2. ¿QUE ES LA DERIVADA?
• El concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el
cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física,
Química y Biología.
• Ya sabemos que la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha
función según cambie el valor de su variable independiente o, dicho de otro modo, la derivada de una función
que nos indica el ritmo con el que dicha función varía (crece, decrece o permanece constante) cuando se
producen pequeños cambios en la variable independiente.
¿WAJIMPAYA ANU ANENTAI YAPÁGTUA TAJI DUSHA?
• Anka anentaig chicham ijumdaijau tikish aidajai umiaku tuwiya aánka atsumnawai dekapamu nuintu wansaa
anu wají aidau aikmanai tikish yapajía anka mamikmainai. Anu aidauk takatai ainawai dekapa yaaktamsa anui
augmaunmak nuintu nimjijai, anentai najantai iñashnum.
• Yamaik dekaji makichik wají anjai takataijaianka anka makichik dekapamu waamak yapajintaiji anu atsumtai
nuigtu aneas takau dekás anka atsumnawai anui pachimag ukuanui antsag dakitmanai nigki tikishnumash, anu
ajawai makichik waji nuintu makichik takau tikish aidaujai (tsakawai, waketkau antsag pujut jasaa wajutinia
aikattaji uchuchiji aidau yapajia ukuamush pachimja.
3. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ING . CIVIL “HISTORIA”
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época
clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de
resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen.
El problema de la tangente a una curva.
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos.
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.
TSATSAMA AIKTAI JEGA JEGAMTAI WEAJUNUM (AUGMATBAU YAUNCHKIANU)
Utugchat ainanu jiamu dekapa dusha kuashat, nuniaku apusamu yaunchut pujut
ausauwa Grecia nuanui (mijan kampantumunm yaunchuk apujuikesh atsamunum)
tujash nunuik deka wajakchajui,amua tikich uweja amua kampatun makichik waji
muutan jikiuwai Isaac Newton y Goltfried Leibniz).
tsatsama umitai nunuka jimag nime ajawa cubojai beketmantin.
Tikich utugchat apusamua nunuka tunimtika dakumkamu.
Wajinum yaki apumtiksa jikbaunum jinui múun uchuchijijai.
Yabepat augmatbau nagkamna nunui aputusajui dajin dekapaja jiamu yapagsa.
5. PREGUNTA 01
a). ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando
s(t)=v(t)?
a). ¿tuwaita ju wajia nunú senchi wegamujish
s(t)=v(t)?
S(t)=𝒕𝟐+6t+10
V(t)=2t+6
b). ¿cuál es la velocidad de la particular cuando v(t)=-a(t)?
b). ¿tuwaita ju wajia nunú senchi wegamujish v(t)=-a(t)?
S(v)=2t+6
-a(t)=-2m/𝒔𝟐
Derivamos la siguiente ecuación
para encontrar la velocidad:
Para determinar la aceleración
encontramos la segunda derivada:
S(t)=𝒕𝟐+6t+10
6. PREGUNTA 02
Considere la escalera cuya parte
inferior se desliza alejándose de
la base del muro vertical
mostrado en la FIGURA
Demuestre que la razón a la
cual crece 𝜽𝟏 es la misma que
la razón a la cual decrece 𝜽𝟐.
Inibau jimag
Iwainakbau jujú najami
wetai numijai atushtaji
awaju juajui kuashat
atukwminawai, jujui
dismi dakumkamu awa
nuanui.
Iwainakmi wajupak
ajawa razón
emamuji 𝜃1
betekmantin razón
wajupak waketkikit
𝜃2 nunú.
8. OTRO MÉTODO
Sabemos que:
𝜃1 + 𝜃2=90°
𝑑
𝑑𝑡
𝜃1+
𝑑
𝑑𝑡
𝜃2 =0
𝑑
𝑑𝑡
𝜃1=-
𝑑
𝑑𝑡
𝜃2
∴ queda demostrado que la razón de
cambio es:
𝒅
𝒅𝒕
𝜽𝟏=-
𝒅
𝒅𝒕
𝜽𝟐
9. PREGUNTA 03
Cangrejos de río Un estudio acerca de
cangrejos de rio (Orconectes virilis)
indica que el caparazón de longitud C
esta relacionado con la longitud total
T según la fórmula C=0.4937T-0.913
donde C Y T se miden en milímetros.
Vea la FIGURA
Iinibau ipak usumat
Punuk aidau namakaya makichik
augbau ijus anu punuk namakaya
(orconectes virilis) mamikiawai nuna
tuntupen asantin C pujawai achitkau
nuintu esanti ashí T naaji díisa ainja
takastinji C=0,493 T – 0,913. Tuwiya C
y T dekapawa milimetrosji. Distá
dakumjamuji.
a). A medida que el cangrejo de rio crece, la razón R de la longitud del
caparazón a la longitud total. ¿aumenta o disminuye?
a). Nuna¿dekapamunum nuwai punuk tsakawai, waji aigkita R aniyaniyai
esanti tuntupek nuna esanti ashí, ¿kaweawai antsagke abuewai?
HALLAMOS LA RAZON:
(AUMENTA)
R=
C
T
R=
0,493𝑇−0,913
𝑇
R=0,493-
0,913
𝑇
DATOS
C=longitud del caparazón
T=longitud total
C=0,493T-0,913
DERIVAMOS LA RAZON:
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= -
𝑇2 𝑑
𝑑𝑡
0,913 −(0,913)
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑇2
𝑑𝑅
𝑑𝑡
=
0,913
𝑇2 *
𝑑𝑡
𝑑𝑡
∴ DEDUCIMOS QUE LA RAZÓN ES
POSITIVA
T
C
10. b) Si el cangrejo de rio crece en longitud a razón de 1 mm por día. ¿A qué razón cambia la
relación del caparazón a la longitud total cuando el caparazón es un tercio de la longitud total?
b). Jeha anu punukak namakayak tsakawai anu esanti waji aigkita 1mm wají tsawan, ¿Waji atainia
yapajimua anú tuntupesh makichik kampatumjai nuintu esanti ijumjamu?
DATOS PARA ENCONTRAR LA RAZON DE LA RELACION
DE LA LONGITUD TOTAL CON LA LONGITUD DEL
C=
𝟏
𝟑
𝑻 CAPARAZON. REEMPLAZAMOS:
REEMPLAZANDO
𝑑𝑅
𝑑𝑡
=
0,913
𝑇2 *
𝑑𝑡
𝑑𝑡
1
3
T = 0,493T-0,913
𝑑𝑅
𝑑𝑡
=
0,913
(
0,913
1
3−0,493
)2
*1mm
(
1
3
– 0,493)T = 0,913
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 0,028
T=
0,913
1
3
−0,493
=-5.71
11. PREGUNTA 04
Un clavadista salta desde una plataforma elevada con
velocidad inicial hacia abajo de 1 pies/s hacia el centro
de un gran tanque circular de agua. Vea la FIGURA
Por física, la altura del clavadista por arriba del nivel
del suelo está dada por s(t)=-16𝒕𝟐
-t+200, donde t ≥ 0
es el tiempo de medida en segundos.
Iinibau uweja amua
Makichik tutupit ayain tsenkeawai jujui juaki
makichik ainja takastin takuimu niña senchijijai
nagkamnaujai autika nugka 1 pies/s autika anu
ejapega dutika makichik muun yumi ipiamjamu
tetenum. Diista anu datakumjamuji dekapamu
wasugkamtai, anu yakiyanui tutpit ayain nuna
yakin betekmasa nugka susamuanujai S(t)= -16t2-
1+200, tuiya t= 0 nuna tsawanji dekapamu
wamkiji.
12. b). Encuentre la razón a la cual el ángulo θ
subtendido por el tanque circular, según lo ve el
clavadista, crece en t=3s.
b). Igkugta anuanentai tuasha anu nagkatkau
tuniakujin Ɵ eke teea ematsuk yumi ipiarntai
tentenum, wajuk wainku anu tutupit ayain,
tsakanu nunu T= 3s.
𝒅𝜽
𝒅𝒕
=2
15
−𝟏𝟔𝒕2+𝒕+𝟐𝟎𝟎
1+(
15
−𝟏𝟔𝒕2+𝒕+𝟐𝟎𝟎
)2
𝒅𝜽
𝒅𝒕
=
𝟐
𝟏𝟓(𝟑𝟐𝒕+𝟏)
(−𝟏𝟔𝒕2+𝒕+𝟐𝟎𝟎)𝟐
−𝟏𝟔𝒕2+𝒕+𝟐𝟎𝟎
𝟐
+𝟏𝟓2
−𝟏𝟔𝒕𝟐−𝒕+𝟐𝟎𝟎
𝟐
=
𝟑𝟎(𝟑𝟐𝒕+𝟏)
𝟏𝟓𝟐+ −𝟏𝟔𝒕𝟐−𝒕+𝟐𝟎𝟎
𝟐
𝒅𝜽
𝒅𝒕
|𝒕=𝟑=
𝟑𝟎 𝟑𝟐∗𝟑+𝟏
𝟏𝟓𝟐+ −𝟏𝟔 𝟗 −𝟑+𝟐𝟎𝟎 𝟐=
𝟐𝟗𝟏𝟎
𝟑𝟎𝟑𝟒
= 𝟎. 𝟗𝟓𝟗𝟏
𝒅𝜽
𝒅𝒕
|𝒕=𝟑 ≅0.96 rad/s
a). Use una función trigonométrica inversa
para expresar 𝜽 en términos de s.
a). Takajai makichik takatain trigometricajin
inversajin titatku Ɵ nunu nagkanbayi S.
tan
𝜽
𝟐
=
𝟏𝟓
𝒔
tan
𝜽
𝟐
=
𝟏𝟓
−𝟏𝟔𝒕2+𝒕+𝟐𝟎𝟎
𝜽
𝟐
=𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟏𝟓
−𝟏𝟔𝒕2+𝒕+𝟐𝟎𝟎
por lo tanto 𝜽 =2.𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟏𝟓
−𝟏𝟔𝒕2+𝒕+𝟐𝟎𝟎
13. c). ¿Cuál es el valor de θ cuando el clavadista golpea el
agua?
c). ¿Tuwa atsumnawa Ɵ nuintu anu tutpit ayain
antinaish anka yumi?
Cuando golpea el agua s=15 pies de altura,
-16t2-t+200=15, por formula cuadrática
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−𝟏𝟔𝒕2 + 𝒕 + 𝟐𝟎𝟎=15
T=
−𝟏± 𝟏𝟏𝟒𝟖𝟏
𝟑𝟐
{𝒕 = 𝟑. 𝟑𝟔𝟗𝟐 ≅ 𝟑. 𝟑𝟕
Por 𝒂
𝜽=𝟐𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟏𝟓
−𝟏𝟔𝒕𝟐−𝒕+𝟐𝟎𝟎
𝜽=𝟐𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟏𝟓
−𝟏𝟔(𝟑.𝟑𝟕)𝟐−(𝟑.𝟑𝟕)+𝟐𝟎𝟎
𝜽 = 𝟐 𝟒𝟓. 𝟏𝟓𝟑𝟗𝟔𝟒° ≅ 𝟗𝟎 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔
d). ¿Cuál es la razón de cambio de θ cuando el
clavadista golpea el agua?
d). ¿Tuita anentaish anu yapajinbaujish Ɵ nuintu anu
tutpit ayain anka yumin?
Por (b)
𝒅𝜽
𝒅𝒕
=
𝟑𝟎(𝟑𝟐𝒕 + 𝟏)
𝟏𝟓𝟐 + −𝟏𝟔𝒕𝟐 − 𝒕 + 𝟐𝟎𝟎 𝟐
𝒅𝜽
𝒅𝒕
|𝒕=𝟑.𝟑𝟕=
𝟑𝟎 𝟑𝟐 𝟑.𝟑𝟕 +𝟏
𝟏𝟓𝟐+ −𝟏𝟔 𝟑.𝟑𝟕 𝟐−𝟑.𝟑𝟕+𝟐𝟎𝟎
𝟐
≅ 𝟕. 𝟐𝟗 𝒓𝒂𝒅/𝒔
14. PREGUNTA 05
PROBLEMA 05
Una roca arrojada a un estanque tranquilo provoca una onda circular. Suponga que el radio de la onda se
expande a razón constante de 2 pies/s.
Iiniwau kampatum
Makichik kaya akagkebau anu makichik kucha agkantan yaiminkawai tente chichijam. Agkan aputtumainai
tutupit nuintu tente chichijam así achimain nunu anetai senchi 2 pies/s
a). ¿cuán rápido crece el diámetro de la onda circular?
a). ¿Wajupa waumkea tsakawa anu dekapamush nuintu tenta chichijam?
SOLUCIÓN
DATOS: Donde
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 2pie/s
D=2r
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= 2(2pie/s)
𝑑𝐷
𝑑𝑡
=
2𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= 4pie/s
15. b). ¿Cuán rápido crece la circunferencia de la onda circular?
b). ¿Wajupa waumkea senchish anu tenteji nuintu tente chichijam?
SOLUCIÓN
P=2𝜋𝑟
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 2𝜋
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 2𝜋(2pies/s)
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 8𝜋 pies/s
c). ¿Cuán rápido se expande el área de la onda circular cuando el radio es de 3 pies?
c). ¿Wajupa waumkea senchish nuna nugka nuintu tente chichijam wajuti anu tutupit nuintu 3 pies?
DATO:
r=3pies
SOLUCIÓN
A=𝜋𝑟2
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝜋𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝜋(3pies) (2pies/s)
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 6𝜋 pies/s
16. d). ¿Cuán rápido se expande el área de la onda circular cuando el área es 8𝝅 𝒑𝒊𝒆𝒔 𝟐.?
d). ¿Wajupa waumkea senchia ancha nugkesh nuintu tente chichijam wajuti nuna
nugkesh ajawa 8 π pies2?
SOLUCIÓN
Determinamos el radio de la onda circular:
A=𝜋𝑟2
r= 𝐴/𝜋 = (8𝜋𝑝𝑖𝑒𝑠2/𝜋) = 2 2 pies
AHORA DERIVAMOS:
ⅆ𝑨
𝒅𝒕
= 𝝅𝒓
ⅆ𝒓
ⅆ𝒕
ⅆ𝑨
𝒅𝒕
= 𝝅 𝟐 𝟐𝒑ⅈⅇ𝐬 (2pies/s)
ⅆ𝑨
𝒅𝒕
= 𝟒 𝟐𝒑ⅈ ⅇ 𝒔 ≈ 5,66
Razón de cambio de la rapidez con la que se expande la onda circular es de
5,66 pie
17. PREGUNTA 06
FLUJO VEHICULAR
El ministerio de transporte con el fin de determinar la variación de la velocidad
de flujo de vehículos que provenientes de Jaén a Bagua los días domingos entre
17:00 horas y las 22:00 horas, ha afectado mediciones que indican que la
velocidad del transito a la entrada de la capital en ese lapso esta dada
aproximadamente por la expresión:
Ministerio, egkemja weketai aina nuna diin, nunú diyawai wajupa atushat wakebaush ajawa
nunan, tuja apusamua nuil jaen wegamu Bagua nunu, weawai tawai tuke tumgtin jimag
uweja amua tikich dawe amua dawen jimag mai amua jimag ikak ni wekebawji, nunisag
mamiktau wajupa dukapek wee jegamush ajawai ju tsuwan nagkaemanui. Tuja yabai ju
utugchat apusamua nunui.
18. 1). ¿en que momento entre las 17:00 horas y las 22:00 horas el transito es más rápido y en
que momento es mas lento?
¿tú tsawantak tumush ajawa jún jimag uweja amua dawen makichik ijuk tikich jimag achik
nuigtu jimag uweja amua dawi jimag amua tikich uweja jimag ijuk dukapeanunui tsansito
shig dukap wekebau awani nuigtu tu tsawantak imani wekebaush awa?
a) 17:00 horas – 22:00 horas (0.5)
• V(0)=
1180
27
𝑘𝑚/ℎ ≈ 43.7 𝑘𝑚/ℎ
• v(5)=36.3km/h
Derivamos:
V’(t)=
80
9
𝑡2 − 5𝑡 + 4
V’(t)=0
(t-4)(t-1)=0
𝑡1 = 1ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑡2 = 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Existe un
máximo
Existe un
mínimo
• V’(0)=35.5>0
• V’(2)=-17.7<0
• V’(2)=-17.4<0
• V’(5)=35.5>0
∴ t=1hmáximo
t=4hmínimo
V(t)=
80
9
𝑡3 −
5
2
𝑡2 + 4𝑡 +
1180
27
𝑘𝑚 ∕ ℎ t=0 o las 17:00 horas
19.
20. PREGUNTA 07
Dos postes de 15 y 20 pies de altura, distan 21 pies entre si. El
extremo superior de cada uno está unido mediante un tirante a una
estaca situada en el suelo y en línea recta entre los postes. ¿En qué
lugar debe colocarse la estaca para que el tirante tenga longitud total
mínima?
A x E 21-x C
15’
B
y
z
D
Jimag numi ajamu awani dawen makichik amua nuigtu dawen
mai amua esanti awani, tuja yakinti apusanuani estaka nugka
nuigtu chujam ajamua numi nunui. ¿tú aekannuma
apumainaitai estakash esanti así sutajush ajamu wainkata
takuish?
21. 1. Designemos por L la longitud del tirante, y por x la distancia de la estaca al
poste mas pequeño.
2. En la figura se tiene: L=y+z, en el siguiente paso es expresar las variables y y z
en términos de la variable x, haciendo uso del teorema de Pitágoras, esto es:
3. En el Δ BAE: 𝑥2 + 152 = 𝑦2
y= 𝑥2 + 225
En el Δ ECD: 202
+ 21 − 𝑥 = 𝑧2
z= 𝑥2 − 42x + 841
Luego en la ecuación primaria se obtiene el modelo matemático:
L(x)= 𝑥2 + 225 + 𝑥2 − 42x + 841
22. 4. El dominio de la función es: 𝑥 ∈ 0,21
5. Localización de los números críticos
L’(x)=
𝑥
𝑥2+225
+
𝑥−21
𝑥2−42𝑥+841
Si L’(x)= 𝑥2(𝑥2-42x+841)=(21−x)
2
(𝑥2+225)
de donde: 𝑥2
+54x-567=0 ⇔ x=9 v x=-63∉ 0,21
Usaremos el método para hallar extremos en un intervalo cerrado, esto es, si x ∉ 0,21
y como x=9 es el único número crítico, entonces:
L(0)= 0 + 225 + 0 − 0 + 841 =44
L(9)= 81 + 225 + 81 − 378 + 841 =40.8 mínimo
L(21)= 441 + 225 + 441 − 882 + 841 =47.8
∴ Se concluye que el tirante debe fijarse a 9 pies del poste de 15’.
23. PREGUNTA 08
Hallar el área del mayor trapecio comprendido la curva
Y=4x-𝒙𝟐
y el eje X.
Jikmi júu nugka wajupa muntaita trapecio dekatasa antsajik tuninji
dekatasa. Jujú utugchat apusamua nunui.
i. Sea S el área del trapecio de bases B=4 y b, altura h=y.
ii. Entonces: 𝑠 =
1
2
4 + 𝑏 𝑦
iii. Como
𝑏
2
= 2 − 𝑥 ⇒ 𝑏 = 2 2 − 𝑥 𝑒 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2, la ecuación
primaria se convierten en el modelo matemático:
5 𝑥 =
1
2
4 + 4 − 2𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = 𝑓 − 8𝑥2 + 16𝑥 = 𝑥 𝑥 − 4 2
24. IV. Dominio admisible de la función; x∈ 0,2
V. Localización de los números críticos:
𝑠′
𝑥 = 3𝑥2
− 16𝑥 + 16, 𝑆′′
𝑥 = 6𝑥 − 16 si
𝑠′
𝑥 =0 ⇒ 3𝑥2
− 16𝑥 + 16=0
⇔ 𝑥 = 413 𝑣 𝑥 = 4 ∉ 0,2
Al ser x=4/3 el único numero crítico y S´´(4/3)<0, se trata,
en efecto, de un máximo global cuyo valor es:
𝑠 4 3 =
4
3
4
3
− 4
2
=
256
27
𝑢2
26. PREGUNTA 09
Un sólido de revolución se ha obtenido haciendo girar un rectángulo
alrededor del eje Y tal que su base está en el eje X, y todo el rectángulo está
contenido en la región comprendida entre la curva Y=
𝒙
𝒙𝟐+𝟏
, y el eje X, x>0.
Halle las dimensiones del rectángulo generador del sólido de volumen
Máximo.
Makichik solido nunui revolucionó wajawai tuja dismi wajupak tentebaush ajawaki
apamkush ejenum. Tuja júu apusamu eje x,y así tentea apusamuani nuigtu antugdaiwai
tunimtika apusamua nujai y=
𝒙
𝒙𝟐+𝒚
nuigtu eje x antsag x>0. Dekami wajupak atushtaji
nuigtu esantish ajawa nunú nuitu wajupa generosh wajake solido antsag volumen muún
ajamua dusha.
0
0.5
0 1 2 3 4
1/2
𝑥1 𝑥2
b
𝑦
27. 1. Sean b e y las dimensiones del rectángulo generador mostrado en la figura.
Si 𝑦 =
𝑥
𝑥2+1
⇒ 𝑦𝑥2 − 𝑥 + 𝑦 = 0
⇔ 𝑥 =
1± 1−4𝑦2
2𝑦
⇒ 𝑥1 =
1
2𝑦
−
1−4𝑦2
2𝑦
, 𝑥2 =
1
2𝑦
+
1−4𝑦2
2𝑦
Luego, b= 𝑥2- 𝑥1=
1−4𝑦2
𝑦
2. volumen del solido de resolución
V=𝜋 𝑥2
2
− 𝑥1
2
𝑦 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑎
3. De la identidad (a+b)
2
- (a−b)
2
=4ab, se sigue que:
𝑥2
2
− 𝑥1
2
− 4
1
2𝑦
1 − 4𝑦2
2𝑦
=
1 − 4𝑦2
𝑦2
28. 4. Dominio de la función V:(y>0)∧ (1 − 4𝑦2) ⇒y ∈<0, 1/2
5. Localización de los números críticos:
V’(y)=
𝜋(1−8𝑦2)
2𝑦 1−4𝑦2
Si V’(y)=0 ⇒1- 8𝑦2=0 ⇔ y= 2/4
En y ∈<0,0.35>, si y=1/4 ⇒ V’(1/4)=
(+)
(+)
= +creciente
En y ∈<0.35,1/2>, si y=2/5 ⇒ V’(2/5)=
(+)
(−)
= −𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
∴ el numero critico produce un máximo absoluto en la función V.
Luego, si b=
1−4𝑦2
𝑦
⇒
1−4(1/8)
2/4
=2
Obsérvese que el 𝑉𝑚á𝑥 = 𝜋 b ⇒ 𝑉𝑚á𝑥 = 2𝜋𝑢3
≈ 0.35 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜
29. PREGUNTA 10
Se va a construir un tanque de concreto para agua, con base cuadrada
y sin tapa. El tanque ha de tener una capacidad de 192 𝒎𝟑
. Si los
lados cuestan s/.4 por 𝒎𝟐 y la base cuesta s/.3𝐩𝐨𝐫 𝒎𝟐; cuales han de
ser las dimensiones para que el costo total sea mínimo. ¿Cuál es dicho
costo mínimo?
tuja tapagtuchu. Tuja tanque ajawai yumi aimkamua nunuka 192𝒎𝟑
. Tuja
ladujia duka akikjik ajawai s/.4 𝒎𝟐
tuja base akikjik ajawai s/.3 𝒎𝟐
. ¿Wajupak
ajawaki esanti yakintiji dusha nuigtu wagka tuja akike ashi ijumjamash pipich
tumainush awaki nunú. ¿Jiikmi akike pichichia nunú?
1. Sean x e y las dimensiones del tanque
El área de la base = 𝑥2, y el área lateral =4xy y si C es el costo total,
entonces:
2. C=3(área de la base)+4(área lateral)
⇒ 𝑐 = 3𝑥2
+ 16 × 𝑦 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑎
3. Dado que la capacidad del tanque es de 192 𝒎𝟑
.
Indica que: 192= 𝑥2
y ⇒
192
𝑥2
x
x
y
30. Sustituyendo en la ecuación primaria obtenemos el
modelo matemático buscado, esto es:
4. Ahora el objetivo es hallar el mínimo absoluto de C(x)
en el intervalo x>0.
5. Localización de los números críticos
𝑪′
𝒙 =6x-
𝟑𝟎𝟕𝟐
𝒙𝟐 =
𝟔(𝒙𝟑−𝟓𝟏𝟐)
𝐱𝟐 ;𝑪′′
𝒙 =6x+
𝟔𝟏𝟒𝟒
𝒙𝟑
Si 𝐶′ 𝑥 =0 ⇒ 𝑥3-512=0 ⇔x=8, único número crítico
Como 𝐶′′ 𝑥 > 0, ∀ x > 0, entonces x=8 corresponde en
realidad al mínimo absoluto de C(x) en el intervalo x>0.
𝐶′
𝑥 = 3𝑥2
+ 16
192
𝑥2
= 3𝑥2
+
3072
𝑥
Luego, si y=
192
82 =3, las dimensiones
del tanque son 8x8x3 𝒎𝟑 y su
costo mínimo es:
𝑐 = 3 8 2
+
3072
8
= s/.576
