Vectores

1. Escalares y Vectores
Operaciones con Vectores
Prof. Cynthia Samudio
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMA

2. Magnitudes Escalares
Son aquellas en las que las medidas quedan correctamente
expresadas por medio de un número y la correspondiente
unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre
otras:
 Masa
 Temperatura
 Presión
 Densidad
Para muchas magnitudes
físicas basta con indicar su
valor para que estén
perfectamente definidas. Así,
por ejemplo, si decimos que
un hombre tiene una
temperatura de 38 ºC,
sabemos perfectamente que
tiene fiebre y si una chica
mide 165 cm de altura y su
masa es de 35 kg, está claro
que es sumamente delgada.

3. Magnitudes Vectoriales
 Son magnitudes que para estar determinadas
precisan de un valor numérico, una dirección, un
sentido y un punto de aplicación.
Fuerza, velocidad, desplazamiento
Si nos dicen que un
hombre corría a 20
km/h apenas sabemos
algo más que al
principio. Deberían
informarnos también
desde dónde corría y
hacia qué lugar se
dirigía.

4. Vector
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee
unas características que son:
Origen
También denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que
actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y
el extremo del vector pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos
medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

5. Vector
Módulo

7. Suma de Vectores
 Dados dos vectores, estos pueden ser
sumados mediante una operación llamada
suma de vectores.
 Aunque recibe el mismo nombre que la suma
de números, se trata de una operación distinta,
ya que esta última adiciona números y
produce como resultado números. La adición
de vectores suma vectores y produce como
resultado un vector.

8. Suma de Vectores-Propiedades
Como toda operación, la adición de
vectores tiene unas propiedades que
que nos facilitan su realización
 Conmutativa.
 Asociativa.
 Existe elemento neutro.
 Existe elemento opuesto

9. Propiedad Conmutativa
Propiedad conmutativa
v + w = w + v

10. Propiedad Asociativa
Propiedad asociativa
(v + w) + u = w + (v + u)

11. Elemento Neutro
 Existe elemento neutro, el vector 0 cuyo punto de
aplicación y punto final coinciden, por lo que su
intensidad vale 0
v + 0 = v

12. Elemento Opuesto
Existe elemento opuesto (-v), de
igual intensidad y dirección, pero
sentido opuesto, de forma que al
sumarlos se obtiene el vector 0
v + (-v) = 0

13. Métodos Gráficos para la Suma
de Vectores

14. Suma de Vectores-
Procedimiento Gráfico
 Para sumar dos vectores de manera gráfica
utilizaremos la denominada Regla del
paralelogramo, consistente en trasladar
paralelamente los vectores hasta unirlos por
el origen, y luego trazar un paralelogramo,
del que obtendremos el resultado de la
suma, como consecuencia de dibujar la
diagonal de ese paralelogramo,

15. Regla del Paralelogramo

16. Suma de Vectores-Métodos
Polígono
 Polígono. Se emplea, sobre todo, cuando se
desean sumar dos o más vectores a la vez.
En el extremo del primer vector se sitúa el
punto de aplicación del segundo, sobre el
extremo del segundo vector se coloca el
punto de aplicación del tercero y así hasta
terminar de dibujar todos los vectores. El
vector resultante es el que se obtiene al unir
el punto de aplicación del primero con el
extremo del último

17. Método Poligonal

18. Métodos Analíticos para
la Suma de Vectores

19.  Como ya lo mencionamos anteriormente, el
método poligonal también se puede utilizar
cuando se tienen dos vectores, empleando leyes
o funciones trigonométricas dependiendo de los
ángulos del triángulo que se forma.
SUMA DE DOS VECTORES

20. SUMA DE DOS VECTORES
En la operación de suma
de dos vectores
empleando el método
poligonal, se coloca un
vector a continuación de
otro como se observa en la
animación. La resultante
será la igual al vector que
une el inicio del primer
vector con el final del
segundo vector.

21. Si al aplicar el método poligonal con
dos vectores estos forman un
triángulo oblicuángulo puede utilizar
la ley del seno o del coseno para
encontrar la resultante (módulo y
dirección)

22. Métodos trigonométrico
Ley del Seno
Esta ley se aplica cuando
tienes los valores de por lo
menos un lado y todos los
ángulos.
O de dos lados y uno de sus
ángulos opuestos.
“En cualquier triángulo se verifica que las longitudes
de los lados son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos”

23. Ley del Coseno
(La Ley del Coseno)
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos(B)
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A)
La ley de los Coseno es una
expresión que te permite
conocer un lado de un triángulo
cualquiera, si conoces los otros
dos y el ángulo opuesto al lado
que quieres conocer.

24. Ejemplo1
 Suponga que camina 350 m a lo largo
de una avenida y luego gira 65º al norte
del este y continúa caminando 280 m.
¿Cuál es el desplazamiento resultante?

25. Ejemplo 1
x
y
R
A
B
65º
Como primer paso,
dibuje los vectores
uno a continuación de
otro. Recuerde que
puede colocarlos en
el orden que quiera,
la resultante será la
misma.

26. Ejemplo1
x
y
R
A
B
65º
Debe encontrar los
ángulos del triángulo
o por lo menos, el
opuesto al lado que
esta buscando.
115º
Para determinar que ley
debe observar cuales son
los elementos con valores.
En este caso se tiene el
valor de los vectores A y B
y el ángulo entre ellos, que
es opuesto a la Resultante
que estamos buscando.

27. Ejemplo 2
 Un automóvil se ha desplazado una distancia
desconocida desde A hasta B. Sabemos que luego se
desplazo 50 m hasta C, formando un ángulo de 15º con
el vector del primer desplazamiento. Si el vector
resultante de los dos vectores forma un ángulo de 20º
con el primer desplazamiento. ¿A cuánto equivale el
desplazamiento de A hasta B y la resultante?

28. Ejemplo2
x
y
20º
C
15º
B
A

29. Si al aplicar el método poligonal con
dos vectores forman un triángulo
rectángulo (con un ángulo de 90º)
puede emplear las funciones
trigonométricas y el teorema de
Pitágoras para determinar la
resultante.

30. Método Trigonométrico para la
adición de vectores
Sen A= lado opuesto/hipotenusa
Cos A = lado adyacente/hipotenusa
Tan A= lado opuesto/lado adyacente

31. Métodos Analíticos
Componentes Rectangulares
1-Dibuje todos los vectores a partir del origen en un sistema coordenado
2.-Descomponga todos los vectores en sus componentes "X" y "Y".
3.-Encuentre la componente "X" de la resultante sumando los
componentes "X" de todos los vectores.
Rx= Ax+Bx+Cx+.....
4.-Encuentre la componente "Y" de la resultante sumando los
componentes "Y" de los vectores.
Ry= Ay+By+Cy+......
5.-Obtenga la magnitud y dirección de la resultante a partir de dos
vectores perpendiculares, aplicando el teorema de Pitágoras.

32. Suma de Componentes
En la Figura se observa la coexistencia
de los vectores A, B y C. El vector
resultante se obtiene a través del
Método de los Componentes; observe la
manera en que se obtienen las
proyecciones de cada vector: se
descomponen rectangularmente, se
halla la resultante en cada eje,
se aplica el Teorema de Pitágoras y la
función tangente

33. Para poder aplicar el método de
componentes debemos primeramente
repasar como descomponer un vector.

37. Descomposición de Vectores
componentes rectangulares

38. Vectores Unitarios
 Para poder representar cada vector
en este sistema de coordenadas
cartesianas, haremos uso de tres
vectores unitarios. Estos vectores
unitarios, son unidimensionales,
esto es, tienen módulo 1, son
perpendiculares entre sí y
corresponderán a cada uno de los
ejes del sistema de referencia.

39.  Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el
vector unitario i o también denominado i.
 Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector
unitario j o también denominado j .
 Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector
unitario k o también denominado k.
 Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas
cartesianas de la siguiente forma:
Vectores Unitarios
^
^
^

40. Representación Vectores
Unitarios

42. Representación de un Vector
utilizando vectores unitarios
Un Vector A, puede ser reemplazado
por su representación con vectores
unitarios, donde Ax sería su
componente en el eje x, Ay su
componente en el eje y y finalmente,
Az su representación en el eje z.
Por lo tanto,
A = Ax i + Ay j + Az k

43. Suma de Vectores Unitarios
 Se usan los símbolos i,j, y k para
representar los componentes en x, y y z
respectivamente.
 Los vectores puede escribirse así:
 V= Vxi+Vyj+Vzk
 Para sumar dos o más, se suman las
componentes en x, y y z. Por ejemplo
 R=(Ax +Bx)i+(Ay+By)j+(Az+Bz)k

44. Suma de Vectores Unitarios

45. Ejemplo 3
Para los tres vectores de la figura:
a) Encuentre las componentes rectangulares
b) Exprese los vectores como vectores unitarios
25º
30º
46º
A = 10 N
A = 15 N
C = 12 N

46. Ejemplo 4
 Para el problema anterior encuentre la
suma de los vectores.
 a) Empleando el método de las
componentes rectangulares
 b) Sumando los vectores unitarios.

47. Vectores Unitarios Ejemplo
 Un auto recorre 20 km al norte y
después 35 km en una dirección 60º al
oeste del norte. Determine la magnitud y
dirección de la resultante del
desplazamiento del auto.

49. Operaciones con
vectores y escalares

50. Producto Punto ó Producto
Escalar Definición
 Producto escalar de dos vectores
Dados un vector R y V, el producto punto o producto
escalar se define como el producto de la magnitud
de R, por la magnitud V y el coseno del ángulo entre
ellos.
r = rxi + ryj + rzk
v = vxi + vyj + vzk
r · v = |r| · |v| · cos (r, v)

51. Producto Punto o Producto
Escalar
 Teniendo en cuenta que el producto escalar de los
vectores :
i · i = 1; j· j = 1; k · k = 1
Y cualquier otro producto es igual a cero el resultado de
multiplicar escalarmente r por v es:
r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz

52. Productos escalares de
vectores unitarios rectangulares
. i j k
i 1 0 0
j 0 1 0
k 0 0 1

53. Propiedades del Producto
escalar
 El cos dará siempre entre 0 y 1
 Si cos de a y b = 0 vectores
perpendiculares.

54. Producto Escalar

57. Aplicación Producto Punto
 Angulo entre dos vectores
 Proyección de un vector sobre otro
 Criterio de Perpendicularidad de dos vectores
u ^ v  u.v=0  x1.x2+y1.y2+z1.z2=0

58. Ejemplo 5
 Hallar el producto escalar de A con B, en
donde A = 4 i +7 j + 6 k y B= 3i + 4j +
2k. Determinar, además el ángulo entre
A y B.

59. Ejemplo 6
 Determine si el ángulo que relaciona a
los siguientes vectores es de 90º.
C= 2i+3j-5k y F=7i-8j-2k

60. Producto Cruz

61. Regla de la Mano Derecha

65. Producto Cruz
i
j
k
+

66. Productos vectoriales de
vectores unitarios rectangulares
X i j k
i 0 k -j
j -k 0 i
k j -i 0

67. Problemas
 Dado los vectores u = 3i + 2j, v = i - 4j,
w = -4i +2j, calcular:
 a) Módulo de cada uno de los vectores
 b) Módulo de la suma u + v + w
 c) Producto escalar u·v; u·w
 d) Producto vectorial uxv; wxv