multiplicadores de lagrange

1. Sección 11.7; Página 809.
28. Determine los valores máximos y mínimos de f en el conjunto D:
, 4 6 , |0 4 , 0 5
Fig. 1. Región D.
Se calculan las derivadas parciales de f:
, 4 2 , 6 2
Se igualan a cero:
4 2 0
2 4
2

2. 6 − 2 = 0
2 = 6
2 = 6
= 3
El único punto crítico de f en D es (2,3) donde
2,3 = 4 2 + 6 3 − 2 − 3
→ 2,3 = 13
Ahora se hallan los puntos críticos en las fronteras de D.
Para : = 0 y 0 ≤ ≤ 4
ℎ = , 0 = 4 −
ℎ = 4 − 2 → 4 − 2 = 0 ↔ 2 = 4 ↔ = 2
Comoℎ = −2 < 0 , 2,0 es un máximo.
2,0 = 4 2 + 6 0 − 2 − 0 = 4
En los extremos de este intervalo:
0,0 = 4 0 + 6 0 − 0 − 0 = 0
4,0 = 4 4 + 6 0 − 4 − 0 = 0
Ambos son mínimos.
Para : = 4 y 0 ≤ ≤ 5
ℎ = 4, = 6 −
ℎ = 6 − 2 → 6 − 2 = 0 ↔ 2 = 6 ↔ = 3
Comoℎ = −2 < 0 → 4,3 es un máximo.
4,3 = 4 4 + 6 3 − 4 − 3 = 9
En los extremos de este intervalo:
4,0 = 4 4 + 6 0 − 4 − 0 = 0
4,5 = 4 4 + 6 5 − 4 − 5 = 5

3. 4,5 es un mínimo.
Para ": = 5 y 0 ≤ ≤ 4
ℎ" = , 5 = 4 − + 5
ℎ" = 4 − 2 → 4 − 2 = 0 ↔ 2 = 4 ↔ = 2
Comoℎ" = −2 < 0 → 2,5 es un máximo.
2,5 = 4 2 + 6 5 − 2 − 5 = 9
En los extremos de este intervalo:
0,5 = 4 0 + 6 5 − 0 − 5 = 5
4,5 = 4 4 + 6 5 − 4 − 5 = 5
Ambos son mínimos.
Para #: = 0 y 0 ≤ ≤ 5
ℎ# = 0, = 6 −
ℎ# = 6 − 2 → 6 − 2 = 0 ↔ 2 = 6 ↔ = 3
Comoℎ# = −2 < 0 → 0,3 es un máximo.
0,3 = 4 0 + 6 3 − 0 − 3 = 9
En los extremos de este intervalo:
0,0 = 4 0 + 6 0 − 0 − 0 = 0
0,5 = 4 0 + 6 5 − 0 − 5 = 5
0,0 es un mínimo.
Comparando todos los puntos hallados, se tiene:
2,3 = 13 es el máximo local de f en D.
0,0 = 4,0 = 0 son los mínimos locales de f en D.

4. 41. Encuentre el volumen de la caja rectangular más grande que este en el primer
octante y que tenga tres caras en los planos coordenados y un vértice en el plano
+ 2 + 3$ = 6.
Como la caja está en el primer octante: > 0 , > 0 , $ > 0.
El volumen de la caja es & = $.
Se tiene la siguiente restricción: + 2 + 3$ = 6
3$ = 6 − − 2
$ =
'( (
"
Reemplazando en V:
& = )
'( (
"
* =
' ( + ( +
"
Se hallan las derivadas parciales de V:
=
1
3
6 − 2 − 2 =
3
6 − 2 − 2
=
1
3
6 − − 4 =
3
6 − − 4
Se igualan a cero las derivadas parciales:
= 0 ↔
3
6 − 2 − 2 = 0 ↔ = 0 ∨ 6 − 2 − 2 = 0
Pero, > 0 → 6 − 2 − 2 = 0 → 2 + 2 = 6 (ec.1)
= 0 ↔
3
6 − − 4 = 0 ↔ = 0 ∨ 6 − − 4 = 0
Pero, > 0 → 6 − − 4 = 0 → + 4 = 6 (ec.2)
Si se multiplica (ec.2) por (-2), se tiene:−2 − 8 = −12.
Luego se suma con (ec.1), se obtiene:
−6 = −6 → = 1

5. Se reemplaza este valor en (ec.2):
6 4 4 1 4
6 4 2
El valor de z que corresponde a un máximo es:
$
'( (
"
'( (
"
'(#
" "
El volumen máximo es:
& 2 1 )
"
*
#
"
./012134 5ú70524
Sección 11.8; Página 819.
19. Encuentre los valores extremos de f en la región descrita por la desigualdad.
, 3(
; 4 1
Fig. 2. Región 4 1

6. Para + 4 < 1 (dentro de la región):
= − 3(
→ − 3(
= 0 ↔ = 0
= − 3(
→ − 3(
= 0 ↔ = 0
Punto crítico: 0,0 → 0,0 = 3(8
= 1
Para + 4 = 1 (en la frontera): Se usa el método de los multiplicadores de
Lagrange.
, = 3(
; 9 , = + 4 − 1
− 3(
, − 3(
= : 2 , 8
Entonces:
− 3(
= 2: (1)
− 3(
= 8: (2)
+ 4 = 1 (3)
De (1) y (2) se sabe que : ≠ 0, ya que si : = 0 → = 0 ∧ = 0, pero de (3) eso
es una contradicción.
Se divide (1) entre (2):
( =>?@
( =>?@
=
A
BA
→ =
#
→ 4 =
Se reemplaza en (3):
4 + 4 = 1 → 8 = 1 → =
1
8
→ = ±
1
2√2
Se reemplaza el valor de en (3):
+ 4 E
1
8
F = 1 → +
1
2
= 1 → =
1
2
→ = ±
1
√2
Se tiene:
E
1
√2
,
1
2√2
F = 3
()
G
√+
*)
G
+√+
*
= 3(
G
H

7. E
1
√2
, −
1
2√2
F = 3
()
G
√+
*)(
G
+√+
*
= 3
G
H
E−
1
√2
,
1
2√2
F = 3
()(
G
√+
*)
G
+√+
*
= 3
G
H
E−
1
√2
, −
1
2√2
F = 3
()(
G
√+
*)(
G
+√+
*
= 3(
G
H
Entonces, el primer y último valor son mínimos, y el segundo y el tercero son
máximos.
22. Con base en el ejercicio 21, supongamos ahora que la producción se fija en
7 I
J (I
= K, donde Q es una constante. ¿Qué valores de L y K minimizan la
función costo L , J = M + /J?
L , J = M + /J ; 9 , J = 7 I
J (I
− K
∇L = :∇9
M, / = : 7O I(
J (I
, 7 1 − O I
J(I
Entonces:
M = :7O I(
J (I
(1)
/ = :7 1 − O I
J(I
(2)
7 I
J (I
= K (3)
De (1):
M = :7O
PQR
PRQ
→ : =
SPRQ
TIPQR
(4)
De (2):
/ = :7 1 − O
PQ
RQ
→ : =
URQ
T (I PQ
(5)
Igualando (4) y (5):

8. SPRQ
TIPQR
=
URQ
T (I PQ
→
SP
IR
=
U
(I
Despejando a L:
=
UIR
S (I
(6)
Reemplazando este valor en (3):
7 E
/OJ
M 1 − O
F
I
J (I
= K
Se despeja K:
7
/O I
JI
VM 1 − O WI
J (I
= K
JI
J (I
=
KVM 1 − O WI
7 /O I
J =
K
7
X
M 1 − O
/O
Y
I
Se reemplaza este valor en (6):
=
/O
M 1 − O
K
7
X
M 1 − O
/O
Y
I
=
/O
M 1 − O
K
7
VM 1 − O WI
/O I
=
K
7
/O (IVM 1 − O WI(
39. El plano + + 2$ = 2 cruza el paraboloide $ = + en una elipse.
Determine los puntos sobre esta elipse que están más cerca y los que estén más
lejos del origen.
Se hallan los extremos de la función que representa la distancia de un punto
(x, y, z) al origen:
1 = , , $ = + + $ , donde d es la distancia.
Esta función está sujeta a dos restricciones:

9. 9 , , $ = + − $ ; ℎ , , $ = + + 2$ − 2
∇ = :∇9 + Z∇ℎ
2 , 2 , 2$ = : 2 , 2 , −1 + Z 1,1,2
Entonces:
2 = 2: + Z (1)
2 = 2: + Z (2)
2$ = −: + 2Z (3)
+ = $ (4)
+ + 2$ = 2 (5)
Se restan (1) y (2):
2 − 2 = 2: − 2: + Z − Z
2 − = 2: −
Si: ≠ → : = 1
Reemplazando en (1):
2 = 2 + Z → Z = 0
De (3):
2$ = −: + 2Z
2$ = −1 + 0
$ = −
1
2
Reemplazando en (4):
+ = −
1
2
→←
Esto es una contradicción.

10. Entonces: =
Si = en (4):
2 = $
En (5):
2 + 2$ = 2
+ $ = 1
$ = 1 −
Igualando:
2 = 1 −
2 + − 1 = 0
2 E +
1
2
−
1
2
F = 0
+
1
2
−
1
2
= 0
+
1
2
+ E
1
4
F ] −
1
2
−
1
16
= 0
E +
1
4
F =
9
16
+
1
4
= ±
3
4
Entonces: = ∨ = −1
Entonces: = ∨ = −1
$ = ∨ $ = 2

11. El punto más cercano es ) , , * : ) , , * =
"
#
El punto más lejano es −1, −1,2 : −1, −1,2 = 6
Repaso: “Revisión de conceptos”. Página 825.
59. Use los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores máximos y
mínimos de f sujetos a las restricciones dadas.
, = ; + = 1
2 , = : 2 , 2
2 = 2: (1)
= 2: (2)
+ = 1 (3)
Si = 0 → : = 0 → _0 = 0, `ab 3 →← → : = 0
3 3 : = 1 → = ±1 → _3 c03/3: 0, ±1 = 0
De (1): _0 ≠ 0 → = :
De (2): _0 = 0 → = 0 ; e3ba 3/ 3 : 0 + 0 = 1 →←
Entonces: ≠ 0 → : ≠ 0
Se divide (2) entre (1) y se obtiene: = 2
De (3): 2 + = 1 → 3 = 1 → = ±
√"
En (3): = 1 − "
= "
→ = ±f"
Entonces:
gh
2
3
,
1
√3
i = g−h
2
3
,
1
√3
i =
2
3√3
→ já 0Ma4

12. gh
2
3
, −
1
√3
i = g−h
2
3
, −
1
√3
i = −
2
3√3
→ jí/0Ma4
0, ±1 /a 34 ./ Má 0Ma /0 ./ Mí/0Ma.
63. Determine los puntos de la superficie $"
= 2 más cercanos al origen.
1 = + + $ = , , $
9 , , $ = $"
− 2
→ , , $ ≠ 0
2 , 2 , 2$ = : $"
, 2 $"
, 3 $
Entonces: 2 = : $"
(1)
2 = 2: $"
(2)
2$ = 3: $ (3)
$"
= 2 (4)
De (2): 1 = $"
: (5)
De (3): 1 = 3 $: (6)
Se igualan:
$"
= 3 $ → $ = 3 → = ±
$
√3
3 1 , 2 , 3 , 5 6 43 c03/3: : ≠ 0
Se dividen (1) y (3):
2
2$
=
: $"
3: $
$
=
$
3
3 = $

13. = ±
$
√3
Se reemplazan y en (4):
±
$
√3
E±
$
√3
F $"
= 2
±
$
√3
$
3
$"
= 2 → ±
$'
3√3
= 2 → $'
= ±6√3 → $ = f6√3
o
De aquí se concluye que =
p
√"
=
q'√"
o
√"
y = ±
q'√"
o
√"
.