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Universidad Nacional José
Faustino Sánchez Carrión
HISTORIA DEL CALCULO
El calculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que
comprende ele estudio y aplicaciones del calculo diferencial
e integral.
El calculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar
estudios sobre el movimiento.
CACULO INTEGRAL
Rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a
partir del proceso de integración o antiderivación es muy
común en la ingeniería y en las matemáticas en general y se
utiliza principalmente para el calculo de áreas, volúmenes
de regiones y solidos de revolución.
ORIGEN DEL CÁLCULO
En 1666 Sir Isaac Newton (1642 – 1727), fue el primero en
desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas
de esta índole, Inventó su propia versión del calculo para
explicar el movimiento de los planetas alrededor del sol.
Casi al mismo tiempo, el filosofo y matemático alemán
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), realizó
investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos
que se aplican hasta nuestros días.
APLICACIÓNES DEL CÁLCULO INTEGRAL
Existen muchos campos del conocimiento
que existen aplicaciones del calculo
(integral). Por la naturaleza de este
concepto. Puede aplicarse en:
APLICACIONES DEL
CALCULO INTEGRAL
CIENCIAS SOCIALES
Y DEL
COMPORTAMIENTO
INGENIERÍA Y
FÍSICA
FINANZAS E
INVERSIÓN
CIENCIAS DE LA
SALUD,
BIOLÓGICAS Y
AMBIENTALES
ECONOMÍA Y
COMERCIO
CIENCIAS DE LA SALUD,
BIOLÓGICAS Y
AMBIENTALES
APLICACIONES DEL
CALCULO INTEGRAL
APLICACIÓN EN LA BIOLOGÍA
Calculo para la identificación de probabilidad de extinción
de una especie animal.(Crecimiento
demográfico/poblacional)
Predecir el desarrollo de bancos de coral, identificar si
reduce o aumenta la cantidad de fosforo disuelto en el
agua.
Calculo de biomasa
EJEMPLO:
CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO
Se proyecto que dentro de t años la población de cierta
ciudad cambiara a razón de Ln(t+1) 1/2 miles de personas al
año. Si la población actual es de 2 millones. ¿Cuál será la
población dentro de 5 años?
Solución:
𝑃′
t = ln(𝑡 + 1)
1
2
𝑃 𝑡 = 1/(𝑡 + 1)
1
2(𝑡 + 1)−
1
2
𝑃 𝑡 =
1
𝑡+1
+ 𝐶
𝑃 0 =
1
0+1
+ 𝐶
2𝑥106
= 1 + 𝐶 → 2000000 − 1 = 𝐶 → 1999999 = 𝐶
𝑃 5 = 1 5 + 1 + 1999999 =
1
6
+ 1999999
Respuesta: La población
en 5 años será
1999999,167
EJEMPLO:
CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO
Se estima que dentro de t meses la población de
cierta ciudad cambiara a razón de 4+t2/3 personas por
mes. Si la población actual es 10 000. ¿Cuál será la
población dentro de 8 meses?
Solución:
𝑃′
t = 4 + 5𝑡
2
3
𝑃 𝑡 = 4𝑡 +
5 3 𝑡
2
3
5
+ 𝐶
𝑃 8 =4(8) + 3(8)
5
3+10 000
𝑃 8 = 32 + 96 + 10 000
𝑃 8 = 10 128
Respuesta: La población
en 8 años será 10 128
personas.
APLICACIÓN CIENCIAS DE LA SALUD
Dosis de medicamentos.
Cálculo y ajuste de dosis en personas con problemas de
insuficiencia.
Fisiología: para ver volúmenes de filtración renal, tensión
arterial.
Ejemplo: La razón del aumento de la propagación
de una gripe en el N° de habitantes en meses.
𝑥 = 103𝑥; entonces:
◦ A) encuentre la función de la propagación.
◦ B) cuando será el número de habitantes dentro de 3 meses; si la
población con gripe actual es de 2600.
Solución:
Como 103𝑥 = 10
3𝑥
2 , se aplica el teorema de sustitución con
𝑢 =
3𝑥
2
, de donde obtenemos, 𝑑𝑢 =
3
2
𝑑𝑥, entonces:
103𝑥 𝑑𝑥 = 10
3𝑥
2 𝑑𝑥 =
2
3
10 𝑢
𝑑𝑢 =
2
3
.
10 𝑢
𝑙𝑛10
+ 𝐶
=
2 103𝑥
3𝑙𝑛10
+ 𝐶
103𝑥 𝑑𝑥
Luego:
Reemplazamos para hallar la C:
P(0) = C
Entonces: C = 2 600
Para hallar dentro de 3 meses:
Reemplazamos:
𝑃 𝑥 =
2 109
3𝑙𝑛10
+ 2600 = 9155.73 + 2600 = 11755.73
Respuesta: el n° de habitantes con gripe dentro de 3 meses es
11755.73 habitantes.
Transfusiones sanguíneas.
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Farmacología: no sólo para las dosis, sino también en lo
referente a balances de ph’s, o tener un mejor análisis
dependiendo de los casos.
Cultivos de hongos y crecimiento de bacterias.
APLICACIÓN CIENCIAS DE LA SALUD
CULTIVO DE BACTERIA
Un patólogo cultiva cierta bacteria en agar, en un recipiente de
forma cuadrada de 100 cm2. Dicha bacteria crece de tal forma
que después de t minutos alcanza de un área de A(t) que cambia
a razón de:
𝐴′
𝑡 = 0.2𝑡
2
3 + 𝑡
2
3 𝑐𝑚2
/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Si el cultivo tenía 2𝑐𝑚2
de área cuando inició ¿Cuánto medirá en
27 minutos?
𝐴′
𝑡 = 0.2𝑡
2
3 + 𝑡
2
3
ℎ′
t = (0.2𝑡
2
3+𝑡
2
3)
Solución:
𝐴′ 𝑡 = 0.2𝑡
2
3 + 𝑡
2
3
𝐴 𝑡 = 0.2𝑡
2
3 + 𝑡
2
3
𝐴 𝑡 =
0.2 3 𝑡
5
3
5
+
3𝑡
5
3
5
+ 𝐶
𝐴 0 =
0.2 3 0
5
3
5
+
3(0)
5
3
5
+ 𝐶
2𝑐𝑚2 = 𝐶
𝐴 27 = 0.2 3 𝑡
5
3 + 3
(𝑡)
5
3
5
+ 2
𝐴 27 =
0,2 3 (27)
5
3
5
+
3(27)
5
3
5
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𝐴 27 =
0.6 243
5
+
3 243
5
+ 2
𝐴 27 = 29,16 + 145.8 + 2
𝐴 27 = 176.96
Respuesta: medirá en 27 minutos
un área de 176.96 𝑐𝑚2
BIOMEDICINA
Calculo de corriente de descarga
Análisis de señales
Construcción de prótesis
Fabricación de medicamentos
Ecología y Medio Ambiente
Se aplica cuando el planímetro es sado para calcular el área
de una superficie plana de un dibujo y actualmente en el
sistema GPS en el cálculo de áreas y volúmenes.
Se aplica para el conteo de organismos de cálculo de
crecimiento exponencial de bacterias y especies; así como,
en modelos ecológicos tales como: el cálculo de crecimiento
poblacional, Ley de enfriamiento y calentamiento global del
planeta.
Ecología y Medio Ambiente
Se estimo que dentro de x meses la población de cierta
cantidad de bacterias cambiara a razón de (4x+2)(x-1)
bacterias por mes. La población actual es 15 000 bacterias.
¿Cuál será la población dentro de 2 años?
EJEMPLO
Ecología y Medio Ambiente
Solución:
Sea p(x) la población dentro de x meses. Entonces la razón de cambio
de esta con respecto al tiempo es la derivada.
𝑑𝑃
𝑑𝑥
= 4𝑥 + 2 𝑥 − 1
Se concluye que la función de población bacteriana P(x) es una
antiderivada de:
Es decir:
4𝑥 + 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 4𝑥2
− 2𝑥 − 2 𝑑𝑥 =
4𝑥3
3
− 𝑥2
− 2𝑥 + 𝑐
𝑃 𝑥 = 𝑃 0 = 𝐶
1500 = C -----------> constante
Continuación…
𝑃 24 =
4(24)3
3
− 242
− 2 24 + 1500
P(24) = 16404
Respuesta: La población de
bacterias en 2 años será de
16404
Gracias por su atención.
LUIS BAUTISTA IPANAQUE
KELLY LOMBARDI CANALES
JULIO SAMANAMUD PRIETO

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Cálculo Integral en las Ciencias Biológicas

  • 2. HISTORIA DEL CALCULO El calculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende ele estudio y aplicaciones del calculo diferencial e integral. El calculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento.
  • 3. CACULO INTEGRAL Rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación es muy común en la ingeniería y en las matemáticas en general y se utiliza principalmente para el calculo de áreas, volúmenes de regiones y solidos de revolución.
  • 4. ORIGEN DEL CÁLCULO En 1666 Sir Isaac Newton (1642 – 1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole, Inventó su propia versión del calculo para explicar el movimiento de los planetas alrededor del sol. Casi al mismo tiempo, el filosofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días.
  • 5. APLICACIÓNES DEL CÁLCULO INTEGRAL Existen muchos campos del conocimiento que existen aplicaciones del calculo (integral). Por la naturaleza de este concepto. Puede aplicarse en:
  • 6. APLICACIONES DEL CALCULO INTEGRAL CIENCIAS SOCIALES Y DEL COMPORTAMIENTO INGENIERÍA Y FÍSICA FINANZAS E INVERSIÓN CIENCIAS DE LA SALUD, BIOLÓGICAS Y AMBIENTALES ECONOMÍA Y COMERCIO
  • 7. CIENCIAS DE LA SALUD, BIOLÓGICAS Y AMBIENTALES APLICACIONES DEL CALCULO INTEGRAL
  • 8. APLICACIÓN EN LA BIOLOGÍA Calculo para la identificación de probabilidad de extinción de una especie animal.(Crecimiento demográfico/poblacional) Predecir el desarrollo de bancos de coral, identificar si reduce o aumenta la cantidad de fosforo disuelto en el agua. Calculo de biomasa
  • 9. EJEMPLO: CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO Se proyecto que dentro de t años la población de cierta ciudad cambiara a razón de Ln(t+1) 1/2 miles de personas al año. Si la población actual es de 2 millones. ¿Cuál será la población dentro de 5 años?
  • 10. Solución: 𝑃′ t = ln(𝑡 + 1) 1 2 𝑃 𝑡 = 1/(𝑡 + 1) 1 2(𝑡 + 1)− 1 2 𝑃 𝑡 = 1 𝑡+1 + 𝐶 𝑃 0 = 1 0+1 + 𝐶 2𝑥106 = 1 + 𝐶 → 2000000 − 1 = 𝐶 → 1999999 = 𝐶 𝑃 5 = 1 5 + 1 + 1999999 = 1 6 + 1999999 Respuesta: La población en 5 años será 1999999,167
  • 11. EJEMPLO: CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiara a razón de 4+t2/3 personas por mes. Si la población actual es 10 000. ¿Cuál será la población dentro de 8 meses?
  • 12. Solución: 𝑃′ t = 4 + 5𝑡 2 3 𝑃 𝑡 = 4𝑡 + 5 3 𝑡 2 3 5 + 𝐶 𝑃 8 =4(8) + 3(8) 5 3+10 000 𝑃 8 = 32 + 96 + 10 000 𝑃 8 = 10 128 Respuesta: La población en 8 años será 10 128 personas.
  • 13. APLICACIÓN CIENCIAS DE LA SALUD Dosis de medicamentos. Cálculo y ajuste de dosis en personas con problemas de insuficiencia. Fisiología: para ver volúmenes de filtración renal, tensión arterial.
  • 14. Ejemplo: La razón del aumento de la propagación de una gripe en el N° de habitantes en meses. 𝑥 = 103𝑥; entonces: ◦ A) encuentre la función de la propagación. ◦ B) cuando será el número de habitantes dentro de 3 meses; si la población con gripe actual es de 2600.
  • 15. Solución: Como 103𝑥 = 10 3𝑥 2 , se aplica el teorema de sustitución con 𝑢 = 3𝑥 2 , de donde obtenemos, 𝑑𝑢 = 3 2 𝑑𝑥, entonces: 103𝑥 𝑑𝑥 = 10 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 3 10 𝑢 𝑑𝑢 = 2 3 . 10 𝑢 𝑙𝑛10 + 𝐶 = 2 103𝑥 3𝑙𝑛10 + 𝐶 103𝑥 𝑑𝑥
  • 16. Luego: Reemplazamos para hallar la C: P(0) = C Entonces: C = 2 600 Para hallar dentro de 3 meses: Reemplazamos: 𝑃 𝑥 = 2 109 3𝑙𝑛10 + 2600 = 9155.73 + 2600 = 11755.73 Respuesta: el n° de habitantes con gripe dentro de 3 meses es 11755.73 habitantes.
  • 17. Transfusiones sanguíneas. Medicinas en pediatra como IMC. Farmacología: no sólo para las dosis, sino también en lo referente a balances de ph’s, o tener un mejor análisis dependiendo de los casos. Cultivos de hongos y crecimiento de bacterias. APLICACIÓN CIENCIAS DE LA SALUD
  • 18. CULTIVO DE BACTERIA Un patólogo cultiva cierta bacteria en agar, en un recipiente de forma cuadrada de 100 cm2. Dicha bacteria crece de tal forma que después de t minutos alcanza de un área de A(t) que cambia a razón de: 𝐴′ 𝑡 = 0.2𝑡 2 3 + 𝑡 2 3 𝑐𝑚2 /𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Si el cultivo tenía 2𝑐𝑚2 de área cuando inició ¿Cuánto medirá en 27 minutos? 𝐴′ 𝑡 = 0.2𝑡 2 3 + 𝑡 2 3 ℎ′ t = (0.2𝑡 2 3+𝑡 2 3)
  • 19. Solución: 𝐴′ 𝑡 = 0.2𝑡 2 3 + 𝑡 2 3 𝐴 𝑡 = 0.2𝑡 2 3 + 𝑡 2 3 𝐴 𝑡 = 0.2 3 𝑡 5 3 5 + 3𝑡 5 3 5 + 𝐶 𝐴 0 = 0.2 3 0 5 3 5 + 3(0) 5 3 5 + 𝐶 2𝑐𝑚2 = 𝐶 𝐴 27 = 0.2 3 𝑡 5 3 + 3 (𝑡) 5 3 5 + 2 𝐴 27 = 0,2 3 (27) 5 3 5 + 3(27) 5 3 5 + 2 𝐴 27 = 0.6 243 5 + 3 243 5 + 2 𝐴 27 = 29,16 + 145.8 + 2 𝐴 27 = 176.96 Respuesta: medirá en 27 minutos un área de 176.96 𝑐𝑚2
  • 20. BIOMEDICINA Calculo de corriente de descarga Análisis de señales Construcción de prótesis Fabricación de medicamentos
  • 21. Ecología y Medio Ambiente Se aplica cuando el planímetro es sado para calcular el área de una superficie plana de un dibujo y actualmente en el sistema GPS en el cálculo de áreas y volúmenes.
  • 22. Se aplica para el conteo de organismos de cálculo de crecimiento exponencial de bacterias y especies; así como, en modelos ecológicos tales como: el cálculo de crecimiento poblacional, Ley de enfriamiento y calentamiento global del planeta. Ecología y Medio Ambiente
  • 23. Se estimo que dentro de x meses la población de cierta cantidad de bacterias cambiara a razón de (4x+2)(x-1) bacterias por mes. La población actual es 15 000 bacterias. ¿Cuál será la población dentro de 2 años? EJEMPLO Ecología y Medio Ambiente
  • 24. Solución: Sea p(x) la población dentro de x meses. Entonces la razón de cambio de esta con respecto al tiempo es la derivada. 𝑑𝑃 𝑑𝑥 = 4𝑥 + 2 𝑥 − 1 Se concluye que la función de población bacteriana P(x) es una antiderivada de: Es decir: 4𝑥 + 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 4𝑥2 − 2𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 4𝑥3 3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑐 𝑃 𝑥 = 𝑃 0 = 𝐶 1500 = C -----------> constante
  • 25. Continuación… 𝑃 24 = 4(24)3 3 − 242 − 2 24 + 1500 P(24) = 16404 Respuesta: La población de bacterias en 2 años será de 16404
  • 26. Gracias por su atención. LUIS BAUTISTA IPANAQUE KELLY LOMBARDI CANALES JULIO SAMANAMUD PRIETO