El documento describe la aplicación de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior para modelar las oscilaciones provocadas por el desgaste del rodete en una turbina Francis en la central hidroeléctrica de Belo Monte en Brasil. Explica cómo se puede usar una ecuación diferencial de segundo orden con amortiguación para representar el movimiento del rodete y calcular la fuerza necesaria para estabilizarlo en un período de 20 segundos. Resuelve el modelo matemático para este caso específico.

1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES DE ORDEN SUPERIOR EN LAS OSCILACIONES
PROVOCADAS POR EL DESGASTE DEL RODETE EN UNA
TURBINA FRANCIS EN LA CENTRAL BELO MONTE (BRASIL)

2. BELO MONTE
La represa de Belo Monte es una central hidroeléctrica que se está construyendo en el río
Xingú en el estado de Pará,Brasil. La capacidad instalada para la represa será de
11.000 MW, por lo que será la segunda mayor hidroeléctrica brasileña (después de la
gigantesca Itaipú binacional Brasil y Paraguay de 14.000 MW), y la tercera del mundo
detrás de Tres Gargantas (China), representando 11% de la potencia instalada de Brasil.

3.  TURBINA FRANCIS
En 1848 James B. Francis mejoró estos diseños y desarrolló una turbina con el
90% de eficiencia. Aplicó principios y métodos de prueba científicos para producir
la turbina más eficiente elaborada hasta la fecha. Más importante, sus métodos
matemáticos y gráficos de cálculo mejoraron el estado del arte en lo referente al
diseño e ingeniería de turbinas. Sus métodos analíticos permitieron diseños
seguros de turbinas de alta eficiencia. La Francis es una turbina de reacción de
flujo radial axial. Lleva este nombre en honor del Ing. James Bichano Francis
(1815-1892), trabaja con cargas de 30 a 550 metros y caudales de 200 a 10 m3
/seg, es la más generalizada del mundo.

4. RODETE
El rodete móvil o rotor está conformado por los propios álabes, los cuales están
engastados en un plato perpendicular al eje de la máquina, de cuyo plato
arranca siguiendo la dirección axial, tomando en forma progresiva un alabeo y
abriéndose hacia la dirección radial, con lo que el conjunto presenta forma
abocardada, tanto más acentuada cuanto mayor sea la acción axial exigida a la
turbina. Los alabes se ciñen por su extremo final a un zuncho en forma de anillo

5. A la salida del agua del rotor, la velocidad conviene que sea radial o casi radial,
para evitar circulación del fluido innecesaria y pérdidas de energía. Para ello los
valores de la velocidad de arrastre y la relativa que condiciona el álabe deben
ser de la magnitud y dirección

6. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
Una de las ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coeficientes
constantes es:

7. OSCILACIONES LIBRES AMORTIGUADAS
Consideremos que en el movimiento actúa una fuerza de amortiguación
proporcional a la velocidad, por lo cual el movimiento viene descrito por
La cual constituye una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.
Las raíces del polinomio característico asociado serán:
Por lo tanto la solución será:

8. EJEMPLO APLICANDO LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EN EL RODETE DE
LA TURBINA FRANCIS
Se quiere hallar la fuerza para estabilizar el rodete de movimiento en un periodo de 20 segundos
ya que esta sufrió un rodaje por los cual tomaremos los siguientes datos:
Para resolver se toma la siguiente función:
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑛
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 0
Condiciones iniciales:
𝑦 0 = 11000 𝑀𝑁
𝑦,
0
= 0
n= 4.67
Aceleración: 𝑎 =
𝑑2 𝑦
𝑑𝑡2
k= 6700
𝑁
𝑚
m= 4000 kg
 dada la ecuación diferencial de orden superior:
𝑚𝑦,,
+ 𝑛𝑦,
+ 𝑘𝑥 = 0
𝑚𝑟2
+ 𝑛𝑟 + 𝑘 = 0

9. Reemplazando valores:
4000𝑟2
+ 4.67𝑟 + 6700 = 0
 Por pascara:
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑟 =
−(4.67) ± 4.67 2 − 4(4000)(6700)
2(4000)
Obtenemos las respectivas raíces:
𝑟 =
−4.67 ± 107 ∗ 106 𝑖
8 ∗ 103
=
−4.67
8 ∗ 103
±
107 ∗ 106 𝑖
8 ∗ 103

10. Tenemos la solución general:
𝑦 = 𝑐1 𝑒5.83∗10−4 𝑥 𝑐𝑜𝑠13.375 ∗ 103 𝑥 + 𝑐2 𝑒5.83∗10−4 𝑥 𝑠𝑒𝑛13.375 ∗ 103 𝑥
Tomando las condiciones iniciales:
𝑦 0 = 11000 𝑀𝑁
11000 = 𝑐1
Para hallar 𝑐2:
𝑦,
= 5.83 ∗ 10−4 𝑐1 𝑒5.83∗10−4 𝑥 𝑐𝑜𝑠13.375 ∗ 103 𝑥 − 𝑐1 𝑒5.83∗10−4 𝑥 𝑠𝑒𝑛13.375 ∗ 103 𝑥
+ 5.83 ∗ 10−4 𝑐2 𝑒5.83∗10−4 𝑥 𝑠𝑒𝑛13.375 ∗ 103 𝑥 + 𝑐2 𝑒5.83∗10−4 𝑥 𝑐𝑜𝑠13.375 ∗ 103 𝑥

11.  𝑦′ 0 = 0
0 = 5.83 ∗ 10−4
𝑐1 + 13.375 ∗ 103
𝑐2
−13.381413 ∗ 103 = 𝑐2
Reemplazando: en la ecuación general:
𝑦
= 11000𝑒5.83∗10−4 𝑥
𝑐𝑜𝑠13.375 ∗ 103
𝑥 − 13.381413 ∗ 103
𝑒5.83∗10−4 𝑥
𝑠𝑒𝑛13.375 ∗ 103
𝑥
Para t = 20 s se tiene
 𝑦 0.2 = 11000𝑒5.83∗10−4(0.2) 𝑐𝑜𝑠13.375 ∗ 103(0.2) − 13.381413 ∗
103 𝑒5.83∗10−4 0.2 𝑠𝑒𝑛13.375 ∗ 103(0.2)
𝑦 0.2 =14.62741828∗ 103
𝑀𝑁