Una demostración de Tales

1. ELABORADO POR :PAULINO GONZÁLEZ
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
T.TALES
MENESIANO MADRID

2. LO QUE DICE EL TEOREMA DE TALES
Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos
rectas r y s, entonces los segmentos que determinan
en ellas son proporcionales.
o bien
Una aplicación inmediata del
teorema de Thales es la división
de un segmento en partes
iguales y también en partes
proporcionales a números
dados.

3. DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES
La figura muestra paso a paso el procedimiento para dividir el segmento AB en
5 partes iguales.
Desde uno de los extremos (A) del segmento se traza una semirrecta
cualquiera. Y con centro en A se traza una circunferencia de radio arbitrario
que corta en 1 a la semirrecta. Se hacen circunferencias de igual radio a la
primera hasta completar tantas como número de partes se desea dividir el
segmento.
Se une el ultimo punto (5) con B, y a continuación se trazan paralelas al
segmento anterior por los puntos intermedios. Las intersecciones con el
segmento inicial AB determinan la división del segmento buscada.

4. REPARTIR UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A OTROS VARIOS
A B AB, Segmento que deseamos repartir
C D
E F Segmentos en proporción a los que
G H deseamos dividirlo
A B
Colocamos el segmento
Ponemos una línea auxiliar ―r‖
Sobre esta línea llevamos los segmentos
Unimos el extremo de estos segmento con el
extremo del segmento que queremos dividir
Finalmente trazamos paralelas por los extremos r
de los segmentos.

5. DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A NÚMEROS
Basta con trasladar a la semirrecta auxiliar la medida de los segmentos.
Ejercicio. Divide un segmento de 8,2 cm. en partes proporcionales a 2, 1 y 3.
Este Procedimiento geométrico también nos sirve para resolver problemas aritméticos
de repartos proporcionales.
Ejercicio. Tres amigos de 10, 12 y 15 años deben repartirse 350 €uros en partes
proporcionales a sus edades.
¿Cuánto le corresponde a cada uno?

6. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN
Dos triángulos son semejantes si tienen los
mismos ángulos y los lados
correspondientes proporcionales.
CRITERIOS DE SEMEJANZA:
(Requisitos mínimos para saber si
dos triángulos son semejantes)
1.-Dos triángulos son 2.-Dos triángulos son 3.- Dos triángulos son
semejantes si tienen dos semejantes si tienen dos semejante si sus
ángulos iguales.
lados proporcionales e lados son
igual el ángulo que forman. proporcionales.
Consulta los gráficos

7. DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A OTROS VARIOS
El procedimiento es similar al anterior. Basta con trasladar a la semirrecta la medida
de los segmentos.
Ejercicio. Divide un segmento de 8,2 cm. en partes proporcionales a 2, 1 y 3.
Este Procedimiento geométrico también nos sirve para resolver problemas aritméticos
de repartos proporcionales.
Ejercicio. Tres amigos de 10, 12 y 15 años deben repartirse 350 €uros en partes
proporcionales a sus edades.
¿Cuánto le corresponde a cada uno?

8. Hallar la cuarta proporcional numérica y geométrica
a) Numérica b) Geométrica
Hallar la cuarta Hallar la cuarta proporcional
proporcional de 3, 6, 9 de los segmentos AB, CD, EF
A B C D
3 9 E F
6 x Tomo dos rectas concurrentes
“r” y “r’ “ y sobre ellas llevo los
x 6.9 / 3 18 segmentos como se indica
G r Unimos los puntos
B(E) y D
D
AB EF Trazamos una
C CD DG paralela a ED que
pase por F
A
B El segmento DG es la
E F
r’ cuarta proporcional

9. Hallar la tercia proporcional numérica y geométrica
a) Numérica b) Geométrica
Hallar la tercia Hallar la cuarta proporcional
proporcional de 3, 6 de los segmentos AB, CD, EF
A B C D
3 6 Tomo dos rectas concurrentes
6 x “r” y “r’ “ y sobre ellas llevo los
segmentos como se indica
x 6.6 / 3 12
G r Unimos los puntos
B(E) y D
D
AB CD Trazamos una
C CD DG paralela a BD que
pase por D
A
B El segmento DG es la
C’ D’
r’ cuarta proporcional

10. Hallar la media proporcional numérica y geométrica
a) Numérica b) Geométrica
Hallar la media Hallar la media proporcional
proporcional de 3, 12 de los segmentos AB, CD
A B C D
3 x Llevamos ambos segmentos
consecutivos ( En línea recta y
x 12 seguidos )
x 2 3.12 36; x 6 Media geométrica
En el punto de unión de los dos
segmentos
Levantamos una perpendicular
, que cortará con la
circunferencia Ese segmento
es la media de los otros dos

11. PROBLEMA
Los números 2, 5 y 7 y los números 14, 35, 49 ¿son proporcionales? ¿Cuál
es la constante que permite pasar de los primeros a los segundos? ¿Y al
revés?
Verifico si puedo realizar
proporciones entre los números.
Mayo de los tres primeros a mayos 2 5 7
de los segundos; menor a menor y
mediano a mediano … 14 35 49
Vemos que si son proporcionales, producto de medios igual a producto
de extremos.
La constante de proporcionalidad de los primeros a los segundos ―x7‖
La constante de proporcionalidad de los segundos a los primeros ―: 7 ―

12. PROBLEMA
Las siguientes tablas expresan las valores de dos magnitudes.
2 3 4 5 6 Magnitud M 2 3 4 5 6
Magnitud M
Magnitud M’ 5 6 7 8 9 Magnitud M’ 14 21 28 35 42
a) Indica si son magnitudes directamente proporcionales
b) Pon caso afirmativo, determina la constante de proporcionalidad.
a) Las magnitudes de la primera tabla no son proporcionales, Pues ningún
factor puede pasar de la magnitud M a la M’
b) La magnitudes de la segunda tabla si son proporcionales y la constante
de proporcionalidad es ―7‖ para pasar de M a M’ y ―:7‖ para pasar de M’ a M

13. PROBLEMA
Dibuja la figura semejante a la siguiente si la razón de semejanza es 3, en una
cuadricula que tiene el lado triple que el lado de la otra cuadrícula.
Para obtener la figure semejante, se multiplica por 3. tanto les longitudes de
las líneas de la figura, como la longitud del lado de la cuadrícula original.

14. PROBLEMA
Construye las figuras semejantes a las siguientes si la razón de semejanza es 2.

15. PROBLEMA
Construye las figuras semejantes a las siguientes si la razón de semejanza es 2.
Observar que la razón de semejanza de los
lados es dos , pero que del área es 2x2 = 4.
La razón de semejanza de las áreas es la de
las longitudes al cuadrado.

16. PROBLEMA
Mide los siguIentes dibujos a) ¿Son figuras
semejantes? b) ¿Cuál es la razón de
semejanza?

17. PROBLEMA
En los siguientes dibujos, mide el largo y el ancho. Compara con las
medidas reales que están expresadas y escribe la razón de semejanza.
a) La farola mide 3,5 centímetros de alto y
en la realidad mide 2,8 metros.
Luego la razón de semejanza es
3,5cm 35 mm 5 1
2,8m 2800 mm 400 80
b) El perro mide 2 centímetros de alto y en
la realidad mide 40 centímetros.
Luego la razón de semejanza es:
2cm 1cm 1
0,05
40cm 20cm 20

18. PROBLEMA
Para las siguientes figuras expresa la razón de semejanza teniendo en cuenta
que las medidas que se indican son las reales.
a) El avión mido 3,3 centímetros de largo y
en la realidad mide 60 metros.
Como 60 metros son 6 000 centímetros, la
razón de semejanza es: 3,3:6000
b) El árbol mide 2 centímetros de alto y en
la realidad mido 5 metros.
Como 5 metros son 500 centímetros, la
razón de semejanza es: 2:500 equivalente
a 1:250
e) La silla mide 2,4 centímetros de alto y
en realidad mide 120 centímetros. Luego
la razón de semejanza es: 2,4:120 = 0,02
d) La televisión mide 1,5 centímetros de
alto y en la realidad mide 60 centímetros.
Luego la razón de semejanza es:1,5:60 o
lo que es lo mimo 3:120 ó 1:40

19. PROBLEMA
Con ayuda del teorema de Tales construye un triángulo semejante al ABC
siendo la razón de semejanza 1,5.
Sobre la semirrecta CA, llevo medio segmento de CA (CA/2), y lo
mismo hago sobre la semirrecta BC, así obtengo los puntos A’ y C’,
que al unirlos me dan el tercer lado del triángulo
Se modo que CA’ = 1,5.CA y BC’ = 1,5.BC de modo que
CA' 1,5.CA
1,5
CA BA
..........
.

20. PROBLEMA
Con ayuda del teorema de Tales construye un triángulo semejante al triángulo
ABC sabiendo que la razón de semejanza es 2.
Sobre la semirrecta BA, duplico la distancia BA, y lo mismo hago
sobre la semirrecta BC, así obtengo los puntos A’ y C’, que al unirlos
me dan el tercer lado del triángulo
Se modo que BA’ = 2.BA y BC’ = 2.BC de modo que
BA' 2.BA
2
BA BA
..........
.

21. PROBLEMA
Construye un triángulo semejante al triángulo ABC sabiendo que
la razón de semejanza es 1/4
Trazo una paralela a uno de los lados , y me quedarán dos
triángulos en posición de Tales y por tanto semejantes.
La paralela debo trazarla por la cuarta parte de uno de los
lados , midiendo, trazando mediatrices o dividiendo por el
teorema de Tales uno de los lados en 4 partes iguales

22. PROBLEMA
Divido el segmento AB de longitud 16 centímetros en 5 partes Iguales.
Dibujamos el segmento de 16 cm. En al extremo A colocamos una línea auxiliar
y concurrente con ella AH, sobre esta semirrecta llevamos un segmento que
tomamos como unidad 5 veces , con lo que llegamos al punto G
Unimos G con B, y luego trazamos paralelas a GB, por los puntos C,D,E,F
Y obtenemos los puntos C’, D’, E’, F’ que dividen al segmento en 5 partes
iguales.
Unidad-tamaño libre
H

23. PROBLEMA
Divide el segmento MN de longitud 13 centímetros en 7 parte, Iguales.
Dibujamos el segmento de 13 cm. En al extremo M colocamos una línea
auxiliar y concurrente con ella MK, sobre esta semirrecta llevamos un
segmento que tomamos como unidad 7 veces , con lo que llegamos al punto I
Unimos I con N, y luego trazamos paralelas a IN, por los puntos C,D,E,F,G,H,
Y obtenemos los puntos C’, D’, E’, F’, G’, H’ que dividen al segmento en 7
partes iguales.
Unidad-tamaño libre
K

24. PROBLEMA
En a escalera de la figura, ¿cuánto medirá el peldaño AB?
Tenemos triángulos en posición de Tales:
Realizamos la siguiente proporción que nos permite hallar AB
parte 5 todo 5 15
parte AB todo 3
AB 15 / 20 0,75 m

25. PROBLEMA
Halla los puntos medios do los lados de un triángulo ABC cualquiera:
A’ punto medio de BC
B’ punto medio de CA
C’ punto modio do AB
a) Dibuja el triánguloA’B’C’.
b) ¿Es A’B’C’ semejante a ABC?
Por ser A’, B’, C’ puntos medios de los lados entonces se producen las
siguientes igualdades
AC=2.A’C’ Hacemos proporciones entra los lados que se
corresponden (los opuestos a ángulos iguales )
AC=2.A’C’
C ' A' C ' A' 1
AC=2.A’C’ Ángulo B  Son semejantes
CA 2.C ' A' 2
ya que siempre
B' A' B' A' 1
Ángulo C  BA 2.B' A' 2 obtenemos la
misma razón.
C ' B' C ' B' 1
Ángulo B 
CB 2.C ' B' 2

26. PROBLEMA
En la figura se ha construido un pentágono semejante al ABCOE. Las
medidas que aparecen en la figura están expresadas en centímetros.
Sirve para
encontrar la
razón , que vale
para toda la
figura
Sabiendo que AB´mide 7,5 halla las siguientes distancias B’C’, C’D’, D’E’ y AE’.
Por ser figuras puedo establecer proporciones entre los lados
homólogos, los que se corresponden, los opuestos a ángulos iguales
5 AC AD 5 AE’=7,5
AB AC AD AE
AB' AC' AD' AE' 7,5 AC' AD' AE'
B’C’=7,5.3/5
AB BC CD DE 5 3 4 6
7,5 B' C ' C ' D' D' E ' C’D’=7,5.4/5
AB' B' C ' C ' D' D' E '
AC AC' AC AC' B’C’=7,5.6/5
...... ......
CD C ' D' CD C ' D'

27. PROBLEMA
Indica cuáles de las siguientes parejas de triángulos son semejantes y cuáles
no. En caso afirmativo determina la razón de semejanza:
a) 3,4,5 y 6.8,10
b) 6,7,8 y 7,8,9
6 8 10
2
3 4 5
7 8 9
1,17 1,14 1,13
6 7 8

28. PROBLEMA
Escribe los lados de cinco triángulos semejantes a un triángulo de
lados 3 cm, 4cm y 5cm.
Por ser semejantes los nuevos triángulos tienen que formar proporción
con este
La proporciones se obtenían multiplicando por un mismo número.
Por lo cual es suficiente con que multipliquemos a los lados por un mismo
número a todos
Ej x3 = 3.3; 4.3; 5.3  9, 12, 15
x7 = 3.7; 4,7; 5.7  21, 28, 35

29. PROBLEMA
Halla el triángulo de lados enteros más pequeño semejante a cada uno de los
casos siguientes
a) 6cm, 8cm, 10cm c) 12cm, 16cm, 20cm
b) 9cm, 12cm, 15cm d) 15cm, 20cm, 25cm
Se trata de buscar otros triángulos que tengan números proporcionales y menores (
divididos por un número , lo más pequeños posibles, o sea divididos por el máximo
común divisor
a) m.c.d ( 6,8,10) = 2 , luego los lados serán 6/2, 8/2, 10/2  3,4,5
b) m.c.d ( 9,12,15) = 3 , luego los lados serán 9/3, 12/3, 15/3  3,4,5
c) m.c.d ( 12,16,20) = 4 , luego los lados serán 12/4, 16/4, 20/4  3,4,5
d) m.c.d ( 15,20,25) = 5 , luego los lados serán 15/5, 20/5, 25/5  3,4,5

30. PROBLEMA
Las siguientes parejas de triángulos Semejantes
a) 3,4,5 6,x,y
b) 6,6,6 x,y,24
c) X, 5, 8 12, y, 16
Calcula la razón de semejanza y los valores de los lados desconocidos.
Al decirnos que son semejantes han de cumplir que sus lados sean
proporcionales por tanto
3 4 5 1
Razón ; x 8; y 10
6 x y 2
6 6 6 1
Razón ;x 24; y 24
x y 24 4
x 5 8 1
Razón ;x 6; y 10
12 y 12 2

31. PROBLEMA
Indica cuáles de las siguientes parejas de triángulos con semejantes y
cuáles no:
a) 3cm, 3 3 , 6 cm 30º, 60º, xº
b) 10 cm ; 10 cm; 10 2 b) 45º; 45º; xº
a) El 2º es rectángulo por tener un ángulo de 180-(30+60) = 90º
Pero 32=9, (3 3 ) 3 27 ,62=36 Luego ambos son triángulos
rectángulos pero es insuficiente para asegurar que son
semejantes
b) El segundo es triángulo isósceles 45º y 45º y rectángulo ya
que tiene un ángulo de 180º-(45º+45º)=90º
Y el primero también es isóscele 10, 10 y rectángulo ya que
10 2 10 2 (10 2 ) 2

32. PROBLEMA
El terreno de un padre viene representado por el triángulo ABC, Le quiere dar una
parte a su hijo, para lo cual a construido el triángulo BED. ¿Son los triángulos
ABC y BED semejantes ?
a) Ambos tienen un ángulo recto
b) Ambos tienen un ángulo en común , el ángulo B
c) El tercer ángulo es por tanto igual, juntos valen 180º
Por tanto, los triángulos tienen los tres ángulos iguales- Aplicando el
criterio segundo de semejanza de triángulos, son semejantes.

33. PROBLEMA
La sombra de una torre en un momento del día mide 20 metros. En ese momento la
sombra de una vara vertical de 1 metro mide 40 centímetros. Calcule la altura de la
torre.
Como los rayos solares son paralelos, forman ángulos iguales con la horizontal.
Por tanto, los triángulos formados por las sombras de la torre y de la vara son
semejantes. (Tres ángulos iguales – El recto el de incidencia en el suelo,
inclinación del rayo)
Luego los triángulos son semejantes y se pueden hacer proporciones .
H to Cmay to Cmen to 20 m 40 cm
x 20 m.100 cm / 40 cm 50 m
H va Cmay va Cmen va x 1m(100 cm)

34. PROBLEMA
Los lados correspondientes de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 12 cm.
El área del primer triángulo mido 32 cm2. Halla el área del segundo triángulo.
T1 T2
8 12
8 2
Razón de los lados es
12 3
2 2 4
Razón de las áreas ( )
3 9
Luego s1 4 32cm2
x 32.9 / 4 72cm2
s2 9 x

35. PROBLEMA
En un mapa a escala 1:500 000 se tienen las siguientes distancias:
a) 3,5cm b) 15cm
Halla las distancias reales.
1 3,5cm
Escala x 3,5cm.500000 1750000cm 17,5Km
500000 x
1 15cm
Escala x 15cm.500000 12000000cm 75Km
500000 x

36. PROBLEMA
En un mapa a escala 1 : 750000 se tienen Las siguientes distancias:
a) 6,5cm b) 12,7cm c) 16cm d) 3cm
Halla las distancias reales.
1 6,5cm
a) Escala x 6,5cm.750000 4875000cm 48,75Km
750000 x
1 12,7cm
Escala x 12,7cm.750000 9525000cm 95,25Km
750000 x
1 16cm
Escala x 16cm.750000 12000000cm 12Km
750000 x
1 3cm
Escala x 3cm.750000 6225000cm 62,25Km
750000 x

37. PROBLEMA
En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de 2 centímetros
¿Cuál será la distancia real sabiendo que el mapa está realizado a escala
1: 800 000?
1 2cm
Escala x 2cm.800000 1600000cm 16Km
800000 x

38. PROBLEMA
La distancia entre dos ciudades es de 3cm. Halla la distancia real sabiéndo
que:
a) La escala del mapa es 1: 4 000 000.
b) La escala del mapa es 1: 500 000.
o) La escala del mapa es 1 175 000.
1 3cm
Escala x 3cm.4000000 12000000cm 120Km
4000000 x
1 3cm
Escala x 3cm.500000 1500000cm 15Km
500000 x
1 3cm
Escala x 3cm.175000 1,75Km
175000 x

39. PROBLEMA
Indica qué escala se aplica cuando en una fotocopiadora:
a) Se reduce al 25 %.
b) Se amplía al 300 %.
25 1
a ) Escala
100 4
300
b) Escala 3
100
Luego las escalas son a) 1:4 y b) 3:1

40. PROBLEMA
En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 5,5 centímetros
¿Cuál será a distancia real sabiendo que el mapa está realizado a escala
1:500000?
1 5,5cm
Escala x 5,5cm.500000 2750000m 27,5Km
500000 x

41. PROBLEMA
En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de 3 centímetros. Halla la
escala sabiendo que ambas ciudades están a una distancia de 66 kilómetros.
Dibujo 3cm
Escala
Re alidad 66Km
3cm 1
6600000cm 2200000
Escala 1: 2200000

42. PROBLEMA
La superficie real de una casa es de forma rectangular, de 12 metros
de argo y 10 metros de ancho. ¿Qué medidas tendrá en un plano que
está realizado a escala 1: 50?
1 x
Escala x 12m / 50 24cm
50 12m
1 x
Escala x 10m.50 20cm
50 10m
Medidas del dibujo 24x20cm

43. PROBLEMA
En el plano de una casa, el salón mide 2 centímetros de ancho y 3 centímetros
de largo. Como el plano realizado a una escala 1:200, ¿cuáles serán las
dimensiones del salón?
1 2cm
Escala x 2cm.200 4m
200 x
1 3cm
Escala x 3cm.200 6m
200 x
Las medidas son 4 m x 6 m

44. PROBLEMA
Determina la escala a la que se ha hecho el plano de una ciudad si 100
metros de la realidad se representan por 1 centímetro en el plano.
dibujo 1cm
Escala
realidad 100m
1cm 1
poniendo las mismas unidades
10000cm 10000
Escala por tanto 1:10000

45. PROBLEMA
Un edificio tiene forma de ortoedro y sus medidas reales Son 40 metros de
largo, y 25 metros de ancho y 30 de alto. Halla las dimensiones de una
maqueta realizada a:
a) Escala 1 :10. b) Escala 1:50
A escala 1:10 A escala 1:50
Largo Largo
1 x 1 x
Escala x 40m / 10 4m Escala x 40m / 50 0,8m
10 40m 50 40m
Ancho Ancho
1 x 1 x
Escala x 25m / 10 2,5m Escala x 25m / 50 0,5m
10 25m 50 25m
Alto Alto
1 x 1 x
Escala x 30m / 10 3m Escala x 30m / 50 0,6m
10 30m 50 30m

46. PROBLEMA
La maqueta de un puente tiene 1,5 metros de largo y 0,03 metros de ancho.
¿Cuáles serán las medidas reales sabiendo que está realizada a escala 1:1000?
Longitud
1 1,5m
Escala x 1,5m.1000 1500m
1000 1x
Ancho
1 0,3m
Escala x 0,3m.1000 300m
1000 x

47. PROBLEMA
Un topógrafo va a hacer un plano de un terreno de forma de hexágono
regular de 10 metros de lado,
a) ¿Cuánto medirá el lado del hexágono del plano si este se realiza a
escala 1:100?
b) Dibuja el plano del terreno a dicha escala
1 x
Escala x 10m / 100 0,10m 10cm
100 10m

48. PROBLEMA
Observa la figura:
a) Encuentra dos triángulos semejantes .
b) Establece una proporción para hallar la anchura del río.
c) Calcula la anchura del río sabiendo que AB=1,5 cm AN=1,2 cm, AC=8,5
M
Los triángulos AMC y ANB,
son semejantes por ser NB
N paralela a MC
A C
B Por ser semejantes se
pueden formar las
siguientes proporciones
AN AB NB
AM AC MB Haciendo uso de las medidas tenemos
1,2 1,5 NB Anchura del río NM =6,8 -1,2=5,6
; AM 6,8
AM 8,5 MB

49. PROBLEMA
En un plano la escala es 1:50000, dos puntos distan 4 cm, Calcula
mentalmente la distancia entre esos dos puntos en la realidad.
1 4cm
Escala x 4.50000cm 200000cm 2 Km
50000 x
Sobre un mapa a escala 1: 800000, dos dudadas distan 9 cm. Calcuta
mentalmente la distancia entre esas ciudades la realidad.
1 9cm
Escala x 7200000cm 7200000cm 72Km
800000 x
En una maqueta realizada a escale 1:40 la distancia del tejada al suelo
es de 60cm. Calcula mentalmente dicha distancia en la realidad.
1 60cm
Escala x 2400cm 24m
40 x

50. PROBLEMA
Averigua si los siguientes pares de triángulos son semejantes o
no. Razónalo utilizando algún criterio semejanza de triángulos.
12 24 16
a) Se aplica el criterio de proporcionalidad de lados
6 12 6
primer criterio , lados proporcionales.
27 18 24
b) Se aplica el criterio de proporcionalidad de los lados 18 12 16
24 28 30
c) Los tres ángulos iguales ( en posición de Tales) 36 42 45
30 24 21
d) Son semejantes ya que Dos ángulos iguales 10 8 7

51. PROBLEMA
Divide el segmento AB en 8 partes iguales.
Se divide el segmento AB en 8 partes iguales:
Colocamos el segmento de 7 cm, y concurrente con él llevamos
un segmento de una longitud que deseemos
Tomamos un segmento cualquiera como unidad y lo llevamos
sobre esta línea auxiliar 8 veces

52. PROBLEMA
Los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes. Si AB’ mide 9 cm, halla las
siguientes distancias: AC’ y B’C’
Se calcula la razón de semejanza:
AB' 9 3
1,5
AB 6 2
Luego debe cumplir que AC’ = 1,5 . AC
Por tanto: AC’=1,5 . 5 = 57
Razonando de la misma manera:
B’C’ = 1,5 . BC = 1,5 . 4 = 6
Luego AC’ mide 7.5 centímetros y B’C’ 6
centímetros.

53. PROBLEMA
Los lados de un triángulo miden 10 cm, 7cm y 6cm. Y los de otro miden 20
cm, 14cm y 32cm. respectivamente. ¿Son semejantes estos triángulos?
Los triángulos no son semejantes, pues los lados homólogos no son
proporcionales.
10 7 6
0,5 0,5 0,19
20 14 32

54. PROBLEMA
¿Cuál es la mejor forma de colocar estos triángulos para ver si son
semejantes?
La mejor forma de colocar los
triángulos, pare ver su semejanza es
situados de manera que tengan un
ángulo en común.
Colocados de esta manera los lados
adyacentes deben estar en misma
recta y los lados opuestos deben ser
paralelos
En la figura se observe que el ángulo
A es común, los lados AC y AC’
están en la misma recta al igual que
los lados AB y AB’ y los lados BC y
BC’ son paralelos.
Por tanto, los triánguIos son
semejantes.

55. PROBLEMA
En un mapa con escala 1 : 25000 dos lugares están separados 4 centímetros
Determina la distancia real entre ambos lugares.
La escale indica que 1 centímetro del mapa representa 25000
centímetros de la realidad.
Por tanto, 4 centímetros en el mapa son: 4 . 25000 = 100000
Se pasan los centímetros a kll6metros: 100000cm 1 km

56. PROBLEMA
Los lados de una parcela en forma de cuadrilátero miden 10 cm, 12 cm, 22
cm y 18 cm. Halla las dimensiones reales sabiendo que la razón do
semejanza es 1 :200. Expresa estas dimensiones en metros.
Los lados de la parcela se obtienen multiplicando los valoras de
sus medidas en el plano por la razón de semejanza, 200.
Por tanto, las medidas del terreno son:
10 . 200 = 2000 12 . 200 = 2400
22 . 200 =4400 18 •200 = 3600
Se pasan las medidas a metros:
2000 cm = 20 m, 2400 cm =24 m
4400 cm = 44 m 3600 cm = 36 m

57. PROBLEMA
Las medidas de un terreno triangular son 300 m, 400 m y 500 m. En un
triángulo a escala, es decir, semejante al del terreno, el lado
correspondiente al más pequeño mide 6 cm. Halla los restantes lados.
Se pasan los metros a centímetros: 300 m = 30000 cm
400 m=40000cm 500m=50000 cm
Se calcula la escala para ello se halla el cociente del lado más
pequeño del terreno y el lado más pequeño del triangulo a escala:
30000
5000
6
Se calculan lados desconocidos del triángulo a escala para ello se
dividen las longitudes de los lados del terreno entre la escala
40000 50000
8 10
5000 5000
Por tanto, los lados pedidos miden 8 y l0 centímetros.

58. PROBLEMA
Un pino en un momento del día, proyecta una sombra de 12 metros. En ese
mismo momento, otro pino de 1,60 metros proyecta una sombra de 80
centímetros. Calcula su altura.
Se pasan los centímetros a metros: 80 cm = 0,8 m
Como los rayos solares son paralelos, forman ángulos iguales con la
horizontal.
Por tanto los triángulos formados por las sombras de los pinos son
semejantes
Luego si h, es la altura, en metros, del pino que proyecta la sombra de 12
metros se cumple que:
h 1,6 1,6.12
h 24
12 0,8 0,8
Por tanto, la altura del pino es 24 metros.

59. PROBLEMA
Halla la medida de los lados de un triángulo isósceles de 72 cm de perímetro
sabiendo que la razón de un de los lados Iguales a la base es de 3 a 2.
x x
y
Se llama “x” a los lados iguales del triángulo. Se llama “y” al lado desigual.
La razón de uno de los lados iguales con el lado desigual es:
x 3
1,5
luego: x=1,5y y 2
Como el perímetro mide 72 centímetros, se cumple que: x + x+ y = 72
Se sustituye “x” por su valor y nos queda: 1,5 y +1,5 y + y = 72
4y = 72
Luego y = 18
Se calculan las medidas que son: 27, 27 y 18 centímetros.

60. PROBLEMA
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75
metros, sabiendo que es semejante a otro rectángulo tuyos lados
miden 36 metros y 45 metros, respetivamente.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal del rectángulo, d
d 362 452 3600 60 m
75
Se calcula la razón da semejanza entre los rectángulos 1,25
60
Se calculan las lados del rectángulo utilizando razón de semejanza:
36.1,25 =45;
48.1,25=60 ;
Luego las dimensiones del rectángulo son 60 metros de largo por 45 de ancho
75 m
36 m
45 m

61. PROBLEMA
El extremo superior de una torre se ve desde un punto del suelo bajo un
ángulo de 45º. La distancia al de la torre es de 30 metros.
a) Dibuja a escala esta situación.
b) Comprueba en el dibujo cuánto vale la altura de la torre.
c) Halla su valor en la realidad.
a) El dibujo a escala es el siguiente:
b) En el dibujo del apartado anterior, se
observa que el triángulo rectángulo es
isósceles; por tanto, la altura de torre
es igual a la distancia del punto al pie
da a torre
c) Por tanto, como la distancia al pie de
la torre es 30 metros, la altura de la
torre es 30 metros.

62. PROBLEMA
Una bombilla pequeña se encuentra situada a 0,5 m encima de una mesa
cuadrada de 1m de lado y justo en el centro de la mesa. La sombra sobre
el suelo tiene de área 6,76 m2. Halla la altura de la mesa.
0,5 m
1/2 =0,5 m
X = Altura de la mesa
l/2 = 6,76 2,6
X
Formamos la proporción
0,5(altura bombilla) 0,5 x(Cateto)
0,5(medio lado mesa ) 1,3(Cateto)
Resolviendo la ecuación , X altura de la mesa , es 0,80

63. PROBLEMA

64. PROBLEMA
A las 12 del mediodía un abeto proyectaba una sombra de 10 metros. A la misma
hora la sombra de un palo vertical de 1 metro mIde 0,4 metros. ¿Qué altura tiene el
abeto?
Como los rayos solares son paralelos,
forman angulos iguales con le horizontaL
1 lo lO
Si hes a altura del arbol, setiene: — —.
h=— 25
La altura del abeto es 25 metros.