Geometria analitica unidad 2 cecytedparte 2

GEOMETRÍA
ANALÍTICA
UNIDAD 2
PARTE 2
POR ING. LUIS MONREAL

- Punto-Pendiente.
- Dos puntos.
-Pendiente y ordenada al origen
- (Ecuación común).
- Abscisa y ordenada al origen
(Ecuación simétrica).
- Forma general
- Ecuación Normal
)( 11 xxmyy 
)( 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 








bmxy 
1
b
y
a
x
0 CByAx
0 dysenx cos

RENÉ DESCARTES SOÑÓ QUE
ALGÚN DÍA LAS IMÁGENES SE
PODRÍAN REPRESENTAR POR
FORMULAS MATEMÁTICAS.
POR ING. LUIS MONREAL

ECUACIÓN GENERAL
Por Luis Monreal

La ecuación general es una forma de
expresar las ecuaciones de la recta.
Consiste en pasar todos los
términos de la ecuación al primer miembro
e igualarlo a cero. La forma general de la
recta es:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
Por Luis Monreal

Donde A, B y C son números
reales cualesquiera con la
condición de que ”A” y “B” sean
diferentes de
cero y “C” puede ser o no igual
a cero.
Por Ing. Luis Monreal

Si la ecuación de la recta esta
expresada en su forma general
se puede realizar
transformaciones a su
forma común, su forma
simétrica y viceversa.

Tipos de ecuaciones de la recta:
- Punto-Pendiente.
- Dos puntos.
- Pendiente y ordenada al origen (Ecuación común).
- Abscisa y ordenada al origen (Ecuación simétrica).
- Forma general
- Ecuación Normal

TRANSFORMACIONES DE
ECUACIÓN COMÚN A
FORMA GENERAL

Para realizar la transformación de
ecuación común a forma general solo
hay que pasar los términos al
primer miembro de la ecuación e
igualarlo a cero.

Ejemplo:
1.- Dada la ecuación común
expresarlo en su forma general.
5
8
5
 xy

TRANSFORMACIONES DE
ECUACIÓN GENERAL A
ECUACIÓN COMÚN

Para realizar la
transformación de ecuación
general a ecuación común
solo hay que despejar la
literal “y”.

Ejemplo
Dada la ecuación general
-5x-y-1=0,
encontrar la ecuación común.
Solución:

De la ecuación despejar
“y”

TRANSFORMACIONES DE
ECUACIÓN SIMÉTRICA A
FORMA GENERAL

Para realizar la transformación de ecuación
común a forma general desarrollamos un
procedimiento
similar a la suma de fracciones con
denominadores diferentes, posteriormente
se pasan los términos
al primer miembro de la ecuación y se
iguala a cero.

TRANSFORMACIONES DE
FORMA GENERAL A
ECUACIÓN SIMÉTRICA

INTERSECCIÓN
ENTRE RECTAS

Dos rectas se pueden intersectar (cruzar)
cuando tienen un punto en común.
La intersección de rectas se puede obtener
de dos maneras:

MÉTODO ANALÍTICO

Este método se realiza resolviendo las dos
ecuaciones por medio del método que más
te convenga
(Álgebra: métodos de solución de primer
grado),
en este caso lo resolveremos por el
método de
sustitución:

RELACIÓN ENTRE
RECTAS

1.- ¿Qué tipos de líneas son?
2.- ¿Cómo sabes que son líneas paralelas?
3.- ¿Cómo sabes que son líneas perpendiculares?
4.- ¿Crees que sea posible conocer cuál es la relación entre
dos líneas con solo conocer sus ecuaciones?
5.- ¿Te imaginas como se podría hacer esto?
Existen condiciones para saber qué tipo de rectas se obtienen
con dos ecuaciones las cuales constan de lo siguiente:

RECTAS
PARALELAS.

El procedimiento analítico para determinar
si dos rectas son paralelas es comprobar
que la pendiente
de cada recta sean iguales, es decir: dos
rectas L1 y L2
son paralelas si y solo si sus pendientes
son iguales. (m1= m2 )

RECTAS
PERPENDICULARES.

El procedimiento analítico para determinar
si dos rectas son perpendiculares es
comprobar que el
producto de las pendientes de las rectas
sea igual a -1: (m1)(m2) = -1, ó que sus
pendientes sean
recíprocas, es decir:

2
1
1
m
m


Rectas perpendiculares

Cumpliendo cualquiera
de estas dos
condiciones, se dicen
que son rectas
perpendiculares.

Cuando las rectas no son paralelas ni
perpendiculares, se les llama RECTAS
OBLICUAS, por lo tanto sus
pendientes son diferentes.

21 mm 

Para poder decir si las rectas son
paralelas, perpendiculares u oblicuas
es necesario recordar la ecuación
general para obtener la pendiente de
una recta, la cual es 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎,
donde la pendiente es
igual a

B
A
m



ÂNGULO FORMADO POR
DOS RECTAS

Ángulo formado por dos rectas.
Se llama ángulo de dos rectas al menor
de los ángulos que forman estos y está
asociado a la inclinación de cada una
de ellas si conocemos las pendientes
de las dos rectas podemos conocer
dicho ángulo aplicando la siguiente
fórmula:

12
12
1 mm
mm
*
tan




DISTANCIA DE UN
PUNTO A UNA RECTA

Una de las aplicaciones
de la ecuación general de
la recta, es el cálculo de la
distancia de un punto a
una recta.

Imagina que estás jugando a
la quemada y debes correr
de un punto localizado en el
sistema de
coordenadas como

A (-4,6) a una pared
representada por la
ecuación ordinaria de la
recta 3𝑥 + 3𝑦 - 5 = 0.

2.- Determina la
distancia que existe del
punto P (3, -1) a la
recta 2x + 4y – 6 = 0

Nota: al resultado no se le pone el
signo negativo porque no existen
distancias negativas, sólo es una
longitud y en nuestra fórmula la
distancia está representada como un
valor absoluto y todo valor
absoluto sea positivo o negativo el
resultado siempre va a ser positivo.

EJERCICIO 10
1.- Encuentra la distancia del punto
P(1,0) a la recta x + 5y – 10 = 0

2.- Determine la distancia del punto P
(5,-4) a la recta 7x – 2y = 0

3.- Encuentre la distancia del punto
P(6,2) a la recta x – 9 = 0

4.- Determinar la distancia del punto
P(1,-8) a la recta y + 3 = 0

II.- Realiza los cálculos necesarios para
responder a lo que se te pide, con su
grafica correspondiente.

Una mariposa vuela por el jardín de Andrea, su
pequeño decide atraparla extendiendo su
brazo. La mariposa lleva una trayectoria
descrita por la ecuación. 3x-5y+6 = 0; si el brazo
del pequeño se ubica en un plano cartesiano en
la coordenada A (3, -2) y el brazo del pequeño
mide 45 cm, ¿podrá atrapar a la mariposa
considerando la distancia en cm?

Un submarino ubicado en las
coordenadas (5, 1) detecta un barco
enemigo que tiene una
trayectoria representada por la
ecuación 3x -5y -11 = 0. ¿Cuál es la
distancia mínima entre el
submarino y el barco?

DISTANCIA ENTRE RECTAS

Dos aviones establecen sus
trayectorias para realizar pruebas de
acrobacia, ellos volarán en línea recta
bajo las ecuaciones 2x +3y+25=0 y
2x +3y -85= 0.

A) ¿A qué distancia crees que volarán
uno del otro, considerando que las
unidades se dan en
metros?

B) ¿Cómo lo calculaste?

La situación plateada anteriormente
no es otra cosa más que calcular la
distancia entre dos rectas
paralelas, las cuales como
mencionamos anteriormente tienen la
misma pendiente.

FORMULA
22
BA
C
d



La fórmula se aplica para cada
una de las rectas luego se suma
o se restan las distancias
considerando
lo siguiente:

Si los signos del término C son iguales
en ambas ecuaciones, las rectas están
ubicadas del
mismo lado del origen por lo tanto las
distancias se restan.

Si los signos del término C son
diferentes en ambas
ecuaciones, las rectas están
ubicadas
del lado opuesto del origen por
lo tanto las distancias se suman.

EJERCICIO 11
1.-Determinar la distancia que existen
entre las rectas 2x – 3y + 8 = 0 y
-4x + 6y + 9 = 0

2.- Dos aviones establecen sus
trayectorias para realizar pruebas de
acrobacia, ellos volarán en línea
recta bajo las ecuaciones
2x + 3y + 72 = 0
y 2x + 3y -108 = 0
¿A qué distancia volarán uno del otro,
considerando que las unidades se dan
en metros?

3.- Calcular la distancia entre dos
rectas paralelas cuyas ecuaciones son:
2x + y – 5 = 0
y
2x + y + 3 =0.

4.- Encuentra la distancia que existe
entre las rectas
3x - y = 0
y
3x – y + 1 = 0

RECTAS
NOTABLES DEL
TRIÁNGULO

Es importante conocer las rectas y puntos
notables de un triángulo, pues se utilizan para
solucionar innumerables problemas e incluso
situaciones de la vida real, son muchas las
profesiones que se valen de estos conceptos
especialmente, cuando se tratan de porciones
triangulares (un cantero, una mesa de madera,
una tela), sobre la que deben ubicarse puntos
especiales como podría ser uno que equidiste
de los extremos.

INVESTIGA EL NOMBRE DE LAS
SIGUIENTES RECTAS

A las rectas trazadas sobre un
triángulo con características
específicas como la mediana, altura,
mediatriz y bisectriz se les conoce
como rectas notables de un triángulo.

La mediana de un
triángulo es la recta que
une al vértice con el
punto medio del lado
opuesto.

Para calcular la altura que pasa por el
vértice “C” es necesario conocer la
pendiente (m) y la coordenada
del vértice. Para determinar la
pendiente consideremos que la altura
y el segmento “AB” son
perpendiculares, y por consiguiente
sus pendientes son reciprocas y de
signo contrario.

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