Tema 2 - Álgebra de Boole.pdf

Arquitectura de Computadores II – Grupo 1 y Grupo 4
CAPÍTULO II: ALGEBRA DE BOOLE
INTRODUCCIÓN
Los elementos discretos de información en un computador digital deben tener
una existencia física en algún medio de almacenamiento de información.
Cuando los elementos discretos de información se representan en forma binaria,
el medio de almacenamiento de información debe contener elementos de
almacenamiento binario. Una celda binaria es un elemento que posee dos
estados estables y es capaz de almacenar un bit de información.
Un registro es un grupo de celdas binarias. Como una celda almacena un bit de
información, se desprende que un registro de r celdas puede almacenar
cualquier cantidad discreta de información que contenga n bits.
El estado del registro es un número enésimo de unos o ceros con cada bit
indicando el estado de una celda en el registro.
Considere un registro de 16 celdas:
1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Físicamente se podría pensar que el registro está compuesto de 16 celdas
binarias, con cada celda almacenando un 1 ó 0.
El estado del registro 16-avo 1100001111001001, un registro n celdas puede estar
en uno de los 2n estados posibles. Para el ejemplo, el contenido del registro es el
equivalente binario al número decimal 50121.
La transferencia de registros en un computador digital se caracteriza por sus
registros.
La unidad de memoria es una colección de cientos de registros para almacenar
información digital.
La unidad de procesamiento se compone de varios registros que almacenan
operandos con base en los cuales se realizan operaciones.
La unidad de control usa registros para controlar varias secuencias del
computador y cada dispositivo de entrada y salida debe tener al menos un
registro para almacenar la información trasferida de o al dispositivo.
Se asume que la unidad de entrada del teletipo tiene un teclado, un circuito de
control y un registro de entrada. Cada vez que se digita una tecla, el control
introduce al registro de entrada un código de carácter alfanumérico
equivalente de 8 bits.
Después de cada transferencia se borra el registro de entrada para permitir que
el control pueda enviar un nuevo código de ocho bits cada vez que se digite el
teclado.

La lógica binaria trata con variables que toman dos valores discretos y con
operaciones que asumen significado lógico. En términos de BITS se asignan los
valores 1 y 0, la lógica binaria se usa para describir, de una manera matemática
el procesamiento y manipulación de la información binaria.
Es importante relacionar el Álgebra de Boole con los circuitos lógicos digitales y
señales binarias.
La lógica binaria consiste en variables binarias y operaciones lógicas. Las
variables se identifican mediante las letras del alfabeto tales como A, B, C, x, y, z,
etc. y cada variable tendrá dos y sólo dos valores posibles: 1 y 0. Hay tres
operaciones lógicas básicas: AND, OR y NOT.
1. AND: Esta operación se representa por un punto o por la ausencia de un
operador.
x.y=z leído o xy=z leído “x AND y es igual a z”, implica que: z=1 si y sólo si
x=1 y y=1; de otra forma z=0.
2. OR: Esta operación se representa por un signo más.
x+y=z se lee “x OR y es igual a z”, implica que: z=1 si x=1 o si y=1 o si se
tiene x=1 y y=1. Si ambos x=0 y y=0 entonces z=0.
3. NOT: Esta operación se representa por un apóstrofe (algunas veces por
una barra)
x'=z se lee "x no es igual a z", implica que z es lo que x no es.
Si x=1 entonces z=0, pero si x=0 entonces z=1
La lógica aritmética se parece a la aritmética binaria y las operaciones AND y
OR tienen su similitud con la multiplicación y la suma. No se debe confundir con
la aritmética binaria. Una variable aritmética designa un número que puede
consistir en muchos dígitos mientras que una variable lógica es siempre 1 o 0. En
la aritmética binaria, 1+ 1=10 (leído "uno más uno es igual a dos") mientras que
en la lógica binaria se tiene que 1+ 1=1 (leído: "uno OR uno es igual a uno").
Estas definiciones pueden representarse usando tablas de verdad:
x y x.y x y x+y x x'
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1

Señales binarias y circuitos de conmutación
El uso de variables binarias y la aplicación a la lógica binaria se demuestra por
los circuitos de conmutación.
Suponga que los interruptores A y B representan dos variables binarias, con
valores iguales a 0 cuando el interruptor está abierto e igual a 1 cuando el
interruptor está cerrado. Paralelamente, asuma que la lámpara L representa una
tercera variable, que toma el valor de 1 cuando la luz está prendida e igual a 0
cuando está apagada. Para el caso de los interruptores en serie, la luz se prende
sólo si A y B está cerrados. Para los interruptores en paralelo, la luz se prende si A
o B están cerrados.
Estos dos circuitos pueden expresarse por medio de la lógica binaria con las
operaciones AND y OR respectivamente:
Interruptor en serie - AND lógico Interruptor en paralelo - OR lógico
Compuertas lógicas
Los circuitos digitales electrónicos se llaman circuitos lógicos ya que con las
entradas adecuadas establecen caminos de manipulación lógica. Cualquier
información deseada para calcular o controlar, puede ser operada pasando
señales binarias a través de varias combinaciones de circuitos lógicos con cada
señal que representa una variable y trasporta un bit de información.
A continuación, se muestran los circuitos lógicos que ejecutan las operaciones
lógicas de AND, OR y NOT:
En la siguiente tabla se resumen los tres operadores lógicos básicos, su símbolo
como circuitos lógicos, la función que los representa y su respectiva tabla de
verdad:

Representar con compuertas lógicas las siguientes funciones:
F= x y’ + x’ z
F = a b c
F = (a + b) (ab’)
F= x y + x y’
F= (x +y) (x’ +z)
F = xyz’
F = x+ (y’ z)
F = x’ y’ z + x’ y z +x y’
F= a b’+ a’ b
F= x y’+ x’ z
En base a los siguientes esquemas de compuertas lógicas, encuentre las
funciones.
Expresar el siguiente circuito de conmutación en notación lógica binaria
Definiciones lógicas
El álgebra de Boole (como cualquier otro sistema matemático deductivo) puede
ser definida por un conjunto de elementos, un conjunto de operadores, un
número de axiomas o postulados.
Un conjunto de elementos es una colección de objetos que tienen una
propiedad común.
Si S es un conjunto y x y y son objetos ciertos, entonces:
- x ∈ S: x es un miembro del conjunto S
- y ∉ S: y No es un miembro del conjunto S

Los postulados más comúnmente usados para formular estructuras algebraicas
son:
1. Conjunto cerrado: Un conjunto S es cerrado con respecto a un operador
binario, si para cada par de elementos de S, el operador binario especifica
una regla para obtener un elemento único de S.
Un conjunto cerrado es un conjunto de valores lógicos que, cuando se opera
mediante una función lógica específica, produce un resultado que también
está contenido en ese conjunto. Es decir, un conjunto de valores lógicos es
cerrado bajo una operación si al aplicar esa operación a cualquiera de los
valores en el conjunto produce otro valor que aún está en el conjunto.
- Por ejemplo:
o Considere el conjunto {0,1} de valores lógicos (falso y verdadero) y la
operación de suma lógica (OR). Este conjunto es cerrado bajo la
operación OR porque cualquier combinación de valores en el
conjunto (0 OR 0, 0 OR 1, 1 OR 0, 1 OR 1) produce un resultado que
también está en el conjunto (0, 1, 1, 1). (Compruebe con la tabla del
operador OR)
o Considere el conjunto N= {1,2,3,4,5….}
▪ Si a=2, b=3
▪ a+b=c entonces c=5
▪ El conjunto N es cerrado con respecto al operador +, porque
c ∈ N
▪ Si a=2, b=3
▪ a – b = c entonces c=-1
▪ El conjunto N no es cerrado con respecto al operador -,
porque c ∉ N
2. Ley asociativa. Se dice que un operador binario * en un conjunto S es
asociativo si:
o (x*y)*z= x*(y*z); para toda x,y,z ∈ S
3. Ley conmutativa. Se dice que un operador binario * en un conjunto S es
conmutativo si:
o x*y= y*x; para toda x, y ∈ S
4. Elemento de identidad. Se dice que un conjunto S tiene un elemento de
identidad con respecto a la operación binaria * en S si existe un elemento e ∈
S con la propiedad:
o e*x = x*e = x ; para toda x ∈ S
Ejemplo: El elemento 0 es un elemento de identidad con respecto a la
operación + en el conjunto de números enteros I ={….,-3,-2.-1,0,1,2,3,….} ya
que:
X+0 = 0+x = x; para toda x ∈ I
El conjunto de número naturales N no tiene elemento de identidad ya que
el 0 es excluido del mismo
5. Inverso. Se dice que un conjunto S, que tiene un elemento de identidad e
con respecto a un operador binario *, tiene un inverso si para cada x ∈ S
existe un elemento y ∈ S tal que:

x*y = e
Ejemplo: En el conjunto de números enteros I = {….,-3,-2.-1,0,1,2,3,….} con
e=0, el inverso del elemento a es (-a) ya que a+(- a) = 0
6. Ley distributiva. Si * y . son dos operadores binarios en un conjunto S, se dice
que * es distributivo con respecto a . si:
x * (y . z) =(x*y) . (x * z)
Los operadores y postulados tienen los siguientes significados:
- El operador binario + define la suma
- La identidad aditiva es cero
- El inverso aditivo define la sustracción
- El operador binario . define la multiplicación
- La identidad multiplicativa es 1
- El inverso multiplicativo de a =1/a define la división, es decir, a.1/a=1
- La única ley distributiva aplicable es la de . sobre +:
a . (b+c)= (a . b) + (a . c)
Definición axiomática del álgebra booleana
El Álgebra de Boole de dos valores llamada álgebra de conmutación en la cual
se demuestra que las propiedades de los circuitos de conmutación eléctricas
biestables pueden ser representadas por este tipo de álgebra. (también llamada
algebra bivalente).
El álgebra de Boole es una estructura algebraica definida para un conjunto de
elementos B juntamente con dos operadores binarios + y . , de tal forma que se
satisfagan los siguientes postulados de Edward Vermilye Huntington:
1. a) Conjunto cerrado con respecto al operador +
b) Conjunto cerrado con respecto al operador .
2. a) Un elemento de identidad con respecto a + designado por el 0:
x+0 = 0+x = x
b) Un elemento de identidad con respecto a . designado por el 1:
x.1 = 1.x = x
3. a) Conmutativo con respecto a +:
x+y = y+x
b) Conmutativo con respecto a . :
x.y = y.x
4. a) . es distributivo sobre +:
x . (y+z) = (x . y) + (x . z)
b) + es distributivo sobre . :
x + (y . z) = (x + y) . (x + z)
5. Para cada elemento x ∈ B, existe un elemento x’ ∈ B (llamado complemento
de x) tal que:
a) x + x’ = 1
b) x . x’ = 0
6. Existen al menos dos elementos x, y ∈ B, tales que x ≠ y
Al comparar el álgebra de Boole con la aritmética y el álgebra ordinaria (el de
los números reales) se notan las siguientes diferencias:
1. Los postulados no incluyen la ley asociativa.
2. La ley distributiva de + sobre . es válida sólo para el álgebra de Boole
bivalente.

3. EI álgebra de Boole no tiene inversos aditivos o multiplicativos (no hay – o
/).
4. El operador complemento válido sólo para el álgebra de Boole bivalente.
5. EI álgebra ordinaria trata con los números reales, los cuales constituyen un
conjunto infinito de elementos. En el álgebra de Boole bivalente el
conjunto de elemento de B está definido sólo con dos elementos, 0 y 1.
Mientras que eI álgebra ordinaria trata con los números reales (conjunto
infinito de elementos).
La selección de los símbolos + y . es intencional con el fin de facilitar las
manipulaciones con álgebra de Boole bivalente o de conmutación y poder
diferenciar con el álgebra ordinaria.
Es importante darse cuenta de que, para tener un álgebra de Boole bivalente o
de conmutación se debe demostrar:
1. Los elementos del conjunto B
2. Las reglas de operación de los dos operadores binarios (+ , .)
3. Que el conjunto de elementos B, juntamente con los dos operadores,
satisfaga los seis postulados de Edward Vermilye Huntington.
Entonces nuestro interés en este tema N°2 es la aplicación del Álgebra de Boole
a los circuitos con compuertas.
Álgebra de Boole bivalente
Se define sobre un conjunto de dos elementos B={0,1} con reglas para los
operadores binarios + y . como se muestra en las siguientes tablas:
x y x.y x y x+y x x'
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Estas reglas son exactamente las mismas que las operaciones AND, OR y NOT.
Entonces corresponde demostrar que se cumplen los postulados de Edward
Vermilye Huntington para el conjunto B={0 , 1}
1. El conjunto cerrado es obvio, el resultado de cada operación es 0 o 1 y
0 , 1 ∈ B
2. Se establecen dos elementos identidad
0 para +
1 para .
a) 0 + 0 = 0
b) 1 . 1 = 1
Si observan las talas de verdad, son los únicos elementos
3. Las leyes conmutativas son obvias tomando las tablas (+, .)
4. a) . es distributivo sobre +:
x . (y+z) = (x . y) + (x . z)

x y z y+z x.(y+z) (x.y) (x.z) (x.y) + (x.z)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Obtenga la tabla de verdad.
b) + es distributivo sobre . :
x + (y . z) = (x + y) . (x + z)
x y z y . z
x + (y .
z)
(x + y) (x + z)
(x + y) . (x
+ z)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Obtenga la tabla de verdad
5.
a) x + x’ = 1
Si x=0, entonces 0+1=1
Si x=1, entonces 1+0=1
b) x . x’ = 0
Si x=0, entonces 0 . 1=0
Si x=1, entonces 1. 0 =0
6. El postulado 6 se cumple ya que el álgebra bivalente tiene dos elementos
distintos 1 y 0 con 1 ≠ 0
Se ha establecido un álgebra de Boole bivalente que tiene un conjunto de
dos elementos 1 y 0, dos operadores binarios con reglas de operación
equivalentes a las operaciones AND y OR y el operador complemento
equivalente al operador NOT. (el álgebra de Boole ha sido definida de
una manera matemática formal). Esto ayuda a comprender la aplicación
del álgebra de Boole a los circuitos tipo compuertas.
TEOREMAS BÁSICOS Y PROPIEDADES DEL ALGEBRA BOOLEANA
Dualidad
Los postulados de Edward Huntington se listan en pares y se reparten en (a) y
parte (b).
Una parte puede obtenerse de otra si los operadores binarios y los elementos de
identidad son intercambiables (principio de dualidad).

Las expresiones algebraicas deducidas de los postulados del álgebra de Boole
permanecen válidas si se intercambian los operadores y elementos de
identidad.
En el álgebra de Boole bivalente, los elementos de identidad y los elementos del
conjunto B son los mismos: 1 y 0.
Si se desea una expresión algebraica dual, se intercambia simplemente los
operadores OR y AND y se remplaza unos por ceros y ceros por unos
Teoremas Básicos
Postulados y Teoremas del Álgebra de Boole
a) b)
Postulado 2, identidad x+0=x x.1=x
Postulado 5, complemento x+x'=1 x.x'=0
Teorema 1, absorción x+x=x x.x=x
Teorema 2 x+1=1 x.0=0
Teorema 3, involución (x')'=x
Postulados 3, conmutativo x+y=y+x xy=yx
Teorema 4 asociativo x+(y+z)=(x+y)+z x(yz)=(xy)z
Postulado 4, distributivo x(y+z)=xy+xz x+yz=(x+y)(x+z)
Teorema 5, de Morgan (x+y)'=x'y' (xy)'=x'+y'
Teorema 6, absorción x+xy=x x(x+y)=x
Los teoremas del álgebra de Boole pueden demostrarse por medio de las tablas
de verdad. En las tablas, ambos lados de la relación se comprueban para lanzar
resultados idénticos para todas las combinaciones posibles de las variables
integrantes.
La siguiente tabla de verdad verifica el primer teorema de absorción
x y x.y x+xy
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
Prioridad de operadores
La prioridad del operador para la evaluación de las expresiones de Boole es:
1) Paréntesis
2) NOT
3) AND
4) OR
Funciones Booleanas
Una variable binaria puede tomar el valor 0 o 1, una función de Boole es una
expresión formada con variables binarias, dos operadores binarios OR y AND, el
operador NOT, el paréntesis y el signo igual. Para un valor dado de variables, la
función puede ser 0 ó 1
Cualquier función de Boole puede ser representada por una tabla de verdad.

Por ejemplo, las siguientes funciones:
F1 = x y z’
F2 = x + y’ z
F3 = x’ y’ z + x’ y z + x y’
F4 = x y’ + x’ z
Se expresan en la siguiente tabla:
x y z F1 F2 F3 F4
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0 0
El número de filas en la tabla es de 2n-1 donde n es el número de variables
binarias de la función.
Las combinaciones de unos y ceros se pueden obtener fácilmente para cada
fila de los números binarios contando desde 0 hasta 2n – 1. Para cada fila de la
tabla, hay un valor para la función igual a 1 o 0.
¿Es posible encontrar dos expresiones algebraicas para especificar la misma
función? La respuesta para estas preguntas es sí. Observe la F3 y F4 en la tabla.
En general, dos funciones de n variables binarias son iguales si ellas tienen el
mismo valor para todas las 2n combinaciones posibles de las n variables.
Para encontrar circuitos más sencillos, se debe conocer cómo manipular las
funciones de Boole para obtener funciones iguales pero simplificadas, además,
dependerá de la aplicación particular, en este tema se considera el criterio de
minimización de equipo.
Manipulación algebraica
Un literal es una variable tildada o no tildada, cuando una función de Boole se
ejecuta con compuertas lógicas, cada literal o letra de la función designa una
entrada a cada compuerta y cada término se realiza con una compuerta.
La minimización del número de literales y el número de términos dará como
resultado un circuito con menos componentes. No siempre es posible minimizar
ambos simultáneamente, sin embargo, existen otros criterios disponibles. Por
ahora, se limitará el criterio de minimización de literales. El número de literales en
una función de Boole puede ser minimizado por medio de manipulaciones
algebraicas, usando los postulados y teoremas básicos.
Simplifique las siguientes funciones de Boole al mínimo número de literales.
1. F = x + x’ y postulado 4(b)
= (x + x’) (x + y) postulado 5(a)
= 1. (x + y)
= x + y
2. F = x (x’ + y) postulado 4(a)
= x x’ + x y postulado 5(b)

= 0 + x y
= x y
3. F = x’ y’ z + x’ y z + x y’ factor común x’ y z
= x’ z (y’+ y) + x y’ postulado 5(a)
= x’ z (1) + x y’
= x’ z + x y
4. F = x y + x’ z + y z
= x y + x’ z + y z (x + x’) El aumento de literales algunas veces
genera una función más simple
= x y + x’ z + x y z + x’ y z postulado 4(a) y reordenando los términos
= x y + x y z + x’ z + x’ y z
= x y (1+ z) + x’ z (1 + y) factor común
= x y (1) + x’ z (1) teorema 2(a)
= x y + x’ z
5. F = (x + y) (x’ + z) (y + z) Por dualidad de la función 4, cambian operadores
= (x . y) + (x’ . z) + (y . z)
= (x+y) (x’+z)
6. F= a b + a b’
= a (b + b’)
= a (1)
= a
7. F= abcd’+ab’cd’+abc’d’+ab’c’d’
= acd’ (b+b’)+ac’d’(b+b’)
= acd’ (1) + ac’d’ (1)
= acd’+ac’d’
= ad’(c+c’)
= ad’(1)
= ad’
8. F= b c +ac’+ ab + bcd
= b c (1+ d) + a (c’ + b)
= b c (1) + a (c’+ b)
= b c +a (c’+b)
9. F= c(ad+ad’) + bc
= c(a(d+d’)) + bc
= c(a(1)) + bc
= c(a) + bc
= c(a+b)
10.Reducir las siguientes funciones de Boole al mínimo número de literales
especificados.
F= a b c + a’ b’ c + a’ b c + a b c’+ a’ b’ c’ 5 literales
F= b c +a c’+ a b +b c d 4 literales
F= [(cd)’+a]’+a +c d + a b 3 literales
F= (a + c + d) (a + c + d’) (a +c’ + d) (a + b’) 4 literales

Complemento de una función
El complemento de la función F es F’ y se obtiene del intercambio de ceros a
unos y unos a ceros en el valor de F.
El teorema de De-Morgan pueden extenderse a tres o más variables.
La forma de expresar con 3 variables es:
Encuentre el complemento de las siguientes funciones, aplicando el Teorema de
De-Morgan cuantas veces sea necesaria.
Ejemplos:
F1 = x’ y z’ + x’ y’ z
F’1 = (x’ y z’ + x’ y’ z)’ teorema 5(a) y negación de cada literal
= (x’ y z’)’ (x’ y’ z)’ teorema 5(b) y negación de cada literal
= (x+ y’+ z) (x+ y+ z’)
F2 = x (y’ z’ + y z)
F’2 = [x (y’ z’ + y z)]’ teorema 5(b) y negación de cada literal
= x’ + (y’ z’ + y z)’ teorema 5(a) y negación de cada literal
= x’ + (y+ z) (y’+ z’)
Otra forma más simple para encontrar el complemento de una función es
tomando el dual, de una función y complementando cada literal. Este método
se deduce del teorema de De-Morgan generalizado.
El teorema e De-Morgan puede generalizarse de la siguiente forma:
(A +B + C + D + …+ F)’ = A’ B’ C’ D’ … F’
(A B C D … F)’ = A’ + B’ + C’ + D’ … + F’
La forma generalizada, expresa que el complemento de una función se obtiene
intercambiando los operadores AND y OR y complementando cada literal.
Encuentre el complemento de las siguientes funciones, tomando los duales y
complementando cada literal.
Ejemplos:
F1 = x’ y z’ + x’ y’ z el dual de F1 es cambiar operadores
= (x’+ y+ z’) (x’+ y’+ z) complementando cada literal
F’1 = (x+ y’+ z) (x+ y+ z’)
F2 = x (y’ z’ + y z) el dual de F2 es cambiar operadores
= x + (y’ z’) (y z) complementando cada literal
F’2 = x’ + (y+z)(y’+z’)

Ejercicios:
1. Encuentre el complemento de las siguientes funciones de Boole y redúzcalas
al mínimo número de literales.
F= (bc’+ad’) (ab’+cd’)
F= b’d + a’bc’+acd+a’bc
F= [(ab)’a][(ab)’b]
F= ab’+c’d’
2. Obtener la tabla de verdad de la siguiente función:
F= xy + xy’ + y’z
3. Dada la siguiente función de Boole:
F= xy+x’y’+y´z
a) Expresarla con compuertas AND, OR y NOT
b) Expresarla con compuertas OR y NOT solamente
c) Expresarla con compuertas AND y NOT solamente
4. Verifique la tabla de verdad de la compuerta OR-exclusiva de 3 entradas.
Hacer la lista de las 8 combinaciones de x,y,z.
Evalúe A= x ⊕ y
Luego F= A ⊕ z = x ⊕ y ⊕ z
Encuentre la función para:
5. Obtener la función de cada circuito de compuertas, e indicar si son iguales de
acuerdo con el teorema de Morgan
6. Obtener la función del siguiente esquema

a) Una vez obtenida la función, reducir la función utilizando el teorema de
Morgan.
b) Graficar la función simplificada.
Formas canónicas
Términos mínimos y términos máximos
Toda función lógica puede expresarse en forma canónica, es decir:
- Como una sumatoria de términos en los cuales aparecen todas sus
variables en forma de producto lógico (estos términos se llaman
MINTERMS)
- Como una productoria de términos en los cuales aparecen todas sus
variables en forma de suma lógica (estos términos se llaman MAXTERMS).
En ambos casos la función se dice expresada en forma canónica y sus términos
(ya sean minterms o maxterms se llaman términos canónicos).
Una variable binaria puede aparecer en su forma natural (x) o en la forma de
complemento (x’)
Por ejemplo, para 3 variables, los MINTERMS y MAXTERMNS serían:
Variables Términos mínimos Términos máximos
x y z Término Designación Término Designación
0 0 0 x'y'z' m0 x+y+z M0
0 0 1 x'y'z m1 x+y+z' M1
0 1 0 x'yz' m2 x+y'+z M2
0 1 1 x'yz m3 x+y'+z' M3
1 0 0 xy'z' m4 x'+y+z M4
1 0 1 xy'z m5 x'+y+z' M5
1 1 0 xyz' m6 x'+y'+z M6
1 1 1 xyz m7 x'+y'+z' M7
Observe que en la tabla, los números binarios de 0 a 2n se listan debajo de las n
variables (x,y,z). Cada término mínimo se obtiene de un término AND de n
variables con cada variable tildada, si el bit correspondiente al número binario
es 0 y si no está tildada es l. Un símbolo para cada término mínimo se muestra
como mj donde j denota, el equivalente decimal del número binario del término
mínimo correspondiente.
De igual forma, las n variables formando un término OR, con cada variable
tildada o no tildada, darán 2n combinaciones posibles llamadas términos
máximos (maxterms) de las sumas normalizadas. Cada término máximo se
obtiene de un término OR de n variablescon cada variable no tildada si el
correspondiente bit es 0 y tildada si es 1 (cada término máximo es complemento
de su correspondiente término mínimo y viceversa).
Una función de Boole puede ser expresada algebraicamente a partir de una
tabla de verdad dada, conformando un término mínimo por cada combinación
de las variables que producen un 1 en la función para luego obtener la función
OR de todos los términos.

Suma de términos mínimos.
Los términos mínimos cuya suma define la función de Boole son aquellos que dan
el 1 de la función en una tabla de verdad. Como la función puede ser 1 o 0 para
cada término mínimo y como hay 2n términos mínimos, se pueden calcular las
funciones posibles que pueden formarse con n variables. Algunas veces es
conveniente expresar la función de Boole en la forma de suma de términos
mínimos. Si no está en esta forma, se puede llegar a ella expandiendo primero la
expresión a una suma de términos AND. Después se revisa cada término para ver
si contiene todas las variables. Si le hace falta una o más variables, se aplica la
función AND con una expresión x+x’, donde x sea una de las variables faltantes.
Por ejemplo:
Expresar la siguiente función como suma de términos mínimos:
F=A+B’C
1) Observe que la función tiene 3 variables
2) El primer término no tiene las variables B y C
Aumentamos literales para que tenga B
A=A (B +B’)
A=AB +AB’
Aumentamos literales para que tenga C
A=AB (C+ C’) +AB’(C + C’)
A=ABC + ABC’+ AB’C + AB’C’
3) El segundo término no tiene las variables A
Aumentamos literales para que tenga A
B’C = B’ C (A +A’)
B’C =A B’ C + A’ B’ C
4) Combinando todos los términos se obtiene que F=A+ B’ C es:
F= ABC + ABC’+AB’C+AB’C’+AB’C +A’B’C
Aplicando Teorema 1: AB’C + AB’C = AB’C
F= ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’+ A’B’C
5) Ordenando
F= ABC + ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C
F= A’B’C +AB’C’ + AB’C + ABC’ + ABC
= m1 + m4 + m5 + m6 + m7
6) Se puede expresar como:
El símbolo Σ implica los términos a los cuales se les aplica la función OR. Los
términos entre paréntesis son los términos mínimos de la función. Las letras (A,B,C)
forman la lista de variables en el orden tomado cuando el término mínimo se
convierte en un término AND.
Producto de términos máximos
Para expresar las funciones de Boole como un producto de términos máximos se
debe primero llevar a una forma de términos OR. Esto puede lograrse usando la
ley distributiva x+yz= (x+y)(x+z) y si hay una variable x faltante en cada término
OR se le aplicará la función OR conjuntamente con xx’.

Por ejemplo:
Expresar la siguiente función como un producto en la forma de términos
máximos
F= xy+x’z
1) Convertir la función en términos OR, aplicando la ley distributiva
F=xy+x’z
F=(xy+x’)(xy+z)
F=(x+x)(ý+x’)(x+z)(y+z)
F=(x´+y)(x+z)(y+z)
2) Observe que la función tiene 3 variables, a cada término OR le falta una
variable, se aplica la función OR conjuntamente con xx’
x’+y = x’+y+zz’ =(x’+y+z)(x’+y+z’)
x+z = x+z+yy’ =(x+y+z)(x+y’+z)
y+z = y+z+xx’ =(x+y+z)(x’+y+z)
3) Combinando los términos y quitando los que aparecen más de una vez, se
obtiene:
F=(x+y+z)(x+y’+z)(x’+y+z)(x’+y+z’)
F=M0 M2 M4 M5
4) Se puede expresar como:
El símbolo de producto π denota la aplicación de la función AND a los términos
máximos. Los números representan los términos máximos de la función.
Ejercicios:
1. Obtener la tabla de verdad y la función canónica en la forma de
producto de sumas de una función de 4 variables que toma el valor de 1
cuando 3 o más variables toman el valor 0.
2. Dadas las siguientes funciones, representadas mediante la expresión
canónica de suma de productos y producto de sumas, obtener las
representaciones de estas en la forma de producto de sumas y suma de
productos respectivamente.
a) F(a,b,c,d)= Σ(4,6,8,9,14,15)
b) F(a,b,c)= π(1,2,5,6)
Tabla de operadores:

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