Yupana fraccionaria pdf

CONOCIENDO ALGO MÁS ACERCA DE LA YUPANA
¿EL QUIPU ERA ANÁLOGO A UN SISTEMA DE CÁLCULO?
El quipu no fue utilizado como un instrumento de
cálculo. Años de estudio demuestran que los valores
numéricos identificados en los quipus eran anotaciones
de cálculos realizados a través de otro sistema. Los
investigadores piensan que uno de los métodos que
tuvieron los incas para efectuar cuentas fue utilizando
pequeñas piedras para operaciones matemáticas más
complejas por medio de una suerte de "ábaco", llamado
yupana. Los resultados de dichos cálculos habrían sido
después anotados por medio de nudos en los quipus
El Quipucamayoc del Tahuantinsuyo era el administrador
de los bienes del imperio por encargo del Inca, tal como
podemos ver en la imagen del lado derecho donde se
le ve junto a la representación de un tablero de cálculo
andino llamado Yupana. Dibujo del cronista Guamán Poma de Ayala[1615].
¿QUÉ ES LA YUPANA?
La Yupana es un ábaco que fue utilizado por los contadores del imperio incaico
(quipucamayoc). Yupana es un vocablo quechua que significa "lo que sirve para contar". El
diseño genérico de la yupana como material educativo se basa en la tabla presentada por
GUAMAN POMA DE AYALA a los niños de esa zona: Donde U, D, C, UM y DM significa
Unidades, Decenas, Centenas, Unidades de Mil, Decenas
de Mil, respectivamente.
¿CÓMO SE USABA LA YUPANA?
La YUPANA se usaba de la siguiente manera; cada
piedrecita en la columna de las Unidades significa una
unidad, igual en la decena, centena, entre otros tenemos:
UNO = HUK.
DOS = ISKAY.
TRES = KIMSA.
CUATRO = TAWA.
CINCO = PISQA.
SEIS = SUQTA.
SIETE = QANCHIS.
OCHO = PUSAQ.
NUEVE = USQUN.
Si nada se coloca en la columna de las unidades equivale a CERO = CH'USA.
Una vez que ha completado con piedrecitas la columna de las Unidades DIEZ = CHUNKA,
Se pide que en su reemplazo, se coloque una piedra en la columna de las Decenas. Así, se
continúa agregando piedrecitas en la columna de las Unidades, una más formará el ONCE =
CHUNKA HUKNIYUQ y así sucesivamente.
Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 1

Noción de división y fracción.
NIVEL INICIAL
Motivación.
Realizamos la dinámica “La ensalada de frutas”, la cual consiste en formar tres o más grupos
de 6 integrantes aproximadamente; cada grupo será los platos de frutas (naranjas, plántanos,
manzanas, etc.) Así mismo del grupo de participantes se escogen entre 4 a 5 personas que
simularán ser los cocineros que prepararán la ensalada de frutas.
La dinámica consiste en que las frutas en grupo deberán cambiar de plato (un círculo dibujado
en el patio) al escuchar el sonido del silbato; durante el trayecto los cocineros deberán atrapar
la mayor cantidad de frutas que pasen de un lugar a otro. Cuando se detenga la dinámica se
pedirá a los integrantes de cada grupo que cuenten a sus compañeros y conjuntamente con
ellos veremos cuantas partes del total (UNIDAD) se han ido quitando mientras se desplazaban
de un lugar a otro.
Ejemplo: Éramos 6 naranjas; nos quitaron 2 ahora quedamos 4 de 6 naranjas (4/6)
Plátanos
Manzanas
Plato de
ensalada
Naranjas

Con material concreto
Los grupos vuelven al salón y dialogamos acerca de la actividad realizada en el patio; logrando
establecer que la noción de fracción se da partiendo de la UNIDAD que eran todos los
integrantes del grupo (6) y la fracción que son aquellas partes que fueron tomadas de la
unidad. 2 de 6 = 2/6
Se entrega a los participantes en la clase una barra de plastilina y luego se les pregunta ¿Qué
cantidad representa la barrita de plastilina? tienen como unidad una barrita de plastilina;
¿pueden compartir la plastilina con su compañero? ¿cómo lo harían?, sugerimos que sean en
partes iguales. Repartido volvemos a preguntar ¿Podemos seguir compartiendo con los demás
compañeros? ¿Cómo lo hacemos? ¿Puedes darle la mitad?. Sugerimos que siga partiéndolo
por la mitad reforzar la idea de dividir.
Nivel Primario
Motivación.
Se realiza un juego “El reparto del botín” en el cual los integrantes de cada grupo deberán
repartirse el botín que consta de mandarinas; estas representarán al botín incautado durante la
travesía de los piratas y luego tras un naufragio las mandarinas es lo único que queda, el
capitán noblemente desea repartir el botín equitativamente con su marinos.
Se pide a los niños que repartan las mandarina; el jefe de grupo simulará ser el capitán,
mientras lo hacen damos consignas como que sean equitativos y que lo hagan con todos los
miembros de su grupo. Una vez repartido preguntamos ¿Cómo hicieron para repartir las
mandarinas? ¿Qué consideraron para realizar la repartición?.
Respondidas las preguntas los niños degustan las mandarinas. Hay que tener en cuenta que
se menciona la palabra repartir, compartir o algún similar, evitando mencionar las palabras
dividir, fraccionar o similar.

Los niños posteriormente grafican en papelotes lo realizado con el juego de las mandarinas,
posteriormente en la pizarra el docente pregunta por grupo la cantidad de gajos de mandarina
que había inicialmente; escribe la cantidad que representa el denominador y luego que
cantidad le toco a cada uno, que representaría el numerador.
2
12
Se reparte un papel con divisiones de diferentes colores con el cual se trabajaremos la noción
de equivalencia con los niños.
SI ME LLEVO 2
PEDACITOS DE
LOS 12 SON…
Se pedirá que miren un color en particular inicialmente el verde, se pedirá que lo dividan a la
mitad y le escriban el número equivalente en fracción por ejemplo: Uno de las dos partes es
igual a ½ un medio; posteriormente se pedirá que lo vuelvan a doblar en las líneas del color
celeste; preguntamos ¿cuántas partes hay? ¿Cuánto representa una sola parte?, entonces una
de cuatro partes es igual a ¼ un cuarto, por lo tanto 2/4 dos cuartos es igual a ½ un medio;
luego pedimos que continúen doblando por la parte amarilla, así sucesivamente haciendo notar
que la suma de dos fracciones menores ubicadas en la parte inferior es igual a una fracción
mayor ubicada en la parte superior. Ejemplo: 2/8 es igual a 1/4 y así mismo 2/4 es igual a 1/2.
(1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16)
(1/32) (1/32)
(1/32) (1/32)
UNMEDIO(1/2) UNMEDIO(1/2)
UNCUARTO(1/4) UNCUARTO(1/4) UNCUARTO(1/4) UNCUARTO(1/4)
UNOCTAVO(1/8) UNOCTAVO(1/8) UNOCTAVO(1/8) UNOCTAVO(1/8) UNOCTAVO(1/8) UNOCTAVO(1/8) UNOCTAVO(1/8) UNOCTAVO(1/8)

LA YUPANA FRACCIONARIA
Como anteriormente se había mencionado la Yupana era usada como una calculadora por
nuestros antepasados los incas para realizar sus cálculos acerca de conteo de diferentes
actividades ganado, comercio, tributo, etc. Actualmente se usan algunos modelos como se
veremos en la foto 1, pero para nuestro presente trabajo se realizaron algunas variantes desde
el cambio de posición a horizontal, la división de nuevas columnas Numerador, Denominador y
Entero con otras sub columnas interiores con U, D, C vemos foto 2.
Foto 1
Podemos apreciar 2
modelos de yupana;
las cuales están en
su posición original
(vertical) tal como se
usaban en el
incanato
Foto 2
Apreciamos la
Yupana
Fraccinaria; la
cual cambio su
posición a
horizontal así
mismo se
adicionaron 3
columnas
Numerador,
Denominador y
Entero
Los niños de IV y V ciclo pueden trabajar con la yupana fraccionaria; ya que ellos tienen
noción de fracción, se puede trabajar con esta estrategia las cuatro operaciones básicas con
fracciones. Para ello empleamos el siguiente tablero; así como también debemos emplear
algunas fichas de color para poder señalar la ubicación en donde estamos operando en el
tablero posicional.
ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR
C D U C D U C D U
1
2
3
5

Las fichas representan a una fracción las cuales se ubican dentro del cuadro que a diferencia
de otros modelos de Yupana tiene tres columnas principales que son: Enteros, Denominador
y Numerador, dentro de las cuales también esta dividido en tres columnas: U = Unidades; D =
Decenas y C = Centenas; obviamente se puede agregar algunas columnas como Millar ,
Decena de Millar, etc., pero para aprender la utilidad inicial de la Yupana Fraccionaria es mas
fácil hasta las centenas.
Por ejemplo para representar la fracción 2/5 utilizamos una ficha que será ubicada en la
columna del numerador en la fila 2, posteriormente ubicaremos en la columna del
denominador en la fila 5; tal como detalla el siguiente gráfico.
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Ahora representaremos 2 fracciones y para diferenciarlas utilizaremos fichas de diferente color.
C D U C D U C D U
1
2
3
5
= 3/5 = 4 / 7
Como vemos en la tabla anterior para representar números mayores que 5 se debe emplear
dos dichas; podemos hacer cualquier combinación de números en cada columna pero no se
puede colocar dos fichas de un mismo color en un solo casillero y tampoco podemos
hacer un número mayor de 9; en tal caso empleamos la columna de las decenas y así

sucesivamente para representar números mayores; como veremos más adelante en la
simplificación de fracciones usaremos una mayor cantidad de fichas para trabajar hasta las
centenas.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
En esta ocasión emplearemos un mayor número de fichas para representar una fracción que
incluya las centenas luego haremos el proceso de simplificación, lo importante en el trabajo con
los niños y niñas es que vean que durante el proceso de simplificar el número de fichas va
disminuyendo así como el número tanto en el numerador como en el denominador; por ejemplo
colocaremos la fracción 128 / 192
Como vemos empleamos 8 fichas de un mismo color las cuales están distribuidas de la
siguiente forma:
NUMERADOR
128 = 1 C = 100
2 D = 20
3 U + 5 U = 8
DENOMINADOR
192 = 1 C = 100
1 D + 3 D + 5 D = 90
2 U = 2
Podemos reforzar los ejercicios de cálculo mental mientras usamos la yupana fraccionaria; por
ejemplo: Sabemos que la simplificación en las fracciones es tanto para el numerador como
para el denominador, entonces debemos de buscar mentalmente un número que pueda dividir
a los y realizamos la operación en nuestra yupana.
Mitad (÷2) Mitad (÷2) …
128 = 64 32 16 8 4 2
192 96 48 24 12 6 3
C D U C D U C D U
1
2
3
5

C D U C D U C D U
1
2
3
5
128
192
C D U C D U C D U
1
2
3
5
64
96
C D U C D U C D U
1
2
3
5
32
48
C D U C D U C D U
1
2
3
5
16
24
C D U C D U C D U
1
2
3
5
8
12

En las yupanas anteriores vemos que el número de fichas va disminuyendo mientras se va
simplificando, mientras realizamos la acción de simplificar en la yupana se hace notar a los
niños y niñas la reducción del número de fichas inicialmente empleadas.
SUMA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
En la suma de fracciones necesariamente debemos utilizar 2 fichas de colores distintas las
cuales representarán dos fracciones diferentes las cuales sumaremos, en caso de ser una
fracción impropia o mixta necesitaremos de una tercera ficha de color para convertirlo a
fracción propia.
Veremos un ejemplo de la manera más simple: = 3/8 = 4/8
3 / 8 + 4 / 8 = 7 / 8
C D U C D U C D U
1
2
3
Como sabemos en las fracciones homogéneas iguales denominadores se escribe el mismo
denominador en nuestro caso solamente debemos de escoger un color de ficha que se
quedará en la columna del denominador y con ese mismo color dejaremos finalmente nuestra
fracción. Luego se suma en la columna del numerador los números de las fracciones que
quedaron eliminando la ficha de la fracción (color ) sobrante.
El resultado de la suma es 7 / 8
5
C D U C D U C D U
1
2
3
5
7
8

RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
Tal como trabajamos anteriormente la suma de fracciones homogéneas de la misma manera
se trabaja a resta de fracciones.
Veremos un ejemplo de la manera más simple: = 9/8 = 4/8
9 / 8 + 4 / 8 = 7 / 8
C D U C D U C D U
1
Como ya vimos anteriormente en las fracciones homogéneas iguales denominadores se
escribe el mismo denominador nosotros debemos escoger un color de ficha que se quedará
en la columna del denominador luego restamos los números del numerador y con ese
mismo color dejaremos finalmente nuestra fracción.
El resultado de nuestra resta es 5 / 8
SUMA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS
Para el caso de las fracciones heterogéneas cabe resaltar que se debe sacar el mínimo común
múltiplo, para lo cual debemos de contar con una tercera ficha de otro color que nos ayudará
en estos casos. En la suma de heterogéneas distribuimos las fichas sobre la yupana tal igual
como anteriormente se mostró en los ejemplos de la suma de fracciones homogéneas.
Veremos un ejemplo simple: = 2 / 3 = 7 / 5
2 / 3 + 7 / 5 = 31 / 15
2
3
5
C D U C D U C D U
1
2
3
5
5
8

C D U C D U C D U
1
Como sabemos en las fracciones heterogéneas lo primero que hay que sacar es el mínimo
común múltiplo de los denominadores; el cual será representado en la Yupana Fraccionaria
con una ficha diferente o de otro color. En el ejemplo que estamos representando los
denominadores son 3 y 5 mediante, por lo tanto su mínimo común múltiplo sería 15.
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Veremos el M.C.M representado con la siguiente ficha: = 15
Después de colocar el denominador realizamos la operación de división y multiplicación entre
los números que conforman la columna DENOMINADOR, empezamos por el M.C.M entre 3
luego se multiplica por la columna NUMERADOR en el número 2 dando como respuesta 10
que irá colocado en la columna de las decenas en el NUMERADOR; luego se realiza la
segunda operación 15 entre 5, luego el resultado se multiplica por el DENOMINADOR dando
como respuesta 21. Veremos a continuación la Yupana resuelta.
C D U C D U C D U
1
2
3
5
2
3
5

C D U C D U C D U
1
2
3
5
Como podemos apreciar en la Yupana de la parte superior las fichas de los denominadores
han sido eliminadas debido a que ya se realizó la operación (división y se multiplico por su
respectivo color de ficha) dando como resultado el producto de ambas fracciones en el
numerador = 10 + = 21 la cual posteriormente se tiene que sumar.
31
15
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Como vemos la fracción es irreducible y nos queda 31/15 caso contrario deberíamos
simplificar hasta reducirlo a su mínima expresión; tal como lo vimos en un principio
RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS
Tal como se realizó en la suma de fracciones, en este caso se debe sacar también el mínimo
común múltiplo, (M. C. M.) para lo cual debemos de contar con una tercera ficha de otro color.
Para la resta de heterogéneas distribuimos las fichas sobre la yupana tal igual como
anteriormente se mostró en el ejemplo de suma de fracciones heterogéneas; procedemos a
resolver.
Veremos un ejemplo: = 9 / 12 = 5 / 4
9 / 12 - 5 / 4 = 24 / 12

C D U C D U C D U
1
2
6
12
3
5
El mínimo común múltiplo de 9/12 y 5/4 es 12; por lo cual colocaremos una nueva ficha en la
yupana fraccionaria en la columna de los denominadores la que se verá así = 12
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Se divide el M.C.M. con los denominadores que en este caso son 12 y 4, posteriormente se
multiplica con en numerador correspondiente; en el caso de la yupana fraccionaria el
denominador con su respectivo color en el numerador; que nos da como resultado la siguiente
tabla. En el numerador nos queda 15 - 9 y en el denominador 12 que fue el M.C.M,
C D U C D U C D U
1
2
3
5
C D U C D U C D U
1
2
3
5

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
En este caso sabemos que los numeradores de dos fracciones se multiplican entre si y los
denominadores también se multiplican entre si; por lo que tendrá mucha similitud con la suma
de fracciones homogéneas; con la salvedad de que los números inicialmente se multiplican.
Como sabemos empleando otra estrategia se puede simplificar el numerador del primer factor
con el denominador del segundo factor y viceversa si se pudiera; luego se multiplican
numeradores entre si y luego denominadores entre si. Para ilustrar lo antes mencionado lo
emplearemos en la yupana fraccionaria.
Veremos un ejemplo: = 1 / 4 = 2 / 5
1 / 4 de 2 / 5 es lo mismo que decir 1 / 4 x 2 / 5
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Realizamos las operaciones de multiplicación entre los numeradores y denominadores de
ambos factores: 1 (Numerador 1ra fracción) x 2 (Numerador 2da fracción)
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Como podemos apreciar en la columna numerador solamente queda el valor de 2 ya que como
sabemos 2 x 1 = 2. Ahora trabajaremos con la columna del denominador multiplicando 4 x 5,
como sabemos nos da como resultado 20 para lo cual escogemos la ficha del mismo color.

C D U C D U C D U
1
2
3
5
2
20
Tal como podemos ver en la Yupana Fraccionaria nos quedamos con la siguiente fracción 2/20
Y como apreciamos son números pares los cuales se pueden simplificar como a continuación
lo haremos.
1
10
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Tanto al numerador como en denominador se les saca la mitad y nos da como resultado 1/10
de la misma manera se realiza la multiplicación con otras fracciones.
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Primero como sabemos en la división de fracciones, inicialmente trabajamos con la segunda
fracción donde se invierten los factores, es decir lo que inicialmente fue el numerador y
denominador cambian de posición, según nuestro ejemplo si tenemos la siguiente división de
fracciones 2/4 ÷ 5/6 luego de trabajar con la segunda fracción debe quedar 2/4 ÷ 6/5. Ahora
veremos como se trabaja en la Yupana Fraccionaria.
Veremos un ejemplo: = 1 / 4 = 5 / 6 la división es 2/4 ÷ 5/6
C D U C D U C D U
1
2
3
5

Ahora invertimos la segunda fracción en la Yupana Fraccionaria y deberá quedar 2/4 ÷ 6/5
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Una vez hecho el cambio se trabaja igual que en la multiplicación de fracciones, entonces
realizamos las operaciones de multiplicación entre los numeradores y denominadores de
ambos factores: 2 (Numerador 1ra fracción) x 6 (Numerador 2da fracción) y el 4 (Denominador
1ra fracción) x 5 (Denominador 2da fracción), la operación será entonces 2 x 6 y 4 x 5.
C D U C D U C D U
1
2
3
5
12
20
Como resultado nos da la siguiente fracción 12/20;se puede simplificar a su mínima expresión.
C D U C D U C D U
1
2
3
5
6
10
3
5
C D U C D U C D U
1
2
3
5

Tal como apreciamos después de simplificar nos da como fracción final 3/5 el cual ya no se
puede reducir.
OPERACIONES CON NÚMEROS MIXTOS
En las operaciones de fracciones con números mixtos en las fracciones se puede trabajar con
una fracción mixta, homogéneos ó heterogéneos junto a otra fracción mixta (parte entera y
fracción), veremos ahora como en la yupana fraccionaria podemos resolverlo con facilidad.
Veremos un ejemplo: = 2 / 3 = 1 3 / 5
La operación será una división es 1 3 / 5 ÷ 2 / 3
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Primero debemos transformar la fracción mixta en heterogénea, como recordaremos para
convertirlo se multiplica el denominador por la parte entera y luego se suma con el
numerador ( 5 x 1 + 3 ) nos dará 8/5. Resolvemos en la Yupana Fraccionaria.
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Invertimos la segunda fracción porque estamos realizando una división de fracciones.
C D U C D U C D U
1
2
3
5

Posteriormente trabajamos como en la multiplicación de fracciones, numeradores entre si y
denominadores entre si.
Posteriormente trabajamos como en la multiplicación de fracciones, numeradores entre si y
denominadores entre si.
ENTEROENTERO DENOMINADORDENOMINADOR NUMERADORNUMERADOR
C D U C D U C D U
24
10
12
5
2
2255
1
2
3
5
Da como resultado de la multiplicación 24/10 el cual se puede simplificar como se hará a
continuación.
C D U C D U C D U
1
2
3
5
La fracción podría quedar en 12/5 o en caso contrario podríamos convertirlo en fracción mixta
la y quedaría de la siguiente manera 2 2/5.
C D U C D U C D U
1
2
3
5
Como vemos el uso de la Yupana Fraccionaria es muy versátil para poder trabajar de manera
lúdica las fracciones de una manera diferente, contribuyendo fuertemente al cálculo mental de
los estudiantes mientras juegan y resuelven ejercicios.

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