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1. Particiones y relaciones de
equivalencias
Def. Una partición(clase de equivalencia) es una descomposición d
conjunto en celdas, tales que todo elemento del conjunto está
exactamente en una de las celdas.
Sea Q el conjunto de los números racionales y sea 𝑏 =
2
3
entonces una
celda para b
[𝑏] = {
2
3
, −
2
3
,
4
6
, −
4
6
,
6
9
, −
6
9
, … }
b = { ൗ
2𝑛
3𝑛
𝑛 𝜖 𝑍, 𝑛 ≠ 0}

2. Teorema0.1(Fraleigh)
• Sea 𝑆 un conjunto no vacío y sea ~ una relación entre elementos de 𝑆 que
satisface las propiedades siguientes
• 1) Reflexividad:𝑎~𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝑆
• 2) Simetría:𝑎~𝑏 → 𝑏~𝑎
• 3) Transitividad: 𝑎~𝑏, 𝑦 𝑏~𝑐 → 𝑎~𝑐
• Entonces ~ produce una partición una partición natural de S, donde
[a]={𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥~𝑎}
Es la celda que contiene a 𝑎 para todas las 𝑎 ∈ 𝑆. Recíprocamente, cada
partición de S da lugar una relación natural R que satisface las propiedades
reflexivas, simétrica, y transitiva si define 𝑎~𝑏 con 𝑎 ∈ 𝑆.

3. Ejemplo0.1
• Dado 𝐴 = {1,2,3,4,5,6}
• Y si R = { 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 4,5 , 5 , 4 , 5,5 , (6,6)}
• Es R una relación de equivalencia?
• Reflexiva: para cada ∀𝑥 ∈ 𝐴, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅
• Simétrica: es claro que 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 también (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅
• Transitiva: vea que si 𝑥, 𝑦 , (y, z) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅
Clases de equivalencias
• [1]={1}, [2]={2}, [3]={3}, [4]={4,5}, [5]={4,5}, [6]={6}
• Conjunto cociente o partición de A
• { 1 , 2 , 3 , 4,5 , {6}}

4. Ejercicio para socializar
• Dado 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓}
• Y 𝑅 =
{ 𝑎, 𝑎 , (𝑎, 𝑏), (𝑏, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑒), (𝑑, 𝑑), (𝑐, 𝑐), (𝑒, 𝑐), (𝑒, 𝑒), (𝑓, 𝑓)}
• ¿es una relación de equivalencia?
• Escriba las clases de equivalencias
• Escriba el conjunto cociente

5. Relación de equivalencia y clases de
equivalencia.
Conjunto cociente
Es la colección de todos las clases de equivalencias de elementos de un
conjunto S bajo una relacion de equivalencia.
ൗ
𝑆
𝑅 = { 𝑎 : 𝑎 ∈ 𝑆}

6. Ejemplo 0.2
• Verifique que
𝑚
𝑛
~
𝑟
𝑠
sí y sólo si ms = nr es una relación de
equivalencia en el conjunto de expresiones de cocientes formales.
• Solución:
• Reflexiva
•
𝑚
𝑛
~
𝑚
𝑛
ya que 𝑚𝑛 = 𝑛𝑚
• Simetría
•
𝑚
𝑛
~
𝑟
𝑠
implica que 𝑚𝑠 = 𝑛𝑟, luego 𝑠𝑚 = 𝑟𝑛 y 𝑟𝑛 = 𝑠𝑚 por tanto
•
𝑟
𝑠
~
𝑚
𝑛

7. Ejemplo 0.2
• Verifique que
𝑚
𝑛
~
𝑟
𝑠
sí y sólo si ms = nr es una relación de equivalencia en
el conjuntos de expresiones de cocientes formales.
• Solución:
• Transitiva
• Si
𝑚
𝑛
~
𝑟
𝑠
𝑦
𝑟
𝑠
~
𝑢
𝑣
debe verificarse también
𝑚
𝑛
~
𝑢
𝑣
.
• Puesto que 𝑚𝑠 = 𝑟𝑛 y 𝑟𝑣 = 𝑠𝑢 se puede 𝑚𝑠𝑣 = 𝑟𝑛𝑣 y 𝑟𝑣𝑛 = 𝑠𝑢𝑛
• Y 𝑚𝑠𝑣 = 𝑟𝑣𝑛 y 𝑟𝑣𝑛 = 𝑠𝑢𝑛
• Así que 𝑚𝑣𝑠 = 𝑣𝑚𝑠 = 𝑣𝑛𝑟 = 𝑛𝑟𝑣 = 𝑛𝑠𝑢 = 𝑛𝑢𝑠
• Por lo que 𝑚𝑣𝑠 = 𝑛𝑢𝑠 y como 𝑠 ≠ 0, 𝑚𝑣 = 𝑛𝑢 implicando
𝑚
𝑛
~
𝑢
𝑣
.

8. Para socializar
• Sea R una relación en el conjunto Z mediante 𝑛𝑅𝑚 ↔ 𝑛𝑚 ≥ 0 y
verifique si R es una relación de equivalencia.
• Reflexividad
• ∀𝑎 ∈ 𝑍, 𝑎𝑅𝑎, puesto que 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎2 ≥ 0.
• Simetría
• ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍, 𝑎𝑅𝑏 → 𝑎𝑏 ≥ 0 ≡ 𝑏𝑎 ≥ 0 → 𝑏𝑅𝑎.
• Transitividad
• 𝑎𝑅𝑏 y 𝑏𝑅𝑐 no garantiza que 𝑎𝑅𝑐
• Observe que −2𝑅 0 𝑦 0𝑅4no implica que −2𝑅4.

9. Congruencia módulo n
• Para ℎ, 𝑘 ∈ 𝑍 se define la operación:
• ℎ 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑘 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑛 simbólicamente ℎ ≡ 𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
• Si ℎ − 𝑘es múltiplo de n.
• Por ejemplo
• 41 ≡ 9(𝑚𝑜𝑑 8) ya que 41 − 9 = 32 = 4(8)
• 25 ≡ 13(𝑚𝑜𝑑 6) ya que 25 − 13 = 12 = 2(6)

10. Para socializar
• Sobre Z se define la relación R, dada por
• 𝑎𝑅𝑏 ↔ {∃𝑘 ∈ 𝑍: 𝑏 − 𝑎 = 5𝑘}, encuentre [0],[1],[2],[3],[4],[5].Escriba
el conjunto cociente.
• Sugerencia: vea que [3] = {𝑥 ∈ 𝑍: 3𝑅𝑥}
• 3 = {… − 7, −2, 3, 8, 13, … }