Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica

1. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Avances en la modelización
computacional de problemas de
interacción Fluido-Estructura,
especialmente Rotordinámica
Mario A. Storti 1
1
Centro de Investigación de Métodos Computacionales,
CIMEC (UNL - CONICET), 3000 Santa Fe, Argentina.
Tel.: +54 (0) 342 4511594 Fax: +54 (0) 342 4511595
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2. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
¿Qué es la interacción fluido-estructura?
En muchos problemas de ingeniería aparece la interacción
mecánica entre fluidos y sólidos.
El fluido impone cargas (fricción y presión) sobre el sólido y
este se deforma, modificando el dominio donde se mueve el
fluido.
Esta interacción implica un traspaso de energía entre ambos
medios.
Bajo ciertas condiciones esta interacción se puede hacer
inestable, causando vibraciones o destrucción de estructu-
ras.
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3. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
¿Qué es la interacción fluido-estructura?
Ejemplos de FSI: divergencia, flut-
ter, buffetting de perfiles aerodiná-
micos.
Instrumentos de viento, fonación
en humanos/animales, ronquido.
Vibraciones en cañerías.
Vibraciones en rotordinámica.
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4. Avances en la
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computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Fuerzas aerodinámicas
Desde el punto de vista de la estructura, podemos pensar
que el fluido aplica una fuerza sobre la misma
m¨x + c ˙x + kx = Ffl({x})
La fuerza es no local en el tiempo: depende de toda la his-
toria {x} anterior de x
Un primer efecto del fluido es introducir amortiguación (dam-
ping), es decir
m¨x + c ˙x + kx = Ffl({x}) ≈ −cfl ˙x,
m¨x + (c + cfl) ˙x + kx = 0.
k c
m
Ffl
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problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Fuerzas aerodinámicas(cont)
Pero en realidad el fluido también puede agregar una masa
adicional (o masa agregada) a la estructura ya que esta al
desplazarse debe desplazar una cierta cantidad de fluido.
m¨x + c ˙x + kx = Ffl({x}) ≈ −cfl ˙x − mfl ¨x,
(m + mfl)¨x + (c + cfl) ˙x + kx = 0.
Para una esfera la masa agregada es 2/3πR3
ρ o sea 50 %
de la masa de fluido desalojada por la esfera. (Estas son
aproximaciones basadas en flujo potencial.) En flujo real sue-
les ser un poco mayor (55 % a 60 %).
La masa puede ser no diagonal es decir, la masa agregada
en una dirección puede no ser igual a la de otra dirección,
por ejemplo para una elipse. Tenemos entonces un tensor
da masa agregada.
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6. Avances en la
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computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Fuerzas aerodinámicas(cont)
Una forma de calcular la massa agregada Mij es imponer
sobre el cuerpo una velocidad en la direccion ubdy y resolver
(por ej. con flujo potencial) el campo de velocidades u(x).
La energía cinética del fluido será
EK =
Ω
1/2ρu2
dΩ = 1/2Mijubdy,iubdy,j (1)
Factor de amplificación de la masa agregada: Si en cier-
tas partes del fluido el flujo se acelera entonces puede agre-
gar más masa agregada que la propia masa del fluido.
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computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Fuerzas aerodinámicas(cont)
Finalmente, para un perfil aerodi-
námico por ejemplo, tenemos una
fuerza (torque) que es proporcio-
nal al ángulo de ataque del mismo
I ¨θ + c ˙θ + kθ = Ffl({x}) ≈ −kflθ,
I¨x + c ˙x + (k + kfl)θ = 0.
k
c
θ
Torque estructural (estabilizante)
Torque del fluido (desestabilizante)
En este caso kfl < 0 es decir tiene un efecto desestabili-
zante sobre el sistema. Si k + kfl < 0 es decir si la rigidez
estructural no llega a compensar a la rigidez negativa aero-
dinámica se produce la divergencia del sistema y colapsa.
Este tipo de inestabilidad no es dinámica, es puramente es-
tática.
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8. Avances en la
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problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
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Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Rotordinámica
La rotordinámica estudia el comportamiento de componen-
tes que se caracterizan por una alta velocidad de rotación
(rotores).
Ejemplos típicos: cojinetes, rodetes de turbinas.
Nos interesan los casos en que existe un gap de fluido entre
el rotor y el estator.
El rotor se puede desplazar de su posición centrada por
efectos de cargas (cojinetes) o desbalances de fuerzas (en-
trada irregular de fluido en el rodete de una turbina).
Al desplazarse con respecto al centro del stator, el fluido
ejerce una fuerza hidrodinámica, tenemos por lo tanto un
problema de interacción fluido-estructura.
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9. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Flujo de lubricación. Ec de Reynolds
Se llaman flujos de lubricación a los que se producen entre
dos superficies cuando la distancia entre las mismas es mu-
cho menor que el tamaño característico de las superficies.
Asumiendo que en cada sección (perpendicular a las su-
perficies) el flujo es una combinación de flujo Couette (perfil
lineal) y Poiseuille (perfil parabólico) se llega a la aproxima-
ción dada por la Ec. de Reynolds.
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10. Avances en la
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Fluido-Estructura,
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Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Flujo de lubricación. Ec de Reynolds(cont)
Ecuación de Reynolds
·
h3
12µ
P =
∂h
∂t
, (2)
h(x, t) es un dato (dado por la geometría del problema.
Notar que el término derecho es también un dato (a menos
que hagamos FSI).
h(x)
x
fluid
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11. Avances en la
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Fluido-Estructura,
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Ejemplo. Levantando una cacerola
Planta circular de radio R en el plano x, y
h, dh
dt =cnst no dependen de x, y
La ec. a resolver es
∆P =
12µ˙h
h3
= cnst (3)
La solución es P = P0 + c(r2
− R2
).
Como ∆(r2
) = 4 queda en-
tonces 4c = 12µ˙h/h3
La fuerza neta total es en-
tonces
F − W =
3πµ˙hR2
2h3
(4)
Piny
F
h
D
P(r)
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12. Avances en la
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problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Ejemplo. Levantando una cacerola(cont)
Por ejemplo si
h = 1 × 10−4
m,
˙h = 1 × 10−4
m/s,
R = 0.15 m,
µ = 1 × 10−3
Pas (agua)
=⇒ F = 106 N
De hecho si asumimos F =cnst se puede integrar la ec. diferen-
cial
F = W +
3πµ˙hR2
2h3
(5)
y da
1
h2
0
−
1
h(t)2
= Ct, (C =
2(F − W)
3πµR2
) (6)
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13. Avances en la
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problemas de
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Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Ejemplo. Levantando una cacerola(cont)
El tiempo de despegue T es
1
h2
0
= CT,
T =
3πµR2
2h2
0(F − W)
(7)
Para los datos del caso anterior (cacerola) da T = 68 s.
La presión negativa mínima en el centro de círculo es cerca de
5 × 105
Pa. Por lo tanto está en cavitación.
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14. Avances en la
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problemas de
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Fluido-Estructura,
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Rotordinámica(cont)
ω
ΔX
W
P+
P-
Q1=c1(ωR/2)
Q2=c2(ωR/2)
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15. Avances en la
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Fluido-Estructura,
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Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Rotordinámica(cont)
El desplazamiento es orto-
gonal a la carga. Fuerza no-
conservativa.
Si el rotor realiza una ór-
bita corotante con el fluido
entonces tiende a absorber
energía y por lo tanto es
desestabilizante.
Recíprocamente, órbitas
contrarotantes el efecto
tiende a ser estabilizante.
Las fuerzas desestabilizan-
tes pueden tener efectos
catastróficos sobre la es-
tructura. También es fuente
de vibraciones.
ω
ΔX
W
P+
P-
Q1=c1(ωR/2)
Q2=c2(ωR/2)
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16. Avances en la
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Turbina Francis Belomonte (BR)(cont)
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Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Turbina Francis Belomonte (BR)(cont)
Labyrinth seal
Three Gorges
Dam rotor
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18. Avances en la
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computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Ejemplo rotordinámica
Se considera el flujo entre dos cilindros excéntricos. Ambos
o uno de los cilindros es libre de moverse, por lo cual es un
problema de FSI.
Una aplicación muy importante del flujo en el lubricante en-
tre el rotor y el estator de un rodamiento. En este caso uno
de los cilindros (puede ser el rotor o el estator) está en rota-
ción con respecto al otro. Normalmente no hay flujo axial.
Otra aplicación es el flujo en el huelgo entre el rotor y el es-
tator de una turbina hidráulica. En este caso las velocidades
de rotación son menores pero puede haber un flujo axial.
Si asumimos que el que se mueve es el rotor y que los mo-
vimientos son bidimensionales, es decir que el rotor se des-
plaza en forma rígida, manteniendo su eje alineado con el
eje z, y sin desplazarse según el eje z entonces su movi-
miento está caracterizado por el desplazamiento {ex(t), ey(t)}
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19. Avances en la
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especialmente
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Ecuaciones de gobierno
El dominio ocupado por el fluido
es una región anular excéntrica:
Ωfl = { x−e > Rint, y x < Rext}.
(8)
Las ecuaciones de NS (momento
y continuidad) rigen en Ωfl.
Las condiciones de contorno son
v = ˙e, en Γint,
v = ω × x, en Γext,
(9)
Las ecuaciones de gobierno para
la posición del cilindro interior son,
M¨e = −Ke − C˙e + Ffl, (10)
ω
ΔX
W
P+
P-
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20. Avances en la
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interacción
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especialmente
Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
FSI con Code-Saturne
Code-Saturne (CS) es
el código CFD general
desarrollado por Electricité
de France (EDF) (https:
//www.code-saturne.org) y
Commisariat pour l’Energie
Atomique (CEA).
Paquete de software de
CFD de uso general licen-
cia GNU-GPL.
Se basa en un enfoque
de volumen finito co-locado
que acepta mallas con cual-
quier tipo de celda y cual-
quier tipo de estructura de
malla (no estructurada, es-
tructurada en bloque, híbri-
da, hanging nodes).
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problemas de
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Fluido-Estructura,
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
FSI con Code-Saturne(cont)
Flujos incompresibles o compresibles con o sin transferen-
cia de calor y turbulencia (longitud de mezcla, modelos de 2
ecuaciones, modelos de tensión de Reynolds, LES ...). Po-
see módulos dedicados para procesos físicos específicos
como transferencia calor por radiación, combustión, dinámi-
ca magnetohidrodinámica, flujos compresibles, flujos bifási-
cos (enfoque Euler-Lagrange con acoplamiento bidireccio-
nal), y extensiones a aplicaciones específicas (por ejemplo,
para ambientes atmosféricos).
Puede acoplarse al software térmico SYRTHES para la trans-
ferencia de calor conjugado.
También puede utilizarse conjuntamente con el software de
análisis estructural Code-Aster, en particular en la platafor-
ma Salomé. SYRTHES y Code-Aster son desarrollados por
EDF y distribuidos bajo la licencia GNU GPL.
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computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
FSI con Code-Saturne(cont)
La figura muestra el com-
portamiento del tiempo de
cómputo para un cálculo
de CFD con modelo de
turbulencia LES en un arre-
glo de tubos (un elemento
combustible de un reactor
nuclear) corrido en HEC-
ToR Phase3 (es un Cray
XE6, [goo.gl/KKHrfk ])
muestra escalabilidad
hasta 3.2 Bcells en 65k
cores.
51Mcell(fit)
204Mcell(fit)
816Mcell(fit)
3.2Bcell(fit)
weak scalability
region
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23. Avances en la
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interacción
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Caso sin rotación y con FSI.
Ponemos velocidad de rotación del cilindro exterior W=0.0
y activamos la FSI, poniendo una excentricidad inicial de
e(t=0)=[0.05,0,0] es decir del 5 % del huelgo.
La masa del cuerpo rígido es puesta en m11=m22=m33=1 (ten-
sor de masa diagonal) y la constante de rigidez en
k11=k22=k33=10. La estructura no tiene amortiguamiento
(c11=c22=...=0).
Notar que una constante de rigidez es necesaria en este
caso ya que caso contrario el cuerpo queda en “equilibrio
indiferente”, es decir puede desplazarse por la cavidad y por
lo tanto el problema no es estable.
También es necesario darle una masa positiva al cuerpo ya
que si no la única masa sería la agregada y el acoplamiento
no converge.
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24. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Caso sin rotación y con FSI.(cont...)
En el gráfico se muestra el desplazamiento y las fuerzas.
Se puede observar que la evolución es estable, con un im-
portante amortiguamiento tanto de los desplazamientos co-
mo de las fuerzas. El amortiguamiento es aportado sólo por
el fluido (cij=0).
0 2 4 6 8
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t [s]
fx
ex
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25. Avances en la
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computacional de
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interacción
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Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Masa agregada y damping
Podemos determinar la masa agregada aportada por el flui-
do y el coeficiente de damping imponiendo desplazamientos
harmónicos y ajustando la respuesta Fx. Efectivamente, si
las fuerzas del fluido se pueden aproximar de la siguiente
forma
Fx(t) = −mfl¨e − cfl ˙e − kfle, (11)
entonces, imponemos un desplazamiento de la forma
ex(t) = A sin(ωt), (12)
Las fuerzas del fluido deben ser entonces
Fx(t) = A(mflω2
− kfl) sin(ωt) − cflωA cos(ωt). (13)
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26. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Masa agregada y damping(cont)
Por lo tanto podemos imponer el desplazamiento harmónico
(12), calcular las fuerzas Fx sobre el cuerpo. Después de
un transitorio inicial las fuerzas deben terminar siendo una
función harmónica de la misma frecuencia que la excitación.
Por lo tanto debe ser una combinación lineal de la siguiente
forma
Fx(t) = a sin(ωt) + b cos(ωt). (14)
Los coeficientes a y b se pueden obtener por mínimos cua-
drados. Si los cilindros no rotan entonces el coeficiente kfl
debe ser nulo y por lo tanto con una sola simulación se pue-
den deducir los coeficientes de masa agregada y damping
como
mfl = a/(Aω2
), cfl = −b/(Aω), (15)
Si tuviéramos kfl = 0 (por ejemplo debido al efecto Loma-
kin, o a una rotación de los cilindros) entonces con una sola
frecuencia no se puede terminar mfl, pero tomando dos fre-
cuencias se puede ajustar la relación entre a y ω por una
cuadrática y se pueden determinar ambos coeficientes.
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27. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Determinar coefs con CS
Para realizar los cálculos de mfl y cfl realizamos una simula-
ción con CS utilizando A = 0.01 y ω = 5.
El coeficiente A debe ser suficientemente pequeño como
para garantizar que la respuesta del sistema es lineal, en
este caso A = 0.01 equivale a un 10 % del huelgo.
En azul vemos las fuerzas calculadas por CS.
Después de un transitorio inicial las fuerzas parecen rápida-
mente tomar un comportamiento harmónico.
0 2 4 6 8
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t
fx
fx(fitted)
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28. Avances en la
modelización
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problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Determinar coefs con CS(cont)
Si hacemos mínimos cuadrados y ajustamos la fuerza de
la forma (14) vemos que el ajuste es muy bueno, salvo un
pequeño transitorio inicial.
A partir de los coeficientes a y b deducimos las masas agre-
gadas y coeficiente de damping.
Resulta ser a=0.0909, b=-0.046559 y por lo tanto resulta
mfl=0.363. El valor teórico de la masa agregada, calculado
en base a teoría potencial es
mfl =
πρR3
hz
c
= (2πρRchz)
R2
2c2
= 0.314
= (fluid mass) × (ampl. factor)
(16)
Vemos que hay una coincidencia razonable. Las discrepan-
cia de un 15 % se puede deber al hecho de que estamos un
poco lejos de la aproximación de la teoría de lubricación ya
que el espesor del huelgo no es tan pequeño con respecto
al radio.
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29. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Determinar coefs con CS(cont)
Con respecto a cfl el valor de b resultante del fiteo con seno y
coseno es b=-0.046559 y por lo tanto a partir de (15) resulta
cfl = 0.931.
Si aproximamos las fuerzas del fluido con estos coeficientes
mfl y cfl entonces las oscilaciones libres del cuerpo estarían
descriptas por
(m + mfl)¨e + cfl ˙e + ke = 0 (17)
Por lo tanto las soluciones son de la forma ∝ eλt
donde
(m + mfl)λ2
+ cflλ + k = 0 (18)
y en este caso resulta ser
λ1,2 = −0.3415 ± i 2.6866 (19)
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30. Avances en la
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Fluido-Estructura,
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Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Determinar coefs con CS
En particular para las condiciones iniciales de este problema
la solución es
e(t) = e(t = 0)e−βt
cos(ωt). (20)
Con β = Re {λ} = −0.3415 y ω = 2.6866.
0 2 4 6 8
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
t [s]
ex
ex(anl)
30 / 44

31. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Caso FSI con rotación, inestable.
Ahora ponemos el cilindro externo a rotar con velocidad an-
gular W = 10[rad/s].
Resolvemos con FSI activado, agregando una masa al cuer-
po de m11 = m22 = m33 = 1 y sin coeficientes de damping
ni restitución. El cuerpo se inicializa con un desplazamiento
según x de ex = 0.001 (1 % del huelgo).
En las figura de abajo (izq.) vemos la evolución de los des-
plazamientos ex, ey y las fuerzas sobre el fluido Fx, Fy en
función del tiempo. En la figura derecha vemos la evolución
del centro del cuerpo. Se observa una trayectoria espiral cre-
ciente co-rotatoria (es decir en el mismo sentido que el rotor,
contrario al sentido de las agujas del reloj).
Obviamente la evolución es inestable.
31 / 44

32. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
0 1 2 3 4
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
t
ex
ey
fx
fy
-0.01 -0.005 0 0.005
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
t
ey
32 / 44

33. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Caso FSI con rotación, estable.
Queremos ver si podemos estabilizar el sistema agregando
una rigidez estructural. El sistema de ecs que utilizamos pa-
ra el problema sin rotación fue (17). En ese caso era una
ecuación de un solo grado de libertad (ex) ya que al no ha-
ber rotación las ecuaciones en x e y se desacoplan. Al haber
rotación las ecuaciones se acoplan (en el caso 3 vimos que
al aplicar un desplazamiento en x se produce una fuerza en
y).
Por lo tanto el sistema de ecuaciones ahora es
(Ms + Mf )¨e + (Cs + Cf )˙e + (Ks + Kf )e = 0 (21)
El subíndice s indica estructura y f del fluido.
Donde todas las matrices son de 2x2.
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34. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Caso FSI con rotación, estable. (cont)
Notemos que todas las matrices deben tener ciertas pro-
piedades de simetría. Los coeficientes diagonales xx e yy
deben ser iguales, por ejemplo debemos tener Kxx = Kyy.
Por otra parte recordemos del caso 3 que si aplicamos un
desplazamiento en x obtenemos una fuerza positiva en y.
Por simetría si producimos un desplazamiento en y obten-
dremos una fuerza en −x. Es decir la estructura de K debe
ser
K =
a b
−b a
(22)
El mismo razonamiento se aplica a todas las matrices del
fluido y asumiremos también que las matrices de la estruc-
tura son diagonales, multiplos de la identidad es decir
Ms = msI2×2, Cs = csI2×2, Ks = ksI2×2. (23)
Si buscamos soluciones de la forma e(t) = ˆe eλt
entonces
tenemos el problema de autovalores cuadrático
det (Ms + Mf )λ2
+ (Cs + Cf )λ + (Ks + Kf ) = 0 (24)
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35. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Caso FSI con rotación, estable.
Como todas las matrices tienen la estructura (22). El proble-
ma de autovalores se simplifica ya que los autovectores son
de la forma
v =
1
i
(25)
Ya que, por ejemplo
a b
−b a
1
i
=
a + i b
−b + i a
= (a + i b)
1
i
(26)
Algo similar ocurre con el autovector
v =
1
−i
(27)
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36. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Caso FSI con rotación, estable. (cont)
Utilizando el resultado (26) vemos que el problema de auto-
valores se reduce a
(ms + mf )λ2
+ cf λ + (Kf,xx + i Kf,xy + ks) = 0 (28)
Utilizando los valores de
Kf,xx = −0.090751/0.05, Kf,xy = −0.144934/0.05,
cf = 0.931, mf = 0.314
(29)
Si ponemos ms = 1 y cs, = ks = 0 entonces vemos que los
autovalores son λ = {−1.7996 − i 0.7631, 1.0911 + i 0.7631}.
Es decir que la evolución es inestable ya que tenemos un
autovalor con parte real positiva.
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37. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Caso FSI con rotación, estable. (cont)
Agregando coeficiente de restitución positiva de la estructu-
ra ks se puede estabilizar el sistema.
Por prueba y error se puede llegar a determinar que a ks =
30 los autovalores tienen parte real negativa es decir que se
estabiliza.
ks = 30, =⇒
λ = {−0.5928 − i 4.6240, −0.1157 + i 4.6240}
(30)
Agregando estos coeficientes y realizando una simulación
FSI con un desplazamiento inicial de 0.01 tenemos una evo-
lución como se muestra en las siguientes figuras.
0 2 4 6 8
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t
ex
ey
fx
fy
-0.005 0 0.005 0.01
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
ex
ey
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38. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Caso FSI con rotación, estable. (cont)
Se observa efectivamente que la evolución es estable.
Puede verse que después del transitorio inicial el movimien-
to es una helicoide que gira en sentido antihorario, es decir
co-rotatorio con el movimieno del rotor.
Repasando los autovalores (30) vemos que si bien los dos
autovalores son estables (Re {λ} < 0) hay uno de ellos que
es el decae más lento (λ = {−0.1157 + i 4.6240} ) y otro que
decae mucho más rápido λ = {−0.5928−i 4.6240, −0.1157+
4.6240i }. Ambos tienen la velocidad angular (Im {λ} < 0)
opuesta y puede demostrarse que el de decaimiento más
lento es el co-rotatorio.
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39. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Modos co- y contra-rotatorios(cont)
Más aún, puede verse que la velocidad angular del modo
lento Im {λ} = 4.6240 es aproximadamente igual a un medio
de la velocidad de rotación (W = 10).
Esto es un efecto bien conocido en rotordinámica. La gran
disipación de energía se produce cuando la excentricidad
produce una estricción y el flujo es “bombeado” a través de
la misma. Si ambos cilindros rotaran con la misma veloci-
dad angular pero en sentido antihorario entonces no habría
caudal neto bombeado a través de la estricción ya que el
caudal neto producido por el flujo Couette sería nulo en to-
das las posiciones azimutales.
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40. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Modos co- y contra-rotatorios(cont)
Por lo tanto una excentricidad en ese caso no tendría las di-
ferencias de presión como en la figura derecha de la trans-
parencia ?? y por lo tanto tampoco fuerza transversal. Es
decir esa excentricidad tendería a tener un comportamiento
más indiferente. En general, cuando ambos cilindros rotan
este conportamiento “indiferente” ocurre cuando la excen-
tricidad rota con el promedio de las velocidades de ambos
cilindros. En particular cuando uno rota con velocidad W y
el otro está fijo eso se corresponde con que la excentricidad
rote con velocidad W/2.
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41. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Inclinación del eje
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42. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Lomakin effect(cont)
Lomakin effect occurs when
an axial flow is present in
the clearance.
If there is a shift (eccen-
tricity) to the left, then the
clearance is larger at the
right, the velocity is higher
and (Bernoulli) the pressu-
re is lower. So a net force to
the right (restoring) is pro-
duced.
Lomakin has a stabilizing
effect.
P-P+ F
ΔX
ω
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43. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
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Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
FSI con superficie libre (FS)(cont)
En aplicaciones en un reac-
tor nuclear (CAREM) es im-
portante modelar la FSI en-
tre cilindros con superficie
libre (FS).
Un modelo simple de flujo
con FS fue agregado en CI-
MEC para modelar superfi-
cie libre.
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44. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
FS con Saturne(cont)
Flow in annulus with initial slope
Flow in annulus with initial rota-
tion and wall.
Flow in annulus with initial slope
Flow in an annulus with inner si-
nusoidal motion
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45. Avances en la
modelización
computacional de
problemas de
interacción
Fluido-Estructura,
especialmente
Rotordinámica
Mario A. Storti
Fluids Structure
Interaction (FSI)
Caso sin rotación y
con FSI.
Determinar coefs
con CS
Caso FSI con
rotación, inestable.
Caso FSI con
rotación, estable.
Módulo de cuerpo rígido
Trompo en movimiento libre, sin
drag, tip desliza.
Cadena de barras rígidas.
Trompo en movimiento libre, con
drag.
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