PLANIMETRÍA MÉTODO POLIGONAL CERRADA

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE VIALIDAD Y GEOMATICA
“Semana 05”
Curso: Topografía I (TV 113)
Profesores: Ing. Luis Domínguez D. – Msc. Julio Cruzado Q. – Ing. Luis Manco C. – Ing. Jorge Uribe S. – Ing. Antonio Chihuan G.

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DEPARTAMENTO ACADEMICO DE VIALIDAD Y GEOMATICA
Profesores: Ing. Luis Domínguez D. – Msc. Julio Cruzado Q. – Ing. Luis Manco C. – Ing. Jorge Uribe S. – Ing. Antonio Chihuan G.
Método de la Poligonal
Se caracteriza por estar constituida por un conjunto de líneas consecutivas; el trabajo
de campo se reduce a medir ángulos acimutales y distancias de los lados que forman
el polígono.
Clasificación:
- Poligonal cerrada de circuito cerrado
- Poligonal cerrada completamente ligada en sus extremos “abierta”
METODOS DE LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS

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Profesores: Ing. Luis Domínguez D. – Msc. Julio Cruzado Q. – Ing. Luis Manco C. – Ing. Jorge Uribe S. – Ing. Antonio Chihuan G.
POLIGONAL CERRADA DE CIRCUITO CERRADO
Consiste en un conjunto de líneas consecutivas , en donde el punto de partida coincide con el de llegada; este
tipo de poligonal permite verificar la precisión del trabajo, pues es posible la comprobación y posterior
corrección de los ángulos y longitudes medidas.
En la actualidad es el método con mejor aceptación por parte de los ingenieros y topógrafos.
Procedimiento a seguir:
a) Ubicar y monumentar los vértices de la poligonal
b) Los vértices deben ser intervisibles
c) Es necesario conocer las coordenadas de uno de los vértices de la poligonal
d) Determinar el azimut (Geográfico, Magnético o de cuadricula) de uno de los lados. Se deb medir el azimut
directo e inverso.
e) Medir los ángulos horizontales de los vértices de la poligonal (internos o externos) de acuerdo al itinerario
topográfico (horario o antihorario)
f) Medir los lados del polígono con la mejor precisión posible.
Explicación del calculo de una poligonal con un ejemplo, se muestra en la tabla los datos iniciales de campo.

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N(+) S(-) E(+) W(-) NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
540° 00´10"
Para el calculo de la Poligonal se realizan dos controles:
1) Control angular
2) Control lineal
CONTROL ANGULAR
Se calcula el error de clerre angular Eca
Eca= Σ ángulos medidos (CAMPO) - Σ ángulos calculados (FORMULA) en valor absoluto no interesa el signo
Fórmula para clacular los ángulos internos de un poligono es: Σángulos interiores= 180° (n - 2) = 180° (5 - 2) = 540°
Luego el Eca = 540° 00´10" - 540° = 0° 00´ 10"
Se calcula la Tolerancia angular (el error que podemos cometer) Ta = ± p" √np" = precisión del equipo en segundos, n = número de ángulos
En este ejemplo p" = 10" ; n = 5 Ta = ± 10" √5 = 22.4"
SIEMPRE LA TOLERANCIA DEBE SER MAYOR QUE EL ERROR, SI SALE MENOR SE TIENE QUE REGRESAR AL CAMPO A MEDIR BIEN LOS ANGULOS.
Como en este ejemplo la Ta > Eca la medición angular esta Ok; entonces se procede a realizar la compensación angular: Ca = Eca/n Ca = 10"/ 5 = 2"
CUADRO DE CALCULO DE POLIGONAL
CORRECCION
ANGULO
HORIZONTAL
MEDIDO
VERTICELADO
PROYECCIONES (RUMBOS) COORDENADAS
LADORUMBOAZIMUT
ANGULO
HORIZONTAL
CORREGIDO
BC C 111°30´54" 122°30´40" 186.298
CD D 113°38´04" 138.502
DE E 86°15´40" 165.290
EA A 148°21´45" 146.905
AB B 80°13´47" 137.806

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CUADRO DE CALCULO DE POLIGONAL
LADO VERTICE
ANGULO
HORIZONTAL
MEDIDO
CORRECCION
ANGULO
HORIZONTAL
CORREGIDO
AZIMUT RUMBO LADO
PROYECCIONES (RUMBOS) PROYECCIONES (AZIMUT) COORDENADAS
N(+) S(-) E(+) W(-) N - S E - W NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
BC C 111°30´54" -2 111°30´52" 122°30´40" 186.298
CD D 113°38´04" -2 113°38´02" 138.502
DE E 86°15´40" -2 86°15´38" 165.290
EA A 148°21´45" -2 148°21´43" 146.905
AB B 80°13´47" -2 80°13´45" 137.806
540° 00´10" -10 540°00´00"
Una vez corregido los ángulos se calcula los azimuts
Para el calculo de los azimuts se aplica la siguiente regla:
EL AZIMUT DE UN LADO CUALQUIERA = AZIMUT DEL LADO ANTERIOR + ANGULO A LA
DERECHA
1ra condición: Si la SUMA es > de 180" RESTA 180°
2da condición: Si la SUMA es < de 180° se SUMA 180°
3ra condición: Si la SUMA es > de 360° se RESTA 360° y a la diferencia se le aplica la 1ra o 2da
condición según sea el caso.

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CALCULO DE AZIMUTS
CUANDO SE MIDE ANGULOS INTERIORES CUANDO SE MIDE ANGULOS EXTERIORES
∑i = 180° ( n – 2 )
∑e = 180° ( n + 2 )

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CUADRO DE CALCULO DE POLIGONAL
LADO VERTICE
ANGULO
HORIZONTAL
MEDIDO
CORRECCION
ANGULO
HORIZONTAL
CORREGIDO
AZIMUT RUMBO LADO
PROYECCIONES (RUMBOS) PROYECCIONES (AZIMUT) COORDENADAS
N(+) S(-) E(+) W(-) N - S E - W NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
BC C 111°30´54" -2 111°30´52" 122°30´40" 186.298
CD D 113°38´04" -2 113°38´02" 54°01´32" 138.502
DE E 86°15´40" -2 86°15´38" 347°39´34" 165.290
EA A 148°21´45" -2 148°21´43" 253°55´12" 146.905
AB B 80°13´47" -2 80°13´45" 222°16´55" 137.806
540° 00´10" -10 540°00´00" 122°30´40" 774.801
Comprobación

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CUADRO DE CALCULO DE POLIGONAL
LADO VERTICE
ANGULO HORIZONTAL
MEDIDO
CORRECCION
ANGULO HORIZONTAL
CORREGIDO
AZIMUT RUMBO LADO
PROYECCIONES (RUMBOS) PROYECCIONES (AZIMUT) COORDENADAS
N(+) S(-) E(+) W(-) N - S E - W NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
BC C 111°30´54" -2 111°30´52" 122°30´40" S 57°29´20" E 186.298
CD D 113°38´04" -2 113°38´02" 54°01´32" N 54°01´32" E 138.502
DE E 86°15´40" -2 86°15´38" 347°39´34" N 12°20´26" W 165.290
EA A 148°21´45" -2 148°21´43" 253°55´12" S 73°55´12" W 146.905
AB B 80°13´47" -2 80°13´45" 222°16´55" S 42°16´55" W 137.806
540° 00´10" -10 540°00´00" 122°30´40" 774.801
Se realiza el calculo de las proyecciones utilizando el RUMBO o el AZIMUT
Si se utiliza el RUMBO se debe conocer en que cuadrante esta para colocar en la columna correspondiente
pues el valor del rumbo varia de 0° a 90° y el seno y coseno de estos valores son positivos.
La fórmula a utilizar es: Proyección Norte = D cos Rb Proyección Sur = D cos Rb
Proyección Este = D sen Rb Proyección Oeste = D sen Rb
Si se utiliza el AZIMUT los valores del signo correspondiente lo da la calculadora
La fórmula a utilizar es: Proyección Norte = D cos Az Proyección Sur = D cos Az
Proyección Este = D sen Az Proyección Oeste = D sen Az

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CUADRO DE CALCULO DE POLIGONAL
LADO VERTICE
ANGULO
HORIZONTAL
MEDIDO
CORRECCION
ANGULO
HORIZONTAL
CORREGIDO
AZIMUT RUMBO LADO
PROYECCIONES (RUMBOS) PROYECCIONES (AZIMUT) COORDENADAS
N(+) S(-) E(+) W(-) N - S E - W NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
BC C 111°30´54" -2 111°30´52" S 57°29´20" E 186.298
-100.1283 157.1027
CD D 113°38´04" -2 113°38´02" N 54°01´32" E 138.502
81.3594 112.0868
DE E 86°15´40" -2 86°15´38" N 12°20´26" W 165.290
161.4709 -35.3261
EA A 148°21´45" -2 148°21´43" S 73°55´12" W 146.905
-40.6896 -141.1575
AB B 80°13´47" -2 80°13´45" S 42°16´55" W 137.806
-101.9548 -92.7130
540° 00´10" -10 540°00´00" 774.801 242.8303 -242.7727 269.1895 -269.1966
Δ N-S = 0.0576 Δ E-W = - 0.0071
CALCULO DE PROYECCIONES UTILIZANDO RUMBOS

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CUADRO DE CALCULO DE POLIGONAL
LADO VERTICE
ANGULO
HORIZONTAL
MEDIDO
CORRECCION
ANGULO
HORIZONTAL
CORREGIDO
AZIMUT RUMBO LADO
PROYECCIONES (RUMBOS) PROYECCIONES (AZIMUT) COORDENADAS
N(+) S(-) E(+) W(-) N - S E - W NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
BC C 111°30´54" -2 111°30´52" 122°30´40" 186.298
-100.1283 157.1027
CD D 113°38´04" -2 113°38´02" 54°01´32" 138.502
81.3594 112.0868
DE E 86°15´40" -2 86°15´38" 347°39´34" 165.290
161.4709 -35.3261
EA A 148°21´45" -2 148°21´43" 253°55´12" 146.905
-40.6896 -141.1575
AB B 80°13´47" -2 80°13´45" 222°16´55" 137.806
-101.9548 -92.7130
540° 00´10" -10 540°00´00" 122°30´40" 774.801 0.0576 -0.0071
CALCULO DE PROYECCIONES UTILIZANDO AZIMUTS

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CONTROL LINEAL: Se calcula el error relativo Er = eL/perímetro
El valor referencial debe ser: Er = 1/10000
eL =
CONTROL LINEAL: Se calcula el error relativo Er = eL/perímetro, eL = 0.058
Er = 0.058/774.801 = 1/ 13358.64 = 1/13300
Como este valor es superior a 1/10000, entonces pasa el control lineal.

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Luego como es un polígono cerrado se debe aplicar el siguiente teorema.
Para que un polígono sea cerrada se debe cumplir que la suma de las proyecciones en N-S y E-W deben
ser cero.
Para que el polígono se cumpla se deberá compensar las proyecciones, se aplica las siguientes fórmulas:
C N-S = - (∆ N-S/P)X LADO Y C E-W = - (∆ E-W/P)X LADO
C N-S = - (∆ N-S/P)X LADO
C E-W = - (∆ E-W /P)X LADO C E-W = - (- 0.0071/774.801)X LADO (Todos son positivos)
Se calcula y el resultado es el siguiente:

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Profesores: Ing. Luis Domínguez D. – Msc. Julio Cruzado Q. – Ing. Luis Manco C. – Ing. Jorge Uribe S. – Ing. Antonio Chihuan G.
CUADRO DE CALCULO DE POLIGONAL (utilizando solo rumbos)
LADO VERTICE
ANGULO
HORIZONTAL
MEDIDO
CORRECCION
ANGULO
HORIZONTAL
CORREGIDO
AZIMUT RUMBO LADO
PROYECCIONES (RUMBOS) PROYECCIONES (AZIMUT) COORDENADAS
N(+) S(-) E(+) W(-) N - S E - W NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
BC C 111°30´54" -2 111°30´52" S 57°29´20" E 186.298
-100.1283 157.1027
-0.0138 0.0017
-100.1421 157.1044
CD D 113°38´04" -2 113°38´02" N 54°01´32" E 138.502
81.3594 112.0868
-0.0103 0.0013
81.3491 112.0881
DE E 86°15´40" -2 86°15´38"
N 12°20´26"
W 165.290
161.4709 -35.3261
-0.0123 0.0015
161.4586 -35.3246
EA A 148°21´45" -2 148°21´43" S 73°55´12" W 146.905
-40.6896 -141.1575
-0.0109 0.0013
-40.7005 -141.1562
AB B 80°13´47" -2 80°13´45" S 42°16´55" W 137.806
-101.9548 -92.7130
-0.0102 0.0013
-101.9650 -92.7117
540° 00´10" -10 540°00´00" 774.801 242.8303 -242.7727 269.1895 -269.1966
Δ N-S = 0.0576 Δ E-W = - 0.0071
242.8077 -242.8076 269.1925 -269.1925
0.0001 0.0000

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CUADRO DE CALCULO DE POLIGONAL (utilizando solo azimuts)
LADO VERTICE
ANGULO
HORIZONTAL
MEDIDO
CORRECCION
ANGULO
HORIZONTAL
CORREGIDO
AZIMUT RUMBO LADO
PROYECCIONES (RUMBOS) PROYECCIONES (AZIMUT) COORDENADAS
N(+) S(-) E(+) W(-) N - S E - W NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
BC C 111°30´54" -2 111°30´52" 122°30´40" 186.298
-100.1283 157.1027
-0.0138 0.0017
-100.1421 157.1044
CD D 113°38´04" -2 113°38´02" 54°01´32" 138.502
81.3594 112.0868
-0.0103 0.0013
81.3491 112.0881
DE E 86°15´40" -2 86°15´38" 347°39´34" 165.290
161.4709 -35.3261
-0.0123 0.0015
161.4586 -35.3246
EA A 148°21´45" -2 148°21´43" 253°55´12" 146.905
-40.6896 -141.1575
-0.0109 0.0013
-40.7005 -141.1562
AB B 80°13´47" -2 80°13´45" 222°16´55" 137.806
-101.9548 -92.7130
-0.0102 0.0013
-101.9650 -92.7117
540° 00´10" -10 540°00´00" 122°30´40" 774.801 0.0576 -0.0071
0.0001 0.0000

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CUADRO DE CALCULO DE POLIGONAL (rumbo o azimuts)
LADO VERTICE
ANGULO
HORIZONTAL
MEDIDO
CORRECCION
ANGULO
HORIZONTAL
CORREGIDO
AZIMUT RUMBO LADO
PROYECCIONES (RUMBOS) PROYECCIONES (AZIMUT) COORDENADAS
N(+) S(-) E(+) W(-) N - S E - W NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
BC C 111°30´54" -2 111°30´52" 122°30´40" S 57°29´20" E 186.298
-100.1283 157.1027 -100.1283 157.1027
-0.0138 0.0017 -0.0138 0.0017
-100.1421 157.1044 -100.1421 157.1044
CD D 113°38´04" -2 113°38´02" 54°01´32" N 54°01´32" E 138.502
81.3594 112.0868 81.3594 112.0868
-0.0103 0.0013 -0.0103 0.0013
81.3491 112.0881 81.3491 112.0881
DE E 86°15´40" -2 86°15´38" 347°39´34" N 12°20´26" W 165.290
161.4709 -35.3261 161.4709 -35.3261
-0.0123 0.0015 -0.0123 0.0015
161.4586 -35.3246 161.4586 -35.3246
EA A 148°21´45" -2 148°21´43" 253°55´12" S 73°55´12" W 146.905
-40.6896 -141.1575 -40.6896 -141.1575
-0.0109 0.0013 -0.0109 0.0013
-40.7005 -141.1562 -40.7005 -141.1562
AB B 80°13´47" -2 80°13´45" 222°16´55" S 42°16´55" W 137.806
-101.9548 -92.7130 -101.9548 -92.7130
-0.0102 0.0013 -0.0102 0.0013
-101.9650 -92.7117 -101.9650 -92.7117
540° 00´10" -10 540°00´00" 122°30´40" 774.801 242.8303 -242.7727 269.1895 -269.1966 0.0576 -0.0071
Δ N-S = 0.0576 Δ E-W = - 0.0071 0.0001 0.0000
242.8077 -242.8076 269.1925 -269.1925
0.0001 0.0000

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CON LAS PRROYECCIONES CORREGIDAS SE CALCULA LAS COORDENADAS DE LA POLIGONAL Y LUEGO SE GRAFICA
LADO VERTICE
ANGULO
HORIZONTAL
MEDIDO
CORRECCION
ANGULO
HORIZONTAL
CORREGIDO
AZIMUT RUMBO LADO
PROYECCIONES (RUMBOS) PROYECCIONES (AZIMUT) COORDENADAS
N(+) S(-) E(+) W(-) N - S E - W NORTE ESTE
B 8345112.00 224132.00
BC C 111°30´54" -2 111°30´52" 122°30´40" S 57°29´20" E 186.298
-100.1283 157.1027 -100.1283 157.1027
8345011.86 224289.10
-0.0138 0.0017 -0.0138 0.0017
-100.1421 157.1044 -100.1421 157.1044
CD D 113°38´04" -2 113°38´02" 54°01´32" N 54°01´32" E 138.502
81.3594 112.0868 81.3594 112.0868
8345093.21 224401.19
-0.0103 0.0013 -0.0103 0.0013
81.3491 112.0881 81.3491 112.0881
DE E 86°15´40" -2 86°15´38" 347°39´34"
N 12°20´26"
W 165.290
161.4709 -35.3261 161.4709 -35.3261
8345254.67 224365.87
-0.0123 0.0015 -0.0123 0.0015
161.4586 -35.3246 161.4586 -35.3246
EA A 148°21´45" -2 148°21´43" 253°55´12" S 73°55´12" W 146.905
-40.6896 -141.1575 -40.6896 -141.1575
8345213.97 224224.71
-0.0109 0.0013 -0.0109 0.0013
-40.7005 -141.1562 -40.7005 -141.1562
AB B 80°13´47" -2 80°13´45" 222°16´55" S 42°16´55" W 137.806
-101.9548 -92.7130 -101.9548 -92.7130
8345112.00 224132.00
-0.0102 0.0013 -0.0102 0.0013
-101.9650 -92.7117 -101.9650 -92.7117
540° 00´10" -10 540°00´00" 122°30´40" 774.801 242.8303 -242.7727 269.1895 -269.1966 0.0576 -0.0071
Δ N-S = 0.0576 Δ E-W = - 0.0071 0.0001 0.0000
242.8077 -242.8076 269.1925 -269.1925
0.0001 0.0000

18. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE VIALIDAD Y GEOMATICA
Profesores: Ing. Luis Domínguez D. – Msc. Julio Cruzado Q. – Ing. Luis Manco C. – Ing. Jorge Uribe S. – Ing. Antonio Chihuan G.

19. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE VIALIDAD Y GEOMATICA
Profesores: Ing. Luis Domínguez D. – Msc. Julio Cruzado Q. – Ing. Luis Manco C. – Ing. Jorge Uribe S. – Ing. Antonio Chihuan G.
SE PUEDE CALCULAR EL AREA DE FORMA ANALITICA DE LA SIGUIENTE MANERA: