Calcular la distribución de temperatura ( , ) T x t en una barra cilíndrica de un material especificado aislado térmicamente excepto en el lado izquierdo. Inicialmente toda la barra se encuentra a 20 C ; en el instante 0 t  se acopla en la frontera izquierda una placa cuya temperatura es de 100 C y permanece a esa temperatura constante durante un tiempo de 3 horas. La barra es suficientemente delgada para despreciar la distribución radial de temperatura.

1. 25-2-2015 METODOS
NUMERICOS II
Modelo de una EDP parabólica
Juan Felipe Quiñonez
INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS - UNMSM

2. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

3. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 2
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES PARABOLICAS
Modelo de una EDP parabólica (distribución de temperatura)
 Calcular la distribución de temperatura ( , )T x t en una barra cilíndrica de un
material especificado aislado térmicamente excepto en el lado izquierdo.
Inicialmente toda la barra se encuentra a 20 C ; en el instante 0t  se acopla en
la frontera izquierda una placa cuya temperatura es de 100 C y permanece a esa
temperatura constante durante un tiempo de 3 horas. La barra es
suficientemente delgada para despreciar la distribución radial de temperatura.
ECUACION GOBERNANTE DE LA TRANSMISION DE CALOR
2
2
T T
t x

 

 
Donde:
:
:
:
: ( )
T temperatura
x espacio
t tiempo
coeficiente del material difusividad termica

4. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 3
Condición inicial:
( , 0) 0 20x tT T C   
Condición de frontera izquierda:
( 0, ) 1 100x tT T C   
Condición de frontera derecha:
( , )
0
x L t
T
x 



Datos:
4
0.4
6min
( ) 107.45
L
x
t a mas
cobre

 
 


5. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 4

6. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 5
____________________DESARROLLO DEL MODELO__________________
 Utilizando el método de diferencias finitas explicito se desarrollarán 2
algoritmos.
GRILLA X vs t:
ALGORITMO PARA NODOS INTERNOS
 Se debe utilizar una diferencia finita explicita adelantada en el tiempo y
centrada en el espacio.

7. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 6
1
2
1 1
2 2
2
n n
i i
n n n
i i i
T TT
t t
T T TT
x x

 


 
 

 
Reemplazando estas ecuaciones en la ecuación gobernante:
1
1 1
2
2n n n n n
i i i i iT T T T T
t x


 
   
  
  
 1
1 12
2n n n n n
i i i i i
t
T T T T T
x

 

   

Como: 2
t
r
x




1
1 1(1 2 )n n n n
i i i iT rT r T rT
    
ALGORITMO PARA FRONTERA DERECHA
1
max max
n n n
i i
i
T TT
t t

 

 
…(I)
2 1max max
2
2
2
n
n
i i
i
T T
x xT
xx

  
 
  
  
…(II)
Por condición de frontera:
max
0
n
i
T
x
 

 
…(III)

8. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 7
max max 1
max
n n n
i i
i
T TT
x x
 

 
…(IV)
Reemplazando (I), (II), (III) y (IV) en la ecuación gobernante tenemos:
max max 1
1
max max
0
2
n n
i i
n n
i i
T T
xT T
xt



  
  
   
 
 
 
 1
max max max max 12
2n n n n
i i i i
t
T T T T
x



  

Como: 2
t
r k
x



 1
max max 1 max2 1 2n n n
i i iT rT r T
  
Finalmente calculamos la variación de tiempo que utilizaremos, para una solución
estable.
𝑟 ≤ 0.5 → ∆𝑇 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜: Solución estable
Simulador para
𝑟 > 0.5 → ∆𝑇 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜: Solución errática
Calculo:
2
t
r
x




Despejando.
2
107.4 0.5
0.4
t


9. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 8
Obtenemos.
744.87t s 
12.4146mint 
Tomaremos para fines exactos un valor menor para ∆𝑡:
10mint 
Teniendo todos los valores de variación, procedemos a ingresar estos valores y las
fórmulas para nodos internos así como la de frontera derecha a una hoja de cálculo. La
cual será resuelta a continuación.

10. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 9
x=0x=0.4x=0.8x=1.2x=1.6x=2x=2.4x=2.8x=3.2x=3.6x=4
0010020202020202020202020
11010060202020202020202020
22010060402020202020202020
33010070403020202020202020
44010070503025202020202020
550100755037.52522.52020202020
6601007556.2537.53022.521.2520202020
77010078.12556.2543.1253025.62521.2520.625202020
88010078.12560.62543.12534.37525.62523.12520.62520.31252020
99010080.312560.62547.534.37528.7523.12521.7187520.312520.1562520
1010010080.312563.9062547.538.12528.7525.23437521.7187520.937520.1562520.15625
1111010081.95312563.9062551.01562538.12531.679687525.23437523.085937520.937520.54687520.15625
1212010081.95312566.48437551.01562541.347656331.679687527.382812523.085937521.816406320.54687520.546875
1313010083.242187566.48437553.916015641.347656334.365234427.382812524.599609421.816406321.181640620.546875
1414010083.242187568.579101653.916015644.14062534.365234429.482421924.599609422.89062521.181640621.1816406
1515010084.289550868.579101656.359863344.14062536.811523429.482421926.186523422.89062522.036132821.1816406
1616010084.289550870.32470756.359863346.585693436.811523431.499023426.186523424.111328122.036132822.0361328
1717010085.162353570.32470758.455200246.585693439.042358431.499023427.805175824.111328123.073730522.0361328
1818010085.162353571.808776958.455200248.748779339.042358433.423767127.805175825.439453123.073730523.0737305
𝑇
𝑡𝑟

11. JUAN FELIPE QUIÑONEZ 10
Este grafico nos muestra como varia la temperatura durante el transcurso de tiempo
en un punto dado.
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Grafico t vs T(°C)
x=0 x=0.4 x=0.8 x=1.2 x=1.6 x=2
x=2.4 x=2.8 x=3.2 x=3.6 x=4