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OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE TIEMPO RELATIVISTA
PARTIENDO DEL TH. DE PITÁGORAS.
Se trata de un simple trabajo para obtener la ecuación del tiempo relativista partiendo
del Teorema de Pitágoras. De esta forma se ve como la relatividad no es tan
complicada como podía parecer ser y se trata simplemente de tener claro pocos
conceptos que revolucionaron la física clásica.
OBTAINING THE EQUATION OF TIME STARTING FROM RELATIVISTIC
TH. OF PYTHAGORAS.
This is a simple job for the relativistic equation of time based on the Pythagorean
Theorem. Thus it looks like relativity is not as complicated as it might seem to be
simply and clearly few concepts that have revolutionized classical physics.
Autor: José Manuel Gómez Vega
(ingeniero industrial en mecánica de máquinas) septiembre de 2015.
1. Introducción. Ecuación del tiempo relativista según
el Th. de la relatividad restringida o especial.
La relatividad fue un fenómeno que surgió ante el estudio de Albert Einstein de
las ecuaciones del electromagnetismo de James C. Maxwell. Ante la imposibilidad de
encontrar invariancia en dichas ecuaciones ante transformaciones de Galileo, es decir,
ante dos sistemas de referencia, el uno en reposo y el otro en movimiento con velocidad
constante ante el otro, la física previa adujo que existían observadores privilegiados.
Esto no satisfacía a ningún físico, pues evidentemente una ecuación física no puede
variar ante cambios en los sistemas de coordenadas, es decir, en los puntos en los cuales
se referencia. Por tanto, Einstein llegó a dos conclusiones importantes que resumen su
teoría de la relatividad restringida o especial, que se refieren únicamente a sistemas de
referencia inerciales (que se mueven entre ellos a velocidad constante, es decir, donde
no existen aceleraciones) y son las siguientes:
 No existe el movimiento absoluto. No aparece en ningún lugar del espacio.
 La velocidad de la luz es una constante en todo el universo y su valor es:
299.792.458 299.792,5
k
300.000
k

2. Obtención de la ecuación de tiempo relativista partiendo del Th. de Pitágoras.
(José Manuel Gómez Vega, IngeMek – Ingenieros. Septiembre 2015) -2-
La ecuación que relaciona el tiempo entre un sistema coordenado S fijo
(relativamente) respecto a otro S’ que se mueve a velocidad constante respecto al
primero es:
1
Fig. 1. El sistema de referencia S’ se mueve a velocidad v constante sobre el eje X.
Procederemos a resolver esta ecuación de la forma más fácil que conozco.
2. Deducción de la ecuación de tiempo relativista
partiendo del Th. de Pitágoras.
Sea un tren donde en un vagón existe un espejo y al otro lado un emisor de luz.
Tengamos dos observadores, uno llamado fuera que está inmóvil al lado del
tren antes de moverse éste con velocidad hacia adelante y otro que se mueve con el
tren y está en el vagón donde se produce el experimento. El observador es el que
emite el rayo de luz y rebota en el espejo y retorna al lugar de origen.
Es claro que el observador pertenece a un sistema de referencia quieto
(relativamente) y el pertenece a un sistema de referencia móvil ’ a velocidad
constante en el eje .
Tenemos dos visiones de lo que acontece. Por una parte, para el observador
móvil, el haz de luz incide y es reflejado en línea recta pues el sistema ’ se desplaza
con velocidad v (figura 2, arriba), mientras que para el observador quieto con sistema
, el desplazamiento del vagón hace que al recorrer un espacio hasta que el haz

3. Obtención de la ecuación de tiempo relativista partiendo del Th. de Pitágoras.
(José Manuel Gómez Vega, IngeMek – Ingenieros. Septiembre 2015) -3-
rebota, pasa por describir un movimiento diagonal ascendente hasta que llega al espejo
y luego al reflexionar, diagonal descendente (figura 2, abajo).
Es fácil plantearse por qué ocurre esto. Sencillamente porque la luz es una
constante, y lo que varían son los tiempos y longitudes relativas de ambos
observadores. A continuación deduciremos la ecuación del tiempo relativo t para el
observador A del sistema de referencia quieto (relativamente).
En primer lugar vamos a considerar solo el camino recorrido hasta la incidencia
de la onda luminosa en el espejo. Como el tiempo de incidencia y reflexión es el mismo,
dicho tiempo será respecto al total, que es cuando la onda luminosa llega otra vez al
foco emisor. Llamaremos la distancia del emisor de luz al espejo D, por lo que para
llegar otra vez la luz al emisor recorrerá una distancia 2D, en el 3er. dibujo del vagón
en movimiento de la fig. 2, abajo, según el observador A quieto (relativamente).
Fig. 2. Sistema de referencia móvil S’ (arriba) y sistema de referencia fijo S (abajo)
Fig. 3. Rectángulo de espacios recorridos.
Nos damos cuenta que el espacio recorrido que hace la luz hasta el espejo es
mientras que la distancia avanzada horizontalmente por el tren es . Es claro que la
diagonal está definida por el avance horizontal del tren, dado que D es una
distancia fija en el plano vertical, según se ha definido el triángulo.

4. Obtención de la ecuación de tiempo relativista partiendo del Th. de Pitágoras.
(José Manuel Gómez Vega, IngeMek – Ingenieros. Septiembre 2015) -4-
Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos:
2 2
Ahora despejaremos poco a poco, :
2 2
⟹
2
⟹
2
Sacamos c de la raíz cuadrada en el término :
2
1
Y se confirma que el término es el tiempo que tarda en llegar el haz luminoso
otra vez al foco emisor, que tiene unidades de tiempo, pues es espacio entre velocidad.
Por lo tanto, , por lo que finalmente queda:
1
como queríamos demostrar.
Vemos como la obtención de la ecuación del tiempo relativista para un
observador inmóvil (relativamente) es fácil de obtener con solo usar el Th. de Pitágoras
y tener bien claros los conceptos de sistema móvil y sistema quieto (relativamente).
Queda claro que, dado que la velocidad de la luz es muy superior a la velocidad
de avance del tren ≫ , la inclinación de la diagonal en la realidad será muy leve y
en este caso sería prácticamente nula. Pero a efectos prácticos se usa el triángulo
anterior por comodidad para que se vea bien cuál es la hipotenusa y los catetos de las
distancias implicadas que nos lleva a obtener la ecuación del tiempo relativo para un
sistema en reposo. ¡Tan simple y tan sencillo!