Trabajo de matematica

1. Matemática I
Profa.: Milagros Corazpe
Elaborado por:
Manuel Fernández
C.I.: 26,933,341
Maria cabello
C.I. 27.476.019
Sección 41
Maturín, 07/02/2017
Universidad de Oriente
Núcleo de Monagas
Unidad de Estudios Básicos
Dpto. Socio- Humanístico
Ciencias Sociales

2. Introducción
En 1.787, un maestro de aritmética en una la escuela de primaria, propuso
como actividad sumar todos los números naturales del 1 al 100. Un niño de casi
10 años, se paró a pensar, y en lugar de sumar todos, uno por uno, resolvió el
problema en pocos segundos de la manera siguiente: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 +
100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050. Es decir, descubrió
el principio de la fórmula de la suma de los términos de una progresión
aritmética. Se trataba de Carl Friedrich GAUSS y a consecuencia de estos
éxitos sus maestros se interesaron por él. Gauss estudió matemáticas y llegó a
ser catedrático de matemáticas de Kazán, catedrático de astronomía y director
del Observatorio Astronómico de Gotinga. Es uno de los más grandes
matemáticos que han existido y conocido como el príncipe de las
matemáticas.
En esta presentación se dan a conocer los términos de sucesiones, sumatorias
y progresiones , en primer lugar se tiene que una sucesión matemática es una
aplicación cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos o ℤ+∪{0} y su
codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras
geométricas o funciones

3. La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma ) es
una operación matemática que se emplea para calcular la suma de
muchos o infinitos sumandos.
En matemáticas una progresión es una sucesión de números entre los
cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos tipos:
Progresión aritmética: aquella en que la diferencia entre sus términos es
constante.
Progresión geométrica: aquella en que la razón o cociente entre sus
términos es constante.

4. Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno
a continuación de otro. a3, a5, a7, a9,...,an
Los números a3, a5, a7, a9...;an se llaman términos de la
sucesión, el subíndice indica el lugar que el término ocupa en
la sucesión y el término general es an es un criterio que nos
permite determinar cualquier término de la sucesión.
Sucesiones

5. Clasificación del las Sucesiones
 Hay varios tipos de sucesiones como:
 Convergentes
 Divergentes
 Oscilantes
 Alternadas
 Monótonas
 Constantes
 Acotadas inferiormente
 Acotadas superiormente
 Acotadas

6.  Sucesiones Convergentes.-
Son aquellas que tienen un límite finito ej:
{a, b, c, d,....z} {5, 6, 7, 8, 9, 10}
 Sucesiones Divergentes.-
Las sucesiones divergentes son las que no tiene un límite finito ej:
{1, 2, 3, 4,....∞}
 Sucesiones Oscilantes.-
Las sucesiones oscilantes no son ni convergentes ni divergentes. Sus
términos alternan de mayor a menor o viceversa. Ej:
{1, 0, 3, 0, 5, 0,7,....}
 Sucesiones Alternadas.-
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus
términos. Pueden ser: Sucesiones alternadas convergentes y Sucesiones
alternadas divergentes
Sucesiones Alternadas Convergentes:
Son tanto los pares como los impares con el limite “0”. Ej:
{1, -1, 0.5, -0.5, 0.25, -0.25,.....}

7.  Sucesiones Alternadas Divergentes:
Las sucesiones alternadas divergentes son tanto así los pares
como los impares que tienen un limite +∞
{2, 4, 3, 6, 5, 10, 9, 18,....+ ∞}
 Sucesiones Estrictamente Crecientes:
Se le dice a una sucesión que es estrictamente creciente si cada
termino es mayor al termino anterior. Ej:
An+1 < An
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
2 < 5; 8 < 5; 11 < 8;...

8.  Sucesiones Crecientes:
La sucesión es creciente si los términos de dicha sucesión es
mayor o igual al término anterior. An+1 ≤ An
2, 2, 4, 4, 8, 8,...
2 ≤ 2; 4 ≤ 2; 4 ≤ 4;...
 Sucesiones Estrictamente Decrecientes:
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada
uno de los términos de esta sucesión es menor que el anterior.
An+1 > An
100, 90, 80, 50,...
100 > 90; 90 > 80;
80 > 50;.

9.  Sucesiones Decrecientes:
Se dice que es una sucesión decreciente a la sucesión que cada uno de los
términos es igual o menor al numero anterior.
An+1 ≥ An
50, 50, 40, 40, 30, 30,...
50 ≥ 50; 50 ≥ 40; 40 ≥ 40; 40 ≥ 30; 30
≥30;..
 Sucesiones Constantes:
Se dice que una sucesión es constante cuando todos sus términos son el
mismo. Ej: 5, 5, 5, 5,...
 Sucesiones Acotadas Inferiormente:
Una sucesión esta acotada inferiormente si todos sus términos son
mayores o iguales que un cierto numero K que le llamaremos cota
inferior de la sucesión. Ej:
An ≥ k K=6 6, 7, 8, 9, 10,...
6 ≥ K; 7 ≥ K; 8 ≥ K; 8 ≥ K; 9 ≥ K; 10≥ K;...

10.  Sucesiones Acotadas Superiormente:
Una sucesión esta acotada superiormente si todos sus términos son menores o
iguales que un cierto numero K que llamaremos cota superior de la sucesión.
Ej: an ≤ k
K= 8
2, 3, 4,...
K ≥ 2; K ≥ 3; K ≥ 4; K ≥..
 Sucesiones Acotadas:
A una sucesión se le dice acotada si está, acotada superior o inferiormente. Es
decir si hay un número K menor o igual qué todos los términos de la sucesión y
otro K mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos
los términos de la sucesión están comprendidos entre K y K.
k ≤ an ≤ K'

11. Sumatoria o Notación Sigma
La sumatoria o sumatorio (llamada también notación
sigma ) es una operación matemática que se emplea para
calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.
La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma
mayúscula Σ, y se representa así:
 Expresión que se lee: " sumatoria de Xi, donde i toma los
valores desde 1 hasta n ".
 i es el valor inicial, llamado límite inferior.
 n es el valor final, llamado límite superior.
 Pero necesariamente debe cumplirse que: i ≤ n

12. Propiedades de las Sumatorias
La suma del producto de una constante por una variable,
es igual a k veces la sumatoria de la variable.
La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N
veces la constante.
La sumatoria de una suma es igual a la suma de las
sumatorias de cada término.
La sumatoria de un producto no es igual al producto de
las sumatorias de cada término.
La sumatoria de los cuadrados de los valores de una
variable no es igual a la sumatoria de la variable elevado
al cuadrado.

13.  Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, su
expresión se puede simplificar:
Es frecuente el uso del operador sumatoria en Estadística.
La suma de las frecuencias absolutas se puede expresar
como:
Y la media como:

14. Ejemplo: En un test realizado a un grupo de 42
personas se han obtenido las puntuaciones que
muestra la tabla. Calcula la media.

15. Progresiones Aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales
que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior
más un número fijo llamado diferencia que se representa por
d.
El término general de una progresión aritmética es aquel en
el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia
al término anterior. El término de una progresión aritmética
es la expresión que nos da cualquiera de sus términos,
conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión
 8, 3, -2, -7, -12….
 3 - 8 = -5
 -2 - 3 = -5
 -7 - (-2) = -5
 -12 - (-7) = -5
 d= -5.

16. Una progresión aritmética es un caso particular de las sucesiones. Lo
que tienen de particular es que la diferencia entre dos términos
consecutivos es constante. Es decir, supongamos la siguiente sucesión
-3,-1,1,3,5,....
Si restamos un término con el anterior tenemos que
1-(-3)=2
1-(-1)=2
3-1=2
......
Se tiene, entonces, que dado un término y la diferencia se puede
obtener la progresión aritmética, ya que
an=an-1+d
En concreto si tenemos el primer término
an=a1+(n-1)d

17. -Hay muchas sucesiones con sus reglas de correspondencias o
formula del n-esimo termino.
CALCULO DEL TERMINO N-ESIMO.
LA NOTACION DE UNA PROGRESION ARITMETICA P.A. ES: T 1.t2.t3.t4….tn
La diferencia aritmética entre dos términos cualesquiera
sucesivo es:
D = t2-t1 o D =t4-t3
D = tn – tn-1
Cualquier término podemos expresar así:
T1= t1
T2= t1+d
T3=t2+d= (t1+d) +d=t1+2d
T4=t3+d= (t1+2d) +d=t1+3d
La formula es:
Tn = t1+ (n-1) d
Muchos textos utilizan esta notación de manera diferente pero para mayor comprensión
lo haremos de la manera explicada aquí arriba para poder entender lo que significa
tendremos que cada palabra significa:
Tn: es el n-esimo numero
T1: es el primer termino
n: es el numero de términos
d: es la razón o diferencia aritmética

18. Una progresión aritmética puede ser:
·Creciente
·Decreciente
·Constantes
La progresión es creciente si la diferencia aritmética es positiva, es decir,
el termino sucesor va aumentando.
La progresión es decreciente si la diferencia aritmética es negativa es
decir, el termino sucesor va disminuyendo.
La progresión es constante si todos los términos son iguales.
TIPOS DE PROGRECIONES
ARIGMETICAS

19. PROGRESION GEOMETRICA
Una progresión geométrica está constituida por una
secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se
obtiene multiplicando el anterior por una constante
denominada razón o factor de la progresión. Se suele
reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una
cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión
cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta
distinción no es estricta.
Así, Descripción: 5, 15, 45, 135, 405,..., es una progresión
geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3

20. Ejemplos de Progresiones Geométricas
La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica
cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
La razón no necesariamente tiene que ser un número entero.
Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con
razón 1/4.
La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este
modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de
progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque
los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión
constante: 7, 7, 7, 7
Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por
ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no
consideran este caso como progresión y piden explícitamente
que

21. Manuel A. Fernández H. .