. 9 ≤ X
3. X ≥ - 1
4.
Intervalo infinito cerrado que contiene a su extremo derecho “b”
14

15. Intervalo infinito cerrado (-∞, b] que contiene a su extremo derecho “b”, pero se extiende
indefinidamente a su derecha.
El extremo de b si esta incluido el infinito negativo No
(-∞, b] = x ≤ b o bien b ≥ b
CON NUMEROS REALES (- ∞, 2 ]
X ≤ 2 o bien 2 ≥ X
EJERCICIO
1. (- ∞, 0 ]
2. X≤ -7
3. 2 ≥ X
4.
15

16. Intervalo infinito
Intervalo infinito (- ∞, + ∞) se puede considerar abierto o cerrado, ya que puede
contener o no contener a sus extremos a y b
Los extremos no están incluidos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos
intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.
EJERCICIOS
1. x < 1
2. x ≥ 1
3. x > 1
4. x ≤ 1
16

17. TAREA 5 :
1. (14, 65)
2. X<-13
3. [34, ∞)
4. 26 > X
5. [-1/2, 4]
6. 5≥ X > 0
17

18. EJERCICIO RESUELTO
SEAN A { X | -4 ≤ X < 1 }
B { X | -1 < X ≤ 4 }
C { X | 5 ≥ X > 2 }
1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO
A [ -4, 1) B ( -1, 4 ] C ( 2, 5 ]
2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C
3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC
[-4, 5] = -4 ≤ X ≤ 5 O BIEN 5 ≥ X > 4
4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C
A INTERSECCION CON B (-1, 1) = -1 < x < 1 = 1> x > -1
B INTERSECCION CON C (2, 4 ] = 2 < x ≤ 4 = 4 ≥ x > 2
5 ) ESCRIBIR LA UNION DE A + B - C
18

19. [ -4, 2 ) = -4 ≤ X < 2 = 2 > X ≥ 4
6) ESCRIBIR LA UNION DE A + C – B
[ -4, -1 ) = -4 ≤ X < 1 = 1 > X ≥ 4
[ 4, 5] = 4 ≤ X ≤ 5 = 5 ≥ X ≥ 4
EJERCICIOS
SEAN A { X | -2 ≤ X < 3 } , B { X | 0 < X ≤ 5 } Y C { X | 7 ≥ X > 1 }
1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO
2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C
3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC
19

20. 4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C
A INTERSECCION CON B
B INTERSECCION CON C
5 ) ESCRIBIR LA UNION DE AUB - C
6) ESCRIBIR LA UNION DE AUC – B
SEAN A { X | X ≤ -1 } , B { X | 3 > X ≥ -3 } Y C { X | 2 < X ≤ 4 }
1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO
2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C
3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC
20

21. 4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C
A INTERSECCION CON B
B INTERSECCION CON C
5 ) ESCRIBIR LA UNION DE A + B - C
6) ESCRIBIR LA UNION DE A + C – B
TAREA 6
SEAN A { X | X ≤ - 3} , B { X | 4 ≥ X > - 5 } Y C { X | X > 2 }
1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO
2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C
3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC
4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C
21

22. A INTERSECCION CON B
B INTERSECCION CON C
5 ) ESCRIBIR LA UNION DE A + B - C
6) ESCRIBIR LA UNION DE A + C – B
SEAN A { X | 2> X ≥ - 3} , B { X | 0 < X < 6 } Y C { X | 3 ≤ x }
1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO
2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C
3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC
4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C
A INTERSECCION CON B
B INTERSECCION CON C
22

23. 5 ) ESCRIBIR LA UNION DE AUB - C
6) ESCRIBIR LA UNION DE AUC – B
DESIGUALDADES
Las desigualdades se usan todo el tiempo en el mundo que nos rodea — sólo debemos saber dónde buscar. Encontrar la manera
de interpretar el lenguaje de las desigualdades es un paso importante para aprender a resolverlas en contextos cotidianos.
Escuchando el Lenguaje
Te encuentras con desigualdades matemáticas casi todos los días, pero tal vez no las notas porque te son familiares. Piensa
en las siguientes situaciones: Límites de velocidad en la autopista, pagos mínimos en las tarjetas de crédito, el número de
mensajes de texto que puedes enviar desde tu celular cada mes, el tiempo que te toma llegar a la escuela. Todas estas pueden
ser representadas como desigualdades matemáticas. Y, de hecho, usas pensamiento matemático cuando consideras éstas
situaciones cada día.
Situación Desigualdad Matemática
Límite de velocidad Velocidad legal en la autopista ≤ 65 millas por hora
Tarjeta de crédito Pago mensual≥ 10% de tu balance en el ciclo de tu factura
Mensajes de texto Número de mensajes permitido al mes ≤ 250
Tiempo de viaje Tiempo necesario para caminar hasta la escuela l ≥ 18 minutos
Considera el siguiente problema:
Un camión de 18 ruedas se detiene sobre una balanza antes de pasar un puente. El peso límite del puente es de
65,000 libras. La cabina del camión pesa 20,000 libras, y la caja del camión pesa 12,000 libras cuando está vacía. En
libras, ¿cuál es la carga que puede llevar el camión para que se le permita pasar el puente?
Este problema ofrece un límite superior — 65,000 libras — pero nos interesa encontrar todo el rango de posibilidades
para el peso de la carga. Podemos representar la situación usando la siguiente desigualdad, donde c es el peso (en
libras) de la carga del camión:
23

24. peso de
la
cabina
+
peso de la
caja
+
peso de
la carga
≤
peso
permitido
20,000 + 12,000 + c ≤ 65,000
Resolviendo c en la igualdad, encontramos que c ≤ 33,000. Esto significa que el peso de la carga en el
camión puede variar entre 0 y 33,000 libras y se le permitirá al camión cruzar el puente.
20,000 + 12,000 + c ≤ 65,000
20,000 + 12,000 + c – 32,000 ≤ 65,000 – 32,000
c ≤ 33,000
Entendiendo el Contexto
Cuando estás resolviendo o construyendo estas desigualdades, es importante saber qué símbolo de
desigualdad vas a usar. Mira las siguientes frases que te darán una pista:
Frase Desigualdad
“a es más que b” a > b
“a es por lo menos b” a ≥ b
“a es menos que b” a < b
“a es por lo menos b;”
o
“a no es más que b”
a ≤ b
Sin embargo, muchos problemas no usan precisamente las palabras "por lo menos" o "es menos que".
Entonces, ¿cómo saber qué símbolo usar en cierta situación?
La clave consiste en pensar en el contexto del problema, y relacionar el contexto a una de las situaciones
enlistadas en la tabla. El contexto se refiere a la situación cotidiana en la cual se desenvuelve el problema.
Por ejemplo, piensa de nuevo en el problema del camión que ya resolvimos. El peso máximo permitido en el
puente era de 65,000 libras. Podemos también pensar en esta relación usando el lenguaje de las desigualdades
en la tabla: el peso total de la cabina, la caja y la carga no debe ser más que 65,000. Una vez que hemos
identificado la relación entre las dos cantidades podemos determinar cuál es el símbolo apropiado.
Considera otro problema que requiere que pongamos atención al contexto:
Erykah ha encontrado tres pares de tenis para correr que le gustan, cuestan $150, $159, y $179. Ella ya tiene
ahorrados $31, y tiene un empleo donde gana $8.50 la hora. ¿Cuántas horas debe trabajar para poder pagar
cualquiera de los pares de tenis?
24

25. Nota que éste problema no nos está pidiendo encontrar el número de horas que Erykah debe trabajar para comprar
cierto par de tenis — nos está preguntando por cualquiera de los pares de tenis. Ya que el par menos caro cuesta $150,
necesitamos crear una desigualdad que muestre cuánto debe ella trabajar para poder reunir "por lo menos $150" — o,
en símbolos matemáticos, "≥ $150". Usaremos la variable h para representar el número de horas que ella trabaja.
Salario
por hora
•
Número de
horas
trabajadas
+
Dinero
ahorrado
≥
Precio de los tenis más
baratos
($8.50 • h) + $31 ≥ $150.00
Podemos resolver ésta desigualdad así:
Ejemplo
Problema 8.5h + 31≥ 150
8.5h + 31- 31≥ 150 – 31
8.5h≥ 119
≥
Solución h ≥ 14
Erykah necesita trabajar por lo menos 14 horas para poder pagar alguno de los pares de tenis. Si ella trabaja
más horas, podrá permitirse los modelos más caros.
OPERACIONES CON DESIGUALDADES
Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al
multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.
El conjunto solución lo escribimos así: S = (-∞, -13/7]
25

26. El conjunto solución lo escribimos así: S = (-∞, 3/8)
El conjunto solución lo escribimos así: S = (30/17, +∞)
Ejercicios: Resolver las siguientes desigualdades
1) 4 + 9x > –2 + 7x
2) 5 – 3x < 13 + 3x
26

27. VIDEOS Y LIGAS RELACIONADOS CON ESTA UNIDAD
TEMA VIDEOS EN MATH2ME Y YOU TUBE
Historia del cálculo
diferencial
https://www.youtube.com/watch?v=wsBRrE46NUE
Newton y Leibnitz, sobre
hombros de gigantes (Episodio
7, El Universo Matemático,
TVE)
https://www.youtube.com/watch?v=8aDzE3-PcUo
Clasificación de los Números
Reales
https://www.youtube.com/watch?v=KxFTic7DfFA
Intervalos http://www.math2me.com/playlist/pre-calculo/intervalos
http://www.math2me.com/playlist/pre-calculo/representar-
graficamente-intervalos
http://www.math2me.com/playlist/pre-calculo/representar-
matematicamente-intervalos
Desigualdades http://www.math2me.com/playlist/algebra/introduccion-a-las-
desigualdades
http://www.math2me.com/playlist/algebra/resolver-
algebraicamente-una-desigualdad-lineal-con-una-constante-e1
http://www.math2me.com/playlist/algebra/resolver-
algebraicamente-una-desigualdad-lineal-racional-ejercicio-1
http://www.math2me.com/playlist/algebra/inecuacion-7-menor-5x-
8-menor-9
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28. ANEXOS
ECA1_2015
Asignatura: Cálculo Diferencial Instrumento de evaluación: Lista de cotejo 1 para evaluar el
Reporte solicitado en la TAREA 1(resumen de la historia del
calculo diferencial)
Alumno: Plantel: CETis No.
47
Grupo:
Profesor: Fecha: Puntaje obtenido:
Competencia a evaluar:
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
CRITERIOS A EVALUAR SI NO
Resumen en Word:
1. El resumen se presenta sin errores gramaticales, ortográficos y de
puntuación.
2. La redacción tiene secuencia, claridad y precisión
3. El trabajo se entrego a tiempo.
4. Todas las fuentes de información son confiables, actualizadas y citadas
correctamente
Cuadro sinóptico:
5. El diagrama destaca la estructura del la historia del cálculo diferencial, con
categorías que permiten sintetizar la información
6. El cuadro se elaboro en forma secuencial, con coherencia, limpieza y
precisión
Exposición
7.El expositor logra captar la atención de sus compañeros, con una
introducción efectiva del tema
8. El expositor demuestra dominio del tema
9. Los argumentos son presentados con seguridad, utilizando un tono de
voz claro y pausado siempre viendo a su auditorio.
10. Complemento su exposición con comentarios y opiniones de lo expuesto
en su presentación
Observaciones: ___________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Ponderación: Excelente (10 pts), 10 a 9 Si----
Bueno ( 8 pts), 8 a 7 Si----
Regular ( 6 pts), 6 Si ---
Deficiente ( 5 pts), 5 a menos -----
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29. BIBLIOGRAFIA:
Conamat (2009), Cálculo diferencial Primera edición, México: Editorial Pearson.
http://www.vitutor.com/di/re/r4.html
https://www.amschool.edu.sv/Paes/c4.htm
http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/primeras/tema5.pdf
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