guía 1 OmaR oRTIZ

1. Pr´actica 1
Introducción al análisis gráfico
de datos
Introducción y justificación
En la mayoría de experimentos de este y otros cursos de física, uno de los ob-
jetivos será encontrar alguna relación entre las variables medidas, para lo cual
es conveniente elaborar una gráfica de los datos y, luego realizar su análisis.
El procedimiento de construir la gráfica con base en una tabla de datos, para
realizar el análisis que permita obtener la ecuación a la cual se ajustan los
datos, se realiza de manera efectiva y rápida con ayuda de algún programa
como Magicplot™ o SciDAVis.1 1
Aunque pueden usar otros programas,
estos son los más recomendables y pue-
den descargar de los enlaces, junto con
manuales de funcionamiento.
En esta práctica se van a aplicar procedimientos para analizar datos regis-
trados por los estudiantes. Se comienza por analizar una relación lineal, por
cuanto es la más sencilla de estudiar y la que proporciona información directa,
con base en el cálculo de pendiente y punto de corte. La ventaja de los pro-
gramas recomendados, además de ser versiones libres, es que proporcionan
estos valores con incertidumbre.
En segunda instancia, realizarán el análisis en los que la relación entre las
variables no es lineal. Lo primero que se hace es representar gráficamente los
datos para verificar que la curva que los representa no tiene tendencia lineal2. 2
Para obtener información es necesario
linealizar los datos, ya que interceptos
y pendientes nos proporcionan informa-
ción útil para hallar la ecuación que re-
presenta los datos.
Esta práctica no exige mayores requisitos, por cuanto lo que hay que apren-
der sobre análisis gráfico se hará paralelamente con la realización del experi-
mento. Es decir, van a aprender “en el terreno". La única herramienta mate-
mática que usarán son sus conocimientos de la ecuación de la recta, algo de
propiedades de los logaritmos y conocimientos elementales sobre la circunfe-
rencia.

2. 2 guías de laboratorio de física mecánica
Metas de aprendizaje
Está práctica tiene tres propósitos principales:
iniciar al estudiante en la actividad de toma de medidas;
reforzar las técnica de representación gráfica de datos;
aprender a realizar el análisis gráfico de un conjunto de datos experimen-
tales, con tendencia lineal;
aprender los primeros pasos de los métodos de linealización de datos
determinar experimentalmente la relación entre un par de variables;
interpretar el significado físico de las constantes que se calculen en el pro-
ceso.
Lo que se ha mencionado hasta ahora, se debe realizar a través de un caso
concreto. El número p es una constante natural adimensional presente en nu-
merosas situaciones prácticas; dos de ellas se estudiarán en esta práctica. Este
número aparece al relacionar el perímetro con el radio de una circunferencia
y en la ecuación que define el área de un disco con su radio. Estas son las rela-
ciones que se estudiarán y como resultado se obtendrá el valor experiemntal
del número p.
Procedimiento para regresión lineal
Figura 1.1: Se medirán los perímetros y
diámetros de objetos de contorno circu-
lar, como tapas, discos, etc.
Los datos para realizar el análisis serán tomados por los estudiantes como
parte de la práctica. Los materiales a utilizar son cuerda, cinta métrica, cali-
brador y objetos de contorno circular de diferentes diámetros, como monedas,
tapas, CDs, etc. Tomen uno de los objetos y midan cuidadosamente su diáme-
tro (al que denotaran con la letra d), enseguida midan su perímetro (que se
simbolizará con la letra P). Pueden usar para esto el siguiente método para
la medida de P: pasen una cuerda o una cinta métrica flexible, como la de la
figura 1.1, alrededor del objeto de modo que cubra la totalidad del perímetro
y luego midan su longitud. Registren los datos en una tabla. Repitan el pro-
cedimiento de medida de perímetro y diámetro con los objetos restantes de
otros tamaños. Al final obtendrán una tabla de datos con las dos parejas de
magnitudes d en una columna y P en la otra. Es recomendable el cálculo de
una tercera columna con los cocientes P/d medidos, por cuanto si este cocien-
te es aproximadamente constante significa que la relación entre P y d es lineal.
Más aún, el promedio de este cociente coincide aproximadamente el valor de
la pendiente de la gráfica. Su tabla tendrá el encabezado siguiente3. 3
Es muy importante registrar las unida-
des; donde dice unidades, se escriben las
que se hayan utilizado al medir, bien sea
m, cm, ó mm. Noten que el cociente en la
tercera columna es adimensional pues se
cancelan unidades de longitud con uni-
dades de longitud.
Diámetro (unidades) Perímetro (unidades) P/d

3. introducción al análisis gráfico de datos 3
Procedimiento para regresión no lineal
Figura 1.2: Materiales para medir masas
y radios de los discos.
En esta parte van a medir radio y área de varios discos que aparecen en la
figura 1.6 al final de la guía. En la figura 1.2 se ven los materiales: hoja con
los discos, regla o cinta métrica, tijeras y balanza de precisión. La medida de
los radios no tiene complicación, simplemente puede realizarse con la cinta
métrica. Sin embargo, se logran mejores resultados si la medida se hace con
calibrador o nonio, que permite determinar las longitudes con precisión de
fracciones de milímetro.
La determinación del área de cada disco, no se hace con la típica fórmula
A = pr2, por cuanto van a suponer que esta ecuación es desconocida y se
va a descubrir con este experimento. Para esto deben realizar lo siguiente:
tomen cada uno de los rectángulos que se mencionan en el último punto
del preinforme y midan sus masas en una balanza muy sensible. Con los
datos construyan la gráfica de masa en función de área, que tendrá tendencia
lineal. La pendiente de esa recta es la densidad superficial, s, del papel. Los
rectángulos deben ser del mismo tipo de papel en que se imprimen los discos.
Ahora, recorten cuidadosamente el disco más grande y midan su masa;
luego recorten el disco que sigue en tamaño y también determinen su masa;
el proceso continúa hasta que tengan recortado el disco más pequeño. En la
figura 1.3 se ilustran los pasos a seguir en esta segunda parte.
Figura 1.3: Se miden las dimensiones y
masas de algunos rectángulos; se recor-
ta el disco mayor y se registra su masa;
se recorta la parte exterior para medir la
masa del segundo disco y así hasta dejar
el disco más pequeño.
Se preguntarán porqué se miden masas de discos y qué tiene que ver con
áreas. La respuesta es simple: se usan la masa del disco y la densidad super-
ficial del papel para determinar el área de cada disco. La densidad superficial
de una lámina homogénea, esto es, la masa por unidad de área se simboliza
con la letra griega s y se define como
s =
m
A
,
donde m es la masa de la muestra y A su área. Una medida rudimentaria de
esa densidad se hace con los datos del área y la masa del rectángulo de papel.
Con el dato de la densidad superficial del papel, calculan las áreas Ad de
los discos por medio de la relación Ad = md/s. De esta manera indirecta se
registran las áreas de los discos para tener al final una tabla de datos con un
encabezado similar al de la tabla siguiente. El cálculo del cociente en la tercera
columna es opcional. Si todo ha salido bien, el cociente no será constante

4. 4 guías de laboratorio de física mecánica
ya que la relación entre área y radio del disco no es lineal. Esto lo deben
comprobar al realizar la gráfica de área en función del radio.
Radio (unidades) masa (unidades) área (unidades) r/A (unidades)
Indicaciones para el análisis
Para verificar el tipo de tendencia que siguen los datos de la primera par-
te, construyan la gráfica de perímetro en función del diámetro, con base en
los datos de la tabla, la que pueden hacer manualmente en la bitácora o di-
rectamente en computador con ayuda del Magicplot™ o SciDAVis. En este
último caso, realicen la anotación en la bitácora con una descripción del tipo
de tendencia que observan.
Debido a que uno de los requisitos para el informe siempre será la discu-
sión de los resultados desde el punto de vista físico, a continuación se descri-
ben los modelos aceptados para calcular perímetro de un círculo y área de un
disco.
El perímetro de un círculo se escribe como
P = 2pr,
o de manera equivalente,
P = pd, (1.1)
donde r es el radio y d el diámetro del círculo. La ecuación (1.1), tiene el as-
pecto de una línea recta con intercepto cero y pendiente p. Entonces, se espera
una tendencia lineal al representar gráficamente los datos de la primera tabla.
Más aún, el valor calculado de la pendiente corresponde al valor experimental
determinado por ustedes para el número p. Este es el significado físico de la
pendiente. En otras palabras, uno de los resultados de esta primera parte es
la determinación experimental del número p; el otro resultado es la ecuación
P en función de d.

5. introducción al análisis gráfico de datos 5
¿Sabían como se define ángulo en radianes? El ángulo q en radianes,
que “barre” el radio r de un círculo, cuando se recorre una longitud
de arco `, como se ve en la figura 1.4, se define como el cociente
entre esa longitud de arco y el radio, q = `/r. Como es cociente de
longitudes, es adimensional, pero se expresa en radianes para indicar
que está definido de esta forma y no como una de las 360 partes
en que se divide la circunferencia (usada para definir grados). Por
ejemplo, según el modelo teórico de esta parte de la práctica, cuando
la longitud de arco es el perímetro, el ángulo en radianes es P/r =
2p. Por esta razón, 360 equivalen a 2p radianes. Por medio de
una regla de tres, pueden convertir de grados a radianes. Hagan la
prueba con dos ángulos diferentes, por ejemplo 60 y 120 : calculen
la equivalencia en radianes y luego, midan radio y longitud de arco
para verificar que el cociente corresponde con el ángulo en radianes.
`
r
✓
Figura 1.4: Ángulo q, con base en un
círculo de radio r.
El área A de un disco de radio r según los modelos aceptados se expresa como
A = pr2
, (1.2)
relación que no es lineal, como lo indica el hecho de que no sea constante el
cociente r/A.
La no linealidad de la tendencia no permite obtener información directa a
partir de los datos. Es necesario linealizar los datos, proceso que consiste en
cambiar la escala de uno o los dos ejes de manera que los puntos nuevos sigan
una tendencia lineal. Esto no se realiza al azar; hay que tener algún criterio.
En el caso de la ecuación (1.2), esta tiene la forma genérica A = Crn, es decir,
hay dos constantes C y el exponente n en la función A(r) (A en función de r).
La ecuación (1.2) permite identificar a C = p y n = 2, en teoría. Sin embargo,
vamos a suponer que no sabemos esos valores y nos proponemos la tarea de
hallarlos, por lo que cambiaremos la escala para linealizar los datos y después
determinar C y n, a partir de los valores de interceptos y pendiente de la recta
obtenida.
El truco para cambiar las escalas se basa en la propiedades de los logarit-
mos. Si en la ecuación
A = Crn
, (1.3)
se saca logaritmo se tiene
log(A) = log(Crn
) = log(C) + log(rn
) = log(C) + n log(r).
Entonces se tiene ahora una ecuación típica de línea recta, para log(A) en
función de log(r):
log(A) = log(C) + n log(r), (1.4)

6. 6 guías de laboratorio de física mecánica
es decir, tiene la forma
log(A) = mR + b.
En la ecuación (1.4), log(C) hace el papel del intercepto b y n, el papel de la
pendiente, que multiplica a la variable R = log(r). Por comparación con la
ecuación (1.2), se espera que C sea igual al número p y el exponente n, que
coincide con la pendiente, sea 2.
La toma de logaritmos se puede realizar en base decimal o neperiana, pero
veremos que es más práctico el logaritmo natural o neperiano, simbolizado ln.
En resumen, para aplicar esto a la segunda tabla de datos se procede así:
después de construir la gráfica A en función de r y verificar que no es lineal,
se calcula el logaritmo neperiano de cada uno de los datos A y r;
se construye la gráfica de ln(A), en función de ln(r);
se verifica si es o no lineal la tendencia. Si no es así, es síntoma de que
hay algún error en la elaboración de la gráfica, en la toma de datos, o en el
cálculo de los logaritmos, que debe ser detectado y corregido;
si la tendencia es lineal, se calcula la pendiente m y el intercepto b;
se identifica el valor de la pendiente con n para remplazarlo en la ecua-
ción (1.3);
se calcula el valor de C para remplazarlo también en (1.3).
El cálculo de C es sencillo; basta recordar que el intercepto b es ln(C), esto es,
ln(C) = b.
Si se aplica la función exponencial a ambos lados de la ecuación se tiene
eln C
= eb
,
que equivale a
C = eb
.
Es decir, cuando hayan calculado C y n, tendrán dos resultados para mostrar:
primero, la ecuación que relaciona al área del disco con el radio (ecuación 1.3
con los valores de C y n); segundo, el valor experimental del número p.

7. introducción al análisis gráfico de datos 7
Recuerden que el informe de laboratorio tiene una parte importante
que es resultados y discusión. Los resultados no consisten en mostrar
de nuevo las tablas de datos, estos son simplemente datos; resultados
es lo que se obtiene al analizarlos; sin embargo, es conveniente
que los muestren gráficamente para discutir acerca de las tendencias;
los resultados mínimos esperados para esta práctica son cua-
tro, a saber, las ecuaciones experimentales de perímetro en función
de diámetro, de área en función de radio y dos valores experimentales
del número p; estos resultados deben ser presentados y comentados
o discutidos de forma adecuada y ordenada.
Actividades para el preinforme
Instalen y practiquen el manejo del programa Magicplot™ o el SciDAVis, para
desarrollar en su cuaderno de laboratorio o bitácora, las siguientes actividades
1. con base en la ecuación (1.1) construyan la tabla de datos y la gráfica de
perímetro en función de diámetro para diámetros entre 2 y 10 centímetros.
Después de exportar de manera correcta, impriman y peguen en su bitácora
esta gráfica; obtengan la información que se puede calcular al realizar la
regresión lineal y escriban una conclusión. La gráfica debe estar etiquetada
de manera correcta y como título debe tener el nombre del estudiante, todo
escrito directamente en el archivo original en el computador;
2. con base en la ecuación (1.2) construyan la tabla de datos y la gráfica de
área en función de radio para radios entre 2 y 10 centímetros. Después de
exportar de manera correcta, impriman y peguen en su bitácora esta gráfica
y escriban un comentario sobre el tipo de tendencia. La gráfica debe estar
etiquetada de manera correcta y como título debe tener el nombre del estu-
diante, todo escrito directamente en el archivo original en el computador;
3. para los datos del punto anterior construyan la gráfica de ln de área en
función de ln de radio. Después de exportar de manera correcta, impriman
y peguen en su bitácora esta gráfica; obtengan la información que se puede
calcular al realizar la regresión lineal y escriban una conclusión4. La grá- 4
Para realizar este análisis se debe po-
ner en práctica lo expuesto en la sección
“Indicaciones para el análisis”.
fica debe estar etiquetada de manera correcta y como título debe tener el
nombre del estudiante, todo escrito directamente en el archivo original en
el computador.
4. Realicen un dibujo similar al de la figura 1.4 y marquen allí ángulos de 60
y 150 , además de las longitudes de arco asociadas a cada uno; conviertan
esos ángulos a radianes; midan cada longitud de arco y dividan su valor
por el radio; comparen ese cociente con el valor del ángulo en radianes.
Muestren los cálculos de manera resumida y escriban la conclusión.

8. 8 guías de laboratorio de física mecánica
5. Tomen una hoja del mismo tipo de papel sobre el que impriman los discos;
dividan el papel en dos parte iguales y marquen el área de una de ellas;
dividan en dos la otra parte y marquen el área de una de ellas; continuén
el procedimeinto hasta tener varios rectángulos de papel, marcados con
las áreas, como se ve en la figura 1.5. Esto lo deben presentar antes de la
práctica.
Figura 1.5: Rectángulos de papel, con las
áreas marcadas sobre ellos
Observaciones importantes
se trabajará en grupos de dos estudiantes, que deben traer los elementos
de contorno circular;
es recomendable traer elementos como regla, transportador, calculadora y
tijeras;
se realizará el análisis preliminar de los datos en laboratorio, por lo que ca-
da grupo debe traer computador con Magicplot™ o el SciDAVis instalado.

9. introducción al análisis gráfico de datos 9
Figura 1.6: Discos para medida de radio
y área.