Matrices resolutiva

1. GUIA DE MATRICES
Fuente: http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html
1)Dadas
Encontrar:
A + B ; -2B , A – B , A – 2B , B – A
2) En cada uno de los siguientes casos determinar (AB)C y A(BC)
(a)
(b)
3. Sean y
(a) Determinar el orden de X⦁A y comparar con las filas o columnas de A.
(b ) Si X = [ 0 0 …0 1 0 … 0 ] donde 1 aparece en la posición (1 , ¿).
Determinar el orden de X⦁A y A⦁ Xt
.

2. 4. Calcule los productos matriciales A B y BA
5. Para las matrices
Verifique directamente la distributividad por la derecha (A+B)C=AC+BC.
¿Se cumple la distributividad por la izquierda para estas tres matrices? Justifique.
6. Dadas las matrices:
(a) Verifique que AB = BA = 0 ; AC = A ; CA = C
(b)Use los resultados de (a) para comprobar que ACB = CBA;
A2 – B2 = (A – B)( A + B) ; (A + B)2 = (A – B)2 = A2 + B2

3. 7.Dadas las matrices en M3
Determinar X en M3 tal que 2A+3X = (12C)(23B)
8. Dadas las matrices
Encontrar
de manera que A + B – D = 0
9. Sea A ∈ M3 , efectuar el siguiente producto en R.
Ayuda: tome

4. 10.- Si y
compruebe que :
11.Una matriz se dice idempotente si y sólo si A2
= A
(a) Pruebe que
es idempotente.
(b)Demuestre que si A es idempotente, B = I – A es idempotente y
AB = BA = 0
12. Pruebe que no existe una matriz B tal que AB = BA = I2 con
13. Determinar todas las matrices A de orden 2x2 con coeficientes
reales, tales que cumplan A2
= 0
14. Determinar todas las matrices A de orden 2x2 con coeficientes
reales, tales que cumplan A2
= I

5. 15.Se dice que una matriz A es involutiva si y sólo si A2
= I
(a)Verifique que
y son matrices
involutivas.
(b)Demuestre que si A es una matriz involutiva entonces
ଵ
ଶ
( I + A) y
ଵ
ଶ
( I - A) son idempotentes y
ଵ
ଶ
(I + A) ⦁
ଵ
ଶ
(I - A) = 0
16. Sea
Hallar todas las potencias Nk
con k entero positivo.
17. Sea A = [ a i,j ] una matriz cuadrada de orden n con
Pruebe que An
= 0 y An-1
≠ 0

6. 18. Si compruebe que
A3
– 2A2
– 9A= 0 pero A2
– 2A – 9I ≠ 0.
19. Sea p(x) = - (x+2)(x2
+3x) ; q(x) = x+2 ; r(x) = x2
+ 3x ; s(x) = x+3.
Si
Calcular p(A) ; q(A) ; r(A) ; s(A)
20. Sean
Determinar
(A+B) t
; At
+ Bt
; A + At
; B + Bt
21. Sean
(a) Determinar (AB)t
; Bt
At
; A At
; At
A
(b) Verifique que A At
; At
A son simétricas.
(c) Verifique que (AB)t
= Bt
At
22. Mostrar que toda matriz de orden es suma de una matriz simétrica y otra
antisimétrica.

7. 23.Si
Hallar la parte simética y antisimétrica de A
24. Determine si son Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones.
(a)______ El producto de matrices triangulares es triangular.
(b)______El producto de matrices triangulares del mismo orden es triangular del mismo
orden.
(c)______Cada matriz antisimétrica tiene la diagonal principal igual a cero.
(d)______Para toda matriz A en Mn. Si A4
= 0 entonces A = 0
(e) ______El producto de matrices simétricas del mismo orden es simétrica.
(f)_______Para toda matriz A en Mn se tiene At
A = A At
.
(g)______Para toda matriz A en Mn se tiene
ଵ
ଶ
(A + At
) es simétrica.
(h)___Para toda matriz A en Mn con A ≠ 0 entonces existe B tal que AB = I
(i )______Si A y B son matrices de orden n y AB = O entonces A=0 ó B=0
25.Dadas las matrices y
Verifique que:
y