Este documento describe los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición, grado, raíces, división, y factorización. Explica que los polinomios se pueden descomponer de forma única en productos de factores irreducibles, análogos a los números primos. También cubre métodos para encontrar raíces reales y complejas de polinomios de grado 2 o inferior, pero que es muy difícil para grados mayores.

1. Factorización de polinomios
Polinomios
Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma:
px a0 a1x a2x2 an1xn1 anxn
donde a0, a1, a2,, an1, an son unos números, llamados coeficientes del polinomio. Si
todos esos coeficientes son números enteros ( 0,1,2, ... ) entonces diremos que el
polinomio es un polinomio entero, si son números racionales diremos que es un
polinomio racional, etc. Mientras no se diga lo contrario, en estas notas los coeficientes
del polinomio serán números reales.
El grado del polinomio es el número n : el mayor exponente de la variable x que
aparezca en el polinomio con coeficiente no nulo. Se escribe a menudo px para
referirse al grado de px. Cada uno de los sumandos de la forma aixi que forman el
polinomio se llama monomio o término (de grado i). Un polinomio es mónico si el
coeficiente del monomio de grado más alto es 1.
Usaremos letras como p, q o también subíndices como en p1, p2, ..., pk para referirnos a
diferentes polinomios. Suponemos conocidas del lector las operaciones de suma y
producto de polinomios.
Raíces de un polinomio
Un número r es una raíz de un polinomio si al sustituir x por r en el polinomio se
obtiene cero.
pa a0 a1r a2r2 an1rn1 anrn 0
Ejemplo:
Si px x2 3x 2, los números 1 y 2 son raíces de p, ya que se tiene:
p1 12 3 1 2 0
p2 22 3 2 2 0
División de polinomios
Dados dos polinomios, px y qx, a los que llamaremos respectivamente
dividendo y divisor, existen dos polinomios únicos rx (llamado resto) y sx (llamado
cociente) tales que:
px qxsx rx con grado(rx)grado(qx) (1 )
Método o algoritmo de la división de polinomios
Es muy parecido al método aritmético de división de números enteros que se aprende
en la escuela; al tiempo que lo describimos iremos desarrollando un ejemplo:
1. Se ordenan los términos (monomios) que forman el dividendo y el divisor en orden
descendente según el grado.
1

2. Sea px x6 x5 7x4 8x3 9x2 6x 3 el dividendo y qx x2 x 1 el
divisor. Imitando lo que se hace en la división de enteros los escribimos así:
x6 x5 7x4 8x3 9x2 6x 3 x2 x 1
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y
obtenemos así el primer término del cociente.
Hemos indicado cuales son los términos que se dividen (x6 entre x4) y colocamos
bajo el divisor el primer término del cociente:
x6 x5 7x4 8x3 9x2 6x 3 x2 x 1
x4
3. Ese término del cociente se multiplica por todo el divisor y el resultado se resta del
dividendo. Para ello es conveniente escribir el resultado debajo del dividendo con el
signo cambiado y ordenado para que coincidan los términos del mismo grado. El
resultado es el primer resto de la división.
En nuestro ejemplo, x4 multiplicado por x2 x 1 es x6 x5 x4. Colocamos este
resultado, cambiado de signo bajo el dividendo y sumamos:
x6 x5 7x4 8x3 9x2 6x 3 x2 x 1
x6 x5 x4 x4
6x4 8x3 9x2 6x 3
4. Se repite ahora el proceso, empleando el resto obtenido en lugar del dividendo,
hasta obtener un resto de grado menor que el divisor. Los términos del cociente se
van sumando a continuación del obtenido en el primer paso.
x6 x5 7x4 8x3 9x2 6x 3 x2 x 1
x6 x5 x4 x4 6x2 2x 1
6x4 8x3 9x2 6x 3
6x4 6x3 6x2
2x3 3x2 6x 3
2x3 2x2 2x
x2 4x 3
x2 x 1
3x 2
El resto se ha señalado recuadrándolo doblemente en este ejemplo. Se ha
obtenido entonces la expresión:
x6 x5 7x4 8x3 9x2 6x 3 x2 x 1x4 6x2 2x 1 3x 2
como muestra del esquema general:
dividendodivisorcocienteresto
que también puede escribirse así:
dividendo
divisor cociente resto
divisor
2

3. Es decir,
px
qx
sx rx
qx
con grado(rx)grado(qx)
Polinomios de grado 2
Un polinomio de grado dos es de la forma:
px ax2 bx c
Sus raíces r se obtienen mediante la conocida fórmula:
r
b b2 4ac
2a
Se pueden presentar tres casos:
1. b2 4ac 0
En este caso, el polinomio tiene dos raíces reales distintas, a las que llamaremos r1
y r2.Además se tiene en este caso:
ax2 bx c ax r1 x r2
2. b2 4ac 0
En este caso, el polinomio una única raíz real r b
2a , de la que diremos que es una
raíz doble.Además se tiene en este caso:
ax2 bx c a x b
2a
2
(que es la misma expresión del caso anterior si r1 r2 b
2a )
3. b2 4ac 0.En este caso existen dos raíces complejas, a las que llamaremos
r1 i y r2 i.Sería:
i b
2a
b2 4ac
2a i
Además se cumple que:
ax2 bx c a x 2 2
Obsérvese que si conocemos y junto con el coeficiente a, entonces con la última
expresión podemos reconstruir ax2 bx c. En particular, si conocemos i,
existe un único polinomio (mónico, con a 1) de la forma x2 bx c cuyas raíces
son esos números complejos i.
Factorización de polinomios. Polinomios irreducibles.
Al igual que los números naturales se descomponen de forma esencialmente única
en un producto de factores primos, los polinomios también se descomponen de forma
única en un producto de factores irreducibles (que vienen a ser como los ”polinomios
primos”.)
Los polinomios irreducibles (reales) son de dos clases:
1. polinomios de grado uno, de la forma
ax b
2. polinomios de grado dos, con ambas raíces complejas. Es decir
ax2 bx c con b2 4ac 0
3

4. Los siguientes resultados son los que se emplean para tratar de descomponer un
polinomio en un producto de factores irreducibles.
Raíces reales:
Teorema: Si r es una raíz real del polinomio px, entonces se tiene:
px x rkqx (2 )
siendo qx un polinomio de grado menor en k unidades al de px, y que cumple
qr 0. En este caso se dice que r es una raíz de multiplicidad k del polinomio px.
Notas: (1) Este resultado es cierto para raíces reales y complejas, pero nosotros lo
usaremos sobre todo cuando r sea una raíz real. (2) Una raíz de multiplicidad uno es
una raíz simple, una de multiplicidad dos es una raíz doble, etc.
Raíces complejas:
Teorema: Si el número complejo ies una raíz de px, entonces su conjugado
i también es raíz de px. Además en ese caso se tiene:
px x2 bx ckqx (3 )
siendo:
1. x2 bx c el único polinomio de orden dos cuyas raíces son i
2. qx un polinomio de gradogrado(px)2k con q i 0.
Se dice entonces que i son raíces (complejas) de multiplicidad k del polinomio px.
Descomposición en el caso general:
El resultado que se presenta a continuación describe la forma en la que se descompone
cualquier polinomio:
Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n tiene siempre n raíces,
repartidas entre raíces reales y raíces complejas (que en este caso vienen siempre en
parejas como hemos visto.) En esta cuenta, cada raíz se cuenta un número de veces
igual a su multiplicidad (una raíz doble cuenta como dos raíces, una raíz triple como
tres raíces, etc.)
Supongamos entonces que
px a0 a1x a2x2 an1xn1 anxn
tiene:
1. raíces reales r1 de multiplicidad m1, r2 de multiplicidad m2, ..., rk de multiplicidad
mk.
2. Y raíces complejas 1 1i de multiplicidad p1,2 2i de multiplicidad p2, ...,
q qi de multiplicidad pq.Supongamos que x2 bjx cj pj es el polinomio de
orden dos cuyas raíces son j jipara cada j 1, ..., q.
Entonces
px anx r1m1x r2m2x rkmkx2 b1x c1 p1x2 bqx cq pq
Ecuaciones de orden superior: cálculo de raíces
A pesar de que el teorema anterior dice que cualquier polinomio se descompone en
4

5. producto de factores irreducibles, en la práctica esa descomposición tropieza con una
dificultad formidable: para descomponer el polinomio tenemos que conocer todas sus
raíces. En el caso de polinomios de grado dos la situación es sencilla, como hemos
visto. Las fórmulas para la resolución de ecuaciones de grado dos eran bien conocidas
en el siglo noveno de nuestra era. Para polinomios de grado 3 y 4 existen también
fórmulas, que fueron obtenidas por los matemáticos italianos Tartaglia, del Ferro,
Cardano y Ferrari en el siglo XVI. Son similares a las que hemos visto para le ecuación
de orden dos, aunque más complicadas. Nadie consiguió encontrar una fórmula
semejante para las ecuaciones de orden cinco, hasta que en 1826 Abel demostró que
no podía existir ninguna fórmula semejante para resolver todas las ecuaciones de orden
cinco (y lo mismo ocurre con todos los grados superiores). Así pues, en general no
podremos descomponer polinomios de grado superior a cuatro.
A continuación vamos a ver métodos que nos permiten descomponer algunos
polinomios. Lo habitual de estos métodos es que funcionen cuando las raíces de los
polinomios son especialmente sencillas (es el caso del método de Ruffini), o cuando los
polinomios son de alguna forma especial.
Raíz cero
Cuando el número cero es una raíz del polinomio, como hemos visto el polinomio se
factoriza en la forma:
px xkqx xkb1 b2x2 b3x3 bmxm
y el número k es la multiplicidad del cero como raíz. Obsérvese que en este caso el
término independiente a0 del polinomio original ha de ser cero. Así pues, antes de
empezar a factorizar el polinomio debemos sacar factor común la potencia de x más
alta posible. Si es posible, el cero es una raíz del polinomio (y esa potencia nos indica la
multiplicidad), mientras que si no es posible, el cero no es raíz del polinomio.
Método de Ruffini
El método de Ruffini sirve para buscar raíces enteras 1,2, .... de un polinomio.
Para ello, se buscan todos los divisores del término independiente a0 del polinomio. Una
vez hecho esto se realiza la división del polinomio entre x a. Se puede llevar a cabo
por el método visto antes, pero es más rápido emplear el método abreviado, conocido
como método de Ruffini. En este método se escriben los coeficientes del polinomio, en
orden decreciente de grado:
an an1 an2 a2 a1 a0
a
A continuación se escribe en la siguiente línea a a la izquierda y se traza una línea
horizontal. Bajo esta línea se escribe el primer coeficiente an, para a continuación
multiplicarlo por a y colocar el resultado bajo el segundo coeficiente an1 y sumar ambos
números. El resultado b1 se coloca bajo la línea horizontal. Y se repite el proceso como
indica este esquema. En cada paso el resultado obtenido se multiplica por a y se coloca
bajo el siguiente ai, sumando ambos números para obtener el siguiente b.
5

6. an an1 an2 a2 a1 a0
a a an a b1 a bn3 a bn2 a bn1
an b1 an1 a an b2 an2 a b1 bn2 bn1 q
La clave es el número q. Si ese número es cero, entonces a es una raíz del polinomio y
podemos además afirmar que:
px x aanxn1 b1xn2 b2xn3 bn2x bn1
Obsérvese que los números bi obtenidos debajo de la línea horizontal sirven para
escribir el cociente de esta división.
Eso permite, en caso de que el método funcione, reiterarlo, aplicándolo ahora al
polinomio
anxn1 b1xn2 b2xn3 bn2x bn1
para continuar con la factorización del polinomio px. La repetición del método se ve
facilitada por la colocación de los coeficientes, ya que basta con dibujar una nueva raya
horizontal bajo los términos recién obtenidos y repetir el esquema, como veremos en
los ejemplos.
En esas repeticiones del método se deben considerar de nuevo como posibles
raíces todos los divisores de a0, salvo aquellos que ya se han ensayado y no han
funcionado; es decir, que si ya hemos encontrado una raíz a del polinomio, debemos
volver a comprobar si a es una raíz del nuevo polinomio.
Ejemplos:
1. Factorizar el polinomio
px x2 5x 6
Formamos para ello el esquema:
1 5 6
a
en el que como número a debemos tomar uno de los divisores de 6, que son, por
orden: 1,2,3,6. Probando con a 1 se obtiene:
1 5 6
1 1 4
1 4 2
El valor 2 que hemos obtenido al final indica que
a 1 no es una raíz del polinomio px. Probamos a continuación con a 1.
1 5 6
1 1 6
1 6 12
El valor 12 indica que a 1 no es raíz del
polinomio. Probamos con a 2.
1 5 6
2 2 6
1 3 0
Ese cero significa que a 2 es una raíz de px. Es
6

7. decir, que
px x 2qxpara un polinomio qx de grado uno
Además los resultados parciales 1 y 3permiten obtener qx:
px x 2x 3
2. Factorizar el polinomio
px 6x3 22x2 4x 48
Formamos para ello el esquema:
6 22 4 48
a
en el que, como número a debemos tomar uno de los divisores de 48, que son:
a 1,2,3,6,8,12,16,24,48
Probando con a 1 se obtiene:
6 22 4 48
1 6 16 20
6 16 20 28
En conclusión,a 1 no es raíz.
Probando con a 1 se obtiene:
6 22 4 48
1 6 28 26
6 28 26 22
En conclusión,a 1 no es raíz.
Probando con a 2 se obtiene:
6 22 4 48
2 12 20 48
6 10 24 0
Luego a 2es raíz.
Los coeficientes que han quedado por debajo de la raya horizontal nos permiten
asegurar que:
6x3 22x2 4x 48 x 26x2 10x 24
Obsérvese que esos coeficientes corresponden a un polinomio de grado dos,
menor en una unidad al grado de px.Para continuar con la factorización,
probamos de nuevo el valor a 2 con esos coeficientes:
6 10 24
2 12 4
6 2 20
Así que, como no ha funcionado, seguimos probando con a 2. (Ya no es
necesario probar con los valores a 1,1 que se comprobó previamente que no
eran raíces.)
6 10 24
2 12 44
6 22 20
No funciona. a 2 no es raíz.
Probamos con a 3 :
7

8. 6 10 24
3 18 24
6 8 0
Luego a 3 es raíz.
Además tenemos la descomposición:
6x2 10x 24 x 36x 8
que combinada con la anterior produce
6x3 22x2 4x 48 x 2x 36x 8 2x 2x 33x 4
que es la descomposición final de px. Las raíces son por tanto 2, 3 y 4
3 .
3. Descomponer en factores el polinomio
px 2x5 18x4 60x3 92x2 66x 18
Los divisores del término independiente 18 son 1,2,3,6,9,18. Escribiremos
consecutivamente los cálculos realizados, omitiendo las pruebas con valores que
no son raíces:
2 18 60 92 66 18
1 2 16 44 48 18
2 16 44 48 18 0
El valor a 1 es una raíz.
1 2 14 30 18
2 14 30 18 0
El valor a 1 funciona otra vez.
1 2 12 18
2 12 18 0
El valor a 1 funciona otra vez
3 6 18
2 6 0
El valor a 3 funciona una vez ( 2 y 2no)
3 6
2 0
El valor a 3 funciona otra vez
Así pues, hemos obtenido la descomposición:
2x5 18x4 60x3 92x2 66x 18 2x 32x 13
que nos dice que 3 es una raíz doble, y 1 una raíz simple del polinomio.
4. Descomponer en factores el polinomio
px x4 5x2 6
Se obtiene:
1 0 5 0 6
1 1 1 6 6
1 1 6 6 0
¡Atención a los coeficientes nulos!
1 1 0 6
1 0 6 0
El valor a 1 funciona otra vez.
A continuación, al probar con los divisores de 6, se comprueba que ninguno de
ellos funciona. Por lo tanto, del método de Ruffini obtenemos:
px x4 5x2 6 x 1x 1x2 6
8

9. El último factor es un polinomio de grado dos irreducible, con raíces complejas
6 i. Así que la anterior expresión es la descomposición de px usando
coeficientes reales. Si se desea su descomposición usando coeficientes complejos,
sería
px x4 5x2 6 x 1x 1x 6 ix 6 i
Ecuaciones bicuadradas
Una ecuación de la forma
ax4 bx2 c 0
se conoce como ecuación bicuadrada. Estas ecuaciones se pueden resolver
introduciendo un cambio de variable z x2, que las reduce a ecuaciones de segundo
grado:
az4 bz2 c 0
de las que sabemos encontrar las raíces. Una vez localizadas sus raíces z1 y z2,
podemos encontrar las (cuatro) raíces de la ecuación original usando que ha de ser
z1 x2 (de aquí se obtienen dos raíces) y también z2 x2 (que produce las dos
restantes raíces.)
Esta observación permite descomponer un polinomio de la forma
px ax4 bx2 c en factores, ya que sabemos calcular sus raíces.
Ejemplo:
Descomponer en factores el polinomio
px x4 8x2 9
Haciendo el cambio z x2 se obtiene x4 8x2 9 z2 8z 9. Las raíces de la
ecuación
z2 8z 9 0
se obtienen de
z
8 82 4 9
2
8 10
2 Luego
z1 9
z2 1
De donde se deduce que x2 9 y x2 1 producen las cuatro raíces del polinomio px.
Esas raíces son x1 3, x2 3, x3 i, x4 i. Por tanto:
px x4 8x2 9 x 1x 1x ix i x 1x 1x2 1
Hemos indicado también en este caso las descomposiciones real y compleja.
Fracciones racionales
Una fracción racional es un cociente:
fx px
qx
en el que px y qx son polinomios. Supondremos además en lo que sigue que px es
de grado menor al de qx. Si no fuera así se puede emplear el algoritmo de la división
que hemos visto para obtener una descomposición.
9

10. px
qx
sx rx
qx
con grado(rx)grado(qx)
Así que supondremos que el polinomio del numerador es de grado menor que el
denominador.
Fracciones simples
Cualquier fracción racional se puede descomponer en la suma de unos cuantos
términos, siendo esos términos de una de estas dos clases:
Clase 1 : A
x k
Clase 2 : Bx C
x2 x p
Estas fracciones se conocen como fracciones simples.
Es decir que tendremos una descomposición como:
px
qx
A1
x 1k1
Ar
x rkr
B1x C1
x2 1x 1p1
Bsx Cs
x2 sx sps
Estas descomposiciones son esenciales para el cálculo de primitivas de las fracciones
racionales.
Ejemplos:
Dejamos que el lector compruebe que:
1. 5x
x2 5x 6
10
x 2
15
x 3
Como puede verse, los dos términos obtenidos son de la forma A
x k . En el
primero A 10, 2, k 1. En el segundo A 15, 3, k 1
2. 7x3 30x2 40x 3
x4 5x3 5x2 3x 18
2
x 3
3
x 32 1 5x
x2 x 2
3. x4 2x3 x2 4x 1
x6 3x4 3x2 1
1
x2 1
3 2x
x2 12 3 2x
x2 13 .
En este ejemplo, todos los términos son de clase 2.
¿Cómo se obtiene esa descomposición?
1. En primer lugar, debemos factorizar el polinomio del denominador qx.Sea pues:
qx anx 1k1x 2k2x rkr x2 1x 1 p1x2 qx s ps
Esta descomposición se obtiene por los métodos que hemos expuesto en los
párrafos precedentes.
2. Para saber cuales son las fracciones simples que componen la descomposición de
px
qx
debemos considerar la descomposición del primer paso, como se indica a
continuación:
a. Cada factor de qx de la forma x k produce k fracciones simples, con
potencias crecientes de x en el denominador:
A1
x
A2
x 2 A3
x 3 Ak
x k
Los coeficientes Ak en este paso se dejan indeterminados, y se calcularán en el
próximo paso.
b. Cada factor de qx de la forma x2 x p produce p fracciones simples, con
potencias crecientes de x2 x en el denominador:
10

11. B1x C1
x2 x
x2 x 3 Bpx Cp
B2x C2
x2 x 2 B3x C3
x2 x p
Como en el caso anterior, los coeficientes Bk,Ck quedan indeterminados, y se
calcularán en el próximo paso. Obsérvese que la diferencia fundamental entre
este caso y el anterior es que los polinomios indeterminados del numerador
son de grado uno.
Ejemplo.
Vamos a empezar la descomposición en fracciones simples de la fracción racional:
7x3 30x2 40x 3
x4 5x3 5x2 3x 18
Empezamos por descomponer el denominador. Dejamos como ejercicio que el
lector compruebe (usar Ruffini mientras sea posible) que:
x4 5x3 5x2 3x 18 x 32x2 x 2
El factor x 32 produce dos fracciones simples:
A1
x 3
A2
x 32
mientras que el factor x2 x 2 produce una fracción simple:
B1x C1
x2 x 2
Combinando ambos resultados se tiene, como descomposición:
7x3 30x2 40x 3
x4 5x3 5x2 3x 18
A1
x 3
A2
x 32 B1x C1
x2 x 2
Los coeficientes A1,A2,B1 y C1 se determinarán en el siguiente paso.
3. Ahora se deben buscar los valores de los coeficientes que han quedado
indeterminados en el paso anterior. Para ello se agrupan los fracciones simples del
miembro derecho, escribiéndolas con un denominador común que, por supuesto,
será el mismo que le del miembro izquierdo. Entonces se comparan los
numeradores de las dos fracciones y se identifican los coeficientes de las potencias
de x. Se obtiene así un sistema de ecuaciones, que permite calcular los valores de
esos coeficientes.
Ejemplo.
Retomamos el ejemplo anterior. Teníamos:
7x3 30x2 40x 3
x4 5x3 5x2 3x 18
A1
x 3
A2
x 32 B1x C1
x2 x 2
Agrupando los términos del miembro izquierdo:
7x3 30x2 40x 3
x4 5x3 5x2 3x 18
A1
x 3
A2
x 32 B1x C1
x2 x 2
A1x 3x2 x 2 A2x2 x 2 B1x C1 x 32
x 32x2 x 2
B1 A1 x3 A2 6B1 2A1 C1 x2 A2 9B1 A1 6C1 x 9C1 2A2 6A1
x 32x2 x 2
Como se ve, hemos agrupado los términos del numerador según las potencias de
x. De aquí, comparando los numeradores del principio y final se deduce que:
7x3 30x2 40x 3
B1 A1 x3 A2 6B1 2A1 C1 x2 A2 9B1 A1 6C1 x 9C1 2A2 6A1
Y por lo tanto se tiene el sistema:
11

12. 7 B1 A1 (términos en x3)
30 A2 6B1 2A1 C1 (términos en x2)
40 A2 9B1 A1 6C1 (términos en x)
3 9C1 2A2 6A1 (términos independientes)
Que una vez resuelto produce A1 2,A2 3,B1 5,C1 1. Esto permite escribir
finalmente
7x3 30x2 40x 3
x4 5x3 5x2 3x 18
2
x 3
3
x 32 5x 1
x2 x 2
que es la descomposición en fracciones simples deseada.
Completando cuadrados
Un trinomio cuadrático de la forma
ax2 bx c
puede escribirse siempre en la forma:
x 2
si a es positivo o en la forma
x 2
si a es negativo.
A esta operación, que es necesaria muchas veces, se la describe diciendo que se ha
”completado el cuadrado”. Para llevarla a cabo empezamos por suponer que aes
positivo, de manera que podemos escribir a 2 para algún número . Entonces:
ax2 bx c 2x2 bx c 2x2 2 b
2 x c
2x2 2 b
2 x b2 b2 c x b
2
2
c b2
que haciendo b
2 y c b2, conduce al resultado deseado. En el caso en que a
es negativo se escribe a 2 y se repite el esquema anterior. Dejamos los detalles
para el lector.
Ejemplos.
1. x2 6x 1 x2 2 3 x 1 x2 2 3 x 32 32 1 x 32 9 1
x 32 8 que es el cuadrado completado.
2. x2 x 1 x2 2 12 x 1 x2 2 12
x 12
2
12
2
1
x 12
2
14
1 x 12
2
12
2
34
3. x2 3x 2 x2 2 32
x 2 x2 2 32
x 32
2
32
2
2
x 32
2
94
2 x 32
2
14
4. 4x2 6x 5 22x2 6x 5 22x2 2 2x 32
5 22x2 2 2x 32
94
94
5
12

13. 2x 32
2
5 94
2x 32
2
11
4
5. 2 5x 2x2 2 5x 2 x 2 2 2 5
2 2
2 x 2 x 2
2 5
2 2
2
5
2 2
2
2 5
2 2
2 x 2 x 2
2 5
2 2
2
5
2 2
2 x
2
13