1. Universidad Industrial de Santander
Tratamiento de Señales
Propiedades de la Transformada Unilateral de Laplace
Propiedad
Linealidad
Desplazamiento en el
dominio de s
Escalamiento en Tiempo
Conjugación
Convolución(suponiendo
que x1(t) y x2(t) son cero
para t<0)
Diferenciación en el
dominio del tiempo
Diferenciación en el
dominio de s
Integración en el
dominio del tiempo
Señal
Transformada
unilateral de
Laplace
χ(s)
χ1(s)
χ2(s)
Q(s)=aχ1(s) +
bχ2(s)
Q(s) = χ(s-so)
ROC
Región de Convergencia
q(t) = x(at), a>0
Q (s) = (1/a)χ(s/a)
q(t) = x*(t)
q(t) = x1(t)* x2(t)
Q (s) = x*(s*)
Q (s) =χ1(s) χ2(s)
RQ = a. Rχ
Re{s}>a.b1
RQ = Rχ
RQ al menos
Rχ1 ∩Rχ2
q(t) = dx(t)/dt
Q (s) = sχ(s) - x(0-)
x(t)
x1(t)
x2(t)
q(t) = ax1(t)
+bx2(t)
t
q(t) = eSo. x(t)
q(t) = -tx(t)
Generalización de la
Propiedad de
diferenciación en el
dominio del tiempo
Q (s) = dχ(s)/ds
t
q(t) = ∫x(τ)dτ
0
Rx: Re{s}>b1
Rx1:Re{s}>b2
Rx2:Re{s}>b3
RQ al menos
Rχ1 ∩Rχ2
RQ: Re{s}>(b1+ Re{so})
Q (s) = χ(s)/s
RQ al menos Rχ
RQ = Rχ
RQ al menos
Rχ∩(Re{s}>0)
-
q(t) = dnx(t)/dtn
snχ(s)-sn-1x(0-)-…
-sx(n-2)(0-)-x(n-1)(0-)
RQ al menos Rχ
TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y FINAL
Si x(t) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en t = 0, entonces:
x(0+) = lim sχ(s)
s→∞
lim x(t) = lim sχ(s)
t→∞ s→0
NOTA:
• Las ROC para las transformadas unilaterales de Laplace son siempre semiplanos derechos.
• En esta transformada no se consideran las propiedades de reflejo y desplazamiento en el tiempo

2. Universidad Industrial de Santander
Tratamiento de Señales
Propiedades de la Transformada Z Unilateral
Propiedad
Señal
Transformada Z
unilateral
ROC
Región de
Convergencia
χ(z)
Rx: ⎮ z⎮ > v1
χ1(z)
Rx1: ⎮ z⎮ > v 2
χ2(z)
Rx2: ⎮ z⎮ > v 3
RQ al menos
Q(z)=aχ1(z)+ bχ2(z)
Rχ1 ∩Rχ2
-1
RQ al menos
Q(z)= z χ(z)+x[-1]
⎮ z⎮ > v1
RQ al menos
Q (z) =zχ(z)-zx[0]
⎮ z⎮ > v1
-jω0
Q (z) =χ(e z)
RQ = ⎮ z⎮ > v1
Q (z) =χ(z/z0)
RQ = ⎮z⎮> v1. ⎮zo⎮
Q (z) =χ(a-1z)
RQ = ⎮z⎮> v1. ⎮a⎮
Linealidad
x[n]
x1[n]
x2[n]
q[n]= ax1[n]+bx2[n]
Retardo de tiempo
q[n]= x[n-1]
Avance en el tiempo
q[n]= x[n+1]
Escalamiento en el
dominio de z
q[n]= ejω0nx[n]
q[n]=Z0n x[n]
q[n]=an x[n]
Expansión en el tiempo
q[n]=
x[n/m], n=mk
0
, n≠mk
Q (z) =χ(zm)
RQ =⎮ z⎮ > v11/m
q[n]= x*[n]
q[n]= x1[n]*x2[n]
Q (z) =χ*(z*)
Q (z) =χ1(z) χ2(z)
RQ = Rχ
RQ al menos
Rχ1 ∩Rχ2
q[n]= x[n]-x[n-1]
(1-z-1) χ1(z)-x[-1]
RQ al menos
Rχ ∩(⎢z⎢>0)
RQ al menos
Rχ ∩(⎢z⎢>1)
Conjugación
Convolución(suponiendo
que x1[n] y x2[n] son
cero cuando n<0)
Primera diferencia
Acumulación
n
q[n]= ∑x[k]
k=0
Q (z) = χ(z)/(1-z-1)
con x[n]=0 para n<0
Diferenciación en el
dominio de z
Generalización del
retardo en el tiempo
q[n]= - nx[n]
Q (z) = z.dχ(z)/dz
q[n]= x[n-no]
no >0
-1
z [χ(z)+ ∑x[m]z-m]
Generalización del
adelanto en el tiempo
q[n]= x[n+no]
no >0
-n0
RQ = Rχ
RQ al menos
⎢z⎢>1
m=-no
no-1
z [χ(z)- ∑x[m]z-m]
n0
RQ al menos
⎢z⎢>1
m=0
TEOREMA DEL VALOR INICIAL
x[0] = lim χ(z)
z→∞
NOTA:
• La ROC de cualquier transformada z unilateral siempre es el exterior de una circunferencia que
contiene el infinito.
• En las transformadas racionales unilaterales el número de ceros ≤ número de polos.
• No tiene significado establecer una propiedad de reflejo en el tiempo.

3. Universidad Industrial de Santander - Tratamiento de Señales
Propiedades de la Transformada Bilateral de Laplace
Propiedad
Señal
Transformada de
Laplace
x(t)
X (s )
y(t)
Y (s )
q (t )
Q(s )
q(t ) = A x(t ) + B y (t ) Q(s) = A X (s) + B Y (s)
Linealidad
Desplazamiento en
el tiempo
Desplazamiento en
el dominio de s
q(t ) = x(t − t0 )
Q( s) = X ( s) e
q (t ) = e s0 t x(t )
Q ( s ) = X ( s − s0 )
− s t0
q (t ) = x(a t )
Inversión de tiempo
q(t ) = x(−t )
Q( s ) = X (− s )
Conjugación
q(t ) = x (t )
Q( s ) = X ( s )
Q ( s ) = X ( s ) .Y ( s )
Q( s ) =
*
1 ⎛s⎞
X⎜ ⎟
|a| ⎝a⎠
*
∞
q (t ) = ∫ x(τ ) y (t −τ )d
*
Derivada en el
dominio de s
Integración en el
tiempo
RX ∩ R Y
RQ = RX
RQ = RX + Re{s0}
dx(t )
dt
q (t ) = − t x(t )
q (t ) =
t
q(t ) = ∫ x(τ )dτ
−∞
RQ = a . RX
a . a1 < Re{s} < a . b1
RQ = − RX
− b1 < Re{s} < − a1
RQ = RX
RQ al menos
RX ∩ R Y
−∞
Derivada en tiempo
RQ al menos
a1 + Re{s0} < Re{s} < b1 + Re{s0}
Escalamiento en el
tiempo
Convolución
ROC
Región de Convergencia
R X : a1 < Re{s} < b1
RY : a 2 < Re{s} < b2
RQ : a3 < Re{s} < b3
Q( s ) = s X ( s )
Q( s) =
d
X (s )
ds
1
Q( s) = X (s )
s
RQ al menos RX
RQ = RX
RQ al menos
RX ∩ (Re{s} > 0)
Teoremas del valor inicial y final
Si x(t) =0 para t<0 y x(t) no contiene impulsos o sus derivadas en t=0, entonces:
x(0+ ) = lím sX ( s )
s →∞
lím x(t ) = lím sX ( s )
t →∞
s →0
Propiedades de la Región de Convergencia ROC.
ROC: Franja vertical continua del plano s, paralela al eje
imaginario, para la cual X(s) existe
x(t) Duración Finita
ROC: Plano s posiblemente sin s=∞
x(t) Lateral Derecha
ROC: Semiplano Derecho
x(t) Lateral Izquierda
ROC: Semiplano Izquierdo
x(t) Bilateral
ROC: Franja paralela al eje imaginario
x(t) Absolutamente integrable
ROC: Contiene el eje imaginario
X(s) Racional
ROC: Está limitada por polos y no contiene ningún polo
x(t)

4. Universidad Industrial de Santander - Tratamiento de Señales
Propiedades de la Transformada Z Bilateral
Propiedad
Señal
x[n]
Y (z )
RY : r2 < z < v 2
q[n]
Desplazamiento
el tiempo
X (z )
ROC
Región de Convergencia
R X : r1 < z < v1
y[n]
Q(z )
RQ : r3 < z < v3
q[n] = A x[n] + B y[n]
Linealidad
Transformada Z
Q( z) = A X ( z) + B Y ( z)
RQ al menos
Q( z ) = z − n0 X ( z )
RX ∩ R Y
RQ = RX
q[n] = x[n − n0 ]
en
Excepto por la posible adición o
eliminación del origen o del infinito
n
q[n] = z0 . x[n]
Escalamiento en el
dominio de z
q[n] = x[−n]
Inversión de tiempo
⎛ z ⎞
Q( z ) = X ⎜ ⎟
⎜z ⎟
⎝ 0⎠
Q( z ) = X (z
)
( )
⎧x[n / m], n = k m
q[n] = x(m) [n] = ⎨
Otro n
⎩0,
Q( z ) = X z m
q[n] = x*[n]
Escalamiento en el
tiempo
Q( z ) = X * ( z * )
Q ( z ) = X ( z ) .Y ( z )
Conjugación
∞
Convolución
q[n] = ∑ x[r ] y[n − r ]
q[n] = x[n] − x[n − 1]
Primera Diferencia
Suma consecutiva
q[n] =
n
∑ x[k ]
k = −∞
el
q[n] = − n x[n]
z0 . r1 < z < z0 . v1
−
RQ = RX1
(1/ v1 ) < z < (1/ r1 )
RQ = R1/ m
X
1
r11/ m < z < v1 / m
r = −∞
Derivada
en
dominio de z
−1
RQ = z0 . RX
(
Q( z ) = 1 − z
Q( z ) =
−1
) X ( z)
1
X (z )
1 − z −1
d
X (z )
dz
Teorema del valor inicial
Si x[n] =0 para n<0, entonces: x[0] = lím X ( z )
Q( z ) = z .
RQ = RX
RQ al menos
RX ∩ R Y
RQ al menos
RX ∩ ( z > 0)
RQ al menos
RX ∩ ( z > 1)
RQ = RX
z →∞
Propiedades de la Región de Convergencia ROC.
ROC: Región circular continua del plano z, centrada en
el origen, para la cual X(z) existe
x[n] Duración Finita
ROC: Plano z posiblemente sin z = 0 y/o z =∝
ROC: Exterior de una circunferencia posiblemente sin z =∝
x[n] Lateral Derecha
ROC: Interior de una circunferencia posiblemente sin z = 0
x[n] Lateral Izquierda
x[n] Bilateral
ROC: Anillo centrado en el origen
x[n] Absolutamente sumable
ROC: Contiene la circunferencia de radio 1
X(z) Racional
ROC: Está limitada por polos y no contiene ningún
polo
x[n]

5. Universidad Industrial de Santander - Tratamiento de Señales
Propiedades de la Transformada de Fourier de Señales continuas en el tiempo
Propiedad
Señal
Transformada de Fourier
x(t)
X(jω )
y(t)
Y(jω )
q(t )
Q( jω )
q(t ) = A x(t ) + B y (t ) Q( jω ) = A X ( jω ) + B Y ( jω )
Linealidad
Desplazamiento en el tiempo
q(t ) = x(t − t0 )
Desplazamiento en frecuencia
q(t ) = e jω 0 t x(t )
Conjugación
Inversión de tiempo
Escalamiento de tiempo
frecuencia
y
de
Q( jω ) = X ( jω ) e − jω t 0
Q( jω ) = X ( j (ω − ω0 ))
Q ( jω ) = X * ( − jω )
Q( jω ) = X (− jω )
q(t ) = x* (t )
q(t ) = x(−t )
q(t ) = x(a t ) , a > 0
1 ⎛ jω ⎞
X⎜
⎟
|a| ⎝ a ⎠
Q( jω ) = X ( jω ) .Y ( jω )
Q ( jω ) =
∞
Convolución
q(t ) = ∫ x(τ ) y (t −τ )dτ
−∞
q(t ) = x(t ) y (t )
Multiplicación
Derivada en tiempo
q(t ) =
1
X ( jω ) * Y ( jω )
2π
Q( jω ) = jω X ( jω )
Q ( jω ) =
dx(t )
dt
t
Integración
Q ( jω ) =
q(t ) = ∫ x(τ )dτ
−∞
q(t ) = t x(t )
Derivada en frecuencia
Q ( jω ) = j
∞
Relación de Parseval
E x (t ) =
∫
x(t ) dt =
2
−∞
x(t)
1
2π
X(jω)
Real Par
Real Par
Real Impar
Real Impar
j Imag Impar
j Imag Impar
j Imag Par
j Imag Par
Dualidad
Tiempo
Frecuencia
f(t)
G(ω )
G ( −t )
2π
f(ω )
G(t)
1
X ( jω ) + πX ( j 0)
jω
2π f(−ω )
d
X ( jω )
dω
∞
∫ X ( jω )
−∞
2
dω

6. Universidad Industrial de Santander - Tratamiento de Señales
Propiedades de la Serie de Fourier de Señales Discretas
Propiedad
Señal Periódica
Coeficientes de
Fourier
x[n], Periodo N
a k , Periodo N
y[n], Periodo N
bk , Periodo N
Frec.
ω 0 = 2π / N
q[n], Periodo N
c k , Periodo N
q[n] = A x[n] + B y[n]
c k = A a k + B bk
el
q[n] = x[n − n0 ]
c k = a k e − jkω 0 n0
ω0
ω0
ω0
ω0
en
q[n] = e jMω 0 n x[n]
ck = ak −M
ω0
q[n] = x*[n]
q[n] = x[− n]
ck = a * −k
ω0
ck = a −k
⎧ x[n / m], n múltiplo de m
q[n] = x( m ) [n] = ⎨
Otro n
⎩0,
1
ak
m
ck = N ak bk
ω0
ω0
Linealidad
Desplazamiento
tiempo
Desplazamiento
frecuencia
Conjugación
en
Inversión de tiempo
Escalamiento en tiempo
Convolución periódica
q[n] =
ck =
∑ x[r ] y[n − r ]
m
ω0
r =< N >
q[n] = x[n] y[n]
Multiplicación
ck =
q[n] = x[n] − x[n − 1]
Primera diferencia
Suma Consecutiva
q[n] =
ck
n
∑ x[k ]
k = −∞
Relación de Parseval
P x[ n ] =
x[n], Periodo N
1
N
∑ x[n]
n =< N >
l =< N >
= (1− e
ck =
2
=
ω0
∑a b
k −l
l
− jk ω 0
)a
ak
1 − e − jkω 0
(
∑a
k =< N >
k
)
ω0
(Periódica
si
a0 = 0), ω 0
2
k
ak , Periodo N
Real Par
Real Par
Real Impar
Real Impar
j Imag Impar
j Imag Impar
j Imag Par
j Imag Par
Simetría ½ Onda, para N par: Si x[n] = - x[n + N/2] ⇒ aK = 0 si k número par.
DUALIDAD
Tiempo
x[n]
N q[-n]
q[n]
Coeficientes de la serie de Fourier
q[k]
x[k]
x[-k]/N

7. Universidad Industrial de Santander
Tratamiento de Señales
Propiedades de las Series de Fourier de señales continuas
Propiedad
Señal Periódica
x(t ), Periodo T
Coeficientes de Fourier
ak
Frecuencia
ω 0 = 2π / T
y (t ), Periodo T
bk
q(t ), PeriodoT
ck
el
q(t ) = x(t − t0 )
c k = a k e − jkω 0 t0
ω0
ω0
ω0
ω0
en
q(t ) = e jMω 0 t x(t )
ck = ak −M
ω0
q(t ) = x* (t )
q(t ) = x(−t )
ck = a * −k
ω0
ck = a−k
Escalamiento en tiempo
q(t ) = x(a t ) , a > 0
ck = ak
Convolución periódica
q (t ) = ∫ x(τ ) y (t −τ )dτ
c k = T a k bk
ω0
aω0
ω0
q(t ) = x(t ) y (t )
c k = a k * bk = ∑ al bk −l
ω0
c k = jkω 0 a k
ω0
q(t ) = A x(t ) + B y (t )
Linealidad
Desplazamiento
tiempo
Desplazamiento
frecuencia
Conjugación
en
c k = A a k + B bk
M entero
Inversión de tiempo
T
Multiplicación
∞
l = −∞
Derivada en tiempo
q(t ) =
dx(t )
dt
t
Integración
ck =
q(t ) = ∫ x(τ )dτ
−∞
Relación de Parseval
P x (t ) =
ak
jkω 0
1
2
∫ x(t ) dt =
TT
x(t)
(Periódica si
a0 = 0), ω 0
∞
∑a
k = −∞
2
k
ak
Real Par
Real Par
Real Impar
Real Impar
j Imag Impar
j Imag Impar
j Imag Par
j Imag Par
G(t), Período 2π
q[n]
DUALIDAD
SF
TF
q[k]
G(- ω), Período 2π
Si x(t) = - x(t + T/2) (Simetría de Media Onda). Entonces aK = 0 para k número par.

8. Propiedades de la Transformada de Fourier de Señales discretas en el tiempo
Propiedad
Señal
Transformada de Fourier
x[n]
X ( e jω )
y[n]
Y ( e jω )
q[n]
Q ( e jω )
q[n] = A x[n] + B y[n]
Q(e jω ) = A X (e jω ) + B Y (e jω )
Desplazamiento en el tiempo
q[n] = x[ n − n0 ]
Q(e jω ) = X (e jω ) e − jωn0
Desplazamiento
frecuencia
Conjugación
q[n] = e jω0 n x[n]
Q(e jω ) = X (e j (ω − ω0 ) )
q[n] = x*[n]
q[n] = x[−n]
Q(e jω ) = X * (e − jω )
Linealidad
en
Inversión de tiempo
Escalamiento de tiempo
Q ( e jω ) = X ( e − jω )
Q(e jω ) = X (e jm ω )
⎧ x[n / m], n múltiplo de m
q[n] = x ( m ) [n] = ⎨
Otro n
⎩0,
Q(e jω ) = X (e jω ) Y (e jω )
∞
Convolución
q[n] = ∑ x[r ] y[n − r ]
r = −∞
q[n] = x[n] y[n]
Multiplicación
Q(e jω ) =
(
q[n] = x[n] − x[n − 1]
Diferencia en tiempo
Suma consecutiva
q[n] =
( )
1
jθ
j (ω−θ )
∫π X e Y(e )dθ
2π 2
)
Q ( e jω ) = 1 − e − jω X ( e jω )
1
Q(e jω ) =
X (e jω )
− jω
1− e
n
∑ x[k ]
(
k = −∞
+ πX (e j 0 )
)
∞
∑ δ (ω − 2π m)
m = −∞
q[n] = n x[n]
Derivada en frecuencia
Relación de Parseval
E x[ n ] =
∞
∑ x[n]
n = −∞
x[n]
Q ( e jω ) = j
2
=
1
2π
∫
2
X (e jω ) dω
2π
X(ejω)
Real Par
Real Par
Real Impar
Real Impar
j Imag Impar
j Imag Impar
j Imag Par
( )
d
X e jω
dω
j Imag Par
Dualidad Transformada de Señales Discretas-Serie de Señales Continuas
Tiempo
Frecuencia
x[n]
G(ω ) , periodo 2π
x[k ]
G (−t ) , periodo 2π