Vibraciones mecánicas: principios básicos de oscilaciones libres

Capítulo II
VIBRACIONES Mecánicas

Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García
64
2.1 INTRODUCCIÓN
Las vibraciones mecánicas se refieren a la oscilación de un cuerpo o un sistema
mecánico alrededor de su posición de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables,
como por ejemplo el movimiento pendular que controla el movimiento de un reloj, o
la vibración de una cuerda de un instrumento musical. En cambio en muchas
aplicaciones mecánicas no se desea la presencia de las vibraciones. Así por ejemplo la
vibración excesiva de máquinas y estructuras puede ocasionar que se aflojen las
uniones y las conexiones llegando en algunos casos a producir el colapso de la
estructura.
El estudio de las vibraciones es muy amplio de tal manera que existe un conjunto de
publicaciones e investigaciones destinados al tema. Nuestra intención en este trabajo
es presentar los principios básicos de las vibraciones que deben ser entendidos por los
alumnos de ciencias e ingeniería y que sirven de base para el estudio de otros cursos
de su especialidad. En este sentido solo estudiaremos las vibraciones con un solo
grado de libertad, es decir aquel movimiento en el cual la posición se puede expresar
con una sola coordenada por ejemplo x, o y en la figura 2.1a, o 2.1b y por θ en el
movimiento pendular figura 2.1c.
(a) (b) (c)
Figura 2.1. Vibraciones mecánicas con una sólo grado de libertad.
Las dos componentes básicas en toda vibración son la masa y la fuerza recuperadora.
Esta última que con frecuencia es proporcionada por un mecanismo elástico, tiende a
regresar a la masa a su posición de equilibrio cuando ella es separada de dicha
posición y liberada. En forma general las vibraciones se clasifican en vibraciones
libres y vibraciones forzadas. Las primeras son originadas y mantenidas por fuerzas
elásticas o las gravitatorias y las segundas son producidas por fuerzas periódicas
aplicadas exteriormente.
Las vibraciones libres y forzadas se dividen a su vez en amortiguadas y sin
amortiguamiento. Cuando las fuerzas que se oponen a la fuerza recuperadora son
despreciables se dice que la vibración es sin amortiguamiento. Cuando las fuerzas
como el rozamiento del tipo viscoso no es despreciable se denominan vibración con
amortiguamiento
Es sabido que en todo sistema real está presente las fuerzas disipativas como el
rozamiento que tiende a extinguir la vibración. Sin embargo, en muchos sistemas la
pérdida de energía debido al rozamiento es tan pequeña que a menudo pueden ser
despreciables resultando entonces una vibración libre.

65
2.2 VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE UNA PARTÍCULA.
Consideremos una partícula de masa sujeta a un resorte ideal de rigidez k tal como se
muestra en la figura 2.2. Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibración es de
un solo grado de libertad. Cuando m está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan
sobre ella son el peso, W = mg y la fuerza elástica st
e k
F 
 . Si se aplica las
ecuaciones de equilibrio al DCL, se tiene
0

 x
F
0

 st
k
mg  (2.1)
Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm menor que δst desde la posición de
equilibrio y se suelta sin velocidad inicial la partícula se moverá hacia arriba y hacia
abajo alrededor de la posición de equilibrio generando de esta forma una vibración
libre.
Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la vibración consideremos a la
partícula en una posición arbitraria x medida a partir de la posición de equilibrio como
se muestra en la figura 2.2b,
Figura 2.2. Diagrama de cuerpo libre de m: (a) en equilibrio estático y (b) en
movimiento.
Del diagrama de cuerpo libre y cinético se observa que la ecuación de movimiento de
la masa es
  x
x ma
F
  x
m
x
k
mg st 



  (2.2)
Al remplazar la ecuación (1) en (2), resulta

66
0

 kx
x
m
 (2.3)*
El movimiento definido por la ecuación (3)* se conoce como movimiento armónico
simple y se caracteriza por que la aceleración es proporcional y de sentido opuesto al
desplazamiento. También se puede escribir en la forma
0

 x
x n


 (2.4)
En donde ωn se denomina frecuencia natural circular o pulsación natural, y se expresa
m
k
n 
 (2.5)
La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes
constantes dada por la ecuación (2.4) es de la forma
   
t
B
t
Asen
x n
n 
 cos

 (2.6)
Donde A y B son constantes que se determinan de las condiciones iníciales.
A veces es más conveniente escribir la ecuación (2.6) en una forma alternativa dada
por
 

 
 t
sen
x
x n
m (2.7)
La velocidad y la aceleración están dadas por
 


 

 t
x
x
v n
n
m cos
 (2.8)
 


 


 t
sen
x
x
a n
n
m
2

 (2.9)
La gráfica de la posición x en función del tiempo t muestra que la masa m oscila
alrededor de su posición de equilibrio. La cantidad xm se le denomina amplitud de la
vibración, y el ángulo φ se denomina ángulo de fase. Como se muestra en la figura
2.3, τ es el período de la vibración, es decir el tiempo que tarda un ciclo.
2
2
n
m
k

 

  (2.10)
La frecuencia natural de vibración que representa el número de ciclos descritos por
unidad de tiempo está dada por
1 1
2
k
f
m
 
  (2.11)

67
Figura 2.3. Gráfica desplazamiento en función del tiempo para una
oscilación libre
2.2.1 Péndulo simple.
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida de un
punto fijo por medio de una cuerda de longitud l y de masa despreciable (figura
2.4). Si la partícula se desplaza un ángulo θ0 de su posición de equilibrio y
luego se suelta, el péndulo oscilará simétricamente respecto a su posición de
equilibrio.
Fígura 2.4. Péndulo simple: (a) Instalación y (b) Diagrama de cuerpo libre.
Aplicando las ecuaciones de movimiento al DCL de la masa m resulta.
t
t ma
F 


 

ml
mgsen 

0

 
 sen
l
g

 (2.12)
Para ángulos pequeños, 
 
sen , donde θ se expresa en radianes. Entonces la
ecuación (12), se escribe en la forma
0

 

l
g

 (2.13)

68
Por tanto, el péndulo describe un movimiento armónico simple de frecuencia
circular dada por
l
g
n 
 (2.14)
El período de la vibración pendular se expresa en la forma
g
l

 2
 (2.15)
2.2.2 Péndulo compuesto.
Un péndulo compuesto es un cuerpo de dimensiones finitas que oscila
alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por un punto del cuerpo debido a la
acción de la fuerza gravitacional (peso). El cuerpo rígido oscilará en un plano
vertical cuando se le separe de su posición de equilibrio un ángulo θ0 y se
suelte. Para determinar las ecuaciones que gobiernan a este movimiento
consideremos un cuerpo de forma arbitraria tal como se muestra en la figura
2.5 en donde ZZ’ es un eje horizontal y C es su centro de masa situado a una
distancia b del punto de oscilación O.
Figura 2.5. Diagrama esquemático de un péndulo físico
Para una posición angular θ, respecto a la vertical las fuerzas que actúan sobre
el sólido son su peso mg y la reacción en el punto de oscilación. Aplicando las
ecuaciones de movimiento al diagrama se encuentra
O
M I 



 

O
I
mgbsen 
 (2.16)
Donde IO es el momento de inercia del cuerpo con respecto al punto O y es la
aceleración angular, el signo menos se debe a que el peso produce un momento
de restitución. Para ángulos pequeños, 
 
sen , entonces la ecuación (16) se
escribe
0

 
 mgb
IO

 (2.17)

69
La ecuación (2.17) es la ecuación diferencial de un MAS y la solución de la
ecuación diferencial es de la forma
 



 
 t
sen n
0 (2.18)
Por tanto, el péndulo describe un movimiento armónico simple de frecuencia
circular dada por
O
n
I
mgb

 (2.19)
mgb
IO

 2
 (2.20)
Por otro lado el momento de inercia con respecto al punto de oscilación se
puede expresar utilizando el teorema de los ejes paralelos en función del
momento de inercia con respecto al centro de masa, esto es
2
mb
I
I C
O 
 (2.21)
Teniendo en cuanta la definición de radio de giro, m
I
K O
C /
 , la ecuación
anterior se puede escribir
2
2
mb
mK
I C
O 
 (2.22)
Al remplazar la ecuación (2.22) en la ecuación (2.20) se obtiene
mgb
mb
mKC
2
2
2

 

gb
b
KC
2
2
2

 
 (2.23)*
Esta ecuación es muy importante porque nos permite determinar en el
laboratorio la aceleración de la gravedad y el radio de giro del péndulo físico.
2.2.3 Péndulo de torsión.
Este péndulo está constituido por un cuerpo rígido soportado por un eje en la
forma indicada en la figura 2.6. Si el ángulo de torsión es pequeño y el sistema
inicia su movimiento desde el reposo, los esfuerzos desarrollados en el eje
producen y mantienen un movimiento angular armónico simple. Suponga que

70
el movimiento vibratorio del cuerpo B se iniciara induciendo en el péndulo el
ángulo de torsión θ, pequeño y liberándolo a continuación.
Figura 2.6. Representación de un péndulo de torsión
En la mecánica de materiales se demuestra que si no se excede el límite de
proporcionalidad del material de un eje macizo circular, el momento de torsión
que se aplica al eje es proporcional al ángulo de torsión y se determina
mediante la ecuación.


 k
L
G
r
L
G
I
M P



2
2
(2.24)
Donde IP = πr4
/2, es el momento polar de inercia del área de la sección
transversal del eje macizo, G es el módulo de rigidez del material, L es la
longitud del eje y θ es ángulo de torsión.
La ecuación que describe el movimiento de éste péndulo es




Z
z
z
I
M
I
M




Al remplazar el valor del momento de torsión en esta ecuación, resulta

 

Z
I
k 

0

 
 k
IZ

 (2.25)
La ecuación (2.25) indica que el movimiento es angular y armónico con una
frecuencia circular natural dada por
Z
Z
n
LI
G
r
I
k
2
4

 
 (2.26)
G
r
LIZ
4
2
2


  (2.27)

71
Solución
En la figura (a) se muestra el DCL de la charola en posición de equilibrio y en (b)
el DCL de la charola A para una posición fuera del equilibrio.
(a) (b)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio a (a), se tiene
 
0 0
y B C D s
F mg k k k 
     
 (1)
Aplicando las ecuaciones de movimiento a (b) resulta
 ( )
y y B C D s
F ma mg k k k y my

       
  (2)
Remplazando la ecuación (1) en la ecuación (2), obtenemos
  0
B C D
my k k k y
   
 (3)
La ecuación (c) es la ecuación diferencial de un M.A.S con frecuencia circular
B C D
k k k
m

 
 (4)
El período de vibración será
1
2 B C D
m
T
k k k


 
(5)
Ejemplo 2.1. Una charola A está unida a tres
resortes como se muestra en la figura. El período de
vibración de la charola vacía es de 0,75 s. Después
de que el resorte central C se ha suprimido se
observa que el período es de 0,9 s. Si se sabe que la
constante del resorte central es 100 N/m. Determine
la masa m de la charla.

72
Remplazando el valor de kC se tiene
1
1
2 100 /
B D
m
T
k N m k


 
(6)
Cuando no existe el resorte C, el período es
2
1
2 B D
m
T
k k



(7)
Dividiendo las ecuaciones (5) y (6) resulta
2
1
100 /
100 /
0,9
0,75
227,27 /
B D
B D
B D
B D
B D
T k N m k
T k k
k k N m
k k
k k N m
 


 


 
Remplazando esta última expresión en la ecuación
1
0,9
2 227,27
4,66 kg Rta
m
m



Solución
En la figura (a) se muestra el DCL de la barra en posición de equilibrio y en (b) el
DCL de la barra para una posición (θ) fuera del equilibrio.
(a) (b)
Ejemplo 2.1. Una barra de 0,8 m de longitud y 60
N de peso se mantiene en posición vertical
mediante dos muelles idénticos cada uno de los
cuales tiene una constante k igual a 50 000 N/m.
¿Qué fuerza vertical P hará que la frecuencia
natural de la barra alrededor de A se aproxime a un
valor nulo para pequeñas oscilaciones.

73
Aplicando la segunda condición de equilibrio se tiene
   
2 2 1 1
0 0,2 0,8 0
A
M k k
 
    
 (1)
Aplicando la segunda ley de newton para el movimiento de rotación de la varilla
A A
M I 


         
2 2 2 1 1 1
0,2cos 0,8cos 0,4 0,8 A
k x k x W sen P sen I
      
       (2)
Para ángulos pequeños cos 1 y sen
  
  , entonces la ecuación (2) se escribe
         
2 2 2 1 1 1
0,2 0,8 0,4 0,8 A
k x k x W P I
    
       (3)
Remplazando la ecuación (1) en (2), resulta
         
2 2 1 1
0,2 0,8 0,4 0,8 A
k x k x W P I
  
     
         
2 1
0,2 0,2 0,8 0,8 0,4 0,8 A
k k W P I
    
     
Teniendo en cuenta que 2
1 2 A
1
y I
2
k k k ml
   , resulta
        2
1
0,04 0,64 0,4 0,8
3
k k W P ml
    
    
 
2
1
0,68 0,4 0,8 0
3
ml k W P
 
   

Remplazando valores se tiene
     
 
2
1 60
0,8 0,68 5000 0,4 60 0,8 0
3 9,8
1,306 3376 0,8 0
P
P
 
 
 
   
 
   
 
  


La frecuencia circular será
3376
1,306
n
P



Para que la frecuencia sea cero se tiene
3376
P N
 Rta.

74
Solución
En la figura (a) se muestra el DCL del cilindro en la posición (xG) fuera del equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la figura para una posición de
equilibrio estático se tiene
   
,
,0
,0
( ) 0
14 0 (1)
(0) 0
0 (2)
x G x
roz e
G G G
roz e
F ma m o
mgsen F F
M I I
F r F r

  
  
  
 


Sumando las ecuaciones (1) y (2), resulta
,0
14 2 0
14 2 0 (3)
e
s
mgsen F
mgsen k
 
 
La ecuación de movimiento de traslación en la dirección x, nos da
 
,
14
15 (4)
x G x
roz e G
roz s G G
F ma
mgsen F F mx
mgsen F k x mx


  
   



Ejemplo 2.3. Un cilindro uniforme de 7 kg puede
rodar sin deslizarse por un plano inclinado y está
sujeto por un muelle como se muestra. Si su
centro se mueve 10 mm plano abajo y se suelta,
hallar: (a) el período de la oscilación y (b) la
velocidad máxima del centro del cilindro.

75
La ecuación de movimiento de rotación nos da
   
    
 
2
1
2
1
(5)
2
G G
roz e G
roz s G G
roz s G
M I
F r F r I
F r k x r I mr
F k x mr


  
 

 
   
  


 

 
1
14 2 (6)
2
s G G
mgsen k x mx mr
 
    

Remplazando 83) en (6), se tiene
1
2 0 (7)
2
G G
mx mr kx

  


La relación entre la aceleración lineal y angular se obtiene tomando como centro
instantáneo el punto CI de la figura.
G
x
(8)
G
G
G
r
x r
x
x r
r


 


  



 

Remplazando (8) en (7) y simplificando resulta
   
3
2 0
2
3
7 2 790 0
2
150, 48 0
G G
G G
G G
mx kx
x x
x x
 
 
 



El periodo se determina a partir de la frecuencia circular
2 2 2
150,48
0,51 s Rta
n
n
T
T
T
  


   

Para determinar la velocidad máxima se aplica las condiciones iníciales.
   
   
3 3
G
x 50.10 12,3(0) 50.10
cos 0 12,3 cos 12,3 0 0 12,3cos
y A= 50 mm
2
n
G n
Asen t Asen Asen
x A t A
   
    


 
      
      
 
 
 

La velocidad para cualquier posición es
 
0,62 12,3 / 2
G
v x sen t 
  

La velocidad máxima será
max 0,62 m/s Rta
v 

76
2.3 VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS.
En análisis vibratorio considerado hasta ahora no ha incluido el efecto de la fricción o
el amortiguamiento del sistema y como resultado de ello, las soluciones obtenidas son
solo una aproximación cercana al movimiento real. Debido a que todas las vibraciones
se disipan con el tiempo, la presencia de fuerzas amortiguadoras debe incluirse en el
análisis.
Se dice que un sistema tiene amortiguamiento cuando posee elementos que disipan
energía. Existen varios tipos de amortiguamiento: amortiguamiento viscoso, lo
experimentan los cuerpos que se mueven con una velocidad moderada en el interior de
fluidos; amortiguamiento de Coulomb, producido por el movimiento relativo de
superficies secas; y el amortiguamiento estructural, es producido por la fricción
interna del material elástico. En esta sección nos dedicaremos únicamente al estudio
del amortiguamiento viscoso.
2.3.1 Amortiguador viscoso lineal.
Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma natural cuando sistemas
mecánicos oscilan en el interior de un medio fluido. También aparece en
sistemas mecánicos utilizados para regular la vibración. Una forma de
representarlo es la mostrada en la figura 2.7. Este tipo de amortiguador está
formado por un pistón el cual se mueve en el interior de un cilindro el cual
contiene un fluido viscoso como el aceite. Al moverse el émbolo se opone el
fluido el cual debe atravesar pequeños orificios practicados en el émbolo.
Figura 2.7. Representación de un amortiguador
Para nuestro estudio vamos a utilizar los amortiguadores lineales, en este caso
la fuerza de fricción debido al amortiguamiento es directamente proporcional a
la velocidad lineal siendo la constante de proporcionalidad el llamado
coeficiente de amortiguamiento (c). Esta fuerza se expresa
x
c
FV 
 (2.28)
2.3.2 Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso.
Para determinar las ecuaciones que gobiernan a este movimiento consideremos
un sistema masa, resorte y amortiguador como el mostrado en la figura 2.8.

77
Figura 2.8. Diagrama de cuerpo libre de una partícula de masa m con
amortiguamiento
Aplicando la segunda ley de Newton al bloque se tiene
  x
m
FX 

  x
m
x
c
x
k
mg st 

 


  (2.29)
Recordando que en el caso de equilibrio estático, st
k
mg 
 , la ecuación
anterior se escribe
0


 k
x
c
x
m 

 (2.30)*
La ecuación (2.30)* es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden
con coeficientes constantes. La teoría de las ecuaciones diferenciales nos dice
que la solución es de la forma
t
Ae
x 
 (2.31)
Remplazando la ecuación (2.31) conjuntamente con sus derivadas en la
ecuación (2.30) se obtiene la ecuación característica expresada por
0
2


 k
c
m 
 (2.32)
cuyas raíces son
m
mk
c
c
2
4
2
2
,
1




 (2.33)

78
La solución general de la ecuación se escribe
t
t
Ce
Be
x 2
1 


 (2.34)
Las constantes B y C se determinan a partir de las condiciones iníciales,
mientras que λ1 y λ2 se determinan de la ecuación característica. Debe
observarse además que el comportamiento del sistema depende de la cantidad
subradical, ésta puede ser positiva, nula o negativa.
Coeficiente de amortiguamiento crítico ccr. Es el valor del coeficiente de
amortiguamiento para el cual se hace cero la cantidad subradical de la ecuación
(2.33), en consecuencia
n
cr m
m
k
m
c 
2
2 
 (2.35)
El coeficiente de amortiguamiento crítico representa la cantidad mínima de
amortiguamiento requerida para que el movimiento no sea vibratorio.
La solución de la ecuación diferencial (2.30) tiene tres formas.
A. Movimiento sobre amortiguado. En este caso c > ccr, entonces las dos
raíces de la ecuación característica son reales y diferentes. Por tanto la
solución puede escribirse
t
t
Be
Ae
x 2
1 


 (2.36)
B. Movimiento críticamente amortiguado. Aquí c = ccr, en este caso las
dos raíces son iguales. La solución general será
  t
n
e
Bt
A
x 

 (2.37)
C) Movimiento subamortiguado. Las raíces de la ecuación (33) son
complejas y conjugadas.
d
i
m
c
m
k
i
m
c


 












2
2
,
1
2
2
(2.38)
Donde α =c/2m y ωd es la frecuencia circular amortiguada dada por
2
2








m
c
m
k
d
 (2.39)
El período de la vibración amortiguada será
2
2
2
2









m
c
m
k
d
d




(2.40)

79
Remplazando la ecuación (2.38) en (2.31) resulta
 




 
t
Sen
e
x
x d
t
0 (2.41)
El movimiento de la ecuación (2.41) se dice que es periódico en el
tiempo de amplitud decreciente tal como se muestra en la figura 2.9. En
donde se observa que el “período” es el tiempo entre dos valles o picos
Figura 2.9. Representación de la posición en función del tiempo para un
movimiento subamortiguado
Decremento logarítmico. Es una cantidad que nos permite medir la velocidad
de decaimiento de una oscilación, se expresa como el logaritmo de la razón
entre cualquier par de amplitudes sucesivas positivas (o negativas). Esto es
1
0
1
t
e
x
x 

 (2.42)
y la amplitud siguiente es
)
1
(
0
2
d
t
e
x
x

 

 (2.43)
la razón entre las dos amplitudes es
 
d
d
e
e
x
e
x
x
x
t
t





 


1
1
0
0
2
1
(2.44)
Por lo tanto el decremento logarítmico será
 
d
e
x
x 
 ln
ln
1
1



80
m
c d
d
2


 
 (2.45)
Razón de amortiguamiento. También conocido como factor de
amortiguamiento, es una cantidad definida como la razón entre el coeficiente
de amortiguamiento (c) y el coeficiente de amortiguamiento cítrico (ccr), esto
es
n
cr m
cc
mk
c
c
c


2
2


 (2.46)*
En función de esta cantidad se pueden obtener las siguientes relaciones
1
2
2
,
1 


 


 n
n i (2.47)
En función de la razón de amortiguamiento se puede decir que un movimiento
es sobre amortiguado si (ξ > 1), es críticamente amortiguado si (ξ =0) y
subamortiguado sí (ξ < 1).
Para el caso de un movimiento subamortiguado, la pulsación propia
amortiguada, el período amortiguado y el decremento logarítmico se escriben
en la forma.
2
1 

 
 n
d (2.48)
2
1
2






n
d (2.49)
2
1
2




 (2.50)

81
Solución
En la figura (a) se muestra el DCL del cuerpo en la posición de equilibrio estático y en (b)
el DCL del cuerpo para una posición (y) fuera del equilibrio.
(a) (b)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al diagrama A, se tiene
,
1 2 3
( ) 0
0 (1)
y G y
s s s
F ma m o
mg k k k
  
   
   

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento del bloque resulta
    
,
1 2 3 1 2 3 (2)
y G y
s
F ma
mg k k k y y my
   
 
       

 
Remplazando la ecuación (1 en (2) resulta.
   
1 2 3 1 2 3
my+ 0
y k k k y
  
     
 
Al sustituir los valores dados en el problema se tiene
12 3 420 0 (3)
y y y
  
 
La solución de la ecuación diferencial es de la forma
2
y D
D
t
t
t
e
y De
y e










Ejemplo 2.4. El cuerpo M de 12 kg mostrado en la
figura es sustentado por tres resortes y tres
amortiguadores viscosos como se muestra en la figura. Si
k1 = k2 = 150 N/m; k3= 120 N/m; β1 = β2 = 0,8 N.s/m y
β3=1,4 N.s/m y para iniciar el movimiento se desplaza al
cuerpo 100 mm hacia abajo y se suelta desde el reposos.
Determine: (a) La ecuación diferencial que describe el
movimiento, (b) la frecuencia (si existe) y (c) el
decremento logarítmico.

82
Remplazando estas cantidades en la ecuación (3) nos permite obtener la ecuación
característica, dada por
 
2
2
D 12 3 420 0
12 3 420 0 (4)
t
e
 
 
  
  
La solución de la ecuación (4) nos da
 
1,2
1,2
0,125 5,9 (5)
d
i
i

  
  
  
La ecuación (5) indica que el movimiento es subamortiguado por tanto existe una
“frecuencia amortiguada”.
2 5,9
0,94 hertz Rta.
d f
f
 
 

Como el movimiento es subamortiguado la solución de la ecuación diferencial (3) es de la
forma
 
0,125
5,9 (6)
t
y Ae sen t 

 
La velocidad es
   
0,125
[5,9cos 5,9 0,125 5,9 ] (7)
t
y Ae t sen t
 

   

Remplazando las condiciones iniciales en las ecuaciones (6) y (7) resulta
0,1
0 [5,9cos 0,125 ]
Asen
A sen

 

 
Los valores de A y φ son
0,1 m
=89°
A


La posición en cualquier tiempo será
 
0,125
0,1 5,9 89
t
y e sen t

  
El decremento logarítmico es
0,125
0,125(
0,1
ln
0,1
1 1
0,125 0,125 0,125
0,94
0,133 Rta
d
t
t T
d
e
e
T
f




 
 
  
 
   
  
   
 
 


83
Solución
En la figura (a) se muestra el DCL del cuerpo en la posición de equilibrio estático y en (b) el
DCL del cuerpo para una posición (y) fuera del equilibrio.
Aplicando la segunda condición de equilibrio a la figura (a) resulta
   
0
1,125 1,25 0 (1)
B
s
M
mg k

 

Aplicando la ecuación de movimiento de rotación se tiene
      
1,125cos 1,25cos 1,85cos (2)
B B
s e B
M I
mg k x cv I

    

   
 

Para ángulos pequeños senθ≈ θ y cosθ=1, entonces se tiene
      
1,125 1,25 1,85 (3)
s e B
mg k x cv I
 
    
Remplazando la ecuación (1) en (3) resulta
    
    
1,25 1,85
1,85 1,25 (4)
e v B
B v e
k x cx I
I cx k x


  
  


 
De la figura (b) se tiene que
e
v
x 1,25 (5)
x 1,85 (6)




Ejemplo 2.5. Se muestra una barra de 2,25 m de
longitud y 200 N de peso en la posición de
equilibrio estático y soportada por un muelle de
rigidez k =14 N/mm. La barra está conectada a un
amortiguador con un coeficiente de
amortiguamiento c = 69 N.s/m. Determine: (a) La
ecuación diferencial para el movimiento angular
de la barra, (b) el tipo de movimiento resultante,
(c) el período y la frecuencia del movimiento (si
procede) y (d) la razón de amortiguamiento.
mg
1,125 m
Bx
1,25 m
KδS By
mg Ax
FV=cv By
k(δS + xe)

84
Remplazando (5) y (6) en (4) se obtiene
     
2
1
1,85 1,85 1,25 1,25 = (7)
3
ml c k
   
  
 
Remplazando los datos del enunciado y simplificando se tiene
34,4 236,2 21875 0 (8)
  
  
 
La frecuencia circular natural es
n
21875
25,22 rad/s
34,4
  
La razón de amortiguamiento se determina a partir de
  
236,2
2 2 34,4 25,22
0,136 Rta,
eff
eff n
c
m



 

La ecuación anterior nos indica que el movimiento es subamortiguado por tanto existe la
frecuencia y el período amortiguados
 
2
1,2
1,2
34,4 256,2 21875 0
3,43 24,98
d
i
i
 

  
  
  
  
La frecuencia amortiguada es
24,98 / 2 2 /
3,97
0,25 s
d d
d
rad s f T
f s
T
  
  


Ejemplo 2.6. Un cilindro uniforme que pesa 35
N, rueda sin deslizar por una superficie horizontal
como se muestra en la figura. El resorte y e
amortiguador están conectados a un pequeño
pasador exento de fricción situado en el centro G
del cilindro de 20 cm de diámetro. Determine: (a)
La ecuación diferencial del movimiento; (b) La
razón de amortiguamiento; (c) El tipo de
movimiento.

85
Solución
En la figura se muestra el DCL del cilindro para una posición arbitraria cualquiera respecto
a la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento de traslación, se tiene
(1)
x G
G roz v G
G roz G G
F mx
kx F F mx
kx F cx mx
 
   
   


 
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotación, se tiene
  2
1
2
1
(2)
2
G G
roz
roz
M I
F r mr
F mr



 





Remplazando (2) en (1), y teniendo en cuenta que obtenemos
1 1
(3)
2 2
G
G G G G G
x
kx cx mr kx cx mr mx
r

 
       
 
 


  
3
0
2
3 35
33,3 120 0
2 9.8
5,36 33,3 120 0 Rta
G G G
G G G
G G G
mx cx kx
x x x
x x x
  
 
  
 
 
  
 
 
 
Parte (b) Cálculo de la razón de amortiguamiento
  
33.3
2 2 5,36 120/5,36
0,656 Rta
eff
eff n
c
m



 

Parte (c). Tipo de movimiento. Como ξ < 1; el movimiento es subamortiguado
mg
Fe = k xG FV = c v
Froz
NC

86
2.4 VIBRACIONES FORZADAS.
2.4.1 Vibraciones forzadas sin amortiguamiento.
Uno de los movimientos más importantes en el trabajo ingenieril es las
vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Los principios que describen este
movimiento pueden aplicarse al estudio de las fuerzas que originan la
vibración en varios tipos de máquinas y estructuras.
Fuerza armónica de excitación. El sistema mostrado en a figura 2.10,
proporciona un modelo de un sistema masa resorte sometido a una fuerza de
carácter armónico dada por F = F0 sen(ωt), donde F0 es la amplitud de la
vibración armónica y ω es a frecuencia de la vibración armónica.
(a) (b)
Figura 2.10. (a) Bloque sometido a una fuerza periódica externa, (b) DCL y
cinético.
Aplicando las ecuaciones de movimiento según el eje x, resulta
x
m
kx
t
sen
F
ma
F x
x







0
t
sen
F
kx
x
m 
0



 (2.51)*
La ecuación (2.51)* es una ecuación diferencial de segundo orden no
homogénea con coeficientes constantes. Su solución está compuesta por: i) una
solución complementaria; y ii) una solución particular.
La solución complementaria se determina haciendo igual a cero el segundo
término de la ecuación (2.51)*, y resolviendo la ecuación homogénea, es decir
0

 kx
x
m

La solución de esta ecuación es de la forma
)
( 
 
 t
sen
x
x n
m (2.52)
Como el movimiento es periódico la solución particular es de la forma
t
Bsen
xP 
 (2.53)

87
Determinando la segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuación (2.53)
y remplazando en la ecuación (2.51) da por resultado
  t
sen
F
t
bsen
k
t
sen
Bm 


 0
2



Despejando el valor de la constante B resulta
2
0
2
0
)
(
1
/
/
n
k
F
m
k
m
F
B


 


 (2.54)
Remplazando la ecuación (2.54) en (2.53), resulta
t
sen
k
F
x
n
P 


2
0
1
/









 (2.55)
La solución general será
  t
sen
k
F
t
Asen
x
x
x
n
n
P
C 



 2
0
1
/













 (2.56)
De la ecuación (2.56) se observa que la oscilación total está compuesta por dos
tipos de movimiento. Una vibración libre de frecuencia ωn figura 2.11a, y una
vibración forzada causada por la fuerza exterior figura 2.11b. De esto se observa
que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o particular
como lo muestra la figura 2.11c.
(a) (b) (c)
Figura 2.11. (a) vibración libre, (b) vibración permanente y (c)
Superposición de ambas.
En la ecuación (2.55) se observa que la amplitud de la vibración particular
depende de la razón entre las frecuencias forzada y natural. Se define como
factor de amplificación al cociente entre la amplitud de la vibración estable y
la deflexión estática.

88
2
0
max
1
1
/
)
(











n
P
k
F
x
MF


(2.57)
De esta ecuación puede observarse que aparece la resonancia cuando las dos
frecuencias son aproximadamente iguales esto es . El fenómeno de
resonancia no es deseable en las vibraciones de elementos estructurales porque
producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la estructura.
Desplazamiento excitador periódico. Las vibraciones forzadas también pueden
surgir a parir de la excitación periódica de la cimentación de un sistema. El
modelo indicado en la figura 2.12, representa la vibración periódica de un
bloque que es originada por el movimiento armónico δ = δ0senωt.
Figura 2.12. Vibración forzada debido a un desplazamiento periódico.
En la figura 2.13, se muestra el DCL y cinético del bloque. En este caso la
coordenada x se mide a partir del punto de desplazamiento cero del soporte es
decir cuando el radio vector OA coincide con OB. Por lo tanto el desplazamiento
general del resorte será (x –δ0senωt)
Fig. 13. Diagrama de cuerpo libre y cinético
Aplicando la ecuación de movimiento según la dirección horizontal se tiene
  x
m
t
sen
x
k
ma
F x
x








0
t
sen
k
kx
x
m 




 (2.58)

89
Comparado la ecuación (2.58) con la ecuación (2.51) se observa que su forma es
idéntica por tanto su solución seguirá el mismo procedimiento establecido
anteriormente.
2.4.2 Vibración libre con amortiguamiento viscoso.
En nuestras consideraciones sobre las vibraciones de un solo grado de libertad
y con amortiguamiento viscoso, encontramos que la energía era disipada por el
amortiguador y la amplitud disminuía con el tiempo. Sin embargo, si
proporcionamos una fuente de energía externa podemos mantener las
oscilaciones con una amplitud constante. Para determinar las ecuaciones que la
gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y
amortiguador sometido a una fuerza periódica externa P =P0senΩ, tal como se
muestra en la figura 2.14.
(a) (b)
Figura 2.14. (a) Sistema mecánico forzado, (b) Diagrama de cuerpo libre.
Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene.
x
m
x
c
kx
t
sen
P
ma
F x
x


 





0
t
sen
P
kx
x
c
x
m 


 0


 (2.59)*
La ecuación diferencial (2.59)* es una ecuación diferencial lineal, de segundo
orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene
sumando una solución complementaria y una solución particular. La solución
complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución particular es
una función cualquiera que satisface la ecuación diferencial. Por lo tanto, la
solución total se escribe
)
(
)
(
)
( t
x
t
x
t
x P
C 
 (2.60)
La solución particular estudiada anteriormente, se extingue rápidamente según
el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solución
particular o permanente o de estado estacionaria es la que se mantiene, siendo
esta de carácter armónico y viene expresada por.

90
 



 t
sen
x
x m
P (2.61)
Remplazando la ecuación (61) en la ecuación (60) resulta.
      t
sen
P
t
sen
kx
t
x
c
t
sen
x
m m
m
m 










 0
2
cos 


Haciendo (Ωt-φ) sucesivamente igual a cero y π/2, resulta

sen
P
x
c m 0

 (2.62)
  
cos
0
2
P
x
m
k m 

 (2.63)
Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos ecuaciones anteriores,
resulta y sumándolos, resulta
    2
0
2
2
2
2
P
x
c
m
k m 





 


 (2.64)
De la ecuación (64), se obtiene la amplitud la misma que está dada por
   2
2
2
0





c
m
k
P
xm
(2.65)
El desfasaje φ se obtiene dividiendo las ecuaciones (62) y (63)
2




m
k
c
tg (2.66)
Bajo estas circunstancias la solución particular se escribe
   
 







 t
sen
c
m
k
P
x
2
2
2
0 (2.67)
Pero la frecuencia natural está dada por, m
k
n /

 , y el valor del coeficiente
crítico de amortiguamiento es ccr = 2mωn, el factor de amplificación será
 
    
 2
2
2
0 /
/
2
/
1
1
/
n
cr
n
m
c
c
k
P
x
MF

 




 (2.68)
  
 2
/
1
/
/
2
n
n
cr
c
c
tg






 (2.69)
En la figura 2.15, se muestra el factor de amplificación en función de la razón
de frecuencias para distintos valores de la razón de amortiguamiento. Observe
que a medida que se va disminuyendo la razón de amortiguamiento la
amplitud de la vibración va creciendo. La resonancia se produce cuando la

91
razón de amortiguamiento tiende a cero y las frecuencias son aproximadamente
iguales
Figura 2.15. Relación entre el factor de amplificación y la razón de
frecuencias.

92
2.5 PROBLEMAS RESUELTOS
2.5.1 Vibraciones libres
Problema 01.
Un instrumento que se utiliza para medir la
vibración de una partícula realiza un movimiento
armónico simple de frecuencia propia 5 Hz y
aceleración máxima de 40 m/s2
. .Determinar la
amplitud y la máxima velocidad de la vibración.
Solución
Datos e incógnitas
??
??;..
;
/
48
;..
5 max
2
max 


 v
A
s
m
a
Hz
f
Cálculo de la amplitud
.
..
..........
..........
6
,
48
)
.
2
(
)
.
2
(
2
max
2
2
max
Rta
mm
A
f
a
A
A
f
A
a







Cálculo de la velocidad máxima
Rt
s
m
v
f
A
v
..
..........
..........
/
53
,
1
)
0486
,
0
)(
5
(
2
.
2
.
max
max



 


Problema 02
Una partícula vibra con un movimiento armónico
simple. Cuando pasa por su posición de equilibrio,
su velocidad es de 2 m/s. Cuando se halla a 20 mm
de su posición de equilibrio, su aceleración es de 50
m/s2
. Determine el módulo de la velocidad en esta
posición.
Solución
Datos e incógnitas.
??
,..
/
50
;..
20
;..
/
2
;..
0
2
0





v
s
m
a
mm
X
s
m
v
X
Es sabido que la posición en cualquier tiempo está
dada por
)
1
.......(
..........
..........
.
)
.
(
.
.
)
.
(
.
2
2
X
A
X
t
Cos
A
X
t
Sen
A
X














Si cuando X = 0, v0 =2 m/s; entonces se tiene
)
2
(
..........
..........
..........
.
2
0
2 2
A
A





Además se tiene que
)
3
.....(
..........
..........
/
50
/
50 2
2
2
s
rad
X
s
m
X
a








La velocidad cuando X = 20 mm, será
.
..........
..........
..........
/
73
,
1
02
,
0
04
,
0
50 2
2
Rta
s
m
v
v



Problema 03
Un bloque de masa m se desliza por una superficie
horizontal exenta de rozamiento, según se muestra
en la figura. Determine la constante k del resorte
único que podría sustituir los dos representados sin
que cambiara la frecuencia del bloque.
Solución
Datos e incógnitas
??
;..
;..
;..
0
;.. 2
1 
 e
k k
k
k
m 
En la figura se muestra el DCL del bloque en una
posición X a partir del equilibrio.

93
Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección
X, resulta
)
1
.(
..........
..........
0
)
(
.
.
2
1
2
1
2
1











X
k
k
X
m
X
m
X
k
X
k
X
m
F
F
a
m
F
e
e
x
x






Para sustituir los resortes por uno equivalente sin
modificar la frecuencia, debe cumplirse que
)
2
.......(
..........
..........
..........
0

 X
k
X
m e


Comparando las ecuaciones (1) y (2), resulta
.
.
..........
..........
..........
..........
2
1 Rta
k
k
ke 

Problema 04
Una masa de 2 kg está suspendida en un plano
vertical por tres resortes, según se muestra en la
figura. Si el bloque se desplaza 5 mm hacia abajo a
partir de su posición de equilibrio y se suelta con
una velocidad hacia arriba de 0,25 m/s cuando t =
0. Determinar: (a) La ecuación diferencial que rige
al movimiento, (b) El periodo y la frecuencia de la
vibración, (c) La posición de la masa en función del
tiempo y (d) El menor tiempo t1 > 0 del paso de la
masa por su posición de equilibrio
Solución
Datos e incógnitas
??
);..
(
??;..
??;..
??;..
.
.
;..
0
;..
/
25
,
0
;..
5
;..
2
1
0










t
t
f
X
A
T
Dif
Ec
t
s
m
v
mm
X
kg
m
En la figura se muestra el DCL de la masa en la
posición de equilibrio. Se supone que los resortes
están estirados
Aplicando las ecuaciones de equilibrio en la
dirección vertical, se tiene
)
1
........(
..........
0
0
3
3
2
2
1
1 







 k
k
k
mg
Fy
En la figura se muestra el DCL de la masa en una
posición arbitraria Y, a partir de la posición de
equilibrio
Aplicando la ecuación de movimiento
)
2
.....(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
Y
m
Y
k
k
k
k
k
k
mg
Y
m
Y
k
Y
k
Y
k
mg
Y
m
F
F
F
mg
Y
m
F
e
e
e
y



































94
)
3
....(
..........
..........
0
3500
0
7000
2
0
)
( 3
2
1








Y
Y
Y
Y
k
k
k
Y
m






El periodo de vibración se obtiene de la frecuencia
circular
)
4
........(
..........
..........
..........
1062
,
0
3500
2
seg
T
T





Calculo de la amplitud. La solución de la ecuación
diferencial (3), tiene la forma
)
5
(
..........
..........
).........
.
(
. 
 
 t
Sen
A
Y
Su velocidad viene expresado por
)
6
.(
..........
).........
2
,
59
(
.
2
,
59 

 t
Cos
A
Y

Remplazando las condiciones iniciales, se tiene
)
8
........(
..........
..........
.
2
,
59
25
,
0
)
7
.......(
..........
..........
..........
005
,
0


Cos
A
ASen



Resolviendo simultáneamente las ec.(7)y (8),resulta
º
86
,
49
54
,
6




mm
A
La posición en cualquier tiempo t, será
.
..........
).........
87
,
0
2
,
59
(
54
,
6 Rta
t
Sen
Y 

El tiempo t1>0, será
.
........
..........
..........
..........
015
,
0
)
87
,
0
2
,
59
(
54
,
6
0
1
1
Rta
seg
t
t
Sen



Problema 05
En la figura, la coordenada X mide el
desplazamiento de la masa de 10 kg respecto a su
posición de equilibrio. En t =0, la masa se suelta
del reposo en la posición X =0,1 m. Determinar: (a)
El período y la frecuencia natural de las vibraciones
resultantes, (b) La posición de la masa en función
del tiempo
Solución
Datos e incógnitas
)
(
??;..
??;..
0
.
.
1
,
0
:
0
;..
/
90
;..
10
t
f
X
f
T
X
y
m
X
t
m
N
k
kg
m







 
En la figura se muestra el DCL de m en una
posición arbitraria X a partir de la posición de
equilibrio
Aplicando la segunda ley de Newton en dirección
horizontal, se tiene.
)
1
.........(
..........
..........
..........
0
9
0
90
10
0
.












X
X
X
X
kX
X
m
X
m
kX
X
m
F
X
m
F
e
x












La frecuencia circular está dada por
)
2
..(
..........
..........
..........
/
.
3
9 s
rad



El período será
Rta
Seg
T
T
..........
..........
..........
..........
09
,
2
3
2





La frecuencia natural, es

95
Rta
Hz
f
Y
f
..........
..........
..........
..........
48
,
0
09
,
2
1
1



La solución de la ecuación diferencial (3), tiene la
forma
)
3
..(
..........
..........
).........
3
( 

 t
ASen
X
La velocidad está dada por
)
4
(
..........
..........
).........
3
(
3 

 t
ACos
X

Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene
)
6
.(
..........
..........
..........
..........
2
0
)
5
.(
..........
..........
..........
..........
1
,
0


ACos
ASen


Resolviendo simultáneamente las ecuaciones
anteriores, resulta
m
A 1
.
0
2




La posición en función del tiempo será
)
2
/
3
(
1
,
0 

 t
Sen
X Rta
Problema 06
Un collar de 4 Kg está unido a un resorte de
constante k = 800 N/m como se muestra en la
figura. Si al collar se le desplaza 40 mm hacia
abajo desde su posición de equilibrio y se le suelta,
determinar: (a) El tiempo necesario para que el
collar se mueva 60 mm hacia arriba y (b) La
velocidad y aceleración correspondientes.
Solución
Datos e incógnitas
??
??;..
;..
60
??;..
0
,..
40
:
0
;..
/
800
;..
4










a
v
mm
X
t
X
mm
X
t
m
N
k
kg
m 
En la figura se muestra el DCL de m en posición de
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)
1
....(
..........
..........
0
.
0




s
k
mg
F

En la figura se muestra el DCL de m en una
posición arbitraria Y, a partir de su posición de
equilibrio
Aplicando la segunda Ley de Newton, en dirección
vertical, se tiene
)
2
........(
..........
..........
)
( Y
m
Y
k
mg
Y
m
F
W
ma
F
s
e
y
y












Reemplazando la Ec.(1) en (2), resulta
)
3
........(
..........
..........
..........
0
200
0
800
4
0






Y
Y
Y
Y
kY
Y
m






La ecuación (3), es la ecuación diferencial de un
M.A.S. de frecuencia circular rad/s, y la
posición en función del tiempo está dado por

96
)
4
.........(
..........
).........
14
,
14
( 

 t
ASen
Y
La velocidad se expresa como
)
5
(
..........
).........
14
,
14
(
14
,
14 

 t
ACos
Y

La amplitud A y el desfasaje φ, se determina
utilizando las condiciones iniciales, esto es:
)
7
.......(
..........
..........
14
,
14
0
)
6
......(
..........
..........
..........
40


ACos
ASen
mm


Resolviendo las ecuaciones anteriores, resulta
)
9
.......(
..........
..........
..........
..........
2
/
)
8
.....(
..........
..........
..........
..........
40

 
 mm
A
La posición, velocidad y aceleración como función
del tiempo se expresa en la forma
2
/
)
2
/
14
,
14
(
97
.
79
/
)
2
/
14
,
14
(
6
,
565
)
14
,
14
(
40
s
m
t
Sen
Y
s
mm
t
Cos
Y
mm
t
Sen
Y













El tiempo cuando Y = 60mm↑ será
seg
t
t
sen
15
,
0
)
2
/
14
,
14
(
40
20


 
La velocidad y la aceleración cuando t = 0,15 s.
serán
 
 
Rta
s
mm
Y
Sen
Y
s
mm
Y
Cos
Y
.
..........
..........
..........
/
3991
2
/
)
15
,
0
(
14
,
14
79
.
79
/
485
2
/
)
15
,
0
(
14
,
14
40


















Problema 07
Una plataforma A que tiene una masa desconocida
esta soportada por cuatro resortes teniendo cada
uno una constante elástica k. Cuando no hay nada
sobre la plataforma el período de vibración vertical
es de 3,9 s; mientras que si soporta un bloque de 2
kg sobre la plataforma el período de vibración
vertical es de 4,10 s. Calcular la masa de un bloque
colocado sobre la plataforma (vacía) que hace que
la plataforma vibre verticalmente con un período de
4,6 s. ¿Cuál es el valor de la constante elástica k del
resorte?.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la plataforma
cuando sobre ella está colocado un bloque de masa
mi, en estado de equilibrio estático.
Aplicando la ecuación de equilibrio, se tiene
)
1
.....(
..........
..........
0
4
)
(
0





s
P
B
y
k
g
m
m
F

En la figura se muestra el DCL de la plataforma
más un bloque de masa mi en posición Y, a partir de
la posición de equilibrio.
Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene
)
2
..(
..........
)
(
)
(
4
)
( Y
m
m
Y
k
g
m
m
Y
m
F
B
P
s
B
p
s
y












Reemplazando la ecuación (1), en (2), resulta

97
)
3
.....(
..........
..........
0
4
0
4
)
(






Y
m
m
k
Y
kY
Y
m
m
B
P
B
P




La ec (3) es la ecuación diferencial de un M.A.S.
con una frecuencia circular
)
4
..(
..........
..........
4
2
B
P
n
m
m
k



El período está expresado por
)
5
..(
..........
..........
..........
4
2
k
m
m
T B
P 
 
Por condición del ejercicio, cuando mB = 0,
entonces T1 = 3,9 s, es decir
)
6
.........(
..........
..........
..........
4
2
9
,
3
k
mP


Además, cuando mB = 2 kg; T2 = 4,1 s, entonces
)
7
....(
..........
..........
..........
4
2
2
1
,
4
k
mP 
 
Resolviendo simultáneamente las ecuación (6 ) y
(7), resulta
)
9
........(
..........
..........
..........
/
33
,
12
)
8
....(
..........
..........
..........
..........
19
m
N
k
kg
mP


Además cuando se coloca sobre la plataforma un
bloque de masa desconocida, el período es T3 = 4,6
s, se tiene
Rta
kg
m
m
k
m
m
T
x
x
x
P
..........
..........
..........
..........
43
,
7
)
33
,
12
(
4
19
2
6
,
4
4
2
3







Problema 08
Un bloque que pesa 100N se desliza por una
superficie horizontal sin fricción como se muestra
en la figura. Los dos resortes están sometidos a
tracción en todo momento y las poleas son
pequeñas y exentas de rozamiento. Si se desplaza el
bloque 75 mm hacia la izquierda de su posición de
equilibrio y se suelta con velocidad de 1,25 m/s
hacia la derecha cuando t = 0, determine: (a) La
ecuación diferencial que rige el movimiento; (b) El
período y la amplitud de la vibración, (c) La
posición del bloque en función del tiempo
Solución
Datos e incógnitas





 s
m
v
mm
x
t
N
W o
o
B /
25
,
1
;.
75
:
0
;.
100
En la figura se muestra el DCL del bloque para una
posición “x” a partir de la posición de equilibrio
Cuando el bloque esta en equilibrio estático, x = 0,
entonces Fe0= k1δs y T = T0
)
1
..(
..........
..........
..........
..........
0
0
1
1
0 




k
T
Fx
Cuando el bloque está en movimiento, la segunda
ley de Newton, establece
)
2
.....(
..........
..........
)
( 1
1 X
g
W
X
k
T
X
m
Fx










En la figura se muestra el DCL de la polea móvil
para una posición Y a partir de la posición de
equilibrio estático

98
Cuando la polea está en equilibrio, Y = 0 entonces
Fe2 = k2 δ2 y T = T0, entonces
)
3
........(
..........
..........
0
2
0
2
)
(
0
0
2
2
0
2
2







T
k
T
Y
k
Fy


Cuando la polea se está moviendo hacia abajo, se
tiene
2 2
2 2 2
( ) 2 0
2 0.....................(4)
y P Py
F m a
k Y T
k k Y T


 
  
  
)
5
....(
..........
..........
..........
0
2 1
1
2
2 
 
 k
k
)
6
......(.
2
2
)
(
)
(
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
X
g
W
X
k
k
Y
k
k
X
g
W
X
k
Y
k
















Sustituyendo la ecuación (5) en (6), resulta
)
7
....(
..........
..........
0
2
2
1 

 Y
k
X
k
X
g
W 

De la geometría de la figura se tiene
)
8
(
..........
..........
..........
..........
..........
2
X
Y 
Remplazando la ecuación (8) en la ecuación (7),
tenemos
0
)
4
(
0
)
2
(
2
2
1
2
1






X
k
k
X
g
W
X
k
X
k
X
g
W




)
9
.......(
..........
0
3
,
114
0
)
4
1333
833
(
8
,
9
100





X
X
X
X




El período de la vibración resultante, será
.
.........
..........
..........
..........
59
,
0
3
,
114
2
Rta
seg
T
T





La frecuencia de vibración es
.
....
..........
..........
7
,
1
59
,
0
1
1
Rta
Hz
T
f 


La posición y la velocidad en función del tiempo
están dadas por las ecuaciones
)
11
(
..........
).........
7
,
10
(
7
,
10
)
10
.......(
..........
).........
7
,
10
(






t
ACos
X
t
ASen
X

Aplicando las condiciones iníciales, se tiene
)
13
......(
..........
..........
7
,
10
25
,
1
)
12
...(
..........
..........
..........
075
,
0


Cos
A
ASen



Resolviendo las ecuaciones anteriores, resulta
642
,
0
138
,
0




Tg
m
A
Por lo tanto la posición en función del tiempo está
dada por la ecuación
.
..........
).........
7
,
10
(
138
,
0 Rta
t
Sen
X 


Problema 09.
Cuando el sistema representado en la figura está en
equilibrio, el resorte 1 (k1 =1,2 kN/m) está alargado
50 mm y el resorte 2 (k2 =1,8 kN/m) lo está 10 mm.
Si se tira de la masa m hacia abajo una distancia δ y
se suelta a partir del reposo, determinar: (a) la
ecuación diferencial que rige el movimiento, (b) La
distancia δmax tal que los hilos se hallen siempre a
tensión, (c) La frecuencia y la amplitud de la
vibración resultante y (d) La posición de la masa en
función del tiempo

99
Solución
Datos e incógnitas
)
(
?;..
?;..
?;..
.
.
;..
90
;
/
1800
;..
50
;..
/
1200
max
2
2
1
1
t
f
Y
f
Dif
Ec
mm
m
N
k
mm
m
N
k











En la figura se muestra el DCL del bloque en
posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)
1
.(
..........
..........
..........
0
1
1
2
2
0
1
0
2
mg
k
k
mg
F
F
F
e
e
y








Remplazando valores, se tiene
)
2
........(
..........
..........
41
,
10
)
(
8
,
9
)
05
,
0
(
1200
)
09
,
0
(
1800
kg
m
m



posición arbitraria Y, a partir de la posición de
equilibrio
Aplicando la segunda ley de Newton en dirección
vertical, resulta
)
3
....(
)
(
)
( 2
2
1
1
2
1
Y
m
Y
k
Y
k
mg
Y
m
F
F
mg
Y
m
F
e
e
y


















Remplazando la ecuación (1) y (2) en (3), resulta
)
4
.......(
..........
..........
0
2
,
288
0
3000
1
,
14
0
)
( 2
1







Y
Y
Y
Y
k
k
Y
m






Debido a que el resorte 1 está estirado 50 mm,
entonces para que los dos resortes actúen siempre a
tensión, la distancia máxima, será
)
5
......(
..........
..........
50
max mm


Cálculo de la frecuencia natural. De la ecuación (4),
se tiene
)
6
....(
..........
..........
..........
..........
7
,
2
2
,
288
.
2
Hz
f
f


 

La posición en función del tiempo tiene la forma
)
7
...(
..........
..........
).........
.
( 
 
 t
ASen
Y
La velocidad instantánea es
)
8
.........(
).........
98
,
16
(
98
,
16 

 t
ACos
Y

Remplazando las condiciones iníciales, se tiene
)
10
....(
..........
..........
..........
0
)
9
.....(
..........
..........
..........
50


ACos
ASen
mm


Resolviendo simultáneamente se tiene
2
50

 
 mm
A
La posición del cuerpo en cualquier tiempo es
.
........
).........
2
/
98
,
16
(
50 Rta
t
Sen
Y 


Problema 11.
Una placa plana P realiza un movimiento armónico
simple horizontal sobre una superficie sin fricción
con una frecuencia f = 1,5 Hz. Un bloque B
descansa sobre la placa, como se muestra en la
figura, y el coeficiente de rozamiento entre el
bloque y la placa es µs =0,60. ¿Cuál es la máxima
amplitud de oscilación que puede tener el sistema

100
sin que resbale el bloque sobre la placa?. ¿Cuál es
el valor de la velocidad máxima?.
Solución
Datos e incógnitas
??
??;..
;..
60
,
0
;..
5
,
1 max 


 v
A
Hz
f s

En la figura se muestra el DCL del sistema
compuesto por el bloque más la placa en una
posición arbitraria X.
Aplicando las ecuaciones
X
m
m
kX
X
m
m
F
X
m
F
P
B
P
B
e
s
x






)
(
)
(








Ordenando la ecuación anterior
)
1
........(
..........
..........
0


 X
m
m
k
X
P
B


La frecuencia circular natural es:
)
2
........(
..........
..........
..........
/
.
3
)
5
,
1
(
2
.
2
s
rad
HZ
f
m
m
k
P
B










La solución de la ecuación diferencial (1) es de la
forma
)
3
(
..........
..........
).........
.
3
( 
 
 t
ASen
X
La velocidad en cualquier tiempo será
)
4
....(
..........
).........
.
3
(
.
3 

 
 t
ACos
X

Su aceleración está dada por la ecuación
)
5
(
..........
).........
.
3
(
9 2


 

 t
ASen
X


La aceleración máxima esta dado por
)
6
...(
..........
..........
..........
..........
3 2
A
X 



Ahora se analiza el movimiento del bloque B.
Según condición del problema el bloque B no debe
moverse respecto a la plataforma. Por lo tanto su
diagrama cinético es el que se muestra
Aplicando las ecuaciones de movimiento al DCL se
tiene
)
9
......(
..........
..........
..........
)
8
.....(
..........
..........
..........
)
7
.......(
..........
..........
..........
0
/
/
g
X
X
m
g
m
X
m
N
X
m
F
X
m
F
g
m
N
F
s
B
B
s
B
P
B
s
B
s
x
B
P
B
y






















Como el bloque no debe moverse respecto de la
plataforma, entonces
.
....
..........
..........
..........
066
,
0
9
)
8
,
9
(
6
,
0
max
2
2
max
2
max
Rta
m
A
g
A
g
A
X
S
s












La velocidad máxima del sistema será
.
....
..........
..........
..........
/
62
,
0
)
3
(
066
,
0
max
max
Rta
s
m
v
A
v


 

Problema 12
Las dos masas de la figura se deslizan por sendas
superficies horizontales exentas de fricción. La
barra ABC está en posición vertical en el equilibrio

101
y su masa es despreciable. Si los resortes están
sometidos a tracción en todo momento, escribir la
ecuación diferencial del movimiento para la
posición X(t) de la masa de 10 kg y determinar la
frecuencia y el período de la vibración resultante.
(Supóngase oscilaciones de pequeñas amplitudes).
Solución
Datos e incógnitas
.
??
??;..
??;
.
.
;..
/
3500
;..
/
2000
/
2000
;..
0
;..
15
;..
10
3
2
1
2
1









f
T
Dif
Ec
m
N
k
m
N
k
m
N
k
m
kg
m
kg
m ABC
En la figura se muestra el DCL de m1 en la posición
de equilibrio estático
Aplicando la ecuación de equilibrio en la dirección
horizontal, se tiene
)
1
.(
..........
..........
..........
0
1
1
01 
k
T
Fx



En la figura se muestra el DCL de m2 en la posición
de equilibrio estático
)
2
........(
..........
..........
0
2
2
02 
k
T
Fx



En la figura se muestra el DCL de la barra ABC en
la posición de equilibrio
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se
tiene
)
3
.........(
2
,
0
2
,
0
1
,
0
)
2
,
0
(
)
2
,
0
(
)
1
,
0
(
0
2
2
3
3
1
1
02
03
01


 k
k
k
m
T
m
T
m
T
M B






En la figura se muestra el DCL de m1 en una
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento, tenemos
)
4
...(
).........
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
k
X
m
T
X
m
X
k
T
a
m
F x
x














En la figura se muestra el DCL de m2 en una
equilibrio

102
)
5
(
..........
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
X
m
X
k
T
X
m
X
k
a
m
F x
x













En la figura se muestra el DCL de la barra ABC,
cuando se ha girado un ángulo θ a partir de la
Aplicando las ecuaciones de movimiento a la barra
ABC, se tiene
)
(
0
)
2
,
0
(
)
2
,
0
(
)
1
,
0
( 2
1 










Cos
T
Cos
T
Cos
T
I
M B
B
Para ángulos pequeños, Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0,
entonces la ecuación anterior se escribe
)
6
.(
..........
..........
..........
2
,
0
2
,
0
1
,
0 2
3
1 T
T
T 

Remplazando la ec.(4) y(5) en (6), resulta
 
   
2
2
)
2
2
(
2
2
)
2
3
(
3
2
1
1
1 X
m
X
k
X
k
X
k
X
m 





 




..(7)
Remplazando la ec.(3) en (7), resulta
)
8
(
..........
2
2
2 2
2
2
2
2
3
1
1 X
m
X
k
X
k
X
k
X
m 


 




Del gráfico por triángulos semejantes, se observa
que
)
9
......(
..........
..........
..........
2
1
,
0
2
,
0
2
2
X
X
X
X


Remplazando la ec.(9) en (8), se tiene
1 1 3 2 2
1 2 1 2 3
2 (2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 0
( 4 ) ( 4 4 ) 0
(10 60) (2000 14000 8000) 0
342,86 0.......(10)
m X k X k X k X m X
m m X k k k X
X X
X X
    
    
    
 
 



La ecuación (10) es la ecuación diferencial de un
MAS, con frecuencia circular
s
rad /
52
,
18
86
,
342 

 

La frecuencia natural será
.
..........
95
,
2
2
52
,
18
2
Rta
Hz
f
f 






El período de la vibración es
.
....
..........
34
,
0
95
,
2
1
1
Rta
seg
T
f
T 



Problema 13
Encuentre la ecuación diferencial del movimiento y
el período de vibración del sistema mostrado en la
figura. Desprecie la masa de la barra rígida a la cual
está unida la esfera (partícula).
Solución
Datos e incógnitas
“a”; “L”; “m”; “g”; Ec. Dif. =??; T=??
compuesto por la barra más la esfera en la posición
de equilibrio estático.

103
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se
tiene
0
( ) ( ).............................(1)
A
s
M
K a mg L

 

En la figura se muestra el DCL del sistema para una
posición angular θ en sentido horario
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación
al sistema, se tiene
)
2
(
..........
)
.
)(
( 2







mL
Cos
a
Y
K
mgLCos
I
M
s
A
A





Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0,
entonces la ecuación (2), se escribe
)
3
..(
..........
.
. 2

 

mL
Y
a
K
a
K
mgL e
s 


Remplazando la ec.(1) en la ec. (3), resulta
)
4
.(
..........
..........
..........
0
.
0
.
2
2
2
2








mL
a
K
a
K
mL




La ec. (4) es la ecuación diferencial de un MAS,
con frecuencia circular
.
.......
..........
..........
..........
.
2
2
.
2
2
Rta
K
m
a
L
T
T
mL
a
K
n








Problema 14
La esfera maciza y homogénea de 10 kg mostrada
en la figura gira sin deslizar cuando se desplaza a
partir de su posición de equilibrio. La tensión
inicial de cada resorte es 250 N/m y las constantes
elásticas son K1 =900 N/m y K2 =1200 N/m. Para
iniciar el movimiento se desplaza el centro de la
esfera 75 mm hacia la derecha y se suelta a partir
del reposo. Calcular la frecuencia del movimiento
resultante y la rapidez máxima del centro de masa
de la esfera.
Solución
Datos e incógnitas
??
??;..
;..
/
1200
;
/
900
;..
250
;..
10
max
2
1
0






X
f
m
N
K
m
KN
K
N
F
kg
m e

En la figura se muestra el DCL de la esfera cuando
su centro está desplazado una distancia XG a partir
de su posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
)
1
....(
..........
0
)
(
)
(
)
(
2
1
1
0
2
0
1
2














s
G
G
G
s
G
e
G
e
G
s
e
e
G
x
F
X
K
K
X
m
X
m
F
X
K
F
X
K
F
X
m
F
F
F
X
m
F








)
2
...(
..........
..........
..........
5
2
5
2
)
( 2







mR
F
mR
R
F
I
M
s
s
G
G




)
3
......(
0
5
2
)
( 2
1 


 


 mR
X
K
K
X
m G
G
Para el caso en el cual la esfera rueda sin deslizar la
fuerza de fricción es estática, entonces existe una

104
relación entre la aceleración lineal y la aceleración
angular, esto es
)
4
........(
..........
..........
..........



 R
XG 
Remplazando la ec, (4) en (3), resulta
)
5
....(
0
150
0
)
10
(
7
)
1200
900
(
5
0
.
7
)
(
5
0
5
2
)
(
2
1
2
1












G
G
G
G
G
G
G
G
G
X
X
X
X
X
m
K
K
X
X
m
X
K
K
X
m










La ec.(5) constituye la ecuación diferencial de un
MAS de frecuencia circular dada por
s
rad
n /
25
,
12
150 


La frecuencia de vibración será
.
..........
..........
..........
..........
95
,
1
2
25
,
12
2
Rta
Hz
f
f






La solución de la ecuación diferencial (5), es de la
forma
)
6
....(
..........
).........
25
,
12
( 

 t
ASen
XG
La velocidad del centro de masa de la esfera es
)
7
.....(
).........
25
,
12
(
25
,
12 

 t
ACos
XG

Remplazando las condiciones iníciales, se tiene


Cos
A
Sen
A
m
.
25
,
12
0
.
075
,
0


anteriores, se tiene
2
75

 
 mm
A
Entonces la velocidad y la aceleración del centro de
masa de la esfera son:
s
m
t
Cos
X
mm
t
Sen
X
G
G
/
2
25
,
12
918
,
0
2
25
,
12
75



















La velocidad máxima será
.
....
..........
..........
..........
/
92
,
0
max Rta
s
m
X 

Problema 15
La barra uniforme AB de 8 kg está articulada en C y
sujeta en A a un resorte de constante K = 500N/m.
Si el extremo A recibe un pequeño desplazamiento
y se suelta, hallar: (a) La frecuencia de las pequeñas
oscilaciones, (b) El mínimo valor de la constante K
del resorte para el que habrá oscilaciones.
Solución
Datos e incógnitas
??
??;..
;
/
500
;
8 min 


 K
f
m
N
K
kg
m
En la figura se muestra el DCL de la varilla en una
posición definida por un ángulo θ, a partir de la
posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de movimiento de
rotación a la varilla se tiene

105
)
1
......(
165
,
0
(
)
04
,
0
(
)
cos
165
,
0
(
)
04
.
0
(
)
2








C
C
e
C
C
I
Cos
Sen
K
Sen
mg
I
KX
Sen
mg
I
M






)
2
.......(
..........
165
,
0
04
,
0 2


 

I
K
mg 

El momento de inercia con respecto al punto C, es
2
.
55
,
0 m
kg
I 
Donde la ecuación (3) en (2), resulta
2
2
0,04 0,165 0,055
0,055 (0,165 0,04 ) 0....(4)
mg K
K mg
  
 
 
  


La ec. (4) constituye la ec. Diferencial de un MAS
de frecuencia circular
)
4
.....(
..........
055
,
0
04
,
0
165
,
0
2
1
055
,
0
04
,
0
165
,
0
.
2
2
2
mg
K
f
mg
K
f
n








Rta
Hz
f
f
.........
..........
..........
..........
22
,
2
055
,
0
)
8
,
9
)(
8
(
04
,
0
)
500
(
165
,
0
2
1 2




El mínimo valor de K, será aquel valor para el cual
siempre se mantenga positiva la raíz cuadrada de la
ecuación(4), esto es
.
........
..........
/
3
,
115
)
8
,
9
)(
8
(
04
,
0
04
.
0
165
,
0
min
2
Rta
m
N
K
mg
K



Problema 16
Dos barras uniformes cada una de masa m =12 kg y
longitud L = 800 mm, están soldadas formando el
conjunto que se muestra. Sabiendo que la constante
de cada resorte K = 500N/m y que el extremo A
recibe un pequeño desplazamiento y luego se
suelta, determine la frecuencia del movimiento
subsiguiente.
Solución
Datos e incógnitas
??
;..
8
,
0
/
500
;..
12
;..
12 2
1






f
m
L
m
N
K
K
kg
M
kg
m BD
Ac
compuesto por las dos varillas en la posición de
equilibrio estático, asumiendo que los dos resortes
están estirados
)
1
.......(
..........
..........
..........
)
2
(
)
2
(
0
2
2
1
1
0
2
0
1

 K
K
L
F
L
F
M
e
e
C




En la figura se muestra el DCL de las barras cuando
se ha girado un ángulo θ respecto a la posición de
equilibrio

106
rotación al sistema se tiene
  )
2
...(
)
2
(
)
2
2
(
2
)
1
1
(
1
)
2
( 





C
I
Cos
L
Y
K
Y
K
Sen
L
g
AC
m
C
C
I
M







  )
3
...(
)
2
(
)
2
2
(
2
)
1
1
(
1
)
2
( 



C
I
L
Y
K
Y
K
L
g
AC
m 




Remplazando la ec. (1) en (3), resulta
  )
4
(
..........
)
2
(
)
1
)(
2
1
(
)
2
( 
 C
I
L
Y
K
K
L
g
AC
m 


Reordenando la ecuación anterior se tiene
  )
5
.......(
0
2
2
2
2
1 






















 


L
g
m
L
K
K
I AC
C


El momento de inercia del sistema respecto del
punto C será
   
)
6
........(
..........
..........
..........
.
2
,
3
)
8
,
0
)(
12
(
12
1
)
8
,
0
)(
12
(
3
1
12
1
3
1
2
2
2
2
2
m
kg
I
L
m
L
m
I
I
I
C
BD
BD
AC
AC
BD
C
AC
C
C







Remplazando la ec (6) en la ec,(5), se tiene
 
).
7
......(
0
3
,
35
0
2
8
,
0
)
8
,
9
(
12
2
8
,
0
500
500
2
,
3
2


































La frecuencia circular está dado por
s
rad
f
n /
94
,
5
3
,
35
.
2 

 

La frecuencia de vibración será
.
.
..........
..........
..........
..........
95
,
0
2
94
,
5
2
Rta
Hz
f
f n






Problema 17
Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g
están unidas a los extremos de una varilla rígida de
masa despreciable que puede girar en un plano
vertical alrededor de un eje que pasa por B. Hallar
el período de las pequeñas oscilaciones de la
varilla.
Solución
Datos e incógnitas
??
;...
0
;...
28
,
0
;..
4
,
0 


 T
m
kg
m
kg
m AC
C
A
En la figura se muestra el DCL del sistema para una
posición θ a partir de la posición de equilibrio.

107
La ecuación se movimiento de rotación para el
sistema nos da
    )
1
.(
..........
2
,
0
125
,
0 



B
C
A
B
B
I
Sen
g
m
Sen
g
m
I
M




    )
2
.........(
2
,
0
125
,
0 

 B
C
A I
g
m
g
m 

El momento de inercia respecto al punto B, será
     
   
   
)
3
..(
..........
..........
..........
.
0175
,
0
2
,
0
28
,
0
125
,
0
4
,
0
0
2
,
0
125
,
0
2
2
2
2
2
var
m
kg
I
m
m
I
I
I
I
B
C
A
illa
B
C
B
A
C
B









Al sustituir la ec.(3) en (2) resulta
     
)
5
........(
..........
0
36
,
3
~
0
0588
,
0
0175
,
0
)
4
.......(
0175
,
0
2
,
0
8
,
9
28
,
0
125
,
0
8
,
9
4
,
0

















La frecuencia circular será
s
rad
n
/
833
,
1
36
,
3 


El período de la vibración resultante será
Rta
seg
T
T
.........
..........
..........
..........
43
,
3
833
,
1
2
2






Problema 18
Un peso de 6 kg pende de un cilindro de 4 kg como
se muestra en la figura, mediante un pasador sin
fricción que pasa por su centro. Escriba la ecuación
diferencial del movimiento para la posición YG(t)
del centro de masa del cilindro y determine el
período y la frecuencia del movimiento vibratorio
resultante
Solución
Datos e incógnitas
??
??;...
??;...
.
/
800
;...
25
,
0
;...
4
;...
6







T
f
Dif
Ec
m
N
K
m
R
kg
m
kg
m C
B
posición de equilibrio estático
La ecuación de equilibrio nos da
)
1
.......(
..........
..........
..........
86
,
58
)
81
,
9
(
6
0
0
0
N
T
g
m
T
F
B
y






108
En la figura se muestra el DCL del cilindro en
Aplicando las ecuaciones de equilibrio tenemos
 
)
3
......(
..........
..........
..........
)
(
)
(
0
)
2
...(
..........
..........
..........
1
,
98
86
,
58
81
,
9
4
0
10
10
10
10
0
10
s
s
G
s
s
C
s
Y
K
T
R
T
R
K
M
N
K
T
K
T
T
W
K
T
F



















Reemplazando la ec. (3) en (2) resulta
)
4
..(
..........
..........
..........
..........
1
,
98
2
1
,
98



s
s
s
K
K
K



En la figura se muestra el DCL del bloque cuando
se ha desplazado una distancia Y a partir de su
Aplicando las ecuaciones de movimiento para el
bloque, se tiene
)
5
.......(
..........
..........
..........
6
86
,
58 G
By
B
Y
Y
T
a
m
F






En la figura se muestra el DCL del cilindro en
movimiento
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
  )
6
(
..........
4
4
,
39 1
1
G
e
s
G
C
e
C
Gy
C
y
Y
T
Y
K
T
Y
m
T
F
g
m
T
a
m
F
















)
7
........(
..........
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
1
2
1








R
m
Y
K
T
R
m
R
F
R
T
I
M
C
e
s
C
e
G
G







Sumando las ec. (5) y (6), se tiene
  )
8
....(
..........
10
1
,
98 1 G
e
s Y
T
Y
K 




 
Sumando las ec (7) y (8), resulta
  )
9
...(
2
1
10
2
1
,
98 
 


 R
m
Y
Y
K C
G
e
s 



)
10
(
..........
..........
0
1600
5
,
0
10
0
2
)
25
.
0
)(
4
(
2
1
10






e
G
e
G
Y
Y
KY
Y










De la cinemática de los desplazamientos se tiene

109
)
12
.....(
..........
..........
2
2
)
11
.....(
..........
..........
25
,
0
G
e
e
G
G
G
G
Y
Y
R
Y
R
Y
Además
Y
R
Y
R
Y














 


Remplazando las ec.(11) y(12),en la ec.(10), resulta
 
.
......
0
3200
12
0
2
1600
25
,
0
5
,
0
10
Rta
Y
Y
Y
Y
Y
G
G
G
G
G



















La ecuación anterior constituye la ecuación
diferencial de un MAS con frecuencia circular
s
rad
f
n /
33
,
16
67
,
266
.
2 

 

La frecuencia de vibración es
.
..
..........
6
,
2
2
33
,
16
2
Rta
Hz
f
f 






El período
Rta
seg
T
f
T .....
..........
38
,
0
6
,
2
1
1




Problema 19
Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin
deslizar por un plano inclinado 15º. A su perímetro
está sujeta una correa y un muelle lo mantiene en
equilibrio como se muestra. Si el cilindro se
desplaza hacia abajo 50 mm y se suelta.
Determinar: (a) El período de la vibración, (b) La
aceleración máxima del centro del cilindro
Solución
Datos e incógnitas
??
??;..
;..
125
,
0
;..
15
;..
6
,
13 max
0




 a
T
m
r
kg
m 
En la figura se muestra el DCL del cilindro en la
)
2
....(
..........
..........
).........
(
)
(
0
)
1
........(
..........
..........
º
15
0
0
0
r
F
r
F
M
F
F
mgSen
F
s
e
G
e
s
x







)
3
..(
..........
..........
..........
2
º
15 s
K
mgSen 

En la figura se muestra el DCL del cilindro para un
desplazamiento instantáneo XG a partir de la
Traslación

110
  )
4
.......(
..........
º
15
º
15
G
e
s
s
G
e
s
G
x
X
m
X
K
F
mgSen
X
m
F
F
mgSen
X
m
F
















Rotación
)
5
..(
..........
)
)(
(
)
(
)
(
)
(








G
e
s
s
G
e
s
G
G
I
r
X
K
r
F
I
r
F
r
F
I
M







)
6
.......(
.
.
2
1
2
2
º
15 
 


 r
m
X
m
KX
K
mgSen G
e
s 



Remplazando la ec.(3) en (6), se tiene
)
7
.......(
..........
0
2
.
.
2
1


 e
G KX
r
m
X
m 



De la geometría y teniendo en cuenta que el centro
instantáneo de rotación es el punto de contacto,
resulta
)
9
..(
2
.
2
.
.
2
)
8
.....(
.
.
G
e
G
e
G
G
G
X
X
r
X
r
r
X
r
X
r
X
r
X





























Remplazando la ec.(8) y (9) en (7), resulta
 
)
10
.......(
..........
0
4
,
1029
0
)
5250
(
4
)
6
,
13
(
2
3
0
4
2
3
0
2
2
.
2
1















G
G
G
G
G
G
G
G
G
X
X
X
X
KX
X
m
X
K
r
X
r
m
X
m








La ec. (10) es la ecuación diferencial de una MAS
con una frecuencia circular
)
......(
..........
..........
..........
196
,
0
/
08
,
32
4
,
1029
2
Rta
seg
T
s
rad
T
n






La solución de la ecuación diferencial (10), es
  )
11
..(
..........
..........
08
,
32
. 

 t
Sen
A
XG
La velocidad y la aceleración en cualquier tiempo
 
  )
13
..(
..........
08
,
32
08
,
32
)
12
......(
..........
08
,
32
08
,
32
2







t
Sen
X
t
Cos
X
G
G



Remplazando las condiciones iníciales, resulta


Cos
A
Sen
A
.
08
,
32
0
.
05
,
0


anteriores, se tiene
2
50

 
 mm
A
Remplazando estos valores obtenidos resulta
 













t
Cos
X
Rta
t
Sen
X
G
G
08
,
32
)
08
,
32
(
05
,
0
.
....
..........
2
08
,
32
.
50
2


La aceleración máxima será
Rta
s
m
a
A
a
...
..........
..........
/
45
,
51
)
05
,
0
(
)
08
,
32
(
2
max
2
2
max





 
Problema 20
Una rueda escalonada que pesa 90 N rueda sin
deslizar por un plano horizontal, según se indica en
la figura. Los resortes están unidos a hilos
arrollados de manera segura sobre el cubo central
de 30 cm de diámetro. Si el radio de giro del
cilindro escalonado vale 225 mm, escribir la
ecuación diferencial del movimiento para la
posición XG(t) del centro de masa del cilindro y
determinar el período y la frecuencia del
movimiento vibratorio resultante.
Solución
Datos e incógnitas

111
  ??
??;..
225
;.
30
;..
15
;..
90 2
1






T
t
X
mm
K
cm
R
cm
R
N
W
G
G
En la figura se muestra el DCL de la rueda para una
posición cualquiera X. Las fuerzas que obran son:
el peso (W), la reacción normal (NC), la fuerza de
fricción (Fs) y las fuerzas elásticas Fe en cada uno
de los resortes
)
1
.(
..........
..........
1
1
2
2
1
2
G
s
G
s
e
e
G
x
X
m
F
X
k
X
k
X
m
F
F
F
X
m
F














)
2
.(
..........
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2









































R
mK
R
R
X
k
R
R
X
k
F
mK
R
F
R
F
R
F
I
M
G
s
G
e
e
s
G
G
2
1 1
2 2 1 1
2 2 2
2
1 1
2 2 1 2 2 1
1
2 2 2
1 1 ........(3)
G
G
mK
R R G
k X k X k X k X mXG
R R R
mK
R R
k X k X mX
R R R


    
 
   
 
   
     
     
    
     
     




La cinemática para la rueda muestra una relación
entre las deformaciones de los resortes y el
desplazamiento del centro de masa de la rueda
   
    )
6
.......(
)
5
......(
)
4
...(
..........
..........
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2



























R
X
R
R
R
R
X
R
X
R
R
R
R
X
R
X
R
X
G
G
G
G



 



Remplazando las ec. (4), (5) y (6) en la ec (3),
resulta





































2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
R
G
K
G
X
m
R
R
R
G
X
k
R
R
R
G
X
k 




































2
30
5
.
22
1
18
,
9
2
30
2
15
2
30
1000
2
30
2
15
2
30
1400
G
X
G
X
G
X 

Simplificando la ecuación anterior se tiene
)
8
...(
..........
..........
..........
0
131 
 G
G X
X


De la ecuación diferencial (8), se obtiene la
frecuencia circular.
s
rad
T
n /
45
.
11
131
2





El período de la vibración es
.
.....
55
,
0
45
,
11
2
2
Rta
seg
T
T 






Problema 21
Un cilindro de masa m y radio R está conectado con
muelles idénticos de constante k y gira sin
rozamiento alrededor del punto O. Para pequeñas
oscilaciones, ¿cuál será la frecuencia natural?. El
cordón que soporta a W1 está enrollado alrededor
del cilindro.
Solución

112
Datos e incógnitas
??
,
"
W
"
,
k"
"
,
r"
"
,
R"
"
,
m"
" n
1 

En la figura se muestra el DCL del bloque.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al bloque, se
tiene
(1)
T
0 0 Mg
Fy 



En la figura se muestra el cilindro en equilibrio
estático.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio para el
cilindro
-
(2)
0
)
(
)
(
k
)
(
k
-
0
M
2
1
O





R
Mg
r
r 

En la figura se muestra el DCL del bloque pero
desplazados de su posición de equilibrio estático.
Aplicando las ecuaciones de movimiento para el
bloque se tiene
(3)
y
F MY
Mg T MY
T Mg MY
 
 
 



En la figura se muestra el Dcl del cilindro cuando
gira un ángulo θ
Aplicando las ecuaciones de movimiento al
cilindro, se tiene
  





G
e
e
G
O
I
rCos
X
k
rCos
X
k
R
T
I
M







)
(
)
)(
(
)
( 1
2
entonces la ecuación anterior, se escribe
 
2 1
( ) ( )( ) ( ) (4)
O G
e e G
M I
T R k X r k X r I

  
 
    
(5)
2
1 

 o
e
e I
r
kX
r
k
r
kX
r
k
Y
MR
MgR 




 

Al sustituir la ec (2) en (5), resulta
(6)
2
1
2 2



 mR
r
kX
Y
MR e 



De la cinemática se tiene que
(7)
.
R
Y
y 
 


 
 r
Xe
Remplazando la ec (7) en (6), resulta
 
(8)
0
2
4
0
2
2
1
2
1
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
2


















R
M
m
kr
kR
MR
mR
mR
r
r
k
R
MR











113
La ec.(8) constituye la ecuación diferencial de un
MAS cuya frecuencia circular natural es
 
.
.......
2
4
2
2
Rta
R
M
m
kr
n



Problema 22
Un cilindro uniforme de 4 kg pende en un plano
vertical en el seno de un hilo ligero, como se
muestra en la figura. Si el cilindro de 250 mm de
radio no se desliza por el hilo, escribir la ecuación
diferencial del movimiento para la posición YG(t)
del centro de masa del cilindro y determinar el
período y la frecuencia de la vibración resultante.
Solución
Datos e incógnitas
??
)
(
;..
/
800
;..
250
;..
4 


 t
Y
m
N
k
mm
r
kg
m G
En la figura se muestra el DCL del cilindro en la
)
2
..(
..........
..........
).........
(
)
(
0
)
1
.....(
..........
..........
..........
0
0
0
r
k
r
T
M
mg
k
T
F
S
G
S
y









Remplazando la ec.(1) en la ec (2), resulta
)
3
........(
..........
..........
..........
2 mg
k S 

En la figura se muestra el DCL del cilindro para
una posición arbitraria a partir de su posición de
equilibrio
traslación y rotación, se tiene
 
    
  )
5
....(
..........
)
4
(
..........
..........
2
1
2
2
1
















mr
y
k
T
mr
r
y
k
r
T
I
M
y
m
T
y
k
mg
y
m
F
e
S
e
S
G
G
e
S
G
y














 
6
........
2
2 2
1

 


 mr
y
m
ky
k
mg e
S 



Remplazando la ec.(3) en la ec. (6), tenemos
)
7
....(
..........
..........
2 2
1



 mr
y
m
kye 


La cinemática para el cilindro muestra una relación
entre la deformación del resorte y el
desplazamiento del centro de masa del cilindro
)
9
........(
..........
..........
..........
..........
)
8
...(
..........
2
2





r
y
r
y
sen
tg
y
y
r
y
r
y
tg
G
G
G
e
e
G









114
Remplazando lasa ec. (8) y (9) en la ec. (7), resulta
 
 
.
..
..........
..........
..........
0
3
8
4
2
2
2
1
2
1
Rta
Y
m
k
Y
Y
m
m
kY
r
Y
mr
y
m
Y
k
G
G
G
G
G






















La ecuación anterior constituye la ecuación
diferencial de un MAS cuya frecuencia circular es
 
 
)
11
...(
..........
..........
..........
/
09
,
23
4
3
800
8
3
8
s
rad
m
k
n
n





El período de la vibración será
.....Rta.
..........
..........
..........
s.........
272
,
0
09
,
23
2
2




T
T
T
n



La frecuencia natural de vibración será
a.
........Rt
..........
..........
Hz........
68
,
3
272
,
0
1
1



f
T
f
Problema 23.
La partícula B de 0,25 kg de masa está colocada
sobre una barra rígida BC de masa despreciable
como se muestra en la figura. El módulo de cada
uno de los resortes es 150 N/m. La tensión en cada
uno de los resortes es 10 N cuando la barra BC está
en posición vertical. Para iniciar el movimiento
oscilatorio se desplaza al punto B 25 mm hacia la
derecha y se libera a partir del reposo. Calcular: (a)
La ecuación diferencial del movimiento, (b) La
frecuencia natural de la vibración, (c) La posición
angular en función del tiempo.
Solución
Datos e incógnitas
??
??,..
.
.
;..
0
,
25
:
0
;..
10
;..
/
150
;..
25
,
0
0
0
0
2
1










f
Dif
Ec
v
mm
x
t
N
T
m
N
k
k
kg
mB
En la figura se muestra el DCL de la barra más la
partícula B en la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
   
)
1
.........(
..........
..........
15
,
0
15
,
0
0
0
,
2
0
,
1
0
,
2
0
,
1
T
T
m
T
m
T
M C




En la figura se muestra el sistema barra más
partícula B para una posición arbitraria θ, a partir
de su posición de equilibrio.
rotación, se tiene
     
   )
2
...(
cos
15
,
0
25
,
0 0
0 







C
C
C
I
kX
T
kX
T
Sen
mg
I
M








115
Para ángulos pequeños se tiene
1
cos
y 
 


sen
Bajo esta condición la ecuación (2) se reduce a:
     
       
  )
3
....(
015625
,
0
15
,
0
45
6125
,
0
25
,
0
25
,
0
15
,
0
150
2
25
,
0
8
,
9
25
,
0
25
,
0
15
,
0
2
25
,
0
2
2



















X
m
kX
mg B
Simplificando se tiene
)
4
....(
..........
..........
..........
0
8
,
392 
 


La frecuencia natural se determina a partir de la
ecuación que define la frecuencia circular, es decir:
ta.
.........R
..........
..........
Hz........
15
,
3
/
8
,
392
.
2



f
s
rad
f
n 

La solución de la ecuación diferencial (4), es de la
forma
 
  )
5
..(
..........
..........
82
,
19
0
0











t
sen
t
sen n
Aplicando las condiciones iniciales, se tiene




cos
82
,
19
0
1
,
0
0
0

 sen
anteriores, resulta
2
1
,
0
0




 rad
Por lo tanto la ecuación (5) se escribe
.
..........
..........
2
82
,
19
1
,
0 Rta
t
sen 









Problema 24.
Un cilindro uniforme de masa m y radio R está
flotando en agua. El cilindro está unido a un punto
central superior a un resorte de constante k. Si el
peso específico del agua es γ
, encuentre la
frecuencia así como el período de la vibración
resultante.
Solución
Datos e incógnitas
??
??;....
;....
;..
;..
;.. 
 T
f
k
R
m 
En al figura se muestra el DCL del cilindro en la
posición de equilibrio estático.
  )
1
(
..........
..........
0
2
0
mg
h
R
k
mg
V
k
mg
E
k
F
S
S
S
S
y














En la figura se muestra el DCL del cilindro cuando
se ha desplazada una distancia Y hacia abajo a
partir de su posición de equilibrio

116
Aplicando la ecuación de movimiento según el
sistema de referencia, se tiene
 
     )
2
(
..........
2
Y
m
Y
k
Y
h
R
mg
Y
m
Y
k
V
mg
Y
m
F
E
mg
Y
m
F
S
S
e
y



























Remplazando la ec. (1) en la ec. (2), resulta
 
)
3
.....(
..........
..........
0
0
2
2








 




Y
m
R
k
Y
Y
k
R
Y
m






La ecuación (3) es la ecuación diferencial de un
MAS, con frecuencia circular
.
.......
..........
..........
2
1
2
2
2
Rta
m
R
k
f
m
R
k
f
n










El período de la vibración resultante será
.
.........
..........
2
1
2
Rta
R
k
m
f
T





Problema 25.
Una masa de 6 kg pende de un hilo que está
arrollado a un cilindro de 10 kg y 300 mm de radio,
como se muestra en la figura. Cuando el sistema
está en equilibrio, el punto A se encuentra 200 mm
directamente encima del eje, el cual está exento de
rozamiento. Si se tira de la masa hacia abajo
desplazándolo 50 mm y se suelta el sistema a partir
del reposo, determinar: (a) La ecuación diferencial
que rige el movimiento vertical de la masa, (b) La
frecuencia y la amplitud de la vibración y (c) La
posición de la masa en función del tiempo.
Solución
Datos e incógnitas
.
??
)
(
??;...
??;
??;..
.
;..
0
;..
50
..
:
0
2
,
0
;..
3
,
0
;..
10
;..
6
0











t
Y
A
f
Dif
Ec
v
mm
y
t
m
d
m
r
kg
m
kg
m
B
C
C
B
En la figura se muestra el DCL del cilindro
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
    )
1
.......(
..........
..........
0
0
0
r
T
d
k
M
S 



)
2
.........(
..........
..........
..........
0
0 g
m
T
F
B
y



Remplazando la ec.(1) en la ec. (2), resulta
)
3
...(
..........
..........
..........
.r
g
m
d
k B
S 

En la figura se muestra el DCL del cilindro para
una posición arbitraria θ a partir de la posición de
equilibrio.

117
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación
resulta
     )
4
.......(
cos 0
0
0








I
d
x
k
r
T
I
M
e
S 




Del gráfico se observa que xe = d senθ, entonces la
ecuación (4) se escribe
     )
5
...(
cos
. 0


 

I
d
sen
d
k
r
T S 


Para ángulos pequeños se tiene que
6)
.........(
1.........
cos
y 
 


sen
Remplazando la ec. (6) en la ec. (5), da
    
  )
7
....(
..........
.
2
2
1
2
0










r
m
kd
k
r
T
I
d
d
k
r
T
C
S
S






posición Y a partir de la posición de equilibrio
)
8
.....(
..........
Y
m
g
m
T
Y
m
T
g
m
Y
m
F
B
B
B
B
B
y












Remplazando la ec. (8) en (7),
  
  )
9
....(
. 2
2
1
2
2
2
1
2
r
Y
m
r
m
kd
d
k
r
g
m
r
m
kd
d
k
r
Y
m
g
m
C
C
S
B
C
S
B
B






















Remplazando la ec.(3) en (9) resulta
  )
10
...(
..........
2
2
1
2
r
Y
m
r
m
kd B
C



 

 

Teniendo en cuenta que
)
11
........(
..........
..........

 


 r
Y
r
Y 


La ecuación (10) se escribe
 
 
)
12
...(
0
8
,
80
0
3
,
0
2
,
0
200
6
2
10
0
0
2
2
2
1
2
2
2
1











































Y
Y
Y
Y
Y
r
d
k
Y
m
m
r
Y
kd
r
Y
m
r
Y
r
m
B
C
B
C










La ec. (12) es la ecuación diferencial de una MAS
con frecuencia circular dad por
.
..........
43
,
1
8
,
80
2
1
/
8
,
80
2
Rta
Hz
f
f
s
rad
f
n








La solución de la ecuación diferencial (12), es
  )
13
..(
..........
..........
99
,
8
0 

 t
sen
Y
Y
La velocidad será
  )
14
........(
..........
99
,
8
cos
99
,
8 0 

 t
Y
Y

Remplazando las condiciones iniciales, se tiene
/2
y
05
,
0
Y
tiene
se
,
Re
cos
99
,
8
0
05
,
0
0
0
0








m
solviendo
Y
sen
Y
Finalmente la posición en función del tiempo será

118
.
.........
..........
2
99
,
8
05
,
0 Rta
t
sen
Y 








Problema 26.
Determine la pulsación natural ωn del sistema
mostrado en la figura. Se desprecian la masa de las
poleas y el rozamiento en ellas.
Solución.
Datos e incógnitas
.
??
;..
;..
;.. 2
1 

 n
m
m
m
k 

En la figura se muestra el DCL del carro, en
Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las
direcciones mostradas, se tiene
)
1
.......(
..........
..........
0
0 
 mgsen
k
T
F
S
x




En la figura se muestra el DCL del sistema del
bloque más la polea
)
2
...(
..........
..........
..........
..........
2
0
0 mg
T
Fy



Remplazando la ec (2) en (1), se tiene
)
3
.....(
..........
..........
2

 mgsen
k
mg
S 

En la figura se muestra el DCL del carro cuando se
ha desplazado una cierta distancia X hacia arriba a
partir de la posición de equilibrio
 
  )
4
........(
X
m
X
k
mgsen
T
X
m
X
k
mgsen
T
X
m
F
S
S
x




















En la figura se muestra el DCL del bloque más la
polea cuando se ha desplazado una distancia Y
hacia abajo a partir de su posición de equilibrio

119
)
5
......(
..........
..........
..........
2 Y
m
T
mg
Y
m
Fy








  )
6
......(
2
2
2 Y
m
X
m
X
k
mgsen
mg S



 



 

Por cinemática de movimientos dependientes, se
tiene
)
7
..(
..........
..........
2
0
2
tan
2
Y
X
Y
X
te
cons
Y
X B
A







 





Remplazando la ec (7) en (6) resulta
  )
8
...(
2
2
2
2 










X
m
X
m
X
k
mgsen
mg S






Al sustituir la ec. (3) en (8), se tiene
)
10
.........(
..........
0
5
4
0
4
5
0
2
2
2













X
m
k
X
kX
X
m
kX
X
m
X
m








La ec. (10) constituye la ecuación diferencial del
MAS con una frecuencia circular expresada por
.
..
..........
..........
..........
5
4
Rta
m
k
n 

2.5.2. Vibraciones amortiguadas
Problema 27.
Un bloque de masa m se desliza por una superficie
horizontal exenta de fricción, como se muestra en la
figura. Determine el coeficiente de
amortiguamiento c del amortiguador único que
podrá sustituir a los dos representados sin que
cambiara la frecuencia de vibración del bloque.
Solución
Datos e incógnitas
??
c
,
0
; K 


m
En la figura se muestra el DCL de la masa m, para
un desplazamiento x a partir de la posición de
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento según las
direcciones mostradas, se tiene
0
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1

















X
k
k
X
c
c
X
m
X
m
X
c
X
c
X
k
k
X
m
F
F
X
k
X
k
ma
F
v
v
x
x







Por lo tanto el coeficiente de amortiguamiento
único será
2
1 c
c
c 
 Rta.

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