Problema resuelto con ecuaciones diferencialaes

1. Ingeniería en
Energías Renovables
MATEMÁTICAS AVANZADAS II
ANELL AGUILAR LÓPEZ

2. Problema de Cuerpo en caída libre
Si se deja caer un objeto por la ventana del
edificio que tiene Una altura ( s, x, h, y, no importa
la letra que se ocupe sera lo mismo) de 9 m
como se muestra en la figura, donde la
aceleracion el igual a 9.81m/s²
Calcular el tiempo necesario para llegar la piso
Analizando las condiciones iniciales t= 0
La altura o el desplazamiento inicial S(o) = 9 m
como parte del reposo V(o) = 0
g= 9.81m/s²
Determine la posición de la piedra despues de 0.5
segundo
También sabemos que ds/dt = v velocidad
dv/dt = a
aceleración
d²s/dt² = a
aceleración
9
9

3. Problema de Cuerpo en caída libre
 Aplicando la 2ª Ley de Newton
 F = ma
 Haciendo un diagrama de cuerpo libre, la única fuerza que actúa sobre la
piedra es el peso
 F= W = mg
 Ley de conservación de energía dice que la suma de fuerzas es igual a cero
 ma + mg =0
 ma =- mg dividiendo entre m en ambos lados de la ecuación
 m m
 a = -g si a = d²s/dt²
 d²s/dt² =- g

4. Resolviendo la ecuación diferencial
d²s/dt² =- g por integración directa
 1.- integrando ambos lados de la ecuación
 ds/dt = - gt + C1……. Ec. 1
 Lo que hemos obtenido es la fórmula para la velocidad
 2.- Integrando nuevamente tenemos:
 S(t) =- ½ gt² + C₁t + C₂ Sol. Gral.

5. Evaluando con las condiciones iniciales
S(t) = ½ gt² + C₁t + C₂ S(o) =9 V(o)= 0
Primero sustituiremos la S(o) =9 en el resultado de la primera derivada Ec. 1
 ds/dt = - gt + C1……. Ec. 1
 Como V(t) = ds/dt
 V(t)= -gt + C ₁
 Para t=0 V(o) = 0
 0 = -g(o) + C ₁ C ₁ = V(o) OBSERVE QUE C₁ = Velocidad inicial
 Por lo tanto C ₁ = 0
 Ahora sustituremos el la solución general para t =0 , S(o)= 9 m y C ₁ = 0
 S(t) =- ½ gt² + C₁t + C₂ sust C1 = 0
 S(o) = - ½ gt² + (0)t + C₂ Sust S(o) = 9
 9 = - ½ gt² + (0)t + C₂ Sust t = 0
 9 = -½ g(0)² + C₂ C ₂ = S(o)= 9 m
 9 = C₂ sustituyendo en la solución general y C ₁ = 0
 S(t) =- ½ gt² + 9 SOL PARTICULAR

6. Para calcular el lugar el tiempo neceario para llegar al suelo ( S =
0)
(0) = -½ gt² + 9
-9=- ½ g(t)²
9= 0.5 g t² sustituyendo g por 9.81
9 = (0.5 )(9.81) t²
t² = 9/(.5 x 9.81) = segundos
t = 1.35 segundos

7. Calcular la altura del patio si la moneda
tardo en caer 1.18 segundos aprox.
 S(t) =- ½ gt²
 S(t) =- ½(9.81)(1.18)² = 6 metros aprox.

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