Este documento introduce las relaciones de equivalencia y particiones. Explica que una relación es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva, y provee ejemplos. También define una partición como un conjunto de subconjuntos disjuntos cuyo conjunto es la unión de todos los subconjuntos.
2. Establecer las características que hacen de
una relación, ésta sea una relación de
equivalencia.
Determinar los subconjuntos que se obtienen
de un conjunto, mediante la partición.
Aplicar la teoría de relación de equivalencia y
partición en la resolución de ejercicios.
3. RELACIONES
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
REFLEXIVA SIMÉTRICA TRANSITIVA
aRa aRb ∧ bRa aRb ∧ bRc →aRc
4. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Una relación binaria, definida en un conjunto E≠Ф, es una relación
de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Si ℜ una relación de equivalencia, para traducir que una
es
pareja (x,y) verifica la relación ℜ reemplaza la notación
se
general xℜpor
y
x = y (mod ℜ); que se lee “x es equivalente a y módulo de ℜ ”
5. Entonces si x, y e z son elementos cualesquiera de un conjunto E,
y si ℜ es una relación de equivalencia en E,
∀x ∈ E , x = y (mod ℜ)
x = y (mod ℜ) → y = x(mod ℜ)
x = y (mod ℜ) ∧ y = z (mod ℜ) → x = z (mod ℜ)
6. EJEMPLO 1
Sea Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,...}
Considere en Z la relación binaria “la diferencia de dos
enteros es un múltiplo de 3 ”. (Relación llamada congruencia)
REFLEXIVA ∀a, a − a = 0
SIMÉTRICA Si a – b es múltiplo de 3,→ (b – a) es múltiplo de 3.
TRANSITIVA Si a – b es múltiplo de 3, y (b – c ) es múltiplo
de3, → a – c es múltiplo de 3.
7. EJEMPLO 2
Relación de paralelismo
Sean las rectas l1 , l2 y l3
Determinar si dichas rectas cumplen con la relación de
equivalencia.
REFLEXIVA
l1 // l1
SIMÉTRICA Si l1 // l2 → l2 // l1
TRANSITIVA Si l1 // l2 ∧ l2 // l3 → l1 // l3
8. S1 ≠φ S1 ∩ S 2 ,..., ∩ S n = φ E = S1 ∪ S 2 ,...,∪ S n
9. Sea E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, entonces
S = {{1,9}; { 2,8}; {3,4,5,6,7}}
Es una partición de E en tres conjuntos
Note que: Q = {{1,2,9}; { 2,8}; { 3,4,5,6,7}}
No es una partición
10. Hallar todas las particiones del conjunto X = { a, b, c, d }
S1 = {{ a}; { b}; { c}; { d }} S8 = {{ a, c}; { b, d }}
S 2 = {{ a, b}; { c, d }} S9 = { { c} ; { a, b, d } }
S3 = {{ a}; { b, c, d }} S10 = {{ a, d } ; { b, c}}
S 4 = {{ b}; { a, c, d }} S11 = {{ d } ; { a, b, c}}
S 5 = {{ a} ; { b}; { c, d }} S12 = {{ a}; { d }; { b, c}}
S13 = {{ c}; { d }; { a, b}}
S 6 = {{ b}; { c}; { a, d }}
S14 = {{ a}; { c}; { b, d }}
S 7 = {{ b}; { d }; { a, c}}
S15 = {{ a, b, c, d }}
11. LIPSCHUTZ, Seymour. Teoría de Conjuntos.
Editorial McGraw – Hill. México. 1992.
Pág. Web. http://elcentro.uniandes.edu.co
LOVAL, Service. Diccionario de matemática.
Nuevodia. Ecuador. 2003.
Quinet, J. Curso de Matemáticas Superiores.
Edit. Paraninfo. Madrid. 1983.
