Problema UNAC - 2017, Sustitutorio. Matemática para Economistas II, Universidad Nacional del Callao.

1. Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II
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Ejercicio1
Resolver la siguiente ecuación en diferencias:
+ = 0 (1.1)
El polinomio característico asociado a (1.1) es:
( ) = ( + ) = [ ( + 1)] = 0 (1.2)
Como ≠ 0, tenemos que el polinomio característico se reduce a:
( ) = ( + 1) = 0 (1.3)
Siendo = = 0, dos raíces de la ecuación (1.3), las otras raíces están determi-
nadas por la siguiente ecuación:
( ) = + 1 = 0 (1.4)
La ecuación (1.4) no es factorizable en ℚ, esto es, no tiene ceros racionales2. Ésta
ecuación es denominada binómica, y puede ser expresada del siguiente manera
= ± , por lo que encontrar sus raíces, equivale a encontrar las raíces del nú-
mero complejo ± , esto es:
( ) = + 1 = 0 ⇔ = ±√ (1.5)
Podemos expresar (1.5) de la siguiente forma:
= (0 ± ) ⁄ (1.6)
Para el primer caso, expresándolo en forma general, tenemos que:
= 0 + = cos
2
+ sin
2
= cos
2
+ 2 + sin
2
+ 2 (1.7)
1 Examen Sustitutorio 2017-B.
2 Por un conocido teorema del álgebra, se establece la existencia de ceros racionales. Del poli-
nomio de grado n, ( ) = + + ⋯ + + . Si ⁄ es un cero racional, enton-
ces debe ser divisor de y divisor de . Para su demostración, véase Kurosh (1968).

2. Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II
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El argumento de , = arg = arctan(Im Re⁄ ), siendo este = /2 y | | = 1.
Recordemos que, por el teorema de Moivre3, se tiene:
= | | (cos + sin ) = | | (cos + sin ) (1.8)
Entonces:
⁄
= cos
4
+ + sin
4
+ (1.9)
cuando toma los valores 0 y 1, tenemos primeras dos raíces de (1.3), siendo:
= 0 ⇒ ,
⁄
= cos
4
+ sin
4
=
√2
2
+
√2
2
(1.10)
= 1 ⇒ ,
⁄
= cos
5
4
+ sin
5
4
= −
√2
2
−
√2
2
(1.11)
Para el segundo caso, expresándolo nuevamente en forma general, tenemos que:
= 0 − = cos
3
2
+ sin
3
2
= cos
3
2
+ 2 + sin
3
2
+ 2 (1.12)
siendo ahora = 3 /2 y | | = 1. Por el teorema de Moivre:
⁄
= cos
3
4
+ + sin
3
4
+ (1.13)
Como en el caso anterior, cuando toma los valores de 0 y 1, obtenemos las otras
dos raíces de (1.3), siendo éstas:
= 0 ⇒ ,
⁄
= cos
3
4
+ sin
3
4
= −
√2
2
+
√2
2
(1.14)
= 1 ⇒ ,
⁄
= cos
7
4
+ sin
7
4
=
√2
2
−
√2
2
(1.15)
Con éstos resultados, las raíces de (1.3) son:
3 Espinoza (2000).

3. Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II
3
= 0 =
√2
2
+
√2
2
= −
√2
2
−
√2
2
(1.16)
= 0 =
√2
2
−
√2
2
= −
√2
2
+
√2
2
Con las raíces características halladas, podemos encontrar la solución homogé-
nea4 de (1.1), siendo esta solución, la siguiente:
= + + cos
2
+ sin
2
+ cos
3
2
+ sin
3
2
(1.17)
donde son constantes arbitrarias.
4 Véase Elaydi (2005) y Cull et al. (2005) para la solución homogénea cuando las raíces carac-
terísticas son complejas.

4. Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II
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Referencias
Cull, P., Flahive, M. and Robson, R. (2005). Difference Equations, From Rabbits to
Chaos. Springer Science+Business Media, Inc. Springer, New York.
Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations (3th ed.). Springer-Ver-
lag New York.
Espinoza R., E. (2000). Números Complejos y Ecuaciones Polinómicas. Servicios
Gráficos JJ, Lima, Perú.
Kurosh, A. G. (1968). Curso de Algebra Superior. Editorial MIR, Moscú.