Ejemplo impulso: ¿Por qué rebota una bola de goma? Universidad de la sábana, 2018

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Enunciado del problema
Actividad
Impulso y momentum lineal:
Ejemplo 1
Bola de goma que rebota
Jorge Luis S´anchez Ruiz
Jorge Luis S´anchez Bola de goma que rebota

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Enunciado del problema
Actividad
1 Enunciado del problema
2 Actividad
Jorge Luis S´anchez Bola de goma que rebota

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Enunciado del problema
Actividad
Considere una bola de goma de radio despreciable,cuya masa es de 10gr, y que
se suelta desde el reposo, ubicada inicialmente a una altura y0 = h = 2.00m. La
bola de goma colisiona con el piso, permaneciendo en contacto con el mismo un
intervalo de tiempo ∆t = 0.1 × 10−3
s, de manera que rebota con el piso.
Determine el impulso producido por el peso de la bola, cuya masa es de
10gr
Determine la velocidad con la cual la bola golpea el piso
calcule el impulso total sobre la bola de goma, producido por la fuerza de
contacto entre el piso y la bola, N(t) y el peso de la bola, asumiendo que
la colisi´on fue perfectamente el´astica.
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Enunciado del problema
Actividad
Comparando el valor del impulso debido al peso, y el del impulso total
¿Se debe el cambio de momentum de la bola a la acci´on del peso o de la
normal N(t)?
Basado en las respuestas anteriores, dado que la gravedad es una fuerza
externa, ¿por qu´e es el´astica la colisi´on? ¿cuando no lo ser´ıa?
calcule la fuerza promedio sobre la bola.
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Enunciado del problema
Actividad
Figure: Bola de goma cayendo contra el piso. Fuente: An introduction to
mechanics, Daniel Kleppner and Robert Kolenkow
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Enunciado del problema
Actividad
Reconocimiento del problema
Para calcular el impulso producido por el peso, se recurre a la definici´on de
impulso:
∆pg = −
0.1×−3
s
0
mgˆjdt = −
0.1×10−3
s
0
0.01kg ∗ 9.81
m
s2
ˆjdt (1)
∆pg = 0.098 ∗ 0.1 × 10−3
kg ∗ m/s = 9.80 × 10−6
kg ∗ m/s (2)
Ahora, para calcular la velocidad de la bola al llegar al piso, usamos el teorema
de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica:
Ki + Ui = Kf + Uf (3)
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Enunciado del problema
Actividad
De manera que:
0 + mgh =
1
2
mv2
0 + 0 (4)
Luego:
v0 = 2gh = 6.26m/s (5)
Es decir:
v0 = −6.26m/sˆj (6)
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Enunciado del problema
Actividad
Figure: Bola de goma durante el intervalo de tiempo de contacto
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Enunciado del problema
Actividad
En la figura anterior se observan las fuerzas que actuan sobre la
bola de goma durante el tiempo de contacto; dado que la bola est´a
cambiando su momento lineal, la normal no se equilibra con el
peso, luego:
F(t) = (N(t) − mg)ˆj (7)
Entonces, el impulso queda expresado como sigue:
∆p =
0.1×−3s
0
(N(t) − mg)ˆjdt = mvf − mv0 (8)
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Enunciado del problema
Actividad
Dado que la colisi´on es perfectamente el´astica, entonces el impulso
queda escrito como sigue:
m 2ghˆj − m(− 2ghˆj) =
0.1×−3s
0
(N(t) − mg)ˆjdt (9)
Luego:
∆p = 2m 2ghˆj (10)
Entonces, obtenemos que el impulso total es:
∆p = 0.13kgm/sˆj (11)
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Enunciado del problema
Actividad
Conservaci´on del momentum lineal
Con estos resultados podemos concluir que:
∆p ∆pg (12)
O, en otras palabras podemos afirmar que el cambio de momento producido
por el peso del cuerpo es despreciable, es decir, practicamente el cambio de
momentum de la bola viene de la fuerza de contacto, lo que nos permite
afirmar que en este proceso el efecto de las fuerzas externas es despreciable,
entonces podemos decir que el momentum lineal permanece aproximadamente
constante y como consecuencia de esto se cumple que:
vf =
m − M
m + M
v0 +
2M
m + M
vi,piso (13)
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Enunciado del problema
Actividad
Ahora, dado que “piso” se encuentra en reposo y que la masa M
del piso es mucho m´as grande que m, entonces de la ecuaci´on (13)
se concluye que:
vf = −v0 (14)
Lo que hace la colisi´on perfectamente el´astica. S´ı la bola, o en su
defecto el piso fueran muy el´asticos, el tiempo de contacto
aumentar´ıa (por ejemplo, la bola cayendo sobre un trampol´ın) y
esto har´ıa que la velocidad final de la bola no fuera igual a la
inicial.
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13. Outline
Enunciado del problema
Actividad
Actividad
Calcule la fuerza promedio actuando sobre la bola de goma durante el tiempo
de contacto.
Sugerencias: Use la definici´on de impulso, pero cambiando N(t), por ¯N, es
decir:
∆p =
0.1×−3
s
0
( ¯N − mg)ˆjdt = ( ¯N − mg)∆t (15)
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