1. atic
as
CAP´
ITULO 7
eM
atem
SEMEJANZA
ept
o. d
´
INTRODUCCION
7.1.
a, D
Definici´n 1.
o
a. Raz´n: se llama raz´n, al cociente de dos cantidades,
o
o
expresadas en la misma magnitud, por ejemplo a .
b
dad
de
An
tio
qui
b. Proporci´n: se llama proporci´n a la igualdad de dos razones. Por
o
o
c
e
e
ejemplo a = d , a los t´rminos a y d se les llama extremos y los t´rminos
b
¯ ¯
b y c se les llama medios, al t´rmino d se le llama cuarta proporcional
e
¯ ¯
¯
entre a, b y c en este orden.
¯ ¯ ¯
En algunos textos de geometr´ se utiliza la notaci´n de proporci´n as´
ıa
o
o
ı:
a : b = c : d que se lee “a es a b como c es a d”
¯
¯
¯
¯
ersi
Propiedades de las proporciones:
a
b
=
c
d
entonces a · d = b · c
2. Si
a
b
=
c
d
y
3. Si
a
b
=
c
d
entonces
b
a
4. Si
a
b
=
c
d
entonces
a±b
b
5. Si
a
b
=
c
d
a
b
=
c
e
Un
iv
1. Si
entonces d = e
entonces
=
d
c
=
a+b
c+d
o
a
c
c±d
d
=
=
b
d
o
a±b
a
a−b
c−d
o
o
d
b
=
a+b
a−b
201
=
c
a
c±d
c
=
c+d
c−d

2. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
202
6. Si
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
= ... =
an
bn
entonces
a2
a3
an
a1 + a 2
a1 + a 2 + . . . + a n
a1
=
=
= ... =
=
= ... =
b1
b2
b3
bn
b1 + b 2
b1 + b 2 + . . . + b n
atic
7.2.
as
b
7. Si b es una magnitud tal que a = d , entonces decimos que b es media
b
¯
¯
proporcional entre a y d o lo que es lo mismo: b es media proporcional
¯ ¯2
¯
entre a y d si y solo si b = a · d.
¯ ¯
PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD
atem
←→
B
o. d
P
A
eM
o
Definici´n 2.
o
1. Un punto P ∈AB divide al segmento AB en una raz´n
PA
r si P B = r.
Si r = 1 entonces P es el punto medio de AB.
a, D
ept
Figura 1.
←→
←→
An
tio
qui
2. Sean AB y CD y sean X ∈AB y Y ∈CD, decimos que X e Y dividen
a AB y CD en segmentos proporcionales si
A
X
¡
Y
dad
¡
D
¡
¡
Un
iv
ersi
¡
C
B
¡
de
XA
YC
=
XB
YD
Figura 2.
El siguiente Lema, llamado el Teorema fundamental del paralelismo es en
realidad una generalizaci´n del Teorema de la paralela media.
o

3. 7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD
203
Lema 1 (Teorema fundamental del paralelismo).
Si tres o m´s rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una
a
secante entonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra
secante.
E
F
m
C
eM
E’
G
n
o. d
F’
H
a, D
b
An
tio
Figura 3.
r
qui
G’
ept
D
a
atic
B
l
atem
A
as
Demostraci´n. (Ver Figura 3.)
o
←→
de
Sean l, m, n, r cuatro rectas paralelas y a una secante que corta a estas
paralelas en A, B, C, D tales que AB ∼ BC ∼ CD. Sea b otra secante que
=
=
corta a las paralelas en E, F, G, H. Veamos que EF ∼ F G ∼ GH.
=
=
←→
←→
Un
iv
ersi
dad
Por Playfair, por E, F, G pasan EE , F F , GG paralelas a a, donde
E ∈ m, F ∈ n, G ∈ r.
Por la proposici´n 2., AB ∼ EE , BC ∼ F F y CD ∼ GG luego EE ∼
o
=
=
=
=
∼ GG y como los angulos E EF ∼ F F G ∼ G GH por correspondientes
FF =
´
=
=
entre paralelas y por la proposici´n n´mero 1, EE F ∼ F F G ∼ GG H y
o u
=
=
por el criterio A-L-A, los siguientes tri´ngulos son congruentes:
a
EE F ∼
=
FF G ∼
=
luego
EF ∼ F G ∼ GH
=
=
GG H,

4. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
204
Teorema 1.
Dado un n´mero entero n y dado un segmento, existen puntos en el interior
u
del segmento que lo dividen en n segmentos congruentes.
as
An−1 An
l
¢
¢
atem
A2
Figura 4.
atic
¢
A1
¢
A
P2
¢
P1
Pn
B
¢
Pn−1
o. d
eM
Demostraci´n. (Ver Figura 4.)
o
Sea AB un segmento y n un n´mero entero, veamos que existen puntos P
u
que dividen al segmento en n segmentos congruentes. Sea l una semirrecta
←→
a, D
ept
cualesquiera, con origen en A tal que l no est´ contenida en la recta AB.
e
ımedes, existen
Sobre la semirrecta l, por el Axioma de continuidad de Arqu´
puntos A1 , A2 , . . . , An−1 , An tales que
qui
AA1 ∼ A1 A2 ∼ . . . An−1 An
=
=
An
tio
Por Playfair, por A1 , A2 , . . . , An−1 pasan paralelas a An B, las cuales se intersectan con AB en P1 , P2 , . . . , Pn−1 , entonces por el lema anterior
de
AP1 ∼ P1 P2 ∼ . . . Pn−1 B
=
=
Un
iv
ersi
dad
Definici´n 3 (Segmentos conmensurables e inconmensurables). Deo
cimos que un segmento es conmensurable si su medida es un n´mero racional
u
y decimos que un segmento es inconmensurable si su medida es un n´mero
u
irracional.
Teorema 2 (Teorema de Tales).
Si tres o m´s paralelas cortan a dos o m´s secantes entonces los segmentos
a
a
que determinan en ellas son proporcionales.
Demostraci´n. (Ver Figura 5.)
o
←→
←→
←→
Sean AD, BE y CF rectas paralelas que cortan las secantes a, b en los puntos

5. 7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD
A
205
D
D1
A1
D2
A2
D3
A3
An−1
Dn−1
B
E
as
E1
B1
Em
Bm
F Em+1
a
eM
b
atem
C
Bm+1
atic
E2
B2
ept
o. d
Figura 5.
de
An
tio
qui
a, D
A, D, B, E, C, F respectivamente.
AB
EF
Veamos que BC = DE o equivalentemente BC = DE
EF
AB
BC
EF
Llamemos x = AB e y = DE y veamos que x = y
Sea n un n´mero entero cualesquiera, entonces por el Teorema 1., existen
u
puntos A1 , A2 , . . . , An−1 que dividen al segmento AB en n segmentos congruentes:
AA1 ∼ A1 A2 ∼ A2 A3 ∼ . . . ∼ An−1 B,
AB = nAA1 .
=
=
=
=
←→
ersi
dad
Por Playfair, por A1 , A2 , . . . , An−1 pasan rectas paralelas a AD que cortan
a b en D1 , D2 , . . . , Dn−1 , luego por el Lema 1. (Teorema fundamental del
paralelismo), los segmentos:
DD1 ∼ D1 D2 ∼ D2 D3 ∼ . . . ∼ Dn−1 E,
DE = nDD1 .
=
=
=
=
Un
iv
Por el Axioma de Arqu´
ımedes, existen puntos B1 , B2 , . . . , Bm , Bm+1 en la
−
−
→
BC tales que
BB1 ∼ B1 B2 ∼ B2 B3 ∼ . . . ∼ Bm Bm+1 ∼ AA1 ,
=
=
=
=
=
y C entre B, Bm+1 , por tanto BBm = mAA1 .
Luego,
BBm
mAA1
m
=
=
AB
nAA1
n

6. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
206
←→
Por Playfair, por B1 , B2 , . . . , Bm , Bm+1 pasan paralelas a AD que cortan a
−
→
EF en los puntos
E1 , E2 , . . . , Em , Em+1
y por el Lema 1. (Teorema fundamental del paralelismo),
EE1 ∼ E1 E2 ∼ E2 E3 ∼ . . . ∼ Em Em+1 ,
=
=
=
=
y F entre E y Em+1 , ya que C esta entre B y Bm+1 luego
o b.) x >
atem
m
n
m
.
n
eM
Dos casos pueden ocurrir: a.) x =
a.) Si x = m , entonces
n
atic
EEm
mDD1
m
=
=
DE
nDD1
n
as
EEm = mDD1 .
ept
o. d
m
mAA1
BBm
BC
=x=
=
=
AB
n
nAA1
AB
BC
m
>
nAA1
n
m
n
entonces x =
BC
AB
>
m
n
o sea que
An
tio
b.) Supongamos que x >
qui
a, D
y por lo tanto BC = BBm y como C y Bm est´n del mismo lado con respecto
a
a B entonces por el axioma de construcci´n de segmento, C ≡ Bm , entonces
o
EF
F ≡ Em , luego m = EEm = DE = y.
n
DE
y mAA1 < BC < (m + 1)AA1
de
y
dad
mDD1 < EF < (m + 1)DD1
por lo tanto
Un
iv
ersi
EF
mDD1
m
EF
=
>
= .
DE
nDD1
nDD1
n
En resumen, hemos demostrado que si x > m entonces y > m .
n
n
De la misma manera se demuestra que si y > m entonces x > m .
n
n
Hasta aqu´ hemos demostrado que para todo n´ mero racional m , si
ı,
u
n
x > m entonces y > m y rec´
ıprocamente, si y > m entonces x > m . En
n
n
n
n
otras palabras, todo n´mero racional a la izquierda de x esta tambi´n a la
u
e
izquierda de y y todo n´mero racional a la izquierda de y esta a la izquierda
u
de x. Todo esto significa que no hay un n´ mero racional entre x e y, ya
u
y=

7. 7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD
207
que si hubiera un n´mero racional entre x e y entonces estar´ a la izquierda
u
ıa
de uno de ellos y a la derecha del otro, lo cual contradice lo demostrado; por
lo tanto x = y, es decir:
AB
DE
=
BC
EF
as
Corolario 1 (Teorema de Tales en el tri´ngulo). Toda recta paralela a
a
un lado de un tri´ngulo y que corte a los otros dos lados, divide a estos lados
a
en segmentos proporcionales.
eM
atem
atic
A
F
o. d
E
C
a, D
qui
Figura 6.
ept
B
luego
y
=
FA
;
FC
por
EA
FA
=
AE + EB
AF + F C
de
FA + FC
EA + EB
=
EB
FC
EA
EB
An
tio
Lo que afirma este corolario es que si EF ||BC entonces
las propiedades de las fracciones
AB
AC
=
AE
AF
Un
iv
ersi
dad
AB
AC
=
y
EB
FC
esto demuestra el siguiente corolario.
Corolario 2. Dos lados de un tri´ngulo son proporcionales a los segmentos
a
que en ellos determina cualquier recta paralela al tercer lado.
El siguiente teorema es el rec´
ıproco del Corolario 1
Teorema 3 (Rec´
ıproco del Teorema de Tales en el tri´ngulo).
a
Si una recta intercepta dos lados de un tri´ngulo en segmentos propora
cionales entonces la recta es paralela al tercer lado del tri´ngulo.
a

8. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
208
A
F l
E
F’
C
atem
atic
Figura 7.
as
B
l
AE
AF
=
EB
FC
o. d
l ∩ AB = {E}, l ∩ AC = {F },
eM
Demostraci´n. (Ver Figura 7.)
o
Sea el ABC y l una recta tal que
AF
FC
=
AF
F C
An
tio
luego
qui
AE
AF
=
EB
FC
a, D
ept
Por Playfair, por E pasa l ||BC la cual intercepta a AC en F , entonces por
el Corolario 1 (Teorema de Tales en el tri´ngulo), se tiene:
a
y por las propiedades de las fracciones
FC
AF
=
F C
AF
o sea que
dad
que es lo mismo que
de
F C + AF
F C + AF
=
AF
AF
Un
iv
ersi
AC
AC
=
AF
AF
luego AF = AF y por tanto AF ∼ AF y como F, F est´n del mismo lado
a
=
con respecto a A entonces por el axioma de construcci´n de segmento F ≡ F
o
y por lo tanto EF ||BC.
En forma similar se demuestran los siguientes rec´
ıprocos:
Corolario 3 (Rec´
ıproco del Corolario 2). Si dos lados de un tri´ngulo son
a
proporcionales a los segmentos que en ella determina una recta que intercepta
los dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado del tri´ngulo.
a

9. 7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD
209
A
E
F
C
AB
AC
=
EB
FC
o
´
o. d
AB
AC
=
AE
AF
ABC (Ver Figura 8.)
eM
Lo que afirma este corolario es que si en el
atem
atic
Figura 8.
as
B
a, D
ept
entonces EF ||BC
An
tio
qui
Teorema 4 (Propiedades m´tricas de la bisectriz de un tri´ngulo).
e
a
La bisectriz de un angulo de un tri´ngulo divide al lado opuesto en segmen´
a
tos proporcionales a los otros dos lados.
Demostraci´n. (Ver Figura 9.)
o
Sea AV bisectriz de A en el ABC con V ∈ IntBC. Veamos que
←→
VB
VC
=
AB
.
AC
Un
iv
ersi
dad
de
Por Playfair, por C pasa l||AV ; sea {D} = l∩ BA, luego por alternos
internos entre paralelas, V AC ∼ ACD y por correspondientes entre par=
∼ ADC, pero como AV es bisectriz por hip´tesis, entonces
alelas, BAV =
o
∼ V AC, luego
BAV =
ADC ∼ ACD
=
y por el teorema del tri´ngulo is´sceles, se tiene que
a
o
por lo tanto
AD ∼ AC.
=
Por el corolario 2 (Teorema de Tales en el tri´ngulo),
a
AB
VB
=
,
VC
AD
ADC es is´sceles y
o

10. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
210
l
D
o. d
C
ept
V
Figura 9.
a, D
B
eM
atem
atic
as
A
qui
luego
An
tio
AB
VB
=
.
VC
AC
ersi
dad
de
Teorema 5 (Rec´
ıproco del teorema anterior).
Si una recta que pasa por el v´rtice de un tri´ngulo divide al lado opuesto
e
a
en segmentos proporcionales a los otros dos lados, entonces esta recta es
bisectriz del angulo ubicado en el v´rtice por donde pasa la recta.
´
e
Un
iv
Demostraci´n. (Ver Figura 10.)
o
←→
Supongamos que en el ABC se tiene que AV con V ∈ IntBC, tal que
VB
= AB . Veamos que AV es bisectriz de A.
VC
AC
←→
Por Playfair, por C pasa l||AV ; sea {D} = l∩ BA.
AB
Como l||AV , entonces por el corolario 2, V B = AD , pero por hip´tesis
o
VC
AB
VB
=
,
VC
AC

11. 7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD
211
l
D
o. d
C
ept
V
Figura 10.
a, D
B
eM
atem
atic
as
A
entonces
ersi
dad
de
An
tio
qui
AB
AB
=
AC
AD
y por las propiedades de las fracciones AD = AC o sea que AD ∼ AC,
=
por lo tanto el ADC es is´sceles y por el Teorema del tri´ngulo is´sceles,
o
a
o
ADC ∼ ACD.
=
Por otro lado, por alternos internos entre paralelas, V AC ∼ ACD y por
=
∼ ADC.
correspondientes entre paralelas, BAV =
Luego BAV ∼ V AC, luego AV es bisectriz de A.
=
Un
iv
Teorema 6 (Propiedades m´tricas de la bisectriz exterior de un
e
tri´ngulo).
a
La bisectriz de un angulo exterior de un tri´ngulo, que no sea paralela al lado
´
a
opuesto, divide exteriormente al lado opuesto en segmentos proporcionales
a los otros dos lados.
Demostraci´n. (Ver Figura 11.)
o
Sea AV bisectriz del angulo exterior EAC en el
´
←→
ABC con V ∈BC y

12. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
212
E
A
l
C
B − C − V . Veamos que
V B
V C
=
V’
atem
Figura 11.
eM
B
atic
as
D
AB
.
AC
←→
qui
a, D
ept
o. d
Por Playfair, por C pasa l||AV ; sea {D} = l∩ BA, luego por alternos
internos entre paralelas, V AC ∼ ACD y por correspondientes entre pa=
∼ ADC, pero como AV es bisectriz por hip´tesis, entonces
ralelas, EAV =
o
∼ V AE, luego
CAV =
ADC ∼ ACD
=
ADC es is´sceles y
o
An
tio
y por el teorema del tri´ngulo is´sceles, se tiene que
a
o
por lo tanto
AD ∼ AC.
=
de
Por el corolario 2 (Teorema de Tales en el tri´ngulo),
a
ersi
luego
dad
AB
V B
=
,
V C
AD
Un
iv
V B
AB
=
.
V C
AC
El rec´
ıproco de este teorema se deja como ejercicio.
Teorema 7 (Rec´
ıproco del Teorema anterior).
Una recta que pase por el v´rtice de un tri´ngulo y divida la prolongaci´n del
e
a
o
lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del tri´ngulo,
a
es bisectriz del angulo exterior ubicado en este v´rtice.
´
e

13. 7.3. SEMEJANZA DE POL´
IGONOS
213
Definici´n 4 (Divisi´n arm´nica). Si A y B son dos puntos distintos y
o
o
o
←→
C ∈ IntAB y D ∈AB pero D ∈ AB, decimos que C, D dividen arm´nica/
o
mente a AB si
DA
CA
=
CB
DB
A
C
B
D
£
£
£
£
atic
as
Figura 12.
ept
o. d
eM
atem
A los puntos C y D se les llama los conjugados arm´nicos con respecto a
o
A y B.
Los puntos A, B, C, D en este orden, se dice que forman una divisi´n arm´nica.
o
o
Tambi´n, de acuerdo a la definici´n, podemos afirmar que A y B son conjue
o
gados arm´nicos con respecto a CD.
o
Por los teoremas 4 y 6 y por la definici´n de conjugado arm´nico, podemos
o
o
afirmar el siguiente teorema.
qui
a, D
Teorema 8.
La bisectriz de un angulo de un tri´ngulo y la bisectriz del angulo exterior
´
a
´
suplementario, dividen al lado opuesto arm´nicamente.
o
SEMEJANZA DE POL´
IGONOS
dad
7.3.
de
An
tio
Nota: de acuerdo a los teoremas anteriores, el lugar geom´trico de los puntos
e
A tales que la raz´n de las distancias a dos puntos fijos B y C sea una
o
constante k, es una circunferencia de di´metro V V , donde V, V son los
a
o
conjugado arm´nicos de BC con raz´n k.
o
Un
iv
ersi
Definici´n 5 (Pol´
o
ıgonos semejantes). Decimos que dos pol´
ıgonos son semejantes si se puede establecer una correspondencia entre sus lados y sus
angulos de tal manera que:
´
1. Los lados correspondientes son proporcionales. A estos lados tambi´n los
e
llamaremos lados hom´logos. La raz´n r entre los lados hom´logos la llao
o
o
mamos raz´n de semejanza.
o
2. Los angulos correspondientes son congruentes. A los angulos correspon´
´
dientes congruentes, tambi´n se les llama angulos hom´logos.
e
´
o
En particular, para los tri´ngulos tenemos la siguiente definici´n.
a
o

14. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
214
Definici´n 6 (Tri´ngulos semejantes). Decimos que el ABC es semeo
a
jante al A B C , lo cual denotamos as´ ABC ∼ A B C , si:
ı
as
BC
AC
AB
=
=
(∗)
AB
BC
AC
A ∼ A , B ∼ B , C ∼ C (∗∗)
=
=
=
A
atem
eM
B’
o. d
C
a
a
C’
ept
B
b
c
b
c
atic
A’
a, D
Figura 13.
An
tio
qui
Nota: 1. Con los teoremas que haremos m´s adelante, mostraremos que (*)
a
implica (**) y rec´
ıprocamente, (**) implica (*).
2. Por las propiedades de las fracciones, se puede demostrar que si dos
tri´ngulos son semejantes, entonces sus lados son entre si como sus per´
a
ımetros, es decir, si ABC ∼ A B C entonces
dad
de
a
b
c
p
= = = =r
a
b
c
p
Un
iv
ersi
donde p = a + b + c =per´
ımetro del ABC, p = a + b + c =per´
ımetro del
A B C y r es la raz´n de semejanza.
o
3. La relaci´n de semejanza entre pol´
o
ıgonos es una relaci´n de equivalencia,
o
es decir, es reflexiva, sim´trica y transitiva (Ejercicio).
e
Definici´n 7 (Pol´
o
ıgonos congruentes). Decimos que dos pol´
ıgonos semejantes, son congruentes si tienen sus lados hom´logos congruentes.
o
Teorema 9.
Dos pol´
ıgonos semejantes son congruentes si un lado de uno de ellos es
congruente con su hom´logo.
o

15. 7.3. SEMEJANZA DE POL´
IGONOS
215
A continuaci´n veremos tres criterios de semejanza de tri´ngulos.
o
a
Teorema 10 (Primer criterio de semejanza: Angulo-Angulo (A-A)).
Si dos angulos de un tri´ngulo son congruentes con dos angulos de otro
´
a
´
tri´ngulo, entonces los dos tri´ngulos son semejantes.
a
a
A
atic
as
A’
F
C
B’
C’
ept
o. d
B
E
eM
D
atem
l
a, D
Figura 14.
o sea
Un
iv
AB
AC
=
,
AD
AE
ersi
dad
de
An
tio
qui
Demostraci´n. (Ver Figura 14.) Supongamos que en los tri´ngulos ABC
o
a
∼ B , C ∼ C , entonces por el teorema de la suma
y A B C se tiene que B =
=
de los angulos interiores de un tri´ngulo, A ∼ A .
´
a
=
−
→
Por el axioma de construcci´n de segmento, existe un punto D ∈ AB y
o
−
→
E ∈ AC tales que AD ∼ A B y AE ∼ A C ; unamos D con E, entonces
=
=
por el criterio L-A-L, el ADE ∼ A B C , por lo tanto DE ∼ B C ,
=
=
ADE ∼ B , pero por hip´tesis B ∼ B, por lo tanto ADE ∼ B y por el
o
=
=
=
teorema de alternos internos (Teorema 31), DE||BC y por el corolario 2,
←→
AB
AC
=
AB
AC
(∗)
←→
Por Playfair, por D pasa l|| AC, sea {F } = l∩ BC y por la proposici´n
o
∼ F C y como DE ∼ B C entonces F C ∼ B C ; por otro
n´mero 2, DE =
u
=
=
lado, por el corolario 2,
BC
AB
=
,
AD
FC
o sea
AB
BC
=
AB
BC
(∗∗)

16. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
216
de (*), (**)
AB
AC
BC
=
=
,
AB
AC
BC
hemos mostrado que los tres pares de angulos son congruentes y los tres pares
´
de lados respectivos son proporcionales, por lo tanto
ABC ∼
ABC
as
Se deja como ejercicio los siguientes corolarios.
atem
atic
Corolario 4 (Paralela a un lado de un tri´ngulo). Una paralela a un
a
lado de un tri´ngulo determina otro tri´ngulo semejante al primero.
a
a
eM
Corolario 5. Si dos tri´ngulos rect´ngulos tienen un par de angulos agudos
a
a
´
respectivamente congruentes, entonces son semejantes.
o. d
Corolario 6. Si dos tri´ngulos tienen sus lados respectivamente paralelos o
a
respectivamente perpendiculares, entonces los dos tri´ngulos son semejantes.
a
a, D
ept
Corolario 7. Las alturas y las bisectrices hom´logas de dos tri´ngulos seo
a
mejantes est´n en la misma raz´n que sus lados hom´logos.
a
o
o
qui
Corolario 8. Dos tri´ngulos is´sceles son semejantes si tienen un par de
a
o
angulos congruentes.
´
An
tio
Corolario 9. Todos los tri´ngulos equil´teros son semejantes.
a
a
ersi
dad
de
Teorema 11 (Segundo criterio de semejanza: P-A-P).
Si un angulo de un tri´ngulo es congruente con otro angulo de otro tri´ngulo
´
a
´
a
y los lados que comprenden al angulo en el primer tri´ngulo son respecti´
a
vamente proporcionales a los lados que comprende al angulo en el segundo
´
tri´ngulo, entonces los dos tri´ngulos son semejantes.
a
a
Un
iv
Demostraci´n. (Ver figura 15.) Tomemos por hip´tesis que A ∼ A y
o
o
=
AB
AC
= A C . Veamos que ABC ∼ A B C .
AB
−
→
−
→
Por el axioma de construcci´n de segmento, existen D ∈ AB y E ∈ AC
o
tales que AD ∼ A B y AE ∼ A C , por lo tanto, por el criterio L-A-L,
=
=
∼ ABC .
ADE =
AB
AC
AC
AB
Por otro lado, como A B = A C entonces AD = AE y por el corolario 3
(rec´
ıproco del corolario 2),
DE||BC

17. 7.3. SEMEJANZA DE POL´
IGONOS
217
A
A’
E
B
C
B’
C’
as
D
atem
ADE ∼
ABC ∼
ABC y por transitividad
eM
Por lo tanto, por el corolario 4,
atic
Figura 15.
o. d
ABC
ept
Corolario 10. Dos tri´ngulos rect´ngulos son semejantes si sus catetos son
a
a
respectivamente proporcionales.
qui
a, D
Corolario 11. Las medianas hom´logas de dos tri´ngulos semejantes, estan
o
a
en la misma raz´n que sus lados hom´logos.
o
o
An
tio
Teorema 12 (Tercer criterio de semejanza:P-P-P).
Si los tres lados de un tri´ngulo son respectivamente proporcionales a los
a
tres lados de otro tri´ngulo, entonces los dos tri´ngulos son semejantes.
a
a
A’
D
B
Un
iv
ersi
dad
de
A
E
C
B’
Figura 16.
C’

18. 218
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
Demostraci´n. (Ver Figura 16.) Tomemos por hip´tesis que
o
o
AB
AC
BC
=
=
AB
AC
BC
(∗)
−
→
−
→
Por el axioma de construcci´n de segmento, existen D ∈ AB y E ∈ AC tales
o
que AD ∼ A B y AE ∼ A C , sustituyendo en (*),
=
=
atic
as
AB
AC
=
AD
AE
y por el corolario 3 (rec´
ıproco del corolario 2),
ADE ∼
eM
ABC, de esta semejanza se
BC
AB
=
AB
DE
o. d
Por lo tanto, por el corolario 4,
concluye que
o sea que
(∗∗),
ept
BC
AB
=
AD
DE
atem
DE||BC
pero por hip´tesis
o
qui
a, D
BC
AB
=
(∗ ∗ ∗)
AB
BC
de (**) y (***) y por las propiedades de las fracciones: DE = B C o sea que
An
tio
DE ∼ B C
=
de
y por lo tanto, por el tercer criterio de congruencia de tri´ngulos L-L-L:
a
∼ A B C y como ADE ∼ ABC, entonces por transitividad,
ADE =
ABC.
dad
ABC ∼
7.4.
Un
iv
ersi
Corolario 12. Si las bases de dos tri´ngulos is´sceles son entre si como sus
a
o
otros lados, entonces los tri´ngulos son semejantes.
a
´
SEMEJANZA EN EL TRIANGULO
´
RECTANGULO
Los resultados de aplicar los conceptos de semejanza al tri´ngulo rect´ngua
a
lo son de mucha importancia, pues obtendremos el teorema de Pit´goras y
a
aplicaciones al tri´ngulo y a los cuadril´teros, a las areas, etc.
a
a
´

19. ´
´
7.4. SEMEJANZA EN EL TRIANGULO RECTANGULO
219
Definici´n 8.
o
a. La proyecci´n ortogonal de un punto exterior a una
o
recta, es el punto de intersecci´n de una recta perpendicular desde el
o
punto a la recta.
b. La proyecci´n ortogonal de un segmento sobre una recta es el segmeno
to determinado por las proyecciones ortogonales de los extremos del
segmento sobre la recta.
B
atic
as
P
A’
l
B’
eM
P’
atem
A
¤
ept
o. d
Figura 17.
An
tio
qui
a, D
En la Figura 17., la proyecci´n ortogonal del punto P sobre la recta l es
o
−→
−
−→
−
el punto P , ya que l ⊥ P P y {P } = l ∩ P P .
La proyecci´n ortogonal del segmento AB sobre la recta l es el segmento
o
A B , donde A y B son las proyecciones ortogonales sobre l de A y B
respectivamente.
dad
de
Teorema 13 (Proporcionalidad en el tri´ngulo rect´ngulo).
a
a
Si en un tri´ngulo rect´ngulo se traza la altura correspondiente a la
a
a
hipotenusa, entonces:
ersi
a. Los dos nuevos tri´ngulos que resultan, son semejantes entre si y sea
mejantes al tri´ngulo original.
a
Un
iv
b. La altura es media proporcional entre los segmentos que ella determina
sobre la hipotenusa.
c. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyecci´n
o
del cateto sobre la hipotenusa.
Demostraci´n. (Ver Figura 18.)
o

20. 220
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
C
A
B
atic
as
D
Figura 18.
ADC ∼
ABC,
eM
atem
a. Sabemos por el corolario 5, que si dos tri´ngulos rect´ngulos tienen un
a
a
angulo agudo congruente, entonces los dos tri´ngulos son semejantes,
´
a
por lo tanto
CDB ∼
ABC ∼
CDB
ept
ADC ∼
o. d
y por transitividad
ABC
An
tio
qui
a, D
b. Como ADC ∼ CDB y CAD ∼ DCB y ACD ∼ CBD entonces la
=
=
relaci´n entre los lados hom´logos del ADC con los lados hom´logos
o
o
o
del CDB es
AD
AC
DC
ADC
:
=
=
CDB
CD
CB
DB
de
luego CD2 = AD · DB o sea que CD es media proporcional entre AD
y DB.
ersi
dad
c. Como ADC ∼ ABC y ACD ∼ CBA y el angulo A es com´n,
´
u
=
entonces la relaci´n entre los lados hom´logos del ADC con los lados
o
o
hom´logos del ABC es
o
Un
iv
ADC
:
ABC
AD
AC
DC
=
=
AC
AB
CB
luego AC 2 = AD · AB o sea que AC es media proporcional entre AD
y AB.
Como CDB ∼ ABC, BCD ∼ CAB y el angulo B es com´n, se
´
u
=
demuestra en forma similar que
CB 2 = AB · DB

21. ´
´
7.4. SEMEJANZA EN EL TRIANGULO RECTANGULO
221
o sea que CB es media proporcional entre AB y DB.
Teorema 14 (Teorema de Pit´goras).
a
El cuadrado de la medida de la hipotenusa en un tri´ngulo rect´ngulo es
a
a
igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.
B
eM
D
Figura 19.
o. d
A
atem
atic
as
C
a, D
ept
Demostraci´n. (Ver Figura 19.) Sea ABC un tri´ngulo rect´ngulo en
o
a
a
C y sea CD la altura relativa a la hipotenusa, entonces por la parte c. del
anterior teorema:
CB 2 = AB · DB
An
tio
y sumando estas dos expresiones, tenemos
qui
AC 2 = AD · AB,
de
AC 2 + CB 2 = AD · AB + AB · DB = AB(AD + DB) = AB · AB = AB 2
Un
iv
ersi
dad
Teorema 15 (Rec´
ıproco del teorema de Pit´goras).
a
Si en un tri´ngulo el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma
a
de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, entonces el tri´ngulo
a
es rect´ngulo.
a
Demostraci´n. (Ver Figura 20.) Sea el ABC tal que AC 2 = AB 2 +
o
BC 2 . Veamos que el ABC es rect´ngulo en B. Para ello, construyamos un
a
tri´ngulo A B C rect´ngulo en B , as´ : en una recta l fijo un punto B ,
a
a
ı
por el axioma de construcci´n de segmento, existe un punto C en una de las
o
semirrectas determinadas por B en l, tal que B C ∼ BC; por el teorema de
=
la perpendicular por un punto de una recta, por B pasa m ⊥ l, por el axioma
de construcci´n de segmento, existe un punto A en una de las semirrectas
o

22. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
222
m
A
A’
l
C
as
B’
C’
atic
B
atem
Figura 20.
ept
A C 2 = A B 2 + B C 2.
A B C es
o. d
eM
determinadas por B en m, tal que B A ∼ BA, por lo tanto el
=
rect´ngulo en B . Por el teorema de Pit´goras
a
a
ABC y
AB = A B ,
BC = B C
de
AC = A C ,
A B C se tiene:
An
tio
En los tri´ngulos
a
qui
A C = AC
a, D
Pero por hip´tesis AC 2 = AB 2 + BC 2 , luego A C 2 = AC 2 y por tanto
o
dad
luego, por el criterio L-L-L, se tiene que
ersi
ABC ∼
=
ABC
ABC es rect´ngulo
a
Un
iv
luego ABC ∼ A B C y como A B C es recto, entonces
=
en B.
7.5.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE
´
PITAGORAS
Con los siguientes teoremas se demuestra la ley de cosenos en trigonometr´
ıa.

23. ´
7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
223
Teorema 16 (Ley de cosenos).
a. En un tri´ngulo obtus´ngulo, el cuadrado de la medida del lado opa
a
uesto al angulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las
´
medidas de los otros dos lados, m´s el doble producto de la medida
a
de uno de estos lados por la proyecci´n del otro sobre ´l.
o
e
atem
atic
as
b. En un tri´ngulo cualquiera, el cuadrado de la medida del lado opuesto
a
al angulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas
´
de los otros dos lados, menos el doble producto de la medida de uno
de estos lados por la proyecci´n del otro sobre ´l.
o
e
eM
A
B
ept
o. d
A
H1
H
a, D
C
qui
B
An
tio
H1
(a)
C
H
(b)
dad
de
Figura 21.
ersi
Demostraci´n. a.) (Ver Figura 21.(a)) Supongamos que en el
o
←→
ABC el
o
angulo ABC es obtuso y sea BH la proyecci´n de AB sobre BC y sea BH1
´
Un
iv
←→
la proyecci´n de BC sobre AB, por el Teorema ??, H − B − C y A − B − H1 ;
o
veamos que
AC 2 = AB 2 + BC 2 + 2 · BC · BH
y AC 2 = AB 2 + BC 2 + 2 · AB · BH1
Demostremos la primera expresi´n, la otra se hace en forma similar.
o
Por el teorema de Pit´goras en el AHB se tiene
a
AB 2 = AH 2 + HB 2
(∗)

24. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
224
Por el teorema de Pit´goras en el
a
AHC se tiene
AC 2 = AH 2 + HC 2
(∗∗)
restando (**) y (*): AC 2 −AB 2 = HC 2 −HB 2 (∗∗∗), pero como H −B −C,
entonces HC = HB + BC y sustituyendo en (***) y despejando
atic
as
AC 2 = AB 2 + (HB + BC)2 − HB 2
= AB 2 + HB 2 + BC 2 + 2 · HB · BC − HB 2
= AB 2 + BC 2 + 2 · BC · HB
ABC el angulo ABC es
´
atem
b.) (Ver Figura 21.(b)). Supongamos que en el
←→
agudo y sea BH la proyecci´n de AB sobre BC y sea BH1 la proyecci´n de
o
o
eM
←→
BC sobre AB, por el Teorema ??, B − H − C y B − H1 − A; veamos que
y AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · AB · BH1
o. d
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · BC · BH
a, D
ept
Demostremos la primera expresi´n, la otra se hace en forma similar.
o
Por el teorema de Pit´goras en el AHB se tiene
a
(∗)
qui
AB 2 = AH 2 + HB 2
AHC se tiene
An
tio
Por el teorema de Pit´goras en el
a
AC 2 = AH 2 + HC 2
(∗∗)
dad
de
restando (**) y (*): AC 2 −AB 2 = HC 2 −HB 2 (∗∗∗), pero como B −H −C,
entonces HC = BC − HB y sustituyendo en (***) y despejando
Un
iv
ersi
AC 2 = AB 2 + (BC − HB)2 − HB 2
= AB 2 + BC 2 + HB 2 − 2 · BC · HB − HB 2
= AB 2 + BC 2 − 2 · BC · HB
Teorema 17 (Teorema de Stewart).
En el
ABC, D ∈ IntBC. Si BD = m, DC = n, AD = d, entonces
d2 a = b2 m + c2 n − amn

25. ´
7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
225
A
c
b
d
D
m
H
n
a
C
as
B
atem
atic
Figura 22.
Demostraci´n. (Ver Figura 22.) Sea D ∈ BC en el
o
←→
ABC, sea DH la
a, D
ept
o. d
eM
proyecci´n de AD sobre BC; con el ADB pueden suceder tres casos: i. que
o
sea obtuso, ii. que sea recto, iii. que sea agudo.
Mostremos el primer caso, los otros casos son similares.
Como ADB es obtuso, entonces por el Teorema ?? B − D − H y ADC es
agudo y BD + DC = BC; por el teorema anterior (ley de cosenos) en el
ADB y en el ADC:
(∗)
AC 2 = AD2 + DC 2 − 2 · DC · DH
(∗∗)
An
tio
qui
AB 2 = AD2 + BD2 + 2 · BD · DH
multiplicando (*) por DC y (**) por BD y luego sumando:
dad
de
AB 2 · DC + AC 2 · BD = AD 2 · (DC + BD) + BD 2 · DC + DC 2 · BD
= AD2 · BC + BD · DC(DC + BD)
= AD2 · BC + BD · DC · BC
ersi
luego AD2 · BC = AB 2 · DC + AC 2 · BD − BD · DC · BC es decir,
Un
iv
d2 a = b2 m + c2 n − amn.
Teorema 18.
a.) La suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un tri´ngulo
a
es igual a dos veces el cuadrado de la medida de la mediana del tercer lado
m´s la mitad del cuadrado de la medida del tercer lado.
a
b.) La diferencia de los cuadrados de las medidas de dos lados de un tri´ngulo
a
es igual a dos veces el producto de la medida del tercer lado por la proyecci´n
o
de la mediana correspondiente a este lado.

26. 226
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
A
c
b
ma
M
B
H
C
as
a
atem
atic
Figura 23.
eM
Demostraci´n. (Ver Figura 23.) En el ABC, sea M el punto medio de
o
BC, ma la mediana relativa al lado BC y M H la proyecci´n de la mediana
o
←→
qui
a, D
ept
o. d
AM = ma sobre BC, supongamos que AB > AC. Con el angulo AM B
´
pueden suceder tres casos: i. es obtuso, ii. es recto, iii. es agudo.
Tomemos el caso i. y veamos que
a.) c2 + b2 = 2 · m2 + 1 a2
a
2
b.) c2 − b2 = 2 · a · M H.
En efecto, como AM B es obtuso entonces AM C es agudo, luego por el
teorema de la ley de cosenos en el AM B y en el AM C:
(∗)
AC 2 = AM 2 + M C 2 − 2 · M C · M H
(∗∗)
de
An
tio
AB 2 = AM 2 + BM 2 + 2 · BM · M H
ersi
dad
sumando (*) y (**) y teniendo en cuenta que M es punto medio, o sea que
M B = M C, entonces
Un
iv
AB 2 + AC 2 = 2 · AM 2 + BM 2 + M C 2
BC 2
BC 2
= 2 · AM 2 +
+
2
2
BC 2
1
= 2 · AM 2 + 2
= 2 · AM 2 + BC 2
2
2
1 2
c2 + b 2 = 2 · m 2 + · a
a
2
restando (*) y (**) y teniendo en cuenta que M es punto medio, o sea que

27. ´
7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
227
M B = M C,:
AB 2 − AC 2 = 4 · M B · M H
BC
· M H = 2 · BC · M H
=4
2
c2 − b 2 = 2 · a · M H
qui
A
a, D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
Teorema 19 (Altura en funci´n de los lados).
o
En un ABC cuyos lados miden: BC = a, AC = b, AB = c; las alturas
miden:
2
ha =
p(p − a)(p − b)(p − c)
a
2
p(p − a)(p − b)(p − c)
hb =
b
2
hc =
p(p − a)(p − b)(p − c)
c
ımetro.
donde p = a+b+c =semi-per´
2
An
tio
c
ha
C
ersi
dad
a
de
H
B
b
Un
iv
Figura 24.
Demostraci´n. (Ver Figura 24.) Sea ha = AH la altura relativa al lado
o
BC, con H pueden ocurrir los siguientes casos i. B − H − C, ii. B − C − H
o H − B − C, iii. H ≡ B o H ≡ C.
Mostremos el caso i. y supongamos que c > b (ver la Figura 24.), el caso
c < b es similar, el caso c = b se deja como ejercicio; como los tri´ngulos
a

28. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
228
AHB y
AHC son rect´ngulos, entonces por el teorema de Pit´goras:
a
a
c2 = h2 + BH 2
a
2
b = h2 + CH 2
a
(7.1)
(7.2)
Como B − H − C entonces HC = a − BH, sustituyendo en 7.2
(7.3)
as
b2 = h2 + (a − BH)2 = h2 + a2 + BH 2 − 2aBH
a
a
atic
y por 7.1 en la expresi´n anterior
o
atem
b2 = h2 + a2 + c2 − h2 − 2aBH = a2 + c2 − 2aBH
a
a
a2 + c 2 − b 2
2a
+
despejando h2
a
=c −
a2 + c 2 − b 2
2a
2
= c2 −
4a2 c2 − (a2 + c2 − b2 )2
(a2 + c2 − b2 )2
=
4a2
4a2
de
2
dad
h2
a
2
An
tio
c =
h2
a
qui
2
a, D
y sustituyendo en 7.1
o. d
a2 + c 2 − b 2
2a
ept
BH =
eM
como a = 0, ya que A, B, C son tres puntos distintos no colineales, despejando BH en la expresi´n anterior
o
(2ac + a2 + c2 − b2 )(2ac − a2 − c2 + b2 )
((a + c)2 − b2 )(b2 − (a − c)2 )
=
4a2
4a2
(a + c + b)(a + c − b)(b + a − c)(b − a + c)
=
4a2
(a + b + c)(a + c − b)(a + b − c)(b + c − a)
=
(7.4)
4a2
Un
iv
ersi
=
Como p =
a+b+c
2
entonces a + b + c = 2p y tambi´n
e
p−a=
a+b+c
a + b + c − 2a
b+c−a
−a=
=
2
2a
2

29. ´
7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
229
por lo tanto b + c − a = 2(p − a)
Similarmente a + b − c = 2(p − c) y a + c − b = 2(p − b), sustituyendo en 7.4
2p · 2(p − a) · 2(p − b) · 2(p − c)
4
= 2 · p · (p − a) · (p − b) · (p − c)
2
4a
a
ha =
p · (p − a) · (p − b) · (p − c).
´
CONSTRUCCIONES BASICAS
atem
7.5.1.
2
a
as
por lo tanto
atic
h2 =
a
eM
1. Dividir un segmento en n segmentos congruentes, con n entero positivo.
X
An
o. d
An−1
ept
A2
C1
C2
Cn−1
Figura 25.
B
An
tio
qui
A
a, D
A1
de
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos cono
o
secutivos (Ver Figura 25.).
Un
iv
ersi
dad
−→
−
• Por A trazo una semirrecta AX cualesquiera, tal que A, B y X
sean tres puntos distintos no colineales.
−→
−
• Con centro en A y radio cualesquiera, trazo arco que corta a AX
en A1 .
−→
−
• Con centro en A1 y el mismo radio, trazo arco que corta a AX
en A2 de tal manera que A − A1 − A2 ; similarmente se hallan los
puntos A3 , . . . , An−1 , An .
• Uno An con B y por An−1 , An−2 , . . . , A2 , A1 trazo paralelas a An B
las cuales cortan a AB en Cn−1 , Cn−2 , . . . , C2 , C1 .
• AC1 ∼ C1 C2 ∼ · · · ∼ Cn−1 B
=
=
=

30. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
230
Justificaci´n. Como
o
AA1 ∼ A1 A2 ∼ · · · ∼ An−1 An
=
=
=
y
BAn
···
Cn−1 An−1
C 1 A1
atic
AC1 ∼ C1 C2 ∼ · · · ∼ Cn−1 B
=
=
=
as
entonces por el Teorema fundamental del paralelismo (Lema 1),
eM
atem
2. Dividir un segmento dado en una proporci´n dada p , donde p, q son
o
q
enteros positivos.
X
o. d
Q
a, D
B
qui
C
Figura 26.
An
tio
A
ept
P
de
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos cono
o
secutivos (Ver Figura 26.).
Un
iv
ersi
dad
−→
−
• Por A trazo una semirrecta AX cualesquiera, tal que A, B y X
sean tres puntos distintos no colineales.
−→
−
• Con centro en A y radio cualesquiera, trazo arco que corta a AX
en A1 , este procedimiento lo efect´o p veces hasta completar un
u
segmento AP de longitud pAA1 , a continuaci´n de este segmento
o
y utilizando la misma medida AA1 construyo el segmento P Q de
longitud qAA1 .
• Uno Q con B y por P trazo paralela a QB la cual corta a AB en
C.
• el punto C es el punto pedido.

31. ´
7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
Justificaci´n. Como QB
o
de Tales en el tri´ngulo)
a
231
P C, entonces por el Corolario 1 (Teorema
CA
pAA1
p
=
=
CB
qAA1
q
3. Hallar la cuarta proporcional de tres segmentos dados: a, b, c.
atic
B
o. d
Figura 27.
X
ept
C
eM
atem
P
A
as
Y
Q
An
tio
qui
a, D
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos cono
o
secutivos (Ver Figura 27.).
−→
−
• Trazo una semirrecta AX cualesquiera,
−
→
• Trazo una semirrecta AY cualesquiera, que no este contenida en
←→
la recta AX
Un
iv
ersi
dad
de
−
→
• Con centro en A y radio a, trazo arco que corta a AY en P .
−
→
• Con centro en P y radio b, trazo arco que corta a AY en Q, tal
que A − P − Q.
−→
−
• Con centro en A y radio c, trazo arco que corta a AX en C.
−→
−
• Uno P con C y por Q trazo paralela a P C la cual corta a AX en
B.
• el segmento CB es el segmento pedido.
Justificaci´n. Como P C
o
de Tales en el tri´ngulo)
a
QB, entonces por el Corolario 1 (Teorema
AC
AP
=
PQ
CB
o sea
a
c
=
b
CB

32. 232
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
4. Dado C ∈ AB, hallar el conjugado arm´nico de C con respecto a AB.
o
P
Q
¥
¥
C
D
B
atem
atic
as
A
eM
Figura 28.
o. d
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos cono
o
secutivos (Ver Figura 28.).
ept
• Trazo circunferencia de centro A y radio AC.
a, D
• Trazo circunferencia de centro B y radio BC.
qui
• En la circunferencia C(A, AC), trazo un radio cualesquiera AP
no paralelo a AB.
An
tio
• Por B trazo, en la circunferencia C(B, BC), el radio BQ tal que
BQ AP
←→
• Uno P con Q y prolongo hasta cortar la recta AB en D .
de
• el punto D es el conjugado de C con respecto a AB.
Un
iv
ersi
dad
Justificaci´n. Como BQ AP entonces ADP ∼ BDQ entonces,
o
teniendo en cuenta que AP y BQ son radios en las respectivas circunferencias,
DA
CA
DA
AP
=
o sea
=
BQ
DB
CB
DB
5. Dado AB y dada la proporci´n p , donde p, q son enteros positivos. Hao q
CA
DA
llar C, D conjugados arm´nicos de AB tal CB = DB = p .
o
q
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos cono
o
secutivos (Ver Figura 29.).

33. ´
7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
233
X
P
Y
Q
¦
¦
C
A
B
D
as
R
atic
Z
atem
Figura 29.
An
tio
qui
a, D
ept
o. d
eM
←→
−→
−
• Trazo una semirrecta cualquiera AX que no este contenida en AB.
−→
−
−→ −→
−
−
• En el mismo semiplano, trazo la semirrecta BY tal que BY AX
−
→
−→
−
y trazo tambi´n la semirrecta BZ opuesta a la semirrecta BY .
e
−→
−
• Sobre la semirrecta AX y con la misma unidad de medida α, trazo
el segmento AP tal que AP = p · α.
−→
−
• Sobre la semirrecta BY y con la misma unidad de medida α, trazo
el segmento BQ tal que BQ = q · α.
−
→
• Sobre la semirrecta BZ y con la misma unidad de medida α, trazo
el segmento BR tal que BR = q · α.
←→
• Uno P con Q y prolongo hasta cortar la recta AB en D .
de
• Uno P con R el cual corta a AB en C .
AP D ∼
entonces,
y tambi´n
e
Y Z entonces
Un
iv
Justificaci´n. Como AX
o
ersi
dad
• Los puntos C y D son conjugados arm´nicos con respecto a AB
o
bajo la raz´n p .
o q
BQD
y
AP C ∼
BRC
DA
AP
=
DB
BQ
o sea
DA
p·α
p
=
=
DB
q·α
q
CA
AP
=
CB
BR
o sea
CA
p·α
p
=
=
CB
q·α
q

34. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
234
luego
DA
CA
=
CB
DB
6. Hallar la media proporcional de dos segmentos a y b dados.
X
atem
atic
as
D
§
C
eM
O
B
Figura 30.
l
o. d
A
qui
• Sobre una recta l fijo un punto A.
a, D
ept
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos cono
o
secutivos (Ver Figura 30.).
• Con centro en A y radio a trazo arco que corta a l en B.
de
An
tio
• Con centro en B y radio b trazo arco que corta a l en C, tal que
A − B − C.
−→
−
• Por B trazo BX ⊥ l.
dad
• Hallo O punto medio de AC.
ersi
• Trazo semicircunferencia de centro O y radio OA, la cual corta a
−→
−
BX en D.
Un
iv
• El segmento BD es media proporcional entre a y b.
Justificaci´n. Como AC es di´metro, entonces ACD es rect´ngulo y
o
a
a
como DB es altura relativa a la hipotenusa en dicho tri´ngulo, entonces,
a
por el Teorema 13 (Proporcionalidad en el tri´ngulo rect´ngulo)
a
a
BD2 = BA · BC = a · b
es decir BD es media proporcional entre a y b.

35. 7.6. APLIC. DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA
7.6.
235
APLICACIONES DE LA SEMEJANZA
A LA CIRCUNFERENCIA
as
Teorema 20 (Teorema de Tolomeo).
En un cuadril´tero c´
a
ıclico, el producto de las medidas de las diagonales es
igual a la suma de los productos de las medidas de los lados opuestos.
atic
A
atem
d
c
eM
a
D
E
B
o. d
C
An
tio
qui
Figura 31.
a, D
F
ept
b
Demostraci´n. (Ver Figura 31.) Por el axioma de construcci´n de angulo,
o
o
´
−
→
existe una semirrecta AF ⊂ ←→ con F sobre la circunferencia, tal que
AB: C
DAC ∼ BAF , sea {E} = AF ∩ DB y como CAF ∼ CAF entonces por el
=
=
axioma de suma (o resta) de angulos congruentes, DAF ∼ BAC
´
=
∼ BAF y DCA ∼ ABE (por
En los ADC y AEB se tiene: DAC =
=
Teorema del angulo inscrito), entonces por el criterio A-A:
´
Un
iv
ersi
dad
de
π
ADC ∼
luego
ADC
:
AEB
AEB
AD
AC
DC
=
=
AE
AB
EB
luego
AC · EB = DC · AB
(∗)

36. 236
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
En los DAE y ABC se tiene: DAE ∼ BAC y ADE ∼ ACB (por
=
=
Teorema del angulo inscrito), entonces por el criterio A-A:
´
DAE ∼
ABC
luego
DA
DE
AE
=
=
AC
BC
AB
DAE
:
ABC
(∗∗)
atic
DA · BC = DE · AC
as
luego
atem
sumando (*) y (**):
eM
DC · AB + DA · BC = AC · EB + DE · AC = AC(EB + DE) = AC · BD
AC · BD = a · c + b · d.
o. d
es decir,
An
tio
qui
a, D
ept
Teorema 21.
Si dos cuerdas se interceptan en el interior de una circunferencia entonces
el producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto de
intersecci´n en una de las cuerdas es igual al producto de las medidas de
o
los segmentos determinados en la otra cuerda.
C
O
ersi
Un
iv
D
¨
X
dad
de
A
B
Figura 32.
Demostraci´n. (Ver Figura 32.) Sean AB y CD cuerdas tales que {X} =
o
AB ∩ CD y A − X − B y C − X − D. En los AXC y BXD se tiene

37. 7.6. APLIC. DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA
237
que: por opuestos por el v´rtice AXC ∼ BXD y por el Teorema del angulo
e
´
=
∼ XDB, luego por el criterio A-A,
inscrito CAX =
AXC ∼
=
BXD
luego
XA
AC
XC
=
=
XD
BD
XB
as
AXC
:
BXD
o. d
eM
atem
atic
o sea que XA · XB = XC · XD
Nota: 1.) Obs´rvese que si por ejemplo el punto X ≡ A ≡ C, es decir, los
e
dos segmentos se cortan sobre la circunferencia, entonces tambi´n se cumple
e
que XA · XB = XC · XD = 0.
2.) El resultado de este teorema nos muestra que para cualquier cuerda que
pase por el punto X se cumple que XA · XB permanece constante o sea que
este producto no depende de la cuerda, sino del punto X.
a, D
ept
El siguiente teorema se deja como ejercicio, es el rec´
ıproco del teorema
anterior.
de
An
tio
qui
Teorema 22.
Si dos segmentos se interceptan en un punto que esta en el interior de los dos
segmentos y el producto de las medidas de los segmentos determinados por
el punto de intersecci´n en el primer segmento es igual al producto de las
o
medidas de los segmentos determinados por el punto en el segundo segmento, entonces los extremos de los segmentos est´n sobre una circunferencia.
a
Un
iv
ersi
dad
Teorema 23.
Si desde un punto X exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas
secantes l y m que cortan a la circunferencia en A, B y C, D respectivamente,
entonces
XA · XB = XC · XD
Demostraci´n. (Ver Figura 33.) Por el Teorema del angulo inscrito BAD ∼
o
´
=
BCD y el X es com´n para los XAD y XBC entonces por el criterio
u
A-A
XAD ∼ XBC

38. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
238
A
B
©
O
C
D
as
X
luego
eM
XA
XD
AD
=
=
XC
XB
BC
luego
ept
XA · XB = XC · XD
o. d
XAD
:
XBC
atem
atic
Figura 33.
qui
a, D
Nota: El resultado de este teorema nos muestra que para cualquier semirrecta que pase por el punto X se cumple que XA · XB permanece constante
o sea que este producto no depende de la semirrecta, sino del punto X.
An
tio
El rec´
ıproco del anterior teorema tambi´n es cierto, se deja como ejercicio.
e
Teorema 24 (Rec´
ıproco).
dad
de
Si desde un punto X se trazan dos semirrectas l y m y A, B son puntos de
l y C, D son puntos de m, tales que
ersi
XA · XB = XC · XD,
Un
iv
entonces los puntos A, B, C, D est´n sobre una circunferencia.
a
Teorema 25.
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas,
una tangente y la otra secante, entonces el segmento entre el punto y el
punto de tangencia es media proporcional entre los segmentos determinados
entre el punto exterior y los puntos de intersecci´n de la secante con la
o
circunferencia.

39. 7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES
239
A
B
O
M
X
as
C
atem
atic
Figura 34.
Demostraci´n. (Ver Figura 34.) Como por el teorema del angulo semio
´
XAC ∼
eM
ept
XBC,
a, D
XAC
:
XBC
XBC, en-
XA
XC
AC
=
=
XC
XB
BC
qui
luego
XAC y
o. d
1
inscrito el BCX = 2 CM B y X es com´n para los
u
tonces por el criterio A-A,
luego
EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES
de
7.7.
An
tio
XA · XB = XC · XC = XC 2 .
Un
iv
ersi
dad
Definici´n 9 (Potencia de un punto con respecto a una circunfeo
rencia). La potencia de un punto X con respecto a una circunferencia
C(O, r) es el producto XA · XB, donde A y B son los puntos de intersecci´n
o
de la circunferencia con una recta que pasa por X.
Notaci´n: la potencia del punto X con respecto a la circunferencia
o
C(O, r) se denota por pX;O , es decir,
pX;O = XA · XB
Nota a.) De acuerdo a los teoremas 21 y 23, todas las rectas que pasan por el
punto X tienen igual potencia, por lo tanto, la potencia depende solamente

40. 240
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
del punto y la circunferencia.
b.) Si X es un punto exterior a la C(O, r) y d es la distancia del punto X al
centro O de la circunferencia, entonces (ver la Figura 35.)
pX;O = XA · XB = (XO + OA)(XO − OB) = (d + r)(d − r) = d2 − r2
←→
O
B
X
a, D
qui
Figura 35.
ept
o. d
eM
A
atem
atic
as
donde A, B son los puntos de intersecci´n de la recta XO con la C(O, r).
o
En este caso pX;O 0, ya que d r
de
An
tio
c.) Con el punto X y la circunferencia C(O, r) pueden suceder tres casos:
1. X ∈ ExtC(O, r), en este caso vimos que pX;O 0, ya que d r
2. X ∈ IntC(O, r), en este caso pX;O = d2 − r2 0, ya que d r
3. X ∈ C(O, r), en este caso pX;O = d2 − r2 = 0, ya que d = r
ersi
dad
En resumen, la potencia es positiva en el exterior de la circunferencia,
negativa en el interior de la circunferencia y es cero cuando el punto esta
sobre la circunferencia.
Un
iv
d.) Si X ≡ O, entonces d = 0 y por tanto pX;O = d2 − r2 = −r2 , este es el
valor m´
ınimo de la potencia, ya que d = 0 es el valor m´
ınimo de d.
e.) Por el teorema 25, la potencia de un punto exterior a una circunferencia
es igual al cuadrado de la medida del segmento tangente desde el punto X
a la circunferencia C(O, r), es decir, pX;O = XT 2 , donde T es el punto de
tangencia.

41. 7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES
241
f.) La potencia de un punto interior a una circunferencia es igual y negativa,
del cuadrado de la semi-cuerda perpendicular al di´metro que pasa por el
a
punto.
C
as
O
B
atic
X
atem
A
eM
D
ept
o. d
Figura 36.
An
tio
qui
a, D
(Ver Figura 36.) En efecto, sea AB di´metro y X ∈ AB y sea CD una
a
cuerda tal que CD ∩ AB = {X} y AB⊥CD, por tanto X es punto medio de
CD, entonces
CD
2
2
de
pX;O = −XA · XB = −XC · XD = −XC 2 = −XD2 = −
Un
iv
ersi
dad
Teorema 26 (Teorema del eje radical).
El lugar geom´trico de los puntos de igual potencia con respecto a dos
e
circunferencias no conc´ntricas, es una recta perpendicular a la recta que
e
pasa por los centros.
Demostraci´n. (Ver Figura 37.) Sean las circunferencias C(O, r) y C(O , r ),
o
sea M el punto medio de OO y sea X un punto tal que pX;O = pX;O (∗), sea
←→
H la proyecci´n de X sobre OO , veamos que cualquiera que sea el punto
o
←→
X con la propiedad (*), tendr´ como proyecci´n sobre OO el punto H.
a
o
En efecto, por la hip´tesis, por la propiedad b.) hecha en la nota anterior
o

42. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
242
X
H
M
O’
atic
as
O
eM
atem
Figura 37.
o. d
y por el Teorema 18 b), se tiene
pX;O = pX;O
(XO) − (r)2 = (XO )2 − (r )2 por la propiedad b)
(XO)2 − (XO )2 = (r)2 − (r )2
2 · OO · M H = (r)2 − (r )2 por el Teorema 18 b)
(r)2 − (r )2
luego M H =
2 · OO
An
tio
qui
a, D
ept
2
de
como r, r , OO son constantes y OO = 0, entonces M H es constante y como
M es fijo entonces H es fijo, cualquiera sea el punto X, por lo tanto los puntos
X que cumplen con la propiedad (*) est´n sobre una recta perpendicular a
a
dad
←→
OO .
Un
iv
ersi
La recta cuya existencia esta garantizada por el anterior teorema, le
damos el siguiente nombre:
Definici´n 10 (Eje Radical). La recta cuyos puntos tienen igual potencia
o
con respecto a dos circunferencias, se le llama Eje Radical.
Propiedades del Eje Radical.
1. Si las dos circunferencias se interceptan, entonces el eje radical pasa
por los puntos de intersecci´n, ya que cada punto de intersecci´n tiene
o
o
potencia igual a cero con respecto a las dos circunferencias.

43. 7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES
243
2. Si las dos circunferencias son tangentes, entonces el eje radical es la
tangente com´n a ambas circunferencias, ya que la potencia en el punto
u
de tangencia es cero con respecto a las dos circunferencias y la tangente
com´n es perpendicular a la recta que pasa por los centros de las dos
u
circunferencias.
as
3. Si las dos circunferencias son conc´ntricas y distintas, entonces no hay
e
2
2
2
eje radical, ya que d − r = (d ) − (r )2
atic
Teorema 27 (Propiedades del Eje Radical).
atem
a.) Las tangentes desde un punto del Eje Radical a las dos circunferencias,
son congruentes.
ept
o. d
eM
b.) Los Ejes Radicales de tres circunferencias, cuyos centros son no colineales, tomados de dos en dos, son concurrentes, (este punto de concurrencia se le llama Centro Radical).
An
tio
qui
a, D
Demostraci´n. a.) (ver Figura 38.) Sea X un punto del Eje Radical y sean
o
XT y XT1 tangentes a las circunferencias C(O, r) y C(O , r ) en T y T1
2
respectivamente, entonces por el Teorema 25 pX;O = XT 2 y pX;O = XT1 y
como X pertenece al Eje Radical, entonces pX;O = pX;O luego
2
XT 2 = XT1
de
luego XT = XT1 , o sea que XT ∼ XT1
=
b.)(ver Figura 39.) Sea l el Eje Radical de C(O, r) y C(O , r ) y sea l el
←→
←→
ersi
dad
Eje Radical de C(O , r ) y C(O , r ) por lo tanto l ⊥OO y l ⊥O O .
Como O, O , O son no colineales, entonces l y l se interceptan, sea
Un
iv
{X} = l ∩ l .
Veamos que X ∈ l .
En efecto, como X ∈ l entonces
pX;O = pX;O
y como X ∈ l entonces
pX;O = pX;O
(∗)
(∗∗)

44. 244
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
X
T
T1
H
O
atic
as
O’
eM
atem
Figura 38.
o. d
l
O’
ept
l
An
tio
qui
X
a, D
O
l
de
O”
ersi
entonces de (*) y (**)
dad
Figura 39.
luego X ∈ l .
Un
iv
pX;O = pX;O
Observaci´n.
o
De la parte b.) del teorema anterior se concluye que:
1. Si las tres circunferencias son secantes dos a dos, entonces las cuerdas comunes son concurrentes.
2. Si las tres circunferencias son tangentes dos a dos, entonces las tangentes

45. 7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES
245
comunes son concurrentes.
Con el Eje Radical se pueden hacer construcciones de circunferencias.
Ejemplo. Construir una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una recta dada.
Demos el problema por construido. Supongamos que los puntos dados son
←→
as
A, B y la recta dada es l, se presentan dos situaciones: a) AB ∩l = ∅,
←→
atic
←→
b) AB ∩l = ∅.
←→
atem
a) Si AB ∩l = ∅, sea {X} =AB ∩l = ∅, sea C(O, r) la circunferencia buscada y sea C(O , r ) una circunferencia cualesquiera que pase por A y B,
←→
a, D
ept
o. d
eM
entonces AB es el Eje Radical de estas dos circunferencias, por lo tanto las
tangentes desde el punto X a las dos circunferencias son congruentes; si XT
es la tangente a la C(O , r ) y XT es la tangente a la circunferencia buscada
C(O, r), entonces XT = XT .
O’
An
tio
B
T1
Un
iv
X
T
ersi
dad
de
O
T’
A
qui
m
Figura 40.
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos consecuo
o
tivos (Ver Figura 40.).
Uno A con B y prolongo hasta cortar l en X.

46. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
246
Trazo m la mediatriz de AB.
Por un punto cualesquiera O de m, trazo una circunferencia que pase
por A, B.
Desde X trazo XT tangente a la circunferencia de centro O
Con centro en X y radio XT trazo arcos que cortan a l en T y T1 .
←→
atic
as
Las circunferencias que pasan por A, B, T y por A, B, T1 son las circunferencias pedidas (dos soluciones).
←→
←→
atem
b) Si AB ∩l = ∅, luego AB l. Sea C(O, r) la circunferencia buscada y sea
T el punto de tangencia entre la C(O, r) y l, por lo tanto OT ⊥ l, pero como
←→
←→
eM
AB l, entonces OT ⊥ AB, luego OT es mediatriz de AB
ept
o. d
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos consecuo
o
tivos.
a, D
Uno A con B .
Trazo m la mediatriz de AB que corta a l en T .
An
tio
qui
Trazo circunferencia que pasa por A, B, T , que es la circunferencia pedida.
ersi
dad
de
Ejemplo. Construir una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente exteriormente a una circunferencia dada.
Demos el problema por construido. Supongamos que los puntos dados son
A, B y la circunferencia dada es C(O , r ) y sea m la mediatriz de AB, se
presentan dos casos: a) O ∈ m, b) O ∈ m
/
Un
iv
a) O ∈ m, sea C(O , r ) una circunferencia que pase por A, B e inter/
←→
cepte a la circunferencia dada C(O , r ) en los puntos C, D, por lo tanto CD
es el Eje Radical de estas dos circunferencias, como la circunferencia buscada C(O, r) y la circunferencia dada C(O , r ) son tangentes, entonces la
tangente l com´n a estas dos circunferencias es el Eje Radical de ambas y
u
←→
como O ∈ m, entonces l y CD se interceptan en un punto X; como los Ejes
/
Radicales de tres circunferencias cuyos centros no son colineales son concurrentes, entonces X es el centro radical de las tres circunferencias, luego las

47. 7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES
247
m
A
O
atem
D
C
atic
X
T
l
as
O”
B
O’
eM
ept
o. d
T1
Figura 41.
a, D
tangentes desde X a las tres circunferencias son congruentes.
qui
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos consecuo
o
tivos (Ver Figura 41.).
An
tio
Uno A con B .
Trazo m la mediatriz de AB .
dad
de
Por un punto O de m trazo circunferencia que pasa por A, B y que
corte a la circunferencia dada C(O , r ) en los puntos C, D.
←→
ersi
Uno C con D y prolongo hasta cortar AB en X.
Un
iv
Desde X trazo trazo XT y XT1 tangentes a la circunferencia dada
C(O , r ).
Las circunferencias que pasan por A, B, T y A, B, T1 son las circunferencias pedidas (dos soluciones).
b) Si O ∈ m. Sea {T } = m ∩ C(O , r ), en este caso, O, T, O son colineales
y por tanto T es el punto de tangencia.

48. 248
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
Construcci´n. Para la construcci´n, haremos los siguientes pasos consecuo
o
tivos.
Uno A con B .
Trazo m la mediatriz de AB, la cual intercepta a la circunferencia dada
C(O , r ) en T .
Un
iv
ersi
dad
de
An
tio
qui
a, D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
Trazo circunferencia que pase por los puntos A, B, T y esta es la circunferencia pedida.

49. 7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA
7.8.
249
Ejercicios y Problemas de Semejanza
1. Sea ∆ABC un tri´ngulo inscrito en la circunferencia C(O, r), sea AD,
a
con D ∈ C(O, r), la bisectriz del BAC y sea {E} = BC ∩ AD. Mostrar
que a) BD 2 = AD · ED, b) ∆BED ∼ ∆AEC
B
atem
atic
as
2. En la figura, si ABD ∼
=
DBE ∼ EBC, entonces
=
AD
= AB·BD .
EC
BE·BC
A
C
E
B
N
K
a, D
M
D
C
qui
H
3. Si ABCD es un paralelogramo y M N AB, AB =
12, DM = 4, DE = 6,
KB = 2KH. Hallar: a)
AM , b) DH, c) DC, d)
KF , d) LM , e) M N .
ept
A
o. d
eM
D
An
tio
E
dad
de
4. Sea ABC un tri´ngulo cualesquiera, por el v´rtice A trazamos una
a
e
−→
−
semirrecta AX paralela al lado BC. Desde M punto medio de BC
−→
−
se traza una recta cualesquiera que corta a AX en N , AC en P y la
prolongaci´n de AB en Q. Probar que
o
Un
iv
ersi
QN
PN
=
PM
QM
5. Demostrar que el cuadrado de la medida de la bisectriz AE de un
angulo exterior de un ∆ABC es igual al producto de las medidas de
´
los segmentos que la bisectriz determina sobre la recta que contiene al
lado opuesto, menos el producto de las medidas de los otros dos lados.
(Ayuda: siendo C(O, r) la circunferencia que circunscribe al tri´ngulo
a
←→
y {D} = C(O, r)∩ AE, observar los ∆DAC y ∆ABE).

50. 250
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
6. Se tiene un cuadrado ABCD de lado a. Se traza una circunferencia que
pasa por el v´rtice A y por los puntos medios de los lados AB y AD.
e
Probar que la medida de una tangente a dicha circunferencia trazada
desde el punto C es igual a a.
7. Construir un tri´ngulo dadas las raz´n entre los lados c y b (es decir,
a
o
p
c
dado b = q ), la mediana ma y el lado a ( c = p , ma , a)
b
q
atem
atic
as
8. Por un punto D del lado AB de un ABC se traza DE AC (E sobre
BC), de tal manera que DB = e, CE = 2e, BE = 2AD. Calcular los
lados AB y BC del tri´ngulo.
a
eM
9. Demostrar que en un mismo tri´ngulo las alturas son inversamente
a
proporcionales a sus respectivos lados.
ept
o. d
a
10. Considere la C(O, r). Sea AB un di´metro. Se traza por B una tangente
y por A una secante cualesquiera que corta a la C(O, r) en M y a la
tangente en N . Probar que AM.AN = 4r 2 .
qui
a, D
11. Sea la C(O, r) y AB di´metro y sea M un punto en la prolongaci´n
a
o
de AB, se trazan las tangentes M N y M P a la C(O, r), la cuerda N P
corta al di´metro AB en C. Demostrar que
a
An
tio
MA
CA
=
CB
MB
Un
iv
ersi
dad
de
12. Sea C(O, r), se traza una cuerda CD, O el punto medio de CD, se
traza la circunferencia de centro O y di´metro CD, sea AB di´metro
a
a
de C(O, r) perpendicular a CD; se trazan AT y AT tangentes a la
C(O ), la cuerda T T corta a AB en F . Demostrar que O es punto
medio de BF .
13. En ABC rect´ngulo en A la hipotenusa mide a y la altura relativa
a
a la hipotenusa mide h, se inscribe un cuadrado con un lado sobre la
hipotenusa. Calcular el lado del cuadrado en t´rminos de a y h.
e
14. En una circunferencia de di´metro 40cm. , hallar la medida de la mayor
a
y la menor cuerda que puede trazarse por un punto situado a 12cm.
del centro. Explicar porque es la mayor y la menor.

51. 7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA
251
15. Desde el punto medio D del lado AB del ABC, rect´ngulo en A, se
a
o
traza DE ⊥ BC, con E ∈ BC. Demostrar la relaci´n
EC 2 − EB 2 = AC 2
←→
atic
CD, demuestre que
atem
cia que circunscribe al tri´ngulo y F ∈ C(O, r)
a
ADC ∼ F BC).
as
16. Demostrar que el cuadrado de la bisectriz de un angulo exterior de un
´
tri´ngulo es igual al producto de los segmentos que la bisectriz determia
na en el lado opuesto menos el producto de los otros dos lados (Ayuda:
si CD es la bisectriz exterior en el ABC y C(O, r) es la circunferen-
eM
17. En un ABC is´sceles con AB = AC, se traza CD ⊥ AB. Demostrar
o
la relaci´n
o
o. d
AB 2 + BC 2 + CA2 = BD2 + 2DA2 + 3CD2
An
tio
qui
a, D
ept
18. Si el tri´ngulo del ejercicio anterior fuera un tri´ngulo equil´tero, mostrar
a
a
a
que las suma de los cuadrados de las medidas de los lados es igual a
cuatro veces el cuadrado de la medida de la altura.
−
−
→
19. El ABC esta inscrito en una C(O, r), sea AD la bisectriz de A con
−
−
→
D ∈ C(O, r) y sea E ∈ BC ∩ AD. Mostrar que:
a) BD2 = AD.ED, b) BED ∼ AEC.
←→
←→
20. LM N T es un paralelogramo, LT = 15, LM = 8, RN = 12, N R⊥LR,
←→
←→
de
T H⊥M N , H ∈ M N . Hallar T H.
←→
←→
←→
ABC, sea AN BC y M punto medio de BC, sea P ∈N M
←→
←→
dad
21. Dado el
ersi
∩ AB y Q ∈N M ∩ AC . Demostrar que
Un
iv
PN
QN
=
PM
QM
22. Dado un ABC is´sceles con CA ∼ CB y la circunferencia tangente
o
=
a los lados congruentes en A y B. Desde un punto M del arco de la
circunferencia en el interior del tri´ngulo, se traza M D ⊥ AB, M F ⊥
a
CB y M E ⊥ CA. Mostrar que
M D2 = M E.M F

52. 252
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
23. Sean AA , BB , CC las alturas de un
en el punto H. Demostrar que:
ABC; estas alturas se cortan
AA .A H = A C.A B, BB .B H = B A.B C, CC .C H = C B.C A
24. Se d´ una circunferencia de centro O y di´metro AB, por un punto M
a
a
sobre la prolongaci´n de AB, se trazan las tangentes M N y M P a la
o
circunferencia, la cuerda N P corta al di´metro en C. Demostrar que:
a
atic
as
CA
MA
=
CB
MB
eM
atem
25. Demostrar que si dos tri´ngulos tienen sus lados respectivamente paraa
lelos o respectivamente perpendiculares, entonces dichos tri´ngulos son
a
semejantes.
o. d
26. Dado un paralelogramo ABCD, tal que: DC = 32, AD = 17, AC = 28.
Hallar DB.
AB =
a, D
ept
27. Sea ∆ABC con CE, BD, AF bisectrices. Si CA = 32,
20, CB = 36. Hallar AE, CF, AD.
An
tio
qui
28. Demostrar que la suma de las longitudes de los catetos de un tri´ngulo
a
rect´ngulo, no excede la longitud de la diagonal de un cuadrado consa
truido sobre la hipotenusa del tri´ngulo como lado.
a
de
29. Demostrar que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de los
lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.
ersi
dad
30. Sea un tri´ngulo rect´ngulo ABC (recto en A), donde: AB = 8, AC =
a
a
15 . Calcular BC, la altura AH y los segmentos BH y HC. Se traza
por B una paralela a AC que corta la altura AH en I. Evaluar AH, HI
y BI.
Un
iv
31. Sobre el lado AB de un angulo BAC, se toman dos puntos D y E y
´
por esos puntos se trazan dos paralelas que cortan al lado AC en F y
G respectivamente; se trazan F E y por el punto G, una paralela a F E
que corta a AB en H. Demostrar que AE 2 = AD.AH.
32. Dado un cuadril´tero ABCD, sea O el punto de intersecci´n de sus
a
o
diagonales. Por el punto O se traza una paralela a BC que corta a AB
en E; luego se traza por O una paralela a CD que corta a AD en F .

53. 7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA
AE
a. Mostrar que AB =
una misma raz´n).
o
b. Mostrar que EF
AF
AD
253
(comparar cada una de estas razones con
BD.
c. Se traza OG AB y cortando BC en G y OH
en H. Mostrar que CG.DH = BG.CH.
AD, corta a DC
atic
as
33. Demostrar que las paralelas a los lados de un tri´ngulo ABC, trazadas
a
por el punto G de concurrencia de las medianas, dividen cada lado en
tres partes iguales.
←→
←→
atem
34. Sea ABCD un cuadril´tero, sea F sobre AC y E sobre DB tales que
a
F B||DC y EC||AB. Mostrar que AD||F E.
o. d
eM
35. El per´
ımetro de un tri´ngulo mide 90 cm.. Sabiendo que las medidas
a
de los lados est´n en la relaci´n 1 : 2 : 3. Calcular la medida de cada
a
o
lado.
a, D
ept
36. Demuestre que en tri´ngulos semejantes las alturas hom´logas, las mea
o
dianas hom´logas y las bisectrices hom´logas son proporcionales a los
o
o
lados hom´logos.
o
A
dad
de
An
tio
qui
37. En la figura, la C(O, x) esta inscrita en el
sector circular ABC. Si m(ABC) = 60o , hallar x en funci´n de r.
o
r
(Rta.: 3 ) .
x
O
B
C
r
Un
iv
ersi
38. Si en un tri´ngulo rect´ngulo, X y Y son las medidas de los catetos y
a
a
Z es la medida de la altura correspondiente a la hipotenusa, demuestre
que:
1
1
1
+ 2 = 2
X2 Y
Z
a
a
39. Los catetos AB y AC de un tri´ngulo rect´ngulo ∆ABC miden respectivamente 4a y 3a. Por el punto medio M de AB se traza hacia el
exterior del tri´ngulo, un segmento M N perpendicular a AB e igual a
a
su mitad. Hallar la medida de N C.

54. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
254
40. Los lados de un tri´ngulo miden 10, 12 y 18. Si el per´
a
ımetro de un
tri´ngulo semejante a ´l mide 1,200, cuales son las medidas de los lados
a
e
del segundo tri´ngulo? Cu´nto miden las tres alturas, las tres medianas
a
a
y las tres bisectrices del √
primer tri´ngulo?
√a
√
(Rta.: 300, 360, 540, 30 41, 30 176, 30 209)
A
B
F
E
C
m(BEC) = m(BF C) + m(BDC)
atem
D
atic
as
41. Si ABCD es un rect´ngulo de laa
dos a y 3a. Demostrar que
eM
42. a1 , b1 , c1 son puntos medios de los lados del tri´ngulo ∆ABC. Dea
muestre: ∆ABC ∼ ∆a1 b1 c1 ∼ ∆Ac1 b1 ∼ ∆Bc1 a1 ∼ ∆Cb1 a1
ept
o. d
43. ABCD es un paralelogramo O ∈ AC, OX ⊥ AD, OY ⊥ AB. DeAB
mostrar que OX = AD
OY
44. Dos circunferencias son tangentes interiormente en el punto A. Del
←→
←→
qui
a, D
punto A, se trazan las secantes AC y AE. B y D pertenecen a la
circunferencia interior. C y E pertenecen a la circunferencia exterior.
Demuestre que ∆ABD ∼ ∆ACE.
An
tio
45. Sea AB un di´metro en la C(O, r), por B se traza una tangente a la
a
circunferencia y por A se traza una secante cualquiera que intercepta
la circunferencia en M y a la tangente en N . Demostrar que
dad
de
AM · AN = 4r 2
Un
iv
ersi
46. Demostrar que en un trapecio el segmento paralelo a las bases que
pasa por el punto de intersecci´n de las diagonales, es bisecado por
o
dicho punto.
47. Dos tri´ngulos rect´ngulos son semejantes. Si los catetos hom´logos
a
a
o
miden a y a , b y b y las hipotenusas hom´logas miden c y c , demostrar
o
que aa + bb = cc .
48. Sean AB y CD dos cuerdas perpendiculares de una circunferencia de
radio r y sea {X} = AB ∩ CD. Demostar que
XA2 + XB 2 + XC 2 + XD2 = 4r2

55. 7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA
255
49. Las bases mayor y menor de un trapecio miden a y b respectivamente.
Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento
paralelo a las bases. El segmento divide al lado en la relaci´n m : n.
o
Calcular la longitud del segmento.
50. Dado el
←→
←→
ABC, se consideran los puntos D, E, F sobre las rectas
←→
←→
←→
←→
atem
atic
as
BC, AC, AB respectivamente. Si las rectas AD, BE y CF pasan por
el centro O de la circunferencia circunscrita del ABC, cuyo radio es
R, mostrar que
1
1
2
1
+
+
=
AD BE CF
R
eM
51. En un tri´ngulo el punto de concurrencia de: las alturas, el de las
a
medianas y el de las mediatrices est´n alineados (Recta de Euler ).
a
o. d
52. Demostrar que en todo tri´ngulo, la bisectriz se encuentra entre la
a
mediana y la altura trazadas desde el mismo v´rtice.
e
a, D
ept
53. Las bases de un trapecio miden 20 y 12 y los lados no paralelos miden
10 y 12. Calcular la medida de las diagonales y de las alturas y los lados
del tri´ngulo que se forma al prolongar los lados no paralelos.
a
An
tio
qui
54. ABCD es un cuadril´tero. AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, CE =
a
EA = m, BF = F D = n, EF = r.
Demuestre: a2 + b2 + c2 + d2 = (2m)2 + (2n)2 + 4r2 .
dad
de
55. Dados dos segmentos de longitud a cm. y b cm., construir con regla y
comp´s:
a
a) un segmento de longitud ab cm.
b) un segmento de longitud a cm.
b
ersi
56. Trazar las tangentes exteriores y las interiores a dos circunferencias.
Un
iv
57. Constru´ un tri´ngulo ABC, conociendo
ır
a
a) BC, ABC y BN que es la altura desde B, (a, β, hb ).
b) BC, AM y AH que son la mediana y la altura correspondientes a
BC, (a, ma , ha ).
c) BC, y la altura y la bisectriz BH y CD, (a, hb , vc ).
d ) BC y las alturas BH y CP , (a, hb , hc ).

56. CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
256
e) BC, AC y la altura BH, (a, b, hb ).
f ) BC, BAC y la mediana AM , (a, α, ma ).
g) BC, BAC y la altura BH, (a, α, hb ).
h) Los pies de las tres medianas.
i ) Las tres medianas: ma , mb , mc .
as
j ) ABC, ACB y el per´
ımetro , (β, γ, p; donde p = a + b + c).
atem
atic
58. Construir un tri´ngulo equil´tero, conociendo el radio de la circunfea
a
rencia inscrita.
eM
59. Construir un tri´ngulo equil´tero, conociendo su per´
a
a
ımetro.
o. d
60. Construir un tri´ngulo is´sceles conociendo el per´
a
o
ımetro y la medida
de la altura correspondiente a la base.
a) AB
a, D
ept
61. Construir una circunferencia que pase por dos puntos A y B y que sea
tangente a una recta l; con A y B del mismo lado con respecto a l.
l,
qui
b) AB ∩ l = {P }.
An
tio
62. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas paralelas
dadas y que pase por un punto dado.
dad
de
63. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas que se cortan
y pase por un punto en el interior del angulo entre las dos rectas.
´
ersi
64. Construir una circunferencia que sea tangente a una circunferencia y a
una recta dadas y que pase por un punto dado.
Un
iv
65. Dado un punto en el interior de una circunferencia, construir una cuerda
tal que el punto dado sea punto medio de dicha cuerda.
66. Sea AB di´metro de una circunferencia, A, B, M colineales con B entre
a
A y M , M N tangente en N y N C ⊥ AB, C entre A y B. Mostrar que
MA
CA
=
CB
MB

57. 7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA
257
67. Dado un angulo XOY y un punto A en el interior de XOY , trazar por
´
−→
−
−
−
→
A una recta que corte a OX en M y a OY en N , de tal forma que A
sea punto medio de M N .
68. Dos circunferencias de centros O y O1 y de radios diferentes son secantes
en A. Trazar por A una cuerda BC, de tal forma que A sea el punto
medio de BC. (B ∈ C(O) y C ∈ C(O1 ) ).
atic
as
69. Constru´ un tri´ngulo conociendo dos angulos y la suma de las medidas
ır
a
´
de dos de sus lados.
atem
70. Construir un rect´ngulo ABCD conociendo AB y el angulo AOB fora
´
mado por las diagonales.
o. d
eM
71. Construir un tri´ngulo ABC, rect´ngulo en A, conociendo la suma de
a
a
las medidas de los catetos y el angulo C.
´
ept
72. Construir un rect´ngulo conociendo su per´
a
ımetro y su diagonal.
a, D
73. Construir un trapecio conociendo sus bases y sus diagonales.
74. Construir un cuadril´tero conociendo sus lados y una de sus diagonales.
a
An
tio
qui
75. Construir un cuadril´tero inscriptible conociendo BD, y AC que son
a
sus diagonales, el angulo A y el lado AB.
´
de
76. Circunscribir un tri´ngulo equil´tero en una circunferencia de radio
a
a
dado.
dad
77. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas dadas y cuyo
centro est´ sobre una recta dada.
e
ersi
78. Construir una circunferencia tangente a tres rectas dadas.
Un
iv
79. Trazar una recta tangente a una circunferencia dada y paralela a una
recta dada.
80. Construir un tri´ngulo conociendo:
a
a) Los pies E, F, D de las tres alturas.
b) Un lado BC, el angulo opuesto α , y la suma o la diferencia de
´
los otros dos lados (a, α, c − b), (a, α, c + b).

58. 258
CAP´
ITULO 7. SEMEJANZA, JAIME ESCOBAR A.
c) Un angulo β y las alturas opuestas AD y CF . (β, ha , hc ).
´
d ) Un angulo β , la altura BE y la altura AD, (β, hb , ha ).
´
´
e) Un lado BC, un angulo β , y la mediana AD (a, β, ma ).
f ) El per´
ımetro, un angulo y la altura bajada desde el v´rtice del
´
e
angulo: (p, α, ha ).
´
as
g) La altura y bisectriz bajadas del mismo v´rtice y el radio de la
e
circunferencia inscrita (vc , hc , r).
atem
atic
h) La altura y la mediana bajadas desde el mismo v´rtice y el radio
e
de la circunferencia circunscrita (ma , ha , R).
81. Construir un tri´ngulo conociendo:
a
o. d
eM
a) Dos lados y la longitud de la bisectriz del angulo comprendido
´
(a, c, vb ).
ept
b) La base AB , el angulo opuesto y la suma de las medidas de los
´
lados que comprenden este angulo (c, γ, a + b).
´
Un
iv
ersi
dad
de
An
tio
qui
a, D
82. Por un punto P exterior a una circunferencia trazar una secante P AB,
PA
tal que AB = m donde m, n son dos n´meros naturales dados.
u
n