Breve explicación del Sistema Masa Resorte Amortiguador.

1. SISTEMA MASA RESORTE AMORTIGUADOR
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2. Pre´ambulo
La rigidez de un resorte se modela como la relaci´on lineal entre la fuerza
aplicada para provocar en un bloque un desplazamiento, es decir, una
comprensi´on o tensi´on.
Tomando el caso en donde un resorte se comporta de manera lineal, el
estiramiento o compresi´on es proporcional a las fuerzas aplicadas, esta
relaci´on entre la fuerza y el desplazamiento se representa en las siguiente
ecuaci´on:
F = k ∗ x
Donde k es una constante.
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3. El amortiguador representa cierto tipo de fuerzas que, se experimentan
cuando se intenta empujar un objeto a trav´es de un fluido o mover el
objeto en contra de las fuerzas de fricci´on. Al suponer un comportamiento
ideal, la relaci´on de fuerza-desplazamiento se resume en la siguiente
ecuaci´on.
F = c ∗ v
Donde c es una constante, la constante de amortiguamiento; mientras m´as
grande sea el valor de c mayor es la fuerza de amortiguamiento para una
determinada velocidad.
Reescribiendo la ecuaci´on en forma diferencial se obtiene la siguiente
expresi´on:
F = c ∗
dx
dt
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4. El bloque funcional mec´anico de la masa representa la inercia en el sistema,
esto es, la resistencia del sistema a la aceleraci´on, mientras m´as grande sea
la masa, m´as dif´ıcil ser´a incrementar el cambio de la velocidad respecto al
tiempo y por consiguiente, la fuerza aplicada deber´a ser mayor. Por lo que:
F = m ∗ a
F = m
d2x
dt2
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5. Leyes que aplican en el sistema
Segunda Ley de Newton: La aceleraci´on de un objeto es directamente
proporcional a la fuerza neta que act´ua sobre ´el e inversamente
proporcional a su masa.
Ley de Hooke: Establece que el alargamiento de un muelle es
directamente proporcional al m´odulo de la fuerza que se le aplique,
siempre y cuando no se deforme permanentemente dicho muelle.
F = k ∗ (x − x0)
Si al aplicar la fuerza, deformamos permanentemente el muelle
decimos que hemos superado su l´ımite de elasticidad.
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6. Sistema Masa Resorte Amortiguador
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7. Al analizar la figura, por medio del diagrama de cuerpo libre y de acuerdo
a la direcci´on de las fuerzas en el eje de las abscisas, se llega a la siguiente
ecuaci´on que es una expresi´on de la segunda ley de Newton:
ΣFx = m ∗ a
Sustituyendo las expresiones se obtiene:
ΣFx = F − Fk − Fb
Donde F, Fk y Fb representan la fuerza aplicada a la masa, la fuerza de
reacci´on del resorte y la fuerza de reacci´on del amortiguador
respectivamente.
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8. Al aplicarse estas fuerzas a la masa, esta se acelera:
ΣFx = F − Fk − Fb = m ∗ a
Sustituyendo por las ecuaciones del amortiguador y el resorte, se observa
la siguiente expresi´on:
ΣFx = F − k ∗ x − c ∗ v
Si esta ecuaci´on la expresamos en t´erminos diferenciales respecto al
tiempo, obtenemos la ecuaci´on:
F − k ∗ x − c ∗
dx
dt
= m ∗
d2x
dt2
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9. Despejando los t´erminos de x llegamos a nuestra relaci´on diferencial de la
siguiente forma:
F = m ∗
d2x
dt2
+ c ∗
dx
dt
+ k ∗ x
Esta ecuaci´on diferencial expresa la relaci´on entra la fuerza F de entrada
al sistema y el desplazamiento x de salida.
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10. Esta ecuaci´on tambi´en puede observarse de la siguiente forma:
F = m
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ ky
Tenemos una ecuaci´on diferencial homog´enea de segundo orden, por esto
´ultimo, se tendr´an 2 condiciones iniciales, la primera referente a la posici´on
de la masa x(0) y la segunda a su velocidad x (0).
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11. De acuerdo a la ecuaci´on que modela el sistema masa resorte
amortiguador, se proponen los siguientes valores para m = 1, b = 11,
k = 24 y las condiciones iniciales x(0) = 1 e x (0) = 0, y se procede a
resolver por Laplace, por lo que tenemos:
L x = s2
X(s) − sx(0) − x (0) → s2
X(s) − s
11L x = sX(s) − x(0) → 11sX(s) − 11
24L y = 24X(s)
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12. s2X(s) − s + 11sX(s) − 11 + 24X(s)
X(s)(s2 + 11s + 24) = s + 11
X(s) = s+11
s2+11s+24
s+11
(s+3)(s+8) = A
s+3 + B
s+8
s+11
(s+3)(s+8) = A(s+8)+B(s+3)
(s+3)(s+8)
s + 11 = As + 8A + Bs + 3B
11 = 8A + 3B
1 = A + B
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13. ∆s =
1 1
8 3
= 3 − 8 = −5
∆A =
1 1
11 3
= 3 − 11 = −8, A = −8
−5, A = 8
5
∆B =
1 1
8 11
= 11 − 8 = 3, B = −3
5
X(s) = 8
5
1
s+3 − 3
5
1
s+8
L −
y(t) =
8
5
e−3t
−
3
5
e−8t
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14. Gr´afica de la masa
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15. Gr´afica de polos y ceros
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16. Referencias
http://www.fatela.com.ar/trabajo final svga/5pag3.htm
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/newt.html
https://sites.google.com/site/timesolar/fuerza/segundaleydenewton
https://sites.google.com/site/timesolar/fuerza/terceraleydenewton
https://www.fisicalab.com/apartado/ley-hooke#contenidos
http://cdigital.uv.mx/bitstream/123456789/32762/1/ramirezmarcosalan.pdf
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