Matematica para el cbc parte 1

ASIMOV – MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte 1

Matemática para el CBC, Parte 1
- 2da
. edición. – Buenos Aires: Editorial Asimov, 2013
150 p.; 21 x 27 cm.
ISBN: 978-987-23534-1-4
Matemática para el CBC, Parte 1
- 2da ed. - Buenos Aires : Asimov, 2013
v. 1, 150 p. ; 20 x 27 cm.
ISBN 978-987-23534-1-4
1. Matemática - Enseñanza. I. Título
CDD 510.07
Fecha de catalogación: ABRIL 2007
© 2007 Editorial Asimov
Derechos exclusivos
Editorial asociada a Cámara del Libro
Impreso y encuadernado por:
Gráfica Arie Impresores, Mariano Acha 2415, C.A.B.A.
- 2da. edición. Tirada: 100 ejemplares.
Se terminó de imprimir en marzo de 2013
HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723
Prohibida su reproducción total o parcial
IMPRESO EN ARGENTINA

MATEMATICA
PARA EL CBC
* MATEMATICA CERO
* FUNCIONES
* FUNC. LINEALES Y CUADRÁTICAS
* FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
* EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
* FUNCIÓN INVERSA
* CONTINUIDAD - LIMITE
PARTE 1

¿ Ves algo en este libro que no está bien explicado ?
¿ Encontraste algún error ?
¿ La notación que usé yo no es la que usa la cátedra ?
Mandame un mail y lo corrijo.
www.asimov.com.ar
Podés bajar temas viejos de parciales
y finales de www.asimov.com.ar

ASIMOV - MATEMÁTICA PARA EL CBC
- PARTE 1 -
Hola. Ante todo... Bienvenido a la Universidad de Buenos Aires. Bienvenido al CBC.
Este libro es una especie de teórico que tiene todo lo que se da en la materia
matemática del CBC. En realidad más que un teórico vendría a ser " la carpeta
completa ". Digo esto porque básicamente este libro tiene todo lo que se da en
clase y de la misma manera que ellos lo dan.
Mi idea es que este resumen te pueda servir si te perdiste alguna clase, si no
entendiste bien algún tema o si te tocó un docente malo-malo. También creo que
este libro puede facilitarle un poco la vida a los chicos del interior, que a veces
tienen que estudiar la materia sin venir a las clases. Y me parece que a los que más
les va a servir este libro es a la gente que está preparando el final o el libre.
Ahora, una cosa... Vos sabés que hoy en día el secundario no es muy bueno que
digamos. Mucho no te explican. Por eso cuando uno llega al CBC... ¿ que pasa ?
Rta: Pasa que uno no entiende nada. Da la impresión de que uno es un tonto, pero
en realidad el asunto es que nadie nunca te explicó nada. Nadie te enseñó a
pensar. Nadie te enseñó a razonar.
¿ Este es tu caso ? No desesperéis ! Aquí estoy para ayudarte !
Ojo con esto: No hice escribí esto para expertos en matemática. No busques acá
rigurosidad, demostraciones raras o cosas por el estilo. Este no es un libro para
docentes. Este es un libro para alumnos. Más concretamente, es un libro para el
alumno que existe en la realidad-real (o sea, vos).
Dejame darte unas recomendaciones para cursar la materia
* No hay manera de estudiar matemática a último momento. Tenés que llevar la
materia al día e ir haciendo los ejercicios de la guía. Consultá los resultados con
otros chicos o verificalos con los ejercicios resueltos que saqué yo.
* Tratá de no faltar a las clases. Si en tu aula no explican bien, cambiate a otra.
( No digas que te lo dije yo porque se enojan )
* Atento. Leer sólo teoría no sirve. Ellos te van a tomar ejercicios. Tenés que
saber resolver ejercicios. Conclusión, antes del examen buscá parciales viejos y
resolvelos. Tenés algunos para temas de exámenes bajar de mi página:
www.asimov.com.ar

También saqué un apunte con parciales resueltos de año pasado. ( No están para
bajar. Están impresos en papel ).
Por último: si te llega a ir mal o tenés que recursar... Bueno, no es terrible, che.
Siempre viene bien saber matemática. Hacela de nuevo y sacate mil.
Última cosa: Por favor, si ves errores o pensás que hay cosas que están mal en
este libro, avisame. Entrá a la página, mandame un mail y lo corrijo.
Suerte en el examen !

MATEMÁTICA CERO
Pag
2........Pasar de término - Despejar
4 Suma de fracciones
5 .......Distributiva - Factor común
6 Ecuación de la recta
10.......Ecuación cuadrática - Parábolas
13 Solución de una ecuación cuadrática
16.......Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
FUNCIONES
20........Funciones
23 Funciones Crecientes y decrecientes.
24…...Algunos ejemplos de funciones
30 Funciones Lineales
34.......Intervalos
36 Función módulo
37.......El caso del movimiento rectilíneo uniforme
38 Distancia entre 2 puntos
40.......Ejercicios de parciales
FUNCIONES CUADRÁTICAS
44……Funciones cuadráticas
46 Vértice de una parábola
47.......Recta tangente.
49 Conjunto de positividad
50.......Intersección entre una recta y una parábola.
54 Ejercicios de parciales
ÍNDICE

CONTINUIDAD - POLINOMIOS
58 Continuidad
60.......Teorema de Bolzano
63 Funciones polinómicas
68.......División de polinomios. Teorema del Resto
74 Ecuaciones bicuadráticas
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
76…...Composición de funciones
80 Cambio de escala.
FUNCIÓN INVERSA - ASINTOTAS
84.......Función inversa
93 Asíntotas - Concepto de Límite
101..... Ejercicios de Parciales
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
106....... Funciones trigonométricas
107 Teorema de Pitágoras
109....... Representación de las funciones trigonométricas
111 Representación de las funciones sen x y cos x
115........Funciones arco seno y arco coseno
125 Ejercicios de parciales
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
128.......Función exponencial
130.......Función logaritmo. Propiedades
132 Logaritmo natural o neperiano
134...... Ejercicios de parciales

OTROS APUNTES
ASIMOV
* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE MATEMATICA
Son los ejercicios de la guía resueltos y explicados.
* PARCIALES RESUELTOS DE MATEMATICA
Son exámenes que fueron tomados el año pasado. Todos los ejercicios
están explicados. También hay parciales resueltos de años anteriores.
* EJERCICIOS RESUELTOS DE OTRAS MATERIAS
Son ejercicios resueltos de física, química, matemática, Biofísica y otras
materias del CBC. De todas estas materias hay parciales resueltos.
También hay parciales resueltos de Biología Celular.
OTROS LIBROS DE ASIMOV:
* QUÍMICA PARA EL CBC
* FISICA PARA EL CBC
* BIOFISICA PARA EL CBC
Estos libros tienen lo que se da en clase pero hablado en castellano.
Temas que están en el libro 2 :
DERIVADAS E INTEGRALES

ASIMOV MATEMATICA CERO1
MATEMATICA 0
MATEMATICA NECESARIA QUE HAY QUE
SABER PARA ENTENDER MATEMATICA
TEMAS:
PASAR DE TERMINO - DESPEJAR - SUMA DE FRACCIONES -
FACTOREO - SACAR FACTOR COMUN - ECUACION DE LA RECTA
- UNA ECUACION CON UNA INCOGNITA - ECUACION DE UNA
PARABOLA - ECUACION CUADRATICA - SOLUCION DE UNA
ECUACIÓN CUADRÁTICA - SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON
DOS INCOGNITAS – SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 2 x 2

MATEMATICA CERO
Cosas de matemática que hay que saber para entender matemática
Hola. Para entender matemática hay que saber algo de matemática. Es así. Si vos
sabés bien la matemática del secundario, dejá este parte de lado. Empezá direc-
tamente donde dice " Funciones ". Si vos sabés que la matemática no te resulta
fácil, lee lo que yo pongo acá. Hacete todos los ejercicios. Hacele preguntas a to-
dos los ayudantes que para eso están. Yo sé que nunca nadie te enseñó nada y aho-
ra te exigen que sepas todo de golpe. Qué le vas a hacer. Así es la cosa. Bienveni-
do a la UBA.
Ahora, ojo, todos los temas que pongo acá son cosas QUE VAN A APARECER
MIENTRAS CURSES LA MATERIA.No es que estoy poniendo temas descolgados
que nunca vas a usar. Todo, absolutamente todo lo que figura va a aparecer y vas a
tener que usarlo. Pero:
¡Alegría!
Vas a ver que no es tan difícil ! Empecemos
PASAR DE TÉRMINO - DESPEJAR
En física todo el tiempo hay que andar despejando y pasando de término. Tenés
que saber esto a la perfección. No es difícil. Sólo tenés que recordar las siguien-
tes reglas:
1 - Lo que está sumando pasa restando
2 - Lo que está restando pasa sumando
3 – Lo que está multiplicando pasa dividiendo
4 - Lo que está dividiendo pasa multiplicando
5 - Lo que está como2
pasa como raíz
6 - Lo que está como raíz pasa como2
Estas reglas se usan para despejar una incógnita de una ecuación. Despejar x
significa hacer que esta letra incógnita x quede sola a un lado del signo igual.
( Es decir que a la larga me va a tener que quedar x = tanto ).
Veamos: Usando las reglas de pasaje de términos despejar X de las siguientes
ecuaciones:
☺
VER
Reglas para pasar
de término

1) 2 = 5 – X
X está restando, la paso al otro lado sumando: 2 + X = 5
El 2 está sumando, lo paso al otro lado restando: X = 5 – 2
Por lo tanto ⇒
2)
X
8
4 =
X está dividiendo, la paso al otro lado multiplicando: 4 . X = 8
El cuatro está multiplicando, lo paso al otro miembro dividiendo:
Es decir:
3) x2
= 25
La x está al cuadrado. Este cuadrado pasa al otro lado como raíz:
Por lo tanto ⇒
( En realidad la solución sería + 5 o - 5 . Eso lo vamos a ver después )
Resolvete ahora estos ejercicios. En todos hay que despejar X :
1) x + 5 = 8 Rta: x = 3
2) x + 5 = 4 Rta: x = -1
3) – x – 4 = - 7 Rta: x = 3
4) 4
2
=
x
Rta: x =
2
1
5) 10
5
2
=
x
Rta: x =
25
1
6)
5
1
5
2
=
− x
Rta: x = - 5
7) –7 = 4 - x2
Rta: x = 11
8)
( )
4
2
1
2
=
−x
Rta: x1 = 2,5 y x2 = 1,5
9)
( )
a
x
=
−
2
2
1
Rta: x = 2
1
+
a
8
X
4
=
x=2 ← Solución.
x=3 ← Solución.
x=5 ← Solución.
X= 25

SUMA DE FRACCIONES
Para sumar por ejemplo
4
5
2
3
+ lo que hago es lo siguiente:
Abajo de la raya de fracción va a ir el mínimo común múltiplo. Esto quiere decir
el número más chico que puede ser dividido por 2 y por 4 ( Ese número sería 4 ).
El mínimo común múltiplo a veces es difícil de calcular, por eso directamente mul-
tiplico los dos n° de abajo y chau. En este caso 2 x 4 da 8, de manera que en princi-
pio el asunto quedaría así:
8
............
Para saber lo que va arriba de la raya de fracción uso el siguiente procedimiento:
Haciendo el mismo procedimiento con el 4 de la segunda fracción me queda:
8
1012
4
5
2
3 +
=+
Es decir:
8
22
4
5
2
3
=+
Simplificando por dos:




=+
4
11
4
5
2
3
Comprobá este asunto con algunas fracciones a ver si aprendiste el método:
1)
2
1
2
1
+ Rta : 1
2)
4
1
2
1
+ Rta :
4
3
3) 1 +
2
1
Rta :
2
3
4)
3
2
2
1
+ Rta :
6
7
← Resultado

5)
5
4
3
2
+ Rta :
15
22
6)
7
5
3
7
+ Rta :
21
64
7)
ba
11
+ Rta :
b + a
a.b
8)
d
c
b
a
+ Rta :
a.d + b.c
b.d
DISTRIBUTIVA
Suponé que tengo que resolver esta cuenta: 2 ( 3 + 5 ) = X. Se puede sumar prime-
ro lo que está entre paréntesis , y en ese caso me quedaría:
2 ( 8 ) = X ⇒ 16 = X
Pero también se puede resolver haciendo distributiva. ( "Distributiva" significa,
distribuir el número que multiplica ). Eso sería hacer lo siguiente:
Practicalo un poco con estos ejemplos:
1) 3 ( 4 + 5 ) Rta : 27
2) 3 ( 4 – 5 ) Rta : -3
3) a ( b + c ) Rta : ab + ac
4) a ( b + c + d ) Rta : ab + ac + ad
5) a ( m1 + m2 ) Rta : a m1 + a m2
←Solución.

SACAR FACTOR COMÚN
Sacar factor común es hacer lo contrario de hacer distributiva. Por ejemplo si
tengo la expresión: X = 7242 ⋅+⋅ Me va a quedar:
X = 2 ( 4 + 7 )
A veces conviene sacar factor común y a veces conviene hacer distributiva. Eso
depende del problema.
Ejemplo: Sacar factor común en las expresiones:
1) F = m1 a + m2 a Rta : F = a ( m 1 + m2 )
2) X = x0 + v t – v t0 Rta : X = x0 + v (t-t0)
3) Froz = µ m1 g + µ N2 Rta : µ ( m1 g + N2)
4) L = F1 d cos a - F2 d Rta : d ( F1 cos a - F2 )
ECUACIÓN DE UNA RECTA
En matemática la ecuación de una recta tiene la forma y = m x + b. Puedo graficar
la recta en un par de ejes X-Y. Queda así:
hay varias que tenés que conocer en la ecuación de una recta :
Fijate lo que significa cada una de estas cosas. Veamos primero qué son x e y.
Si quiero representar en el plano el punto ( 3 , 2 ) eso significa que:
← Saqué el 2 como factor común
x
y
Y = m x + b
REPRESENTA-
CION DE UNA
RECTA

Veamos ahora qué es eme. La m representa la pendiente de la recta. La palabra
"pendiente" significa "inclinación" . La pendiente de una recta da una idea de la
inclinación que tiene esa recta. Por ejemplo, si la pendiente vale 2/3, eso significa
que la inclinación de la recta tendrá que ser tal que:
2
m=
3
Si la pendiente es 4 puedo poner al Nro 4 como
1
4
y me queda:
Tengo muchos otros casos. Si la pendiente fuera m = 1 tendría esto
( Es decir, sería una recta a 45 ° ).
Si m fuera 1,73, el asunto quedaría así:
Entonces, la pendiente de una recta es una función en donde:
11
7
=m
Otra cosa: si la pendiente es negativa ( como
11
7
−=m ) pongo
11
7−
=m y la cosa
queda:
Acá hay que avanzar 3
Acá hay que
avanzar 2
1
1
1,73
1
La parte de arriba indica lo que hay que avanzar
en Y
La parte de abajo indica lo que hay que avanzar
en X
7
11
1
4
m=4

El valor b se llama ordenada al origen y representa el lugar donde la recta corta
al eje Y.
Por ejemplo, una recta así: tiene b= - 1
Otra recta así también tiene b = -1
Y las rectas que son así tienen b = 0. Es decir, salen del origen de coor-
denadas.
¿ CÓMO SE REPRESENTA UNA RECTA ?
Si tengo una ecuación y = m x + b y quiero representarla, lo que hago es darle valo-
res a X y obtener los de Y. Con estos valores formo una tablita y los represento
en un par de ejes x - y. Fijate: Si tengo por ejemplo: y = 2 x + 1
Le doy a x el valor 0 y obtengo ⇒ y = 2 . 0 + 1 = 1
Le doy a x el valor 1 y obtengo ⇒ y = 2 . 1 + 1 = 3
Le doy a x el valor – 1 y obtengo ⇒ y = 2. ( -1 ) + 1 = -1
Puedo tomar todos los valores que quiera pero con tomar 2 alcanza. Poniendo todo
esto en una tabla me queda:
x y
0 1
1 3
- 1 -1
Ahora represento los puntos ( 0 ; 1 ) ( 1 ; 3 ) y ( - 1 ; - 1 ) en el plano x - y. Uniendo
los puntos tengo la recta. Fijate :
-1
-1
Y = 2 x + 1
-7
11
Avanzar 11
Bajar 7

Si quisiera ver si la recta está bien trazada puedo fijarme en los valores de m
y de b:
La recta corta al eje Y en 1, así que está bien. Veamos la pendiente:
La pendiente de y = 2 x + 1 es m = 2, así que el asunto verifica. Para entender esto
mejor tendrías que hacerte algunos ejercicios. Vamos:
EJERCICIO: DADA LA ECUACIÓN DE LA RECTA:
a) Ver cuánto valen m y b
b) Graficar la recta dándole valores de x y sacando los de y
c) Verificar en el gráfico que los valores de m y b coinciden con los de a)
1) y = x Rta: m = 1 , b = 0
2) y = x - 1 Rta : m = 1 , b = - 1
3) y = 2 - x Rta: m = - 1 , b = 2
-1
2
2

4) y = -
2
x
+ 1 Rta: m =
2
1
− , b = 1
5) y = 2 Rta: m = 0 , b = 2
6) y = 1.000 x + 1 Rta: m = 1.000 , b = 1
Acá van otro tipo de ejercicios que también son importantes:
* DADO EL GRÁFICO, CALCULAR m, b Y DAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA
a) Rta: m =
2
1
; b = 0 y =
2
1
x + 0
b) Rta: m =
6
5
− ; b = 5 y = 5
6
5
+− x
c) Rta: m = - 1 ; b = 1 y = - 1 x + 1
d) Rta: m=
2
1
− ; b = -1 y = - 1
2
1
−x
PARÁBOLA
Una parábola es una curva así ⇒ . Desde el punto de vista matemático
esta curva está dada por la función:
Y= a x2
+ b x + c
Fijate que si tuviera sólo el término y = b x + c tendría una recta. Al agregarle el
término con x2
la recta se transforma en una parábola. Es el término cuadrático el
1
2
2
2
1
6
5
-1
2
1
-2
-1
2
←←←← Ecuación de la parábola
Prácticamente
son 90°
1

que me dice que es una parábola. Ellos dicen que y = a x2
+ b x + c es una función
cuadrática porque tiene un término con x2
. Una parábola podría ser por ejemplo:
Y = 2 x2
+ 5 x + 8
En este caso a sería igual a 2, b a 5 y c sería 8. Los términos de la ecuación tam-
bién pueden ser negativos como en:
Y = - x2
+ 2 x -1
Acá sería a = - 1, b = 2 y c = -1. A veces el segundo o tercer término pueden
faltar. ( El primero nunca puede faltar por que es el cuadrático ). Un ejemplo en
donde faltan términos sería:
Y= 0,5 x2
– 3 ( a = 0,5 , b = 0, C = -3 )
o también:
Y = x2
- 3 x ( a = 1, b = - 3, c = 0 )
La ecuación también puede estar desordenada, entonces para saber quién es a,
quién b, y quién c, tengo que ordenarla primero. Ejemplo: Y = - 3 x - 1 + 5 x2
Ordeno y me queda :
Y = 5 x2
– 3 x -1 ⇒ a = 5, b = - 3, c = - 1
REPRESENTACIÓN DE UNA PARÁBOLA
Lo que hago es darle valores a x y sacar los valores de y. Con todos estos valores
voy armando una tabla. Una vez que tengo la tabla, voy representando cada punto
en un par de ejes x,y. Uniendo todos los puntos, obtengo la parábola.
De acuerdo a los valores de a, b y c la parábola podrá dar más abierta, más cerra-
da, más arriba o más abajo. Hay una cosa que tenés que saber que es que :

si el término cuadrático es negativo la parábola apunta sus ramas para abajo.
Es decir, por ejemplo, si en el ejemplo anterior en vez de Y = x2
hubiese sido
Y = - x2
, la cosa habría dado así:
¿ Por qué pasa esto ? Rta : Porque a es negativo. ( En este caso a = - 1 )
Entonces conviene que te acuerdes siempre que:
Dicho de otra manera:
¿ Y si a la ecuación cuadrática no le falta ningún término ? Rta: No pasa nada,
el asunto es el mismo, lo único es que va a ser más lío construir la tabla por que
hay que hacer más cuentas. Fijate:
Vamos a estos otros ejercicios :
Si en la ecuación Y = a x2
+ b x + c el valor de a es
negativo, entonces la parábola va a dar para abajo

x
Representar las siguientes parábolas y decir cuánto valen los términos a, b y c:
Solución de una ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es la ecuación de una parábola igualada a cero. Es decir,
si en vez de tener y = a x2
+ b x + c tengo a x2
+ b x + c = 0 , eso será una ecua-
ción cuadrática.
Por ejemplo, son ecuaciones cuadráticas:
X2
+ 4 = 0 , 5 X2
– 3 X + 7 = 0 , 7 X – 3 X2
= 0
Lo que se busca son los valores de x que satisfagan la ecuación. ¿ Qué significa
eso ? Significa reemplazar x por un valor que haga que la ecuación dé cero. Supon-
gamos que tengo:
x2
– 4 = 0
¿ Qué valores tiene que tomar x para que x2
– 4 de cero ? Bueno, a ojo me doy
cuenta que si reemplazo x por 2 la cosa anda. Fijate:
22
– 4 = 0 ( Se cumple )
¿Habrá algún otro valor? Sí. Hay otro valor es x = - 2. Probemos:
(- 2)2
– 4 = 4 – 4 = 0 ( anda )
Este método de ir probando está muy lindo pero no sirve. ¿ Por qué ? Rta: Porque
funciona sólo si la ecuación es fácil. Pero si te doy la ecuación 0,23 X2
- 2,17 x -
73,2 = 0... ¿ Cómo hacés ? Acá no podés ir probando porque el asunto puede llevar-
te un año entero.

A los valores de x que hacen que toda la ecuación de cero se los llama raíces de
la ecuación o soluciones de la ecuación. Entonces, la idea es encontrar una fórmu-
la que sirva para hallar las raíces de la ecuación. Esta fórmula es:
( La demostración de está ecuación está en los libros ). ¿ Cómo se usa esta fórmu-
la ? Mirá este ejemplo:
Encontrar las raíces de la ecuación Y = x2
– 4 x + 3.
En este caso a = 1; b =-4 y c = 3.
Planteo :
X1,2 =
a
acbb
2
42
−±−
Reemplazando:
x1,2 =
( ) ( )
12
31444
2
⋅
⋅⋅−−±−−
⇒ x1,2 =
2
12164 −±
x1,2 =
2
44 ±
⇒ x1,2 =
2
24 ±
Ahora, para una de las soluciones uso el signo + y para la otra el signo menos.
La cosa queda así:
Entonces x = 3 y x = 1 son las soluciones de la ecuación. Podés reemplazar estos
valores en la ecuación y ver si verifican.
Quiero decirte una cosita más con respecto a este tema: una ecuación cuadrática
podrá tener una solución, 2 soluciones o ninguna solución. ¿ Cómo es eso ? Fijate:
¿ Qué significa igualar la ecuación de una parábola a cero ?
Rta: Bueno, una parábola
SOLUCIÓN DE
UNA ECUACIÓN CUA-
DRÁTICA

es esto
Preguntar para qué valores de x la y da cero, significa preguntar dónde corta
la Parábola al eje de las x. Es decir, que las raíces de una ecuación cuadrática re-
presentan esto:
El caso de una solución única va a estar dado cuando la parábola NO corta al eje
de las x en dos puntos sino que lo corta en un solo punto. Es decir, voy a tener
esta situación :
Cuando la ecuación tiene una sola solución, se habla de raíz única o de raíz doble.
La ecuación cuadrática puede no tener solución cuando la parábola No corta en
ningún momento al eje de las x. Por ejemplo:
Cuando te toque una ecuación de este tipo, te vas a dar cuenta porque al hacer
ca4b2
− te va a quedar la raíz cuadrada de un número negativo (como por
ejemplo 4− ). No hay ningún número que al elevarlo al cuadrado dé negativo.
Entonces el asunto no tiene solución.
Acá te pongo algunos ejemplos:
Encontrar las soluciones de la ecuación usando la fórmula x =
a
acbb
2
42
−±−
( Podés verificar los resultados graficando la parábola )
1) x2
– 2 x – 3 = 0 Rta: x1 = 3 ; x2 = -1
2) x2
– 7 x + 12 = 0 Rta: x1 = 4 x2 = 3
Una solución Otra solución
Soluciones de una
ecuación cuadrática
← Caso de raíz única.

3) x2
– 2 x + 1 = 0 Rta: x = 1 ( Raíz doble )
4) x2
– 18 x + 81 Rta: x = 9 ( Raíz doble )
5) x2
+ x + 1 = 0 No tiene solución.
6) x2
– x + 3 = 0 No tiene solución.
SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS
Una ecuación con una incógnita es una cosa así ⇒ x - 3 = 5. Esta ecuación podría
ser la ecuación de un problema del tipo: " Encontrar un número x tal que si le resto
3 me da 5 ". ¿ Cómo se resolvería una ecuación de este tipo ?
Rta: Muy fácil. Se despeja x y chau. Fijate :
x – 3 = 5 ⇒ x = 5 + 3 ⇒ x =8
¿Qué pasa ahora si me dan una ecuación así ? : x + y = 6 .
Esto es lo que se llama una ecuación con 2 incógnitas. Así como está, no se puede
resolver. O sea, tendría infinitas soluciones. Por ejemplo, algunas podrían ser:
x = 6 ; y = 0 ó x = 7 ; y = - 1
ó x = 8 ; y = - 2
Creo que ves a dónde apunto. Si trato de buscar 2 números x e y tal que la suma
sea 6, voy a tener millones de soluciones. ( Bueno... millones no... infinitas !!! )
Bueno, ahora distinta es la cosa si yo te digo: " dame dos números cuya suma sea
6 y cuya resta sea 4 " Ahí el asunto cambia. Este problema SI tiene solución.
Matemáticamente se pone así:
x + y = 6
x - y = 4
Esto es lo que ellos llaman sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
¿ Cómo se resuelve esto ? Veamos.
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS
Hay varios métodos para resolver 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Te recuerdo los
dos más fáciles. Supongamos que tengo el sistema:
x + y = 6
x - y = 4

MÉTODO 1 : DESPEJAR Y REEMPLAZAR ( SUBSTITUCIÓN )
Se despeja una de las incógnitas de la primera ecuación y se reemplaza en la se-
gunda. Por ejemplo, despejo x de x + y = 6. Me queda: x = 6 – y.
Reemplazando esta x en la segunda ecuación. Tengo: ( 6 – y ) – y = 4
Ahora:
6 – y - y = 4 6 – 4 = 2 y
2 = 2 y ⇒ y = 1
Ya calculé el valor de y. Reemplazando esta Y en cualquiera de las 2 ecuaciones
originales saco el valor de x. Por ejemplo, si pongo y = 1 en la 1ra
de las ecuaciones:
x + 1 = 6 x = 6 – 1
⇒ x = 5
MÉTODO 2 : SUMA Y RESTA
Se suman o se restan las 2 ecuaciones para que desaparezca alguna de las incógni-
tas. Por ejemplo:
x + y = 6
x - y = 4
Sumo las ecuaciones miembro a miembro y me queda: x + y + x – y = 6 + 4
Ahora la y se va. Me queda: 2 x = 10 ⇒ x = 5
Igual que antes, reemplazando este valor de x en cualquiera de las 2 ecuaciones
originales obtengo el valor de y. Una cosa: Acá yo sumé las ecuaciones, pero tam-
bién se pueden restar. Si las hubiera restado, el asunto hubiera sido el mismo
( se iba a ir la x ).
Vos podés usar el método que quieras para resolver un sistema de ecuaciones.
A ellos no les importa qué método uses.
Otra cosita: en realidad cada una de las ecuaciones del sistema, es la ecuación de
una recta. Por ejemplo el sistema anterior se podría haber puesto así:
¿ Entonces cuál sería el significado geométrico de encontrar la solución de un sis-
tema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ?
Rta: significa encontrar el punto de encuentro de las 2 rectas. Por ejemplo, para
las rectas x + y = 6 y x - y = 4 tendría esto:

EJERCICIOS
Resolver los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. ( Podés repre-
sentar las 2 rectas para verificar)
MATEMÁTICA CERO – PALABRAS FINALES
Acá termina el resumen de matemática que te puse para que puedas entender ma-
temática. Esta no es toda la matemática que existe. La matemática es gigantesca.
Lo que puse acá es lo hiper-necesario y lo que seguro vas a usar. Hay otros temas
que también vas a necesitar como polinomios, trigonometría, funciones exponencia-
les, logarítmos... Estos temas te los voy a ir explicando a lo largo del libro.
Ahora, pregunta... ¿ Detestás la matemática ?
Rta: Bueno, no sos el único. El 95 % de la gente la detesta. Es que la matemática
es muy fea. Y encima es difícil. ¿ Hay alguna solución para esto ?
Rta: Mirá,... no hay salida. Vas a tener que saber matemática sí o sí. Es una mate-
ria, hay que aprobarla. Lo único que se puede hacer para solucionar esto es estu-
diar. ( Y estudiar mucho ). Es así. El asunto depende de vos.
A veces los chicos dicen: che. Que mala onda tenés ?!
Rta: No es mala onda. Esto es así. En todos lados del mundo estudiar matemática
es difícil. Encima vos elegiste la UBA, que es la Universidad de mayor nivel en Ar-
gentina... ¿ entonces qué querés ?!
Resumiendo, el que quiere celeste, que le cueste. Nadie te obliga. Ahí afuera
te están esperando los de Mc Donald´s para trabajar por dié peso la hora.
Creo que fui claro, no ?
FIN MATEMÁTICA CERO
Solución de un
sistema de dos
ecuaciones con
dos incógnitas

ASIMOV FUNCIONES- 20 -
FUNCIONES
Vamos a empezar a hablar de Funciones. Supongamos que queremos saber cuántos
alumnos hay por aula. Voy aula por aula y cuento. Hago una tabla:
De esta manera establecemos una relación entre el aula y el número de alumnos.
El conjunto del cual salimos lo llamo dominio de la función. Al conjunto de llegada
lo llamo codominio de la función. Si para cada elemento del dominio, tengo un solo
elemento del codominio, tengo una función.
Supongamos que tengo un barril que vacío pesa 3 Kg. Si le agrego agua, el peso del
barril va a aumentar. Como cada litro de agua pesa 1 Kg. La tabla me va a quedar así:
Esto que hice fue establecer una relación entre los litros que pongo y el peso del
barrilito de cerveza. Puedo simbolizar esto así:
Hacer una tabla con algunos valores es dar una función. Sin embargo, esto no sirve
mucho porque… ¿ qué pasa si yo pongo un litro y medio ? O raíz de 2 litros ?
De manera que otra forma de establecer una función es dar su gráfico.

Dibujo ahora el peso del barril en función de la cantidad de agua que pongo :
Las funciones pueden ser discretas o continuas. Cuando hablo del número de
personas por aula, estoy hablando de una función discreta. Cuando hablo de los
litros que pongo estoy hablando de una función continua.
Existe otra forma de dar una función que es dar su fórmula. Para decir de donde a
donde va la función uso la siguiente notación:
La función también podría ir de los reales a los reales o cualquier otra combinación.
Por ejemplo:
Supongamos ahora que tengo la siguiente función:
Hago una tabla para esta función:
Z <--- Enteros

Vamos a un ejercicio. Una cosa para ser función tiene que salir de 1 punto y llegar a
un solo punto. Por ejemplo, supongo que me dan esto:
Lo que hago es trazar rectas verticales. Si las rectas cortan al gráfico en 1 solo
punto, tengo una función. Esto es porque a cada punto del dominio, le debe
corresponder un solo punto del codominio.
Este caso también es función

El domino de la función serán todos los puntos que tienen alguna imagen. El
codominio será el conjunto que contenga a la imagen. En este caso:
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Esto es fácil. Fijate: Una función crece cuando va en subida. Una función decrece
cuando va en bajada.
Desde el punto de vista matemático esto se pone así:
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Cuando la función tiene una montaña, digo que tiene un máximo. Cuando tiene un
valle, digo que tiene un mínimo. Una función puede tener varios máximos o varios
mínimos. Si el máximo es el más grande de todos los que tienen la función, digo que
es un máximo absoluto. Lo mismo para los mínimos.
En realidad, desde el punto de vista de matemático (riguroso) una función tendrá un
máximo o un mínimo cuando cambie el estado de crecimiento (de creciente a decre-
FUNCIÓN CRECIENTE
FUNCIÓN DECRECIENTE

ciente o viceversa). Si la función crece entre los puntos 1 y 2, digo que el intervalo
de crecimiento es (1, 2). Dar el intervalo de crecimiento (o decrecimiento) es decir
en qué puntos la función crece (o decrece). Fijensé este dibujito :
En matemática es muy importante que cuando vean una función puedan decir cuáles
son sus intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos y todo eso.
Fijensé este ejemplo.
Vamos a hacer un ejercicio. Es importante que aprendas a interpretar enunciados.
Eso queremos.
UNA FAMILIA QUE POR MES RECORRE 3.000 KM EN UN AUTO SE PLANTEA LA
POSIBILIDAD DE INSTALAR UN EQUIPO DE GAS. LA INSTALACIÓN DEL
EQUIPO CUESTA 1.500 $. UN LITRO DE NAFTA CUESTA 0,69 $. CON 1 Litro DE
NAFTA RECORRE 14 Km. CON 0,8 m3
DE GAS TAMBIÉN RECORRE 14 Km. EL GAS
CUESTA 0,32 $ EL m3
. SE PIDE:
HALLAR LA FUNCIÓN QUE MIDE EL GASTO ( EN $ ) DE COMBUSTIBLE EN
FUNCIÓN DEL TIEMPO SI SE USA NAFTA. IDEM EN CASO DE QUE SE UTILICE
GAS ( INCLUIDO EL GASTO DE LA INSTALACIÓN )
En los 2 casos la variable va a ser el tiempo medido en meses. Vamos a empezar con
la función del gasto de combustible. El tipo hace 3000 Km. por mes y con 1 Litro de
nafta recorre 14 Km. Entonces:
Por mes gasta:
3.000 L
14
= 214,28 Litros /mes

Lo que gasta en plata va a ser: ( 1 Litro de nafta cuesta 0,69 $ )
214,28 L/mes x 0,69 $/Litro = 147,85 $/mes
Si por mes gasta esto, la función que me da el gasto en función del tiempo es:
f(t) = 147,85 $/mes x t (en meses)
Vamos a la parte b). Con 0,8 m3
la familia Dongo recorre 14 Km. La cantidad de m3
que gastan al recorrer 3.000 Km es:
Es decir que en plata, lo que gasta es: 171,42 m3
x 0,32 $ / m3
= 54,85 $/mes
Si le sumo lo que sale la instalación, el gasto en función del tiempo si uso gas es:
Adelantémonos un poco al tema de funciones lineales. Represento las dos funciones
que obtuve. Puedo hacerlo dando valores. Me van a dar 2 rectas
Supongamos que quiero saber a partir de cuantos meses se amortiza la instalación.
Eso significa hallar el punto en donde se cortan las rectas, es decir t*.
Igualo: f(t) = g(t) ⇒ 148 t = 1.500 + 55 t
⇒ 148 t – 55 t = 1.500
GASTO MENSUAL = 171,42 m3
de gas

⇒ 93 t = 1.500
⇒ t = 16,1 meses
OTRO EJEMPLO
Supongamos que hay una empresa que tiene unos ingresos (en plata) que vienen
dados por la función i(t) (t en días). Los gastos a su vez vienen dados por g(t).
¿ Qué representa la función h(t) = i(t) – g(t) ?
Rta: Bueno, si a lo que entra le resto lo que salte, lo que me queda es la ganancia
neta de la empresa. Es decir:
h(t) = i(t) – g(t) = ganancia neta
¿ Para que sirve este ejemplo ? Bueno, solamente para que veas que las funciones
se pueden sumar y restar.
OTRO EJEMPLO
Supongamos que tengo un país determinado tal que h(t) representa a la cantidad
de habitantes de ese país en el tiempo t (t en años). La función g(t) representa el
consumo por habitante en función del tiempo. Se pregunta:
a) ¿Cuál es el consumo total de ese país en el año t?
Igual que antes lo que hago es:
CONSUMO POR HABITANTE x CANTIDAD DE HABITANTE = CONSUMO TOTAL
⇒ Si f(t) es el consumo total:
f(t) = h(t) x g(t)
Acá ves como una función puede ser producto de 2 funciones. Ahora, ¿ Cuánto valen
las funciones h y g ? Rta: Bueno, no lo sé. Pero su producto da el consumo total.
EJEMPLO
Che, ¿ se callan ? Vamos a hacer un ejercicio. Se quiere hacer una caja partiendo
de una cartulina de 30 cm x 40 cm. Se pide calcular el volumen de la caja.
FUNCIÓN QUE DA EL
CONSUMO TOTAL

El volumen de la caja será: Vol = ancho x alto x largo. Es decir:
V = (40 – 2x) (30 – 2x) . x
Ahora, x no va a poder tomar valores mayores que 15 cm. Porque sino no tendría
caja. Tampoco x puede ser negativo. Entonces digo que la función que me da el
volumen de la caja en función de x es:
V(x) = (40 – 2x) (30 – 2x) . x con 0 < x < 15
¿ Cómo hago si quiero graficar esto ? Bueno lo que hago es darle valores a x (entre
0 y 15 ) y sacar los de V(x).
Vamos a otro ejemplo
Supongamos que los precios de la electricidad son los siguientes:
2,38 $ costo fijo que paga todo el mundo
0,0634 $ / kilowatt si uno consume menos de 126 Kwh.
0,094 $ / kilowatt si uno consume más de 126 Kwh.
Encima de esto, se cobra 17,20% de impuesto sobre el total consumido. De manera
que voy a tener 2 funciones: una para consumo mayor que 126 Kwh. y otra p/
consumo menor que 126 Kw-h. Si no hubiera que pagar ese 17,20 % de más, lo que
habría que pagar sería:
Ahora, para aumentar una cosa un 17,20 % lo que se hace es multiplicar a todo por
100
20.17
y sumárselo a lo que uno ya tenía. (Esto hay que pensarlo un poco)
De manera que la función que me dice lo que tengo que pagar (f(x)) en función de los
kilowats-hora que consumo (x) va a ser lo que tenía antes multiplicado por
100
2,17
1+ . . Esto es porque hacer la cuenta a + 





100
20,17
a es lo mismo
que hacer ( Lo que hice es sacar a factor común).
La función queda:






+
100
20,17
1a

Esta función así definida es lo que el problema pedía calcular. Teniendo la función ésta,
puedo calcular por ejemplo cuánto paga un tipo que consumió 122 Kw. (por ejemplo).
Para hacer eso, reemplazo x por 122 en la función para x ≤ 126 Kwh.
Quedaría así :
Plata a pagar = 1.172 x [ 0,0634 . 122 + 2,38]
Si el consumo fuera mayor a 126 Kw. (por ejemplo 130 Kw), la cosa quedaría:
Plata a pagar = 1.172 x [2,38 + 0,0634 x 126 + 0,094 (130 – 126)]
FIN FUNCIONES

ASIMOV FUNCIONES LINEALES- 29 -
FUNCIONES
LINEALES

FUNCIONES LINEALES
Son las funciones que tienen forma de línea recta. La expresión matemática es:
La b es la ordenada al origen, es decir, el lugar donde la recta corta al eje y. La m es
la pendiente de la recta. Esta pendiente se calcula haciendo la cuenta:
Supongamos que me dan la siguiente función lineal: f(x) = 2 x + 3. Voy a graficar esto.
¿Cómo hago? Y bueno. Le doy valores a x y saco los de f(x).
Hay algo importante que tenés que saber y es la cuestión de la pendiente. Tengo 3
casos. Mirá :
Ahora, ojo ! Las rectas verticales no son función. Ver acá :
En este caso, la ecuación de esta recta sería x = 2. Esto pasa porque otra recta
vertical superpuesta “corta” a la recta x = 2 en más de 1 punto. En realidad la corta
en ∞ puntos porque está superpuesta. Vamos a un ejemplo.
m = opuesto
adyacente

SE SABE QUE UNA FUNCIÓN LINEAL TOMA LOS SIGUIENTES
VALORES: f(2) = 3 y f(4) = 7. HALLAR LA ECUACION DE LA FUNCION
Bueno, lo que hago es escribir la ecuación de una función lineal: f(x) = m x + b.
Reemplazo ahora por los valores que me dieron:
f(2) = m. 2 + b = 3
f(4) = m. 4 + b = 7
Esto es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Lo puedo resolver por cualquier
método.
Despejo b de la 1ra
y la reemplazo en la 2da
:
b = 3 – 2 m  4 m + (3 – 2 m) = 7
 4 m + 3 – 2 m = 7  2 m = 7 – 3
Reemplazo ahora m = 2 en cualquiera de las ecuaciones y saco b. Fíjate :
Quiere decir que la función buscada es :
Ahora vamos a hacer esto para un caso general. Quiero obtener una fórmula general
que va a valer para todos los casos . La idea es poder ahorrarme de trabajar con un
sistema de 2 x 2 . Entonces :
m = 2 VALOR DE LA PENDIENTE
f(x) = 2 x -1

Voy a resolver este sistema restando miembro a miembro. A la 1ra
ecuación le
resto la 2da
. Esto queda:
Vamos a ver si cumple con el ejercicio anterior. Yo tenía f(2) = 3 y f(4) = 7. Tonces:
x1 = 2 , y1= 3
x2 = 4 , y2= 7
¿Cuál es el significado de esta fórmula? Bueno, lo puedo ver en este dibujo:
Es decir, lo que hace la fórmula es calcular la pendiente haciendo la cuenta opuesto
sobre adyacente.
OTRO EJEMPLO
USANDO LA FORMULA PARA LA PENDIENTE,
CALCULAR m SABIENDO QUE f(2) = 1 y f(5) = -3
Entonces, tengo que tener una función lineal del tipo f(x) = m x + b donde la
pendiente viene dada por la siguiente fórmula:
m = y1 – y2
x1 – x2
En este caso x2 = 5, y2 = -3 y x1 = 2 e y1 = 1. Entonces:
m = -3 - 1 = - 4
5 – 2 3
Fijate que me dio con signo negativo. ¿ Qué me indica el signo menos ?
PENDIENTE DE
LA RECTA

Rta: Bueno, que la pendiente es negativa, es decir que la recta tiene que ir así:
Ahora planteo que:
f(x) = - 4/3 x + b  Reemplazo x por 2 y f(x) por 1:
1 = - 4/3 . 2 + b  De acá despejo b que me da:
1 + 8/3 = b

La función lineal buscada es: f(x) = - 4/3 x + 11/3
OTRO EJEMPLO
UNA RECTA PASA POR EL PUNTO P = ( 3, -4) y SU PENDIENTE
ES m = - 2. HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA:
Lo que hago es esto: La ecuación tiene que ser: y = - 2 x + b ( porque m = - 2 )
Como la recta pasa por x = 3 e y = - 4, reemplazo y me queda:
- 4 = - 2 . 3 + b  - 4 + 6 = b
 b = 2
La función dada va a quedar:
OTRO EJEMPLO
Ahora me dan este gráfico y me piden hallar la ecuación correspondiente. Mirá
Es como si nos dieran 2 puntos. Sé que la recta corta al eje y en el punto -1.
Entonces
b = - 1. Ahora saco m. Los dos puntos por donde
pasa la recta son (-1, 0) y (0, -1). Tengo 2 puntos
y puedo sacar la pendiente con:
m = y2 – y1 = -1 – 0 = -1 = -1 . Dio negativo.
x2 – x1 0 – (-1) 1
Está ok porque la recta va así:
La ecuación buscada va a ser:
b = 11/3 ORDENADA
AL ORIGEN
y = -2 x + 2
y = -1 x -1
-1
f(x)
-1

INTERVALOS
Esto lo vas a entender mejor si ves un ejercicio. Fijate. Copien. Dicto:
EJERCICIO
DADAS f(x) y g(x) DETERMINAR EL CONJUNTO A DEFINIDO
Lo que tengo que calcular son los x que  a los reales tales que f(x) sea mayor o
igual que g(x). Es decir, planteo:
3 x + 2 ≥ 2 x -1
Resuelvo esta inecuación pasando a un miembro todo lo que tiene x.
3 x – 2 x ≥ -1-2  x ≥ -3
Esta es la solución analítica del problema. Voy a resolverlo ahora gráficamente.
Represento las 2 funciones:
Ahora, todos los x  R tal que y1 ≥ y2 son los x ≥ -3. Eso lo saco mirando el gráfico.
Veo que para cualquier x ≥ -3 la recta y1 está siempre por arriba de la y2.
Representando gráficamente el intervalo obtenido me queda:
Vamos a otro ejemplo de intervalos. ¿ Si lo toman ? Sí, lo toman, pero es fácil.
Fijate:
DADAS f(x) y g(x) DETERMINAR EL CONJUNTO A DEFINIDO
f(x) = -2 x +1 y g(x) = 4x +1.

Piden lo mismo que antes. O sea, dar el intervalo en donde f(x) ≥ g(x). Bueno,
planteo entonces que f(x) ≥ g(x), es decir:
-2 x + 1 ≥ 4 x + 1  1 -1 ≥ 4 x + 2 x
 0 ≥ 6 x  0 ≥ x  x ≤ 0
Entonces el conjunto solución será:
Voy a representar las rectas en un gráfico para verificar lo que hallé:
Para hacer el gráfico tuve en cuenta que las ordenadas al origen eran 1 para las
2 rectas y que en un caso la pendiente era positiva y en el otro -, por lo tanto las
rectas deberían ir así y así respectivamente.
Gráficamente la representación del conjunto A es:
Mirando el gráfico con las 2 rectas veo que siempre que tenga un x ≤ 0 , la función
será mayor que la g(x). (esto era justamente lo que yo buscaba).
FUNCIÓN MÓDULO
Acá presten un poco de atención porque siempre se confunden. Vamos a ver la
función MODULO de equis. Tomar módulo significa considerar el valor absoluto de
x. Esto se escribe: f(x) = x. Esto lo vamos a usar mucho. Le doy valores a x y saco
los de f(x). Es decir, si x = 1, x será 1. Si x = -1, el x será también 1.
Matemáticamente la función módulo de x se define así:

Represento esta función:
Esta función es como la función y = x pero igual de los 2 lados. El eje Y es el eje de
simetría. Es como si el eje Y fuera un espejo.
EJEMPLO
GRAFICAR LA FUNCION f(x) = x - 2
Lo que hago es darle valores a x y formar una tabla:
Esta función es igual a la función módulo de x ( lxl ) pero toda corrida para allá 
en 2 lugares. Vamos a hacerlo ahora en forma analítica, es decir, aplicando la
definición de módulo.
Fíjate. Tengo f(x) = x - 2. Eso significa que aplicando la definición me queda:
Ahora, x -2 ≥ 0 significa x ≥ 2 y x -2 < 0 significa x < 2. La función queda definida
así:

Fíjense ahora esta otra función: f(x) = x- 2. ¿ será igual que la anterior?
RTA: NO. Voy a hacer una tabla con valores y la represento:
Es decir, lo que pasa es que todo el gráfico se va para abajo en 2 unidades.
Si tuviera f(x) = a.x me queda como la x  pero más abierta o más cerrada.
Supongamos que a = 2. Le doy valores a x y me queda:
¿ Cuál es la pregunta ? ¿ Qué para que sirve la función módulo ?
Rta: Eeehhhhmmm... Que se yo. Para nada. La matemática es así. Uno define cosas
y después se pone a jugar con ellas. ¿ Cómo? ¿ Que ? ¿ Que estoy chapita ? Sí, sí,
los matemáticos estamos re-chapitas ! ( Risas )
EL CASO DEL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME
Este es un tema de física. ¿ Alguien cursa física ? En física la ecuación de la
posición de un móvil que se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme es:
x(t) = xo + v (t – to)
Esta es una función lineal. V es la velocidad del móvil y xo es la posición inicial.
( Es el lugar de donde salió). to es la hora en el momento de salir.
Si tengo el caso de que xo = 0 y to = 0  me queda: x(t) = v.t
Esta es una ecuación del tipo y = m x . Acá a y yo la llamé x y a x la llamé t. Lo
demás es lo mismo.
Si tuviera por ejemplo x(t) = 2 Km/h . t , la representación sería:

Lo que tienen que ver acá es que si la velocidad del móvil es positiva, la recta va a ir
así: . Si la velocidad fuera negativa, la recta iría así . Esto es porque en el
gráfico x = f(t), la velocidad del movimiento es la pendiente. Si los 2 móviles tuvie-
ran la misma velocidad pero uno estuviera 3 Km. más adelante que el otro, el gráfico
quedaría:
Esto es porque la velocidad es la PENDIENTE. Si los tipos tienen igual velocidad, las
dos rectas deberán ser paralelas (no importa de donde hayan salido)
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS
Che, anoten esto porque lo toman. Supongamos que tengo 2 puntos P1 y P2. Las
coordenadas del punto P1 son ( x1, y1 ). Las coordenadas del punto P2 son ( x2, y2 ).
Entonces la distancia que va de P1 a P2 se calcula con esta fórmula:
d(P1, P2) =
2 2
2 1 2 1(y -y ) + (x -x )
No voy a hacer la deducción de esta fórmula choclaza. Pero si lo pensás un poco, vas
a ver que sale de plantear el teorema de Pitágoras en el triángulo formado entre los
puntos P1 y P2.
Che, ahora ojo, entiendan lo que estoy diciendo. Cuando digo "calcular la distancia"
me estoy refiriendo efectivamente a la distancia real que hay de un punto a otro.
O sea, la distancia que vos podrías ir y medir con una regla sobre el papel.
Vamos a un ejemplo:
x x = 2 Km. t
h
t
3 Igual pendiente
Son paralelas

CALCULAR LA DISTANCIA QUE HAY ENTRE
LOS PUNTOS P1 ( 1 , 4 ) Y P2 ( 3 , 2 )
Solución: Bueno, hago un dibujito y escribo la fórmula
La distancia va a ser: d(P1, P2) =
2 2
2 1 2 1(y -y ) + (x -x )
Entonces: d(P1, P2) =
2 2
(2 - 4) + ( 3 - 1)
 d(P1, P2) =
2 2
(- 2) + ( 2) = 8
Raíz de 8 es más o menos 2,82. Si hicieras el dibujito en escala en un papel, la
distancia entre P1 y P2 medida con una regla te daría 2,82 cm.

FUNCIONES LINEALES - EJERCICIOS DE PARCIALES
Vamos a resolver algunos ejercicios que saqué de parciales.
Solución: Esos puntos están sobre la recta y = 3x  son de la forma P = (a,3a)
Nos dan la distancia al centro de coordenadas: 40 ( o sea, al punto (0 , 0)).
Entonces, usamos la fórmula de distancia entre dos puntos:
d(P1, P2) =
2
12
2
12 )()( xxyy 
40 = 22
)0()03(  aa
40 = 10 a2
__
a2
= 4 a = 4 = 2
Nos dan dos resultados para a. Entonces tenemos dos puntos:
a = 2  y a = - 2 
M MATEMATICA PRIMER PARCIAL TEMA 2
APELLIDO:………………………………………….NOMBRES:…………………………………………………….D.N.I:…………………………………
INSCRIPTO EN: SEDE:……………………DIAS:…………………
HORARIO:……………AULA:…………………
CORRECTOR: ………………………………………….
1. Escribir como intervalo o como unión de intervalos el conjunto
A ={x є R/
x
4 > 5}
P = ( 2,6) P = (-2,-6)
En cada ejercicio escriba los razonamientos que justifican la respuesta

Solución: Pasamos multiplicando la x  hay que ver las dos opciones
- Si x > 0  4 > 5 x  x < 4
/5  x є (0 ; 4
/5)
- Si x < 0  4 < 5x  x > 4
/5  no puede ser las dos cosas a la vez
Entonces, ese conjunto es igual a intervalo
Solución: Nos piden que escribamos el conjunto A como un intervalo o unión de
intervalos. Entonces:
Despejemos: Me conviene sacar denominador común ( x + 4 )
Para que toda la fracción sea negativa hay dos posibilidades:
Caso 1: ( 1 – x ) < 0 y ( x + 4 ) > 0
Despejando de ( 1 – x ) < 0 me queda que 1 < x, o sea x > 1. También se tiene que
cumplir que ( x + 4 ) > 0, o sea, x > - 4 . Representemos esto en una recta numérica:
Muy bien. La solución que cumple con las dos desigualdades a la vez es S1 = ( 1 ; + ∞)
(0 ; 4
/5)
 4x
5

- 1 < 0
 4x
5

< 1
4x
x1

 < 0
0
1-4
0
)4( x
4)( x.1
-
)4( x
5




0
)4( x
4-x-5


0
1

Caso 2: Se tiene que cumplir que ( 1 – x ) > 0 y ( x + 4 ) < 0
De ( 1 – x ) > 0 me queda que 1 > x . De ( x + 4 ) < 0 me queda que x < - 4.
Representemos en una recta las dos desigualdades:
La solución que cumple con las dos desigualdades es S2 = (-∞ ; - 4 ). Ahora bien la
solución total es la unión de estos intervalos:
S2 U S1 = ( - ∞ ; - 4 ) U ( 1 , + ∞)
En la recta se vería así:
Rta: La solución al conjunto A es (- ∞ ; - 4) U ( 1 , + ∞)
FIN FUNCIONES LINEALES
0 1-4
-4 0 1

ASIMOV FUNCIONES CUADRÁTICAS- 44 -
FUNCIONES CUADRÁTICAS
¿ Qué es una función cuadrática ? Rta: son las funciones que tienen esta forma:
Fíjense que el valor a no tiene que ser cero porque sino estaría en el caso de una
función lineal. Siempre en las funciones cuadráticas el dominio serán los reales y
el codominio también. El gráfico de una f cuadrática es una parábola.
Vamos a graficar una función cuadrática fácil ⇒ Por ejemplo y = x2
¿ Cómo hago ? Bueno, le voy dando valores a x y saco los de y. Formo esta tabla
Fíjense que el gráfico es simétrico. Es decir, de los dos lados es igual. La función
y = x2
tiene la forma y = a x2
+ b x +c. Lo que pasa es que acá a vale 1 y b y c valen
cero. (es decir, tengo y = 1.x2
+ 0.x + 0). En el eje x uno mira eldominio. En el eje y
uno mira la imagen y el codominio. Puedo decir, mirando el gráfico que:
Ojo, es importante que recuerdes la manera de escribir intervalos !
Vamos a graficar otra función cuadrática un poco más complicada: y = - 2 x2
+ 3.
Hacemos la tabla y el gráfico:
f(x) = a x2
+ b x + c
FUNCIÓN
CUADRÁTICA

La parábola va para abajo. Eso pasa porque el término a es negativo. Siempre que a
sea negativo la parábola va a ir así: . ( Está triste ).
Si a es positivo la parábola va a ir para arriba. ( Sonríe )
El vértice de esta parábola está en el punto ( 0 , 3 ). El máximo está en x = 0. El eje
de simetría es el eje y. La imagen de la función será: Im (f): (-∞, 3]
OTRO EJEMPLO: Representar y = (x -2)2
+ 3
El ( x – 2) hace que toda la función se corra para allá en dos unidades.
El +3 hace que toda la función se corra para arriba en 3 unidades.
El mínimo de la parábola está en x = 2. El eje de simetría es la recta x = 2.
La imagen de la función es Im (f) = R ≥ 3
La función f(x) = (x–2)2
+ 3 no parece tener la forma f(x) = ax2
+ bx +c. Sin embargo
es una cuadrática. Fijate. Hago el cuadrado del binomio y veamos que da:
f(x) = ( x – 2 )2
+ 3 = ( x2
– 2.2 x + 22
) + 3
⇒ f(x) = x2
– 4 x + 4 + 3
⇒ f(x) = x2
– 4 x + 7
¿ Es lo mismo escribir la ecuación de cualquiera de las dos maneras ?
Rta: SI, es lo mismo. Lo que pasa es que si quiero graficar, la primera manera me
permite hacerlo prácticamente sin tener que hacer una tabla.
Por ejemplo quiero que dibujen a ojo esta función: Y = - 3 ( x + 1)2
+ 4. Vayan
pensándolo. ¿ Listo ? Bueno. ¿ a ver que hicieron ?
El + 1 me dice que la función está corrida para allá ← en 1 unidad. El + 4 me dice
que la parábola está corrida en 4 unidades para arriba. El - del 3 indica que va para
abajo. De manera que el gráfico tiene que dar algo así:
cuadrado del binomio

¿ El 3 que significa ? Bueno, solamente me dice si la parábola va a ser más ancha
o más angosta. ( así o así )
Ahora quiero poner todo esto en forma general. Supongamos que tengo la parábola
escrita en la forma f(x) = a (x - α)2
+ β
Eso querrá decir que el vértice está en el punto (α,β)
Ojo, (α , β ), NO (- α , β ). Recuerden esto.
Si a es positiva la cosa irá para arriba (sonriente ). Si a es negativa la cosa iría
así (triste).
El eje de simetría será la recta x = α.
VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA
Hay una cosa que se llama completar cuadrados. La deducción no la voy a hacer.
Les voy a dar las fórmulas finales. Estas fórmulas sirven para escribir la parábola
en la forma y = a (x - α)2
+ β, si a uno se la dan escrita en la forma f(x)= ax2
+ bx +c.
Las dos fórmulas son:
Vamos a hacer un ejemplo. Me dan la parábola f(x) = 2 x2
– 4 x +7. Tengo: a = 2 ,
b = -4 y c = 7. Entonces :

Tener formulitas así no es muy lindo. Vamos a ver esto. ¿ Cómo sé donde corta la
parábola al eje x ? Rta: Bueno, tengo que aplicar una fórmula que te debés acordar.
Es la fórmula de la resolvente de la cuadrática:
Para una de las soluciones uso el signo +, y para la otra uso el signo - . De ahí saco las
2 raíces x1 y x2. Raíz quiere decir que ahí la función corta al eje x.
Hay 3 casos posibles. Puedo tener 2 raíces, 1 raíz o ninguna raíz.
¿ Cuándo tengo dos raíces ? Bueno, llamemos al término b2
–4ac, discriminante (∆).
* Si el discriminante es positivo, tendré dos raíces.
* Si el discriminante es cero, tendré una sola raíz
* Si el discriminante es negativo, no tendré ninguna raíz.
La representación de los 3 casos es:
RECTA TANGENTE
Es una recta que roza a la función en un punto. Es decir, no corta a la función, sino
que pasa justo por ahí apenas tocándola. Por ejemplo:
Supongamos que me dan: f(x) = – ( x – 2 )2
+ 1.
Según lo que vimos el gráfico da así:

Si me piden trazar la recta tangente a la parábola en el punto x = 1 y x = 2 tendría
que hacer lo siguiente:
Lo que quiero que veas es esto: cuando la función crece, la pendiente de la recta
tangente va a ser positiva. Cuando la función decrece, la pendiente de la recta
tangente va a ser negativa. ¿ y cuándo tengo un máximo o un mínimo que pasa ?
Rta: Bueno, la pendiente de la recta tangente va a dar CERO. Todo esto lo vamos
a usar mucho después cuando veamos derivadas e integrales.
Veamos un ejemplo:
Me dan la parábola y = - (x + 1) + 2. Me piden graficarla. Eso da así:
Las coordenadas del vértice son x = -1 e y = 2. Las escribo de la otra manera:
f(x) = - ( x + 1 )2
+ 2 = - ( x2
+ 2x + 1) + 2
⇒ f(x)= - x2
- 2x - 1 + 2
⇒ f(x)= - x2
– 2 x + 1
¿ Cuáles son las raíces ? Bueno aplico la formulita:

CONJUNTO DE POSITIVIDAD
Son los valores de x en donde la función es positiva. Para saber donde una función
es positiva, lo que tengo que hacer es mirar el gráfico y ver si la curva está por
arriba o por debajo del eje x. Eso es todo.
Si miran el gráfico van a ver que la función toma valores positivos para los valores
de x comprendidos entre las dos raíces. Es decir:
Al conjunto de positividad lo vamos a designar como C+ y en este caso va a ser:
También podemos hablar de conjunto de negatividad. Ese conjunto serían los valores
del dominio tales que en ellos la función es negativa. Lo designamos como C- y en
este caso sería:
El lugar donde la función no es positiva ni negativa son los x tal que en ellos la
función corta al eje x. Lo designamos como C0 y en este caso sería:
Vamos a este otro ejemplo:
Hallar el conjunto de positividad de la parábola: f(x) = ( x – 2 )2
– 2
Lo primero que hago es graficar la función. Veo que va para arriba y está corrida en
2 a la derecha y en 2 para abajo. Ahora hago el dibujo.

Para saber donde corta la parábola al eje equis, desarrollo el binomio al cuadrado.
Lo hago para tener escrita a f en forma de ax2
+ bx + c.
f(x) = ( x – 2 )2
– 2 = ( x2
- 2.2 x + 4) - 2
⇒ f(x) = x2
– 4x + 4 - 2
⇒ f(x) = x2
– 4x + 2
Tengo así: a = 1 b = - 4 c = 2
Hago la fórmula – b ± etc, etc y me queda:
x1 = 2 - 2 x2 = 2 + 2
Los conjuntos de positividad y negatividad van a ser:
C+ = (- ∞, 2 - 2 ) ∪( 2 + 2 , +∞)
C- = (2 - 2 , 2 + 2 )
C0 = {2 - 2 ; 2 + 2 }
Esto no es difícil. Hagan los ejercicios de la guía. Es siempre lo mismo. Grafican la
parábola, se fijan donde corta al eje x y después hallan los conjuntos de positividad
y negatividad.
INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA
Una recta y una parábola se pueden cortar o no. Tengo los siguientes casos:
Vamos a hacer un ejemplo:
HALLAR LA INTERSECCIÓN ENTRE LA RECTA
g(x) = 3x + 2 Y LA PARÁBOLA f(x) = 2x2
+ 8x -1

Bueno, lo que hago es graficar la recta y la parábola y ver donde se cortan.
Lo que hice fue resolver el ejercicio gráficamente. Ahora quiero resolverlo analíti-
camente. ¿ Qué hago ? A ver, piensen. Claro, tengo que igualar las dos ecuaciones
y despejar x. Entonces: Hago f(x) = g(x) :
⇒ 2x2
+ 8x - 1 = 3x + 2
⇒ 2x2
+ 8x - 3x - 1 - 2 = 0
⇒ 2x2
+ 5x - 3 = 0
Aplico la fórmula para las raíces de la ec. cuadrática y me da:
Estas son las coordenadas de x donde se cortan la recta y la parábola. Para hallar
las coordenadas y, lo que hago es reemplazar x1 y x2 en la ecuación de f(x) o de g(x).
Si hice todo bien, tendría que dar lo mismo. Si hago eso me da:
g(-3) = 3(-3) + 2 = -7
g(1/2) = 3(1/2) + 2 = 3.5
Entonces, los puntos de encuentro son:

Quiero que veas ahora otra aplicación de todo este tema de funciones cuadráticas.
Vamos a hacer el problema del rendimiento de la nafta.
PROBLEMA:
EL RENDIMIENTO DE NAFTA r (EN Km/LITRO) DE UN AUTOMOVIL ESTÁ
RELACIONADO CON LA VELOCIDAD ( EN Km/h ) POR LA FUNCIÓN:
r(v) = -1/3 v2
+ 60 v con 0 < v < 180
a) HALLAR LOS VALORES DE v PARA LOS CUALES EL RENDIMIENTO DE NAFTA
AUMENTA CON v Y LOS VALORES DE v PARA LOS CUALES EL RENDIEMIENTO
DE NAFTA DISMINUYE.
b) HALLAR LA VELOCIDAD PARA LA CUAL EL RENDIEMITNO ES MÁXIMO Y
CACULAR DICHO RENDIMIENTO.
a) Tengo que graficar la función r(v) = - 1/3 v2
+ 60 v. Esto me va a dar una parábola
que va para abajo. Fijate que el domino está restringido (la función solo ∃ para
valores de v comprendidos entre 0 y 180 Km/h.
Para graficar, hago lo de siempre. Calculo las coordenadas del vértice.
Haciendo las cuentas me da:
a) Entonces veo que el rendimiento de nafta aumenta en ( 0, 90 ) y disminuye
en ( 90, 180 ).
b) La velocidad para la cual el rendimiento es máximo es v = 90 Km/h. El máximo
rendimiento será r = 2.700 Km/L.

PROBLEMA: Se lanza una pelota desde 25 m de altura. Piden hacer el gráfico de la
posición en función del tiempo y preguntan en que momento la pelota vuelve a estar
a 25 m de altura. Dan como dato la ecuación de la posición en función del tiempo que
es: s(t) = - 16 (t-3)2
+ 169 Para t ≥ 0
Hago el gráfico de esto. Las coordenadas del vértice son ( 3, 169 ). Vamos a ver
dónde corta esta función al eje t. En este caso como tengo expresada la función en
la forma y = a (x-α)2
+ β. Puedo directamente despejar directamente ( t - 3)2
sin
usar la fórmula para la ecuación cuadrática. Igualo a cero:
- 16 (t -3)2
+ 169 = 0
⇒ - 16 (t -3)2
= -169
⇒ (t -3)2
=
16
169
Los 2 signos menos se cancelan. Ahora lo que no se tienen que olvidar es que cuando
pasan el 2
al otro lado como raíz cuadrada, esa raíz tiene doble signo.
Miren:
(t -3)2
=
16
169
⇒ t – 3 = ±
16
169
⇒ t 1,2 = 3 ± 3,25
Si hubiera hecho esto aplicando la fórmula para la ecuación cuadrática … ¿ me
hubiera dado lo mismo ?
Rta: Sí, claro. TIENE QUE DAR LO MISMO. (Probalo). El gráfico queda:
Si me preguntan en que momento pasa otra vez por la posición s = 25 m, la respuesta
es a los 6 segundos. Eso lo veo mirando el gráfico. Uno puede evaluar s = 25 m en la
ecuación, pero yo quiero que vean que la parábola es simétrica alrededor de la recta
vertical x = 3. Por eso sé que a los 6 segundos va a volver a estar a los 25 m.
De cualquiera de las 2 maneras que lo hagan está bien. Pero no se olviden este
asunto de la simetría de las parábolas. Puede ser que lo tengan que usar en algún
caso, como por ejemplo en éste de recién.

FUNCIONES CUADRATICAS - EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES
Este ejercicio no es complicado, sólo tenés que leer bien el enunciado y ordenar lo
que te piden. Vamos. Tenemos que encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
vértice de la parábola y = (x +1) (x + 7) y pasa por el punto en que la parábola corta
al eje y.
Calculemos el vértice de la parábola. Como la parábola es simétrica, las raíces van a
estar a la misma distancia del vértice. Entonces a xv la podemos calcular así:
Como la parábola está escrita como un producto, las raíces están a la vista:
xraíz 1 = -1 y xraíz 2 = -7
Reemplazando en la ecuación para calcular el vértice:
xv = - 4
Para calcular yv reemplazamos en la ecuación de la parábola y = (x +1) (x + 7)
yv = (- 4 +1) (- 4 + 7)
yv = - 9
Llegamos a uno de los puntos por los que pasa la recta es: P1 = (-4, -9 ). Busquemos
el punto donde la parábola corta al eje y, esto ocurre cuando x = 0.
y = (0 +1) (0 + 7)
y = 7
El otro punto por el que pasa la recta es: P2 = (0 , 7). Con estos dos puntos podemos
construir la recta. Bueno, lo que hago es escribir la ecuación de una función lineal:
f(x) = m x + b. Reemplazo ahora por los valores de P1 y P2:
f(- 4) = m. (- 4) + b = - 9
f(0) = m. 0 + b = 7
Esto es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
xv = (xraíz 1 + xraíz 2)
2
xv = (-1) + (-7)
2

Reemplazo b en la 1er
ecuación para calcular m
⇒ - 4 m + b = -9 ⇒ - 4 m + 7 = -9
⇒ - 4 m = -9 – 7
Rta : La ecuación de la recta queda así
La función cuadrática tiene esta forma: f(x) = ax2
+ bx + c. Tenemos tres
incógnitas: a, b y c. Entonces, necesitamos tres ecuaciones. Las sacamos de los
datos que nos dan:
- Pasa por el punto (-3 , 16) → f(-3) = a (-3)2
+ b (-3) + c = 9a – 3b + c = 16
- La abscisa del vértice es - 4 → xv =
a
b
2
− = - 4
- Pasa por el punto (-4 , -2) → f(-4) = a (-4)2
+ b (-4) + c = 16 a – 4b + c = - 2
Si resolvemos este sistema de tres ecuaciones, nos queda la función
a = 18, b = 144 y c = 286
→ f(x) = 18 x2
+ 144 x + 286
Los ceros de esta función los podemos calcular con la formulita:
a
acbb
2
42
−±−
→ Los ceros son -11
/3 y -13
/3
El dominio nos queda dividido en tres intervalos (lo dividimos en los ceros).
Vemos que es positiva en
m = -16 VALOR DE LA PENDIENTE
- 4 m + b = -9
b = 7
y = - 16 x + 7
(-∞, -13
/3) U (-11
/3 , +∞)

2. Sea f(x)= .Hallar el valor de c є R de manera que
la imagen de f sea el intervalo [-3;+∞). Para el valor de
c encontrado,hallar el conjunto de positividad de f
La función tiene un mínimo en el vértice. La abscisa del vértice la calculamos como
xv =
a
b
2
− . En este caso, nos da xv = -1
Entonces, el mínimo valor de la función va a ser
f(-1) = 3
/4 (-1)2
+ 3
/2 (-1) + c = c – 3
/4
Nos piden que la imagen de la función sea [-3 ; +∞) → el mínimo es -3
c – 3
/4 = -3 → c = -3 + 3
/4
→
Entonces, la función nos queda f(x) = 3
/4 x2
+ 3
/2 x – 9
/4
Calculamos los ceros:
a
acbb
2
42
−±−
→ 1 y - 3
El dominio nos queda dividido en tres intervalos:
(-∞ ; -3) → f (-4) = 15
/4 > 0
(-3; 1) → f (0) = -9
/4 < 0
(1; +∞) → f (2) = 15
/4 > 0
El conjunto de positividad es
FIN FUNCIONES CUADRÁTICAS
cxx ++
2
3
4
3 2
c = -9
/4
(-∞ ; -3) U (1 ;+∞)

ASIMOV POLINOMIOS- 57 -
* CONTINUIDAD
* POLINOMIOS
* COMPOSICION
DE FUNCIONES
CONTINUIDAD - TEOREMA DE BOLZANO - DIVISIÓN DE
POLINOMIOS - TEOREMA DEL RESTO - INTERVALOS DE
POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD - COMPOSICION DE
FUNCIONES
UN POLINOMIO DE
GRADO 4to. ( CORTA
4 VECES AL EJE X )

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Vamos a ver ahora el tema de funciones continuas y discontinuas. No es difícil.
Presten atención.
FUNCIÓN CONTÍNUA
Una función es continua cuando para dibujarla NO necesito levantar el lápiz de la
hoja. Por ejemplo:
Creo que esto lo entienden ¿ no? En x = 3 la función es discontinua. Pega un salto.
Para poder dibujarla necesito levantar el lápiz de la hoja. Esa es la idea.
Ahora miren esto:
Fíjense que esta función es discontinua en los puntos x = 1 y x = 5. Esto lo veo
mirando el gráfico. En todos los otros puntos la función es continua. Las funciones
lineales (rectas) y las cuadráticas (parábolas) son SIEMPRE CONTINUAS.
Supongamos que me dan una función que está definida en 2 partes:
En x = 2 la función es continua. Cambia su forma pero es continua. Vamos a afinar
más la definición de continuidad. Decimos así:
Una función es continua en un punto si acercándose por la
derecha o por la izquierda la función tiende a valer lo mismo.
FUNCIÓN
CONTÍNUA

Para el ejemplo que les di, si me acerco al punto x = 2 viniendo así →, la función
toma el valor 4. Si me acerco a x = 2 viniendo así ← la función también vale 4. Esto
me está diciendo que la función es continua en x = 2.
Vamos a este otro ejemplo: Me dan una función que está definida de esta manera:
Voy a hacer el gráfico. Puedo hacerlo dando valores o pensando un poco. La primera
parte es una parábola y la segunda parte es una recta. Esto da algo así:
Pregunto: ¿ Es continua la función en x = 1 ? Rta: Bueno, acerquémonos por derecha
y por izquierda y veamos que pasa:
Veo que viniendo por la derecha la función vale 5 y viniendo por la izquierda la
función vale 2. Eso me está diciendo que la función no es continua.
Vamos a este otro ejemplo. Una función que está partida en 3. Viene definida así:
De acuerdo a lo que me dice la definición, voy dibujando la función. Primero dibujo lo
que pasa antes de llegar a 2, después justo en 2 y después para x mayor que 2.
Da algo así:

Miren bien, chicos. ¿ Es continua ? No. A ojo ya ve que no es continua porque el
dibujo pega un salto en x = 2. ¿ Lo ven ?
Ojo ! La función ∃ en x = 2 ! Ahí f(x) Vale cero. Sin embargo no es continua. Para
poder probar esto tengo que aplicar la definición rigurosa que es la de ir
acercándose por izquierda y por derecha.
Si hago eso, veo que viniendo así → la función vale - 1. En cambio, si vengo así ←
la función vale 5.
¿ Será continua la función ? Rta: NO, porque los valores no coinciden.
Vamos a ver esto: quiero que tengan una idea del concepto de asíntota. Esto lo
vamos a usar mucho después. Miren: tenemos una función que va de los reales a los
reales definida como:
Lo que quiero que vean es, a ver, ¿ qué pasa con la función cuando me voy acercando
al origen ? Bueno, la función se hace se hace asintótica al eje y. Bueno, y... ¿Qué
significa esto? Significa que la curva se acerca más y más al eje pero nunca lo corta.
Digo entonces que la función tiene una asíntota vertical en x = 0, La asíntota es el
eje y.
¿ Y que pasa cuando tomo valores de x muy grandes ? (100, 1.000, 1.000,000). La
función se acerca más y más al eje x pero no lo corta. ¿entonces el eje x qué es?
Rta.: Una asíntota horizontal cuando x tiende a infinito. Del lado negativo de la
función pasa exactamente lo mismo ¿ lo ven ?
TEOREMA DE BOLZANO
No voy a dar la demostración de este teorema. Solo quiero que entiendan la idea.
Tengo una función continua en un intervalo. Supongamos que de un lado del intervalo
es negativa. Eso quiere decir, dice Bolzano, que obligatoriamente, dentro de ese

intervalo, hay un punto en el cual la función vale cero. Miren el dibujo.
Entonces, resumiendo: si en un intervalo (a,b) una función cambia de signo, en ese
intervalo habrá un cero de la función. ¿ Lo ven ?
EJEMPLO:
Me dan una función continua y me dicen que sólo tiene dos ceros. Pero no
me dan la función, me dan un tabla:
x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2
f(x) 3 2 - 3 - 4 2 3 4
Dibujemos estos puntos en un gráfico y contestemos esto: ¿ En qué intervalos de
amplitud 1 estarán los ceros de f ?
Me fijo en qué intervalo la función cambia de signo. Veo que eso pasa en (-3, -2 )
y en (- 0). Entonces en esos intervalos estarán los dos ceros de la función.
¿ Cómo es el dibujito de la función ? Rta: no lo sé. No sé que forma tiene.
Lo único que sé que corta al eje x en los intervalos que marqué. ¿ Lo repito ?
Ahora veamos esto. Supongamos una función continua que tiene ceros en x x2, x3
y x4 ¿ Qué pasa si estos ceros son consecutivos ? ¿ Podría la función tener esta
forma?

Pasa que entre dos ceros consecutivos la función no puede cortar al eje x. Eso
quiere decir que entre dos ceros consecutivos, la función debe tener todo el tiempo
el mismo signo. Es decir, todo el tiempo será positiva o todo el tiempo negativa.
¿ Para qué me sirve esto ? Rta: Para poder determinar intervalos de positividad
y negatividad. Pongamos esto en forma matemática:
La función podrá ser positiva en ese intervalo o negativa en ese intervalo. Pero no
podrá cambiar de signo.
EJEMPLO:
Me dan una función continua cuyos únicos ceros son: f(-1) = 0 y f(1) = 0, Además me
dicen que: f(-2) = f(2) = 2. Piden dibujar la función en forma aproximada.
Como es exactamente el gráfico de f, no lo se. Sin embargo se que va a tener esta
forma:
Esto es todo lo que hay que saber sobre el teorema de Bolzano.
FUNCIONES POLINÓMICAS
Son funciones de este tipo:
Ojo, las funciones cúbicas no siempre tienen esta forma
SI TENGO UNA FUNCIÓN CONTINUA QUE TIENE 2 CEROS
CONSECUTIVOS X1 y X2, ENTONCES:
∀ X ∈ (x1,x2) , F(X)> 0 o F(X) <0

Lo mismo con las cuárticas. No siempre son parábolas. Puede haber cuárticas y
cúbicas que sean así :
Un polinomio es una cosa que tiene esta forma:
A esto se lo llama función polinómica. Ojo, algunos de los términos pueden ser cero.
Por ejemplo puedo tener algo así:
Acá los valores de cada término son:
Si el polinomio fuera :
A la potencia más grande que tiene el polinomio se la llama GRADO DEL POLINO-
MIO. Por ejemplo, las funciones lineales son polinomios de grado 1. Las funciones
cuadráticas son polinomios de grado 2. Las funciones cúbicas son polinomios de grado
3 (y así siguiendo).
¿Y qué pasa con las constantes? (los números). Por ejemplo, ¿qué grado tiene el
polinomio f(x) = 2 ? Piensen ¿ A qué potencia está elevada la x ?
Rta: A la cero. Por lo tanto f(x) = 2 es un polinomio de grado cero.
Vamos a hacer un ejercicio. Me dan esta función polinómica y me piden hallar los
ceros y los intervalos de positividad y negatividad.
¿ Qué tengo que aplicar ? El teorema de Bolzano. Bolzano sólo vale para funciones
continuas. Eso anótenlo. Los polinomios de cualquier grado son siempre funciones
continuas. Vamos a buscar los ceros de la función que me dan. Igualo a cero :
= 0

¿ Qué hago ? ¿ Hago distributiva ? Nooooo ! Al revés !! Si hago distributiva me
complico más. Piensen. Si cualquiera de los paréntesis da cero, la función dará cero.
Entonces las 3 posibilidades van a ser:
De acá sale:
Fíjense una cosa. Un polinomio de grado n podrá cortar al eje x a lo sumo (como
máximo) en n puntos. Por lo tanto, un polinomio de grado n tendrá como máximo
n raíces. Eso es importante. Busquemos ahora los intervalos de positividad y
negatividad. Tengo que los ceros de la función están ubicados así:
Lo que hago entonces es darle a la función valores que estén dentro de estos
intervalos. Como estos son todos los ceros de la función, en esos intervalos la
función tendrá siempre el mismo signo. Tenía:
Entonces:
Hago una tablita con los signos que obtuve y ya puedo dibujar aproximadamente
la función. Queda algo así :

Los conjuntos de positividad y negatividad van a ser:
OTRO EJEMPLO
Dado el siguiente polinomio hallar los ceros y los intervalos de positividad y
negatividad:
¿Cómo hago en este caso? Bueno. Acá tengo que darme cuenta de que puedo sacar
equis factor común en el 1er paréntesis. La cosa quedaría:
Igual que antes, tengo 3 posibilidades para que todo el bicho dé cero. Estas
posibilidades son:
De acá saco todos los valores de x que hacen cero el asunto. (ojo van a ser 5)
Lo que sigue es todo igual al ejercicio anterior. Creo que lo pueden hacer solos.
Chicos, les recomiendo que no se atrasen. Hagan los ejercicios de la guía.
Cualquier cosa que no entiendan, pregunten.

EJERCICIO:
DADA LA FUNCIÓN
PROBAR QUE f TIENE CEROS EN LOS INTERVALOS ( 1 , 2 ), ( 4 , 5 ) Y ( 41 , 42 )
Para resolver esto uso el teorema de Bolzano: si de un lado del intervalo la función
es positiva y del otro lado es negativa, quiere decir que por el medio la función
deber ser cero. ( Esto vale para funciones continuas, no se olviden)
¿ Qué tengo que hacer ? El primer intervalo que me dan es el (2). Entonces tengo
que reemplazar x = 1 en la función y x = 2. Si uno da positivo y otro da negativo, eso
querrá decir f tiene un cero en ese intervalo. Veamos:
La función tiene un cero en el intervalo (2). Voy ahora al intervalo (4; 5). hay que
hacer todas las cuentas. Yo les pongo el resultado:
Por el teorema de Bolzano la función tiene un cero en el intervalo (1,4; 1,5). Para
el intervalo (41 ; 42) me da: f(41) = -0,028 ; f(42)= 0,039. Bueno, así vamos
conociendo con más exactitud el valor de la raíz. Sabemos que está entre 41 y 42.
¿ Podría haber MAS de una raíz en ese intervalo ? Piensen. Si, podría. El enunciado
no aclara nada al respecto. Lo que sabemos es que por lo menos hay una raíz.
Hay algunos ejercicios que piden hallar un cero de la función con un error menor
que 0,001. Lo que están pidiendo es que calcule x con 3 decimales. Eso es todo.
Lo que hay que hacer es esto: sé que la función tiene una forma así:

Tengo que ir probando con muchos valores entre 1,41 y 1,42. Hasta lograr un valor
de x tal que ⎢f(x) ⎢sea menor que 0,001.
Uno no puede saber a priori donde está la raíz. Sabe que está entre 1,41 y 1,42,
pero … ¿ dónde ? Entonces voy dando valores. Voy probando hasta pegarle. Se que
es un plomo pero es así. Difícil que tomemos esto en el parcial. No nos interesa que
se maten haciendo cuentas.
Los ejercicios que siempre se toman son parecidos a estos pero tienen una variante.
Suele dar un polinomio de grado cúbico como por ejemplo:
y dicen que una de las raíces es 1. Suelen pedir hallar todas los demás raíces e
indicar los intervalos de positividad y negatividad. Para poder resolver ejercicios
de este tipo tienen que saber factorear polinomios. Ese es el tema que voy a
explicar la clase que viene.
DIVISION DE POLINOMIOS
Supongamos que quiero dividir f(x) = 2x4
– 3x3
+ x2
– 4 por g(x) = 2 x2
+ 3x - 1.
Voy haciendo esto:
La división se termina cuando el resto tiene grado menor que el cociente. Siempre el
cociente de la división por el divisor más el resto me da el polinomio original.
Quiere decir que:

En el caso anterior:
TEOREMA DEL RESTO
Supongamos ahora que tengo un polinomio f(x) y lo divido por (x-a).
Entonces, puedo decir cual va a ser el resto de la división (sin dividir los polinomios)
Estoy dividiendo un polinomio f(x) por otro de la forma ( x – a ). En este caso a = 1.
Entonces reemplazo x = 1 en el polinomio:
OTRO EJEMPLO:
HALLAR EL RESTO AL DIVIDIR
En este caso vuelvo a usar el teorema con a = -3. Entonces Lo que hay que hacer
es sólo aplicar el teorema.

Resto = - 53
¿ Qué pasa ahora si el número a es justo una raíz del polinomio ?
Rta: Tiene que pasar que f(a) es cero, es decir, el resto será cero. Esto lo vamos
a usar. Traten de entenderlo.
Vamos a hacer un ejemplo. Supongamos que me dan:
Y me dicen que x = - 1 es una raíz. Me piden sacar las otras 2 raíces. ¿ Cómo hago ?
Primero pruebo a ver si x = - 1 es efectivamente una raíz:
Lo que hago es dividir el polinomio que me dan por el término ( x – la raíz). Entonces,
en este caso me queda ( x – (-1) ) = x + 1. Hago la división choclaza :
¿Qué logré con esto? Logré que ahora puedo expresar el polinomio como:
Esto es lo que se llama factorear el polinomio. Con el polinomio factoreando ya
puedo saber las demás raíces. El paréntesis (x2
– 4) lo puedo poner como:
Entonces las 3 raíces del polinomio que me daban son:
Teniendo las 3raíces ahora podría hallar los intervalos de positividad y negatividad.
A eso apunta todo esto. La idea es que aprendan a factorear polinomios para hallar
los intervalos de positividad y negatividad. Eso es todo.

Si por ejemplo, me dicen que tengo un polinomio de grado 3 cuyas raíces son x1 = 1 ,
x2 = -3 y x3 = 4, eso quiere decir que el polinomio tiene que tener la forma:
Lo único que hay que darse cuenta es de que todo el polinomio podrá estar multipli-
cado por un número a, y las raíces seguirían siendo las mismas. Es decir que puedo
poner a f(x) como:
El valor a podría ser cualquier número ( 2, 3, etc)
EJEMPLO:
HALLAR UN POLINOMIO DE GRADO 3 QUE TENGA RAICES
EN x = 0, en x = 3, en x= -3 y QUE EN 2 VALGA (f(2) = 1)
Hago lo mismo que hice recién. Me dicen que las raíces son: x1 = 0, x2 = 3 y x3= -3.
Quiere decir que el polinomio tendrá que tener la forma:
Pero atención! Todo esto puede estar multiplicado por un número a. Entonces:
Hasta acá vamos bien. Ahora hay que considerar la parte que dice que f(2) tiene
que ser 1. Hago:
Entonces el polinomio pedido es:
OTRO EJEMPLO:
DICEN QUE LA TEMPERATURA EN FUNCIÓN DEL TIEMPO SIGUE ESTA FUNCIÓN:

ACLARAN QUE PARA ESTA FUNCION t = 0 CORRESPONDE A LAS 6 DE LA MAÑANA.
Hago la representación de f(t) que me da así:
Los intervalos de positividad y negatividad son los que marqué. Supongamos que
me piden probar que entre las 12 y las 13 horas la temperatura fue de 32 ºC.
Hay que darse cuenta que la equivalencia es la siguiente:
Lo que están pidiendo entonces es probar que para t comprendido entre 6 y 7 la
función vale 32. No se compliquen, chicos. Miren el gráfico. Le di a t el valor 6 y
que pasó? Obtuve que la temperatura a esa hora (las 12) era 32,4º. Veamos que
pasa una hora después. Una hora después significa las 13 hs, es decir, t = 7.
Le doy el valor t a la función y saco la temperatura.
¿Entonces qué pasa? Pasa que la representación sería la siguiente:
La función es continua. Quiere decir que si en un momento la temperatura era de
32,4º C y en otro momento era de 29,75 ºC, debió haber algún momento intermedio
en donde la temperatura fue de 32 ºC.

EJERCICIO
HALLAR UNA FUNCIÓN DE GRADO 3 SABIENDO QUE CORTA
AL EJE X EN LOS PUNTOS 0, 1 y -3 Y ADEMÁS f(-1) =1.
Lo que hago es poner el polinomio en su forma factoreada. Las raíces son: x1 = 0,
x2 = 1 y x3 = -3. Entonces el polinomio va a ser :
Ahora, no me tengo que olvidar que en su forma general el polinomio está
multiplicando por un número cualquiera a. Entonces:
Me piden ahora que f(-1) valga 1. Le doy a la función el valor - 1 y lo igualo a 1.
El polinomio buscado es:
EJERCICIO
SABIENDO QUE EL POLINOMIO
CORTA AL EJE EN X (2 , 0), CALCULAR:
a) TODOS los puntos del gráfico donde f corta al eje x.
b) Los intervalos de positividad y negatividad C+ y C-
c) Hacer el gráfico aproximado de f.
Este tipo de ejercicios tienen que saberlos porque siempre los tomamos en los
parciales. Sé que una de las raíces es x = 2. Entonces puedo factorear al polinomio
dividiéndolo por (x-2). Fíjense:

El resto tiene que ser cero por el teorema que dice que si a es raíz del polinomio,
el resto vale cero. Entonces divido.
El polinomio factoreado queda: f(x) = ( x – 2 ) ( x2
+ 1/2 x - ½ ) + 0. Para sacar las
raíces del paréntesis ( x2
+ 1/2 x - ½ ) lo igualo a cero y uso la ecuación cuadrática:
Entonces, las raíces del polinomio f(x) son: x1 = 2 , x2 = ½ y x3 = -1
Puedo escribir a esto como:
Ya contesté el punto a) que pedía hallar los puntos donde f(x) corta al eje x.
Voy al punto b), que pide los intervalos de positividad y negatividad. Entonces
voy a escribir el polinomio en su forma factoreada. Eso queda:
f(x) = (x-2) (x – ½) (x+1)
Ahora hago la tablita:

No hace falta que hagan toda la cuenta. Interesa solamente el signo que la función
toma en ese intervalo.
c) Sabiendo los intervalos de positividad y negatividad puedo dibujar el gráfico
aproximado de f. Eso da así:
Quiero aclararles una cosa. Supongamos que tengo un polinomio como este :
Cuidado ! Para hacer la división la división de este polinomio por otro tengo primero
que completar el polinomio original con los términos que faltan. En este caso daría:
ECUACIONES BICUADRÁTICAS
Chicos, miren un poquito esta ecuación:
Lo que hay que hacer para resolver estos ejercicios es llamar con otra letra a x2
.
Por ejemplo “y”. Me queda:
Esto si lo se resolver. Es una cuadrática común. De acá saco 2 valores, y1 e y2.
bueno, usando la cuadrática me da:
Pero atención ! Ahora para sacar los x, tango que hacer: ⏐x⏐ = y (porque y era
igual a x2
) De manera que en realidad obtengo 4 valores por el doble signo de la raíz.

Estos 4 valores son:
Las ecuaciones bicuadráticas no tienen nada de complicado. Sólo hay que hacer el
reemplazo x2
igual a y para después hacer las cuentas. ¿ Qué es lo único de lo
que no me tengo que olvidar ? Rta. Del doble signo de la raíz al hacer ⏐x⏐ = y .
Esto es todo.
EJERCICIO TIPO PARCIAL
HALLAR LAS RAICES DEL POLINOMIO
SABIENDO QUE CORTA AL EJE X EN X = - 2.
Bueno, acá se que -2 es raíz de la ecuación. Entonces puedo dividir al polinomio que
me dan por ( x + 2 ) y el resto dará 0. Entonces, completo el polinomio y lo divido:
El polinomio factoreado queda así:
Ahora... ¿Cómo factoreo al polinomio
Bueno, tengo que darme cuenta de que puedo sacar el x como factor común. Quiero
decir que puedo poner:
Las raíces del paréntesis de la derecha las puedo sacar aplicando la cuadrática.

Si hago todas las cuentas me da:
Es decir, 1 es raíz doble. Puedo factorear ahora a 3x2
- 6x + 3. Lo puedo poner
como a (x - x1) (x - x2). Me queda:
Finalmente el polinomio f(x) factoreado será:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si uno tenía un conjunto de partida A, yo agarraba un elemento x de A y lo mandaba
a B a través de la función f(x). Eso lo simbolizamos con este dibujo.
¿Se acuerdan? ¿Qué pasa ahora si a lo que obtuve (f(x)), le aplico a su vez una
función g y lo mando a un conjunto C? En ese caso el dibujo sería así:
Esto que hice se llama hacer una composición de funciones. Es decir, componer a
una función f con una función g es hacer la cuenta g[f(x)]. Vamos a anotarlo así:
No se preocupen mucho por esto ahora. Ya lo van a entender mejor al hacer los
ejercicios. Miren este :

EJEMPLO:
DADAS LAS FUNCIONES
HALLAR f COMPUESTA CON g Y g COMPUESTA CON f.
Analicemos primero las funciones que me dan:
Analicemos lo que obtuve. Al hacer la composición me dio:
Lo hago ahora al revés. Hago f o g (x). Me da:
Quiero que vean que componer f con g no es lo mismo que componer que componer
g con f. ( Lo vieron, no ? )

Ahora vamos a este otro caso: Supongamos que me dan
¿Qué pasa si quiero hacer f de g(x) ? Veamos:
Fíjense. No le puedo dar a esta función que obtuve el valor x = -1.
La función 1/x+1 no existe en x = -1. Entonces:
Lo que quiero que vean es que la composición f o g se va a poder hacer siempre que la
imagen de g(x) esté dentro del dominio de f. Es decir:
OTRO EJEMPLO
¿Cuáles son el dominio y la imagen de la composición?
Hagamos ahora el revés y vamos que pasa:

OTRO EJEMPLO MAS
Los dominios y las imágenes de estas funciones son:
Fíjense que puse que la Im de f(x) eran sólo los reales mayores o iguales que cero.
Eso lo hice para que la función f(x) = x fuera función: Hago primero g de f de x:

Vamos ahora a esto otro:
Lo que quiero que vean es ésto ¿Qué pasó con el gráfico original de la función x2
?
Bueno, hagamos algunos dibujos:
¿A qué voy? Voy a que componer una función f cualquiera con una función lineal,
lo que me hace siempre es correrme todo el grafico en alguno dirección así: →
o así ← o para arriba y para abajo. Eso sí es importante. Anótenlo. Componer una
función cualquiera con una función lineal hace que el gráfico de esa f se corra para
arriba, para abajo, para la derecha o para la izquierda.
Chicos, ahora presten atención. Vamos a ver un tema que en general siempre les
cuesta bastante. Anoten:
CAMBIOS DE ESCALA
Ahora vamos a ver composición de funciones que provocan cambios de escala.
Supongamos una función así:
Si la función lineal que me dan es f(x) = 2x, la composición f[g(x)] lo que hace es
achicarme el dominio.

Es decir que el dominio de la función compuesta va a dar así:
Esto tienen que pensarlo un poco. Vamos a esto. Dejo la función f como esta y
tomo g(x) = - x. La composición da:
Quiere decir que lo que antes pasaba para x, ahora va a pasar para –x. Eso se ve
bien en el gráfico. Miren. El gráfico queda igual pero para el otro lado. Es como
si se hubiera reflejado en un espejo:
Quiero componer ahora pero al revés. Voy a hacer g[f(x)]:
g[f(x)] lo que me hace ahora es reflejarme todo respecto al eje x. Eso me daría
algo así:

Lo que tienen que entender es que componer una función cualquiera con una función
lineal provoca cambios de escala o corrimientos a la derecha o a la izquierda o
arriba o abajo. La función se puede agrandar, se puede achicar, puede reflejarse
sobre el eje x o sobre el eje y. Eso es lo que quiero que vean.

ASIMOV FUNCION INVERSA- 83 -
FUNCIÓN
INVERSA
Recta a 45º
( Espejo )

Ustedes saben que puedo tener una función F que va de un conjunto A a otro
conjunto B. Ahora busco la función INVERSA, es decir la función que va de B a A.
Pregunto: ¿ Siempre existirá esa función ? Fíjense en este ejemplo:
¿ Podría ser F-1
una función ? Respuesta: no. Fíjense que no. Hay dos cosas que
no se cumplirían. Por un lado habría un elemento que no tendría imagen ( ).
Por otro lado habría un elemento con dos imágenes ( )
Entonces, ¿qué tendría que pasar para que existiera función inversa ? Y bueno,
de cada elemento tendría que salir UNA SOLA flecha y esa flecha tendría que
llegar a UN SOLO elemento. Es decir, tendré funciones inversas cuando tenga
gráficos de este tipo:
Esto escrito en forma matemática queda así:
1) se debe cumplir que Imagen f = Codominio F
2) dado un elemento Y0 que pertenece a la imagen de F, debe existir
un único x0 que pertenezca al dominio de F tal que F(x0) = Y0
A estas dos cosas le vamos a poner nombre. Decimos así (esto anótenlo):
FUNCIÓN SURYECTIVA: una función es suryectiva si la imagen de la función
coincide con el conjunto de llegada (codominio).
FUNCIÓN INYECTIVA: una función será inyectiva si cada Y0 es imagen de un
único elemento del dominio.
FUNCIÓN INVERSA
A f B A f-1
B
ESTA FUNCIÓN
PUEDE TENER
INVERSA

Ahora, si una función es suryectiva e inyectiva a la vez decimos que la función
es BIYECTIVA. Siempre que una función sea BIYECTIVA tendrá inversa.
Vamos a ver algunos ejercicios para reconocer cuándo una función es biyectiva,
suryectiva y todo eso.
EJEMPLO:
Dada la función f(x)= x + 2 decir si tiene inversa.
Bueno, hagamos el gráfico:
El Codominio son todos los reales. La imagen de la función también son todos los
reales. De manera que la función es suryectiva. Toda la imagen coincide con todo
el codominio. 2Para saber si es inyectiva tengo que fijarme si existe algún valor
Y0 que sea imagen de dos elementos. Para eso trazo una recta paralela al eje x
y me fijo si corta la función en más de un punto.
Veo que la recta corta en un solo punto, ⇒ la función dada es inyectiva.
Conclusión: F es suryectiva e inyectiva, ⇒ F es biyectiva y tiene inversa.
Vamos a este otro caso: Miren esta función:
Veo que la imagen son ℝ≥0. El codominio son todos los reales, por lo tanto F(x)= x2
no es suryectiva. Si trazo una recta horizontal, veo que corta el gráfico en más de
un punto. ⇒ la función dada tampoco es inyectiva. Entonces... ¿ tendrá inversa ?
Rta : No, por que no es biyectiva.
← f(x)= x2
y ← y = x + 2
x
Y0

Ahora vamos a hacer unos ejemplos más:
EJERCICIO: Dado el siguiente gráfico:
a) Resolver la ecuación F(x)=0.
b) ¿ Para qué valores tiene solución la ecuación F(x)= Y0?
a) Bueno, ¿ cuándo la función dada valdrá cero ? Me tengo que fijar para Y0 = 0,
cuánto vale x. Mirando el gráfico veo que F(x) es igual a cero en X = 0, por lo tanto
la respuesta es X = 0.
Si me piden cuándo la función dada vale 1, trazo una recta horizontal en Y0 = 1
y me fijo dónde corta a la función. El x correspondiente al lugar donde la recta
corte, será la solución.
b) Ahora, ¿ entre qué valores puedo mover la recta horizontal tal que corte a la
función?. Bueno, entre –2 y 2. Cualquier recta horizontal que esté en el intervalo
(-2;2) corta la función en un solo punto.
Por lo tanto, la ecuación F(x) = Y0 tiene solución para todos los Y0 ε (- 2 , 2). La
función dada, ¿tendrá inversa?. Bueno, así como está no, por que la Im f = (-2,2)
y el codominio son todos los reales, de manera que en principio la función no sería
suryectiva. Sin embargo, si restrinjo el codominio y digo que el codominio de f =
(-2 , 2) , entonces ahí sí la función sería suryectiva.
Esto de restringir el dominio o el codominio se puede hacer. Ahora: ¿la función
dada es inyectiva? Sí, es inyectiva porque rectas horizontales la cortan en un sólo
punto. Es decir, que si restrinjo el codominio la función dada es biyectiva y tendrá
inversa. Si no restrinjo el codominio, la función no es nada. Fíjense entonces que el
hecho de que una función tenga inversa o no, depende un poco de cuáles sean el
dominio y el codominio.
Vamos a otro ejemplo.
Esta es la solución
Esta recta trazo →
x

EJERCICIO:
Dada la función F(x)= x2
+ 3 decidir en qué caso existe
por lo menos una solución de la ecuación F(x) = Y0.
Bueno, supongamos que me dicen que Y0 = 7. Me queda:
F(x) = 7 ⇒ x2
+ 3 =7 ⇒ x2
= 7 –3 ⇒ 4=x ⇒ x= ± 2
¿La función dada será inyectiva?. No. Porque hay dos valores de x (2 y –2) que
vayan a parar al mismo Y0 (7). Esto se puede ver en el gráfico
Es decir, la ecuación: x2
+ 3 = Y0 tiene solución para todos los Y0 ≥3. ¿Será única
la solución? No. Siempre tendré dos soluciones. El único caso donde tengo una sola
solución es para x=0 (ahí la función vale 3). Ahora piensen: F(x) = x2
+ 3 ¿cuándo
tendrá solución la ecuación f(x)=Y0? Y bueno, hago F(x)=Y0 y me fijo qué pasa:
X2
+ 3= Y0 ⇒ x2
= Y0 – 3
⇒ 30 −= yx
Lo que se tiene que cumplir es que Y0 – 3 sea mayor que cero, entonces:
Y0 - 3 ≥ 0 ⇒ Y0 ≥ 3
La ecuación F(x)=Y0 tendrá solución siempre que Y0 sea mayor o igual que tres.
La imagen de la función será [3; +∞). Lo importante de entender es esto: ¿ qué
hacía la función F(x)? Yo le daba un x y ella me daba un Y.
Ahora... ¿qué hace la función 3−= yx Exactamente lo contrario. Yo le doy un
valor de Y, y ella me da un x.
A esto apunta todo este asunto de las funciones inversas. ¿lo ven, chicos?.
EJERCICIO: Dada la función F(x)= (x-1)2
+2 que va de ℝ en ℝ, decir si:
a) ¿es inyectiva?
b) ¿es suryectiva?
c) Calcular la imagen.
7
← y = x2
+ 3
-2 2

← y = (x-1)2
+ 2
2
1
Despejo x de Y= (x-1)2
+ 2 . Me queda: y – 2 = ( x – 1 )2
⇒ x – 1 = ± 2−y ⇒ x= 1 ± 2−y
Me queda entonces: x= 1 ± 2−y
¿Cuál será la imagen de la función?. Tenemos que lograr que la raíz no me de
negativa, entonces:
2−y ≥ 0 ⇒ y-2 ≥ 0 ⇒ Y ≥ 2
Entonces la imagen de la función será Imf = [2; +∞). Eso también se ve si grafico
la función original que era F(x) = (x-1)2
+ 2. Es una parábola. Ustedes ya saben
eso. ¿ El vértice está en dónde ? Rta: En ( 1 ; 2 ).
Ahora, ¿será suryectiva la función?. No. La imagen son todos los reales mayores
o iguales que 2 y el codominio son todos los reales. La imagen no coincide con el
codominio y la función no es suryectiva.
¿Es inyectiva?. No, tampoco. Fíjense que si trazo una recta horizontal ella me
corta la función en dos puntos ⇒ no es inyectiva.
¿Tiene inversa? No. No es biyectiva, así que no tiene inversa.
Ahora quiero que vean algo. Vamos a hacer que la función tenga inversa. Fíjense:
Para hacer eso tendría que cambiar un poco la función. Es decir, elimino la parte
que me hace que la función no sea inyectiva. La cosa queda así:
Es decir, restringí el dominio para que la rama izquierda no exista. La función
ya es inyectiva. Ahora tengo que hacer que sea suryectiva. ¿ Cómo hago ?
Piensen. Lo que tengo que hacer es restringir también el codominio. Digo:
Cod f = [ 2, +∞ )
Lo saco→
←Y= (x – 1)2
+ 2
Con Dom F = ℝ ≥ 1

←Y= (x – 1)2
+ 2
Dom (f)1
Cod (f)
2
Ahora el codominio coincide con la imagen y la función es suryectiva.
Entonces la función esta:
Va a ser biyectiva. ¿Tendrá inversa? Y sí. Justamente sí. Para eso hice todo
esto de restringir dominio y codominio. Chicos, una cosa. Para hablar de la función
inversa de F la ponemos así: F-1
. Ahora, ojo. Esto no quiere decir “hago la cuenta
1/F”. Nada que ver. Por favor, no me hagan horrores en los parciales. Cuando les
piden: “Hallar F-1
” están queriendo decir que busquen la función inversa. Nada más.
El asunto de poner que la inversa de F es F-1
es sólo una manera de escribirlo.
F-1
es sólo una notación para expresar: “función inversa de F”. Es decir, lo que
tengo es esto:
La función va del dominio A al codominio B. La inversa va al revés, del conjunto
B al conjunto A.
Volvamos al ejercicio. Me habían dado la función F(x)= (x-1)2
+ 2. Llegué a la
conclusión que restringiendo el dominio y el codominio, podía encontrar la inversa
que era: F(y)= 1 + 2−y
Ahora vean esto. F(y) es F-1
¿ s i? Bien. ¿ Cómo hago para graficarla ?. ¿ Le doy
valores a Y y saco los de X? No. Primero lo que tengo que hacer es reemplazar la
Y por la X para poder graficarla. Tenía: F(y)= 1 + 2−y
Cambiando la Y por la X me queda: F(x)= 1 + 2−x
Ahora si, ya la puedo graficar. Tengo que darle valores a x y saco los de F(x).
Noten una cosa. La función no me quedó 1 ± 2−x . Me quedó 1 + 2−x .Eso es por
la restricción que hice del dominio al principio. Entonces, voy dando valores y me
queda esto:
A B
f
f-1
X Y

2
Y= (x-1)2
← recta y =x
←f-1
(x)= 1 +
2−x
Y
1 X
Lo que quiero que vean es que el gráfico de la función inversa es simétrico al
gráfico de la función dada con respecto a la recta Y=X. Esto siempre es así.
Es como si la función F-1
fuera la F pero reflejada en un espejo que sería la
recta Y = X. Esto no lo olviden. Por favor. Repito: El gráfico de la función inversa
es siempre simétrico al de la función dada respecto de la bisectriz del primer y
tercer cuadrante, es decir la recta Y=X.
Por ejemplo, si me dicen que una función cualquiera tiene esta forma:
Yo sé que la función inversa será algo así:
En los parciales siempre pedimos que calculen funciones inversas y que las
grafiquen. Por lo tanto, estudien esto bien. ¿Hay dudas? ¿Entienden? ¿ Voy
demasiado rápido ?
Bueno, vamos a ver otro ejemplo.
Hallar la función inversa de 2
1
1
)( +
−
=
x
xf (si es posible). El dominio de
f=ℝ-{ 1 }. El codominio son todos los reales.
Bueno, lo que voy a hacer es igual que antes. Tengo que despejar x. Entonces:
2
1
1
)( +
−
=
x
xf ⇒ Y-2 =
1
1
−x
⇒ ( x-1).(y-2) = 1
Y
← función inversa
← recta y = x
Función
dada →
x

⇒ x - 1 =
2
1
−y
⇒ X = 1 +
2
1
−y
¿Cuál es la imagen de f ? Bueno, según lo que despejé, Im f = ℝ - { 2 }. Ahora,
¿ Es suryectiva ? Y...no. Porque el codominio eran todos los reales y la imagen
son todos los reales menos el elemento 2. Por un elemento la imagen no coincide
con el codominio y la función no es suryectiva. ¿Qué tengo que hacer para que si
lo sea ? Bien, restringir el codominio. Digo que con el codominio Cod f= ℝ-{2} la
función F(x) es suryectiva. Vamos ver ahora si la función es inyectiva. Bueno, hay
que hacer el gráfico de F y ver qué pasa cuando trazo rectas horizontales. Miren.
El gráfico de y =
x
1
era así:
¿ Cómo será ahora el de F(x-1), es decir Y= 1/(x-1) ?. Bueno, tiene que quedar
toda la función corrida para allá → en 1.
¿Y cómo será el gráfico de 2
1
1
)( +
−
=
x
xf ? Y bueno, ahora tengo que correr este
último gráfico que hice así: ↑ en dos. El gráfico de la función queda así:
¿Qué pasa si trazo rectas horizontales ? Bueno, éstas cortan a la función siempre
en un sólo punto. Quiere decir que la función dada es inyectiva. Fíjense que la
recta Y = 2 nunca corta a la función. Bueno, eso no importa. Lo que importa, es que
si la recta corta a la función, la corte en un solo punto. No importa que haya una
recta que no la corte en ningún punto.
← Y = 1/x
←y=
1
1
−x
Y
Recta
horizontal→
← y = [1/(x-1)] +2
2
1 x

Y= 1 +
2
1
−x
Conclusión, con la restricción del codominio, la función dada es suryectiva. Aparte
la función así como está es inyectiva. Por lo tanto, con la restricción del codominio
la función es biyectiva y tendrá inversa. Ahora viene la pregunta:
¿Cuál es la inversa? Y bueno, es la función que a cada Y le hace corresponder un
x, es decir, es lo que tenía antes. A ver. ¿qué fue lo que hice al principio? Había
despejado la x. Bueno, esa es la función inversa. Entonces:
X = 1 +
2
1
−y
ES LA FUNCIÓN INVERSA !
¿ Cómo es el gráfico de la función inversa ? Y bueno, para graficarla puedo aplicar
la regla que dice que la función inversa tiene que ser simétrica respecto de la
recta Y = X. Es decir que el gráfico me va a dar así:
Atención: ¿puedo graficarla dando valores y haciendo una tabla? Sí, claro. En la
función f(y) = 1 + [ 1 / ( y – 2 ) ] reemplazo la y por la x. Esto lo hago sólo para
poder graficar. No se olviden. Me queda:
Ahora si me quiero tomar el trabajo de darle valores a x y sacar los de F(x), lo
puedo hacer. Es un poco largo, pero lo puedo hacer. Con esto podría verificar si
el gráfico de la función inversa me da simétrico respecto de la recta y = x.
Otra cosa mas que quiero que vean es la siguiente: Tengo una función F. Hallo
la inversa F-1
. La función F era biyectiva, ¿ sí ? Y la F-1
¿ Cómo será ?
Claro, también biyectiva. Es decir que F-1
también tendrá inversa. Pregunta:
¿ Cuál será la función inversa de la función inversa ? Respuesta: la función dada.
Función inversa
Función dada

ASIMOV ASINTOTAS- 93 -
Cuando una función crece todo el tiempo o decrece todo el tiempo digo que
es una función MONÓTONA. Es como si fuera una función “aburrida”. Todo
el tiempo hace lo mismo: o crece o decrece. Miren estos ejemplos:
1 2 3 4 5
sube baja sube baja ver
FUNCIONES ESTRICTAMENTE CRECIENTES O DECRECIENTES.
Son funciones que no paran de crecer o no paran de decrecer. En los gráficos de
arriba, todas las funciones son estrictamente crecientes o decrecientes salvo el
número 5. E gráfico número 5 me muestra una función que no es estrictamente
monótona. Eso pasa porque hay un momento en donde la función es constante. No
crece ni decrece. Para saber si una función es creciente o decreciente lo que hago
es mirar el gráfico. Si sube todo el tiempo es creciente. Si baja todo el tiempo es
decreciente. Más adelante vamos a ver la manera rigurosa de demostrar que una
función es creciente o decreciente.
¿ Qué es una asíntota ? Bueno, son rectas a las cuales la función se acerca pero
nunca toca. Por ejemplo, si tengo la función 2
1
1
+
−
=
x
y , el gráfico da así:
¿Cuáles son sus asíntotas? Bueno, en el gráfico lo veo bien. Son las que marqué.
Ahora, dada una función ¿cómo hago para saber si tiene asíntotas ?
Bueno, miren, vamos a ver primero las asíntotas verticales. ¿ Qué pasa cuando me
voy acercando al valor x = 1 ? Bueno, si vengo por derecha (← así) la función sube
cada vez más y tiende a más infinito (+ ∞).
Si me acerco a x = 1 por la izquierda (→ así) la función tiende a menos infinito. (-∞).
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES (MONÓTONAS)
ASÍNTOTAS
← Asíntota vertical x = 1
←Asíntota hori-
zontal en y= 2

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