06 LAS HOJAS DE CÁLCULO COMO HERRAMIENTA EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

LAS HOJAS DE CÁLCULO COMO
HERRAMIENTA EN EL ANÁLISIS
ESTRUCTURAL
DOCUMENTOS COMPLEMENTARIOS
HACER DOBLE CLIC EN EL CLIP PARA ABRIR LA HOJA DE CÁLCULO
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Calculó: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez
Fecha de elaboración:30 April 2010
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ESTRUCTURAL
DOCUMENTOS COMPLEMENTARIOS
HACER DOBLE CLIC EN EL CLIP PARA ABRIR LA HOJA DE CÁLCULO
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Cálculo Estructural:
Ing. Leonel Iván Miranda Méndez
INGENIERÍA EN PROYECTOS DE
EDIFICACIÓN
Tel (93) 493 2
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30 April 2010
106
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Cálculo Estructural

REALIZADO 4/30/2010
Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez
INTRODUCCIÓN ................................
CAPÍTULO 1 ANÁLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE
FORMULACIÓN MATRICIA
1.1 MÉTODO DE LA RIGIDEZ
1.2 ÁLGEBRA LINEAL ................................
1.3 MÉTODO DE RIGIDEZ E
CAPÍTULO 2 MICROSOFT
2.1 ENTORNO DE TRABAJO
2.2 FUNCIONES MATEMÁTICAS
2.3 VISUAL BASIC PARA APLICACION
CAPÍTULO 3 ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE UN
EXCEL®................................
3.1 CÓDIGO FUENTE ................................
3.2 FORMA DE INTRODUCIR
3.3 FORMA DE INTERPRETAR
3.4 ALCANCE DEL PROGRAMA
3.4.1 Ventajas ................................
3.4.2 Limitaciones ................................
CAPÍTULO 4 EJEMPLOS ................................
4.1 MARCOS PLANO CON M
4.2 MARCOS PLANOS CON
CAPÍTULO 5 CONCLUSIO
Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural
Fecha: 4/30/2010 Página: 2
REVISADO 09/01/2010
Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa
................................................................................................
ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MÉTODO DE RIGIDEZ
FORMULACIÓN MATRICIAL................................................................................................
IGIDEZ................................................................................................
................................................................................................
EN FORMULACIÓN MATRICIAL ................................
CAPÍTULO 2 MICROSOFT EXCEL®................................................................
RABAJO................................................................................................
ATEMÁTICAS ................................................................................................
ASIC PARA APLICACIONES.................................................................
IS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICRO
................................................................................................................................
................................................................................................
NTRODUCIR LOS DATOS................................................................
NTERPRETAR LOS RESULTADOS................................................................
ROGRAMA ................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
MIEMBROS DE SECCIÓN CONSTANTE ................................
ON MIEMBROS DE SECCIÓN VARIABLE ................................
CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES................................................................................................
De: 106
.............................................................. 3
EL MÉTODO DE RIGIDEZ EN
......................................... 5
.................................................... 5
............................................................... 15
................................................................. 19
...........................................................25
..................................................... 25
.............................................. 26
................................................................. 27
MARCO PLANO EN MICROSOFT
............................................32
................................................................ 32
.............................................................. 46
................................................ 59
............................................... 65
.................................... 65
........................................................... 65
..............................................66
...................................................... 66
....................................................... 88
...................................105

REALIZADO 4/30/2010
INTRODUCCIÓN
Con el creciente y amplio uso
imposible que su influencia no lle
específica, al campo de la ingeniería estructural, tanto así que existen en la actualidad
infinidad de herramientas comp
diseño de estructuras.
Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP, Tricalc, uStatic, Etabs entre otras,
de carácter comercial muy conocidas y bastante utilizadas por los ingenieros civiles,
incluso dentro de las universidades del país ya se ha trabajado en este campo, de hecho
en la Universidad Autónoma de Zacatecas existen programas computacionales para el
análisis de estructuras.
El análisis de estructuras mediante tecnologías digitales es muy r
es de enorme utilidad al realizar cálculos laboriosos y extremadamente repetitivos,
evitando así cometer posibles errores. Sin embargo, la parte importante y crucial de un
problema de este tipo no es el realizar las operaciones requeridas p
análisis, sino plantear el problema en cuestión de forma correcta. La tarea que lleva a
cabo una computadora en el análisis estructural es tan sólo una parte de un proceso
donde el ingeniero observa el problema, lo plantea, introduce en la
correctos y, finalmente, interpreta los resultados obtenidos, entonces, no es posible que
una máquina detecte un error en el planteamiento del problema, por consiguiente sigue
siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecer resultados
Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programa
de estar familiarizado con el procedimiento que la máquina está realizando
consecuentemente cualquiera que desee delegar el cálculo de una estructura a algoritmos
computacionales, primero debe saber cómo se hacen a mano. Una vez que se ha
ensayado y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa computacional
como apoyo en el análisis, para esto se ha realizado un programa computacional que
pueda servir de ayuda para el análisis de estructuras, dicho programa es una hoja de
cálculo en Microsoft Office Excel ®, dicha hoja resuelve marcos planos mediante el
método matricial, se desprecian las deformaciones axiales y el número máximo de grados
REVISADO 09/01/2010
creciente y amplio uso de la tecnología digital que se ha dado recientemente es
mposible que su influencia no llegue a la rama de la ingeniería civil y, de manera más
infinidad de herramientas computacionales dirigidas a resolver problemas de análisis y
so dentro de las universidades del país ya se ha trabajado en este campo, de hecho
El análisis de estructuras mediante tecnologías digitales es muy r
problema de este tipo no es el realizar las operaciones requeridas p
donde el ingeniero observa el problema, lo plantea, introduce en la computadora los datos
siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecer resultados correctos.
Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programa computacional, debe
de estar familiarizado con el procedimiento que la máquina está realizando
omputacionales, primero debe saber cómo se hacen a mano. Una vez que se ha
r de ayuda para el análisis de estructuras, dicho programa es una hoja de
De: 106
que se ha dado recientemente es
rama de la ingeniería civil y, de manera más
utacionales dirigidas a resolver problemas de análisis y
so dentro de las universidades del país ya se ha trabajado en este campo, de hecho
El análisis de estructuras mediante tecnologías digitales es muy recurrido ya que
problema de este tipo no es el realizar las operaciones requeridas por el método de
computadora los datos
computacional, debe
de estar familiarizado con el procedimiento que la máquina está realizando,
omputacionales, primero debe saber cómo se hacen a mano. Una vez que se ha
r de ayuda para el análisis de estructuras, dicho programa es una hoja de

REALIZADO 4/30/2010
de libertad debe ser como máximo de 60, el programa resuelve problemas con elementos
de sección variable.
Se eligió el tema para afianzar los conocimientos sobre análisis estructural,
además para alentar a otros estudiantes a
un método de autoaprendizaje, también
cualquier otro programa se conozca
El objetivo no es el competir con los programas de su ramo que existen en el
mercado, ya que éstos son en su mayoría desarrollados no por una sola persona sino por
equipo de profesionistas
contribuye en que el programa
un uso profesional sino a un uso didáctico que sirva a los intereses de los estudiantes de
ingeniería civil.
Asimismo, contrario
ventajas sobre el resto de los
puede servir como un primer acercamiento al cálculo estructural mediante herramientas
computacionales, ya que debido a su simplicidad será fácil para un estudiante
comprender el mecanismo de operación.
REVISADO 09/01/2010
debe ser como máximo de 60, el programa resuelve problemas con elementos
alentar a otros estudiantes a desarrollar sus propios programas
un método de autoaprendizaje, también para que al utilizar un programa comercial
cualquier otro programa se conozca –a grandes rasgos– la mecánica del mismo.
no es el competir con los programas de su ramo que existen en el
son en su mayoría desarrollados no por una sola persona sino por
con estudios en leguajes de programación, sin embargo se
contribuye en que el programa –como estudiante de ingeniería civil–
onal sino a un uso didáctico que sirva a los intereses de los estudiantes de
, contrario a lo que se podría pensar, el programa computacional tiene
el resto de los que existen en el mercado en cuanto al hecho de
comprender el mecanismo de operación.
De: 106
debe ser como máximo de 60, el programa resuelve problemas con elementos
sus propios programas, ya que es
para que al utilizar un programa comercial o
la mecánica del mismo.
no es el competir con los programas de su ramo que existen en el
son en su mayoría desarrollados no por una sola persona sino por
ios en leguajes de programación, sin embargo se
está orientado no a
onal sino a un uso didáctico que sirva a los intereses de los estudiantes de
el programa computacional tiene
cuanto al hecho de que éste

REALIZADO 4/30/2010
CAPÍTULO 1 ANÁLISIS
EL MÉTODO
1.1 MÉTODO DE LA
Una de las definiciones fundamentales
Celigüeta, en su Curso de Análisis Estructural
estructura es, para un ingeniero, cualquier tipo de construcción formada por uno o varios
elementos enlazados entre sí que están destinados a soportar la acción de una serie de
fuerzas aplicadas sobre ellos.”
Un concepto también definido
técnica: “Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito
de elementos unidos entre si mediante un número finito de juntas…”
Consecuencia de lo anterior se dice
miembros unidos entre sí
elementos y a las uniones y voladizos se les designará
mantener estable un estado de fuerzas
estructural:
Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se
originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para
efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder p
idealización, es decir a asimilarla a un modelo cuyo cálculo sea posible
efectuar. Esta idealización se hace básicamente introduciendo algunas
suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la
estructura, sobre la forma en que
en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a su análisis,
calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando
para ello las técnicas propias del Análisis Estructura
REVISADO 09/01/2010
ANÁLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE
MÉTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIÓN
MATRICIAL
A RIGIDEZ
fundamentales es la de estructura, concepto que
Curso de Análisis Estructural, define de la siguiente forma:
ara un ingeniero, cualquier tipo de construcción formada por uno o varios
fuerzas aplicadas sobre ellos.” (Celigüeta 1998: 1)
Un concepto también definido por Roberto A. Falcón, aunque de manera
“Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito
de elementos unidos entre si mediante un número finito de juntas…”. (Falconí 2004: 5)
Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras están formadas por
(en lo sucesivo, los miembros de la estructura se denominarán
y a las uniones y voladizos se les designará nudos), los cuales
mantener estable un estado de fuerzas (o una carga), lo que nos lleva a definir
efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder p
estructura, sobre la forma en que éstos están unidos entre sí, y sobre la forma
para ello las técnicas propias del Análisis Estructural. Para este análisis
De: 106
MEDIANTE
FORMULACIÓN
concepto que Juan Tomás
define de la siguiente forma: “Una
ara un ingeniero, cualquier tipo de construcción formada por uno o varios
Falcón, aunque de manera más
“Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito
. (Falconí 2004: 5)
uras están formadas por
(en lo sucesivo, los miembros de la estructura se denominarán
), los cuales se encargan de
que nos lleva a definir análisis
efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder primero a su
éstos están unidos entre sí, y sobre la forma
l. Para este análisis

REALIZADO 4/30/2010
siempre se dispone, como datos de partida, de los valores de las acciones
exteriores y las dimensiones de la estructura
Entonces el objetivo del análisis estructural es calcular las fuerzas y las deflexiones en
un punto cualquiera de una estructura, para esto
algunos de los cuales se enumeran a continuación y se clasifican en cuatro grupos de
acuerdo a su naturaleza.
1. Soluciones analíticas
controlan el problema, por lo que normalmente sólo se pueden aplicar a casos
sencillos.
o Integración de la ecuación de la elástica en v.
o Teoremas de Mohr para vigas.
o Método de la viga conjugada para vigas.
2. Empleo de las ecuaciones de la estátic
isostáticas.
o Método del equilibrio de los nudos para
o Método de las secciones para
o Método de la barra sustituida para
3. Métodos basados en la flexibilidad.
o Principio del trabajo vir
complementario estacionario.
o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti
o Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser.
o Método de la compatibilidad de deformaciones e
o Fórmula de los tres momentos para vigas.
o Principio de Müller
REVISADO 09/01/2010
exteriores y las dimensiones de la estructura… (Celigüeta 1998: 3)
n punto cualquiera de una estructura, para esto se pueden seguir muchos métodos,
Soluciones analíticas: consisten en resolver directamente las ecu
Integración de la ecuación de la elástica en v.
Teoremas de Mohr para vigas.
Método de la viga conjugada para vigas.
Empleo de las ecuaciones de la estática: sólo se pueden aplicar a estructuras
Método del equilibrio de los nudos para armaduras.
Método de las secciones para armaduras.
Método de la barra sustituida para armaduras.
Métodos basados en la flexibilidad.
Principio del trabajo virtual complementario y principio del potencial
complementario estacionario.
Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser.
Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser.
Método de la compatibilidad de deformaciones en vigas.
Fórmula de los tres momentos para vigas.
Principio de Müller-Breslau para cargas móviles.
De: 106
3)
se pueden seguir muchos métodos,
: consisten en resolver directamente las ecuaciones que
a: sólo se pueden aplicar a estructuras
omplementario y principio del potencial
Engesser.
Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser.

REALIZADO 4/30/2010
4. Métodos basados en la rigidez.
o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario.
o Primer teorema de Castigliano.
o Método de rigidez
o Método de la distribución de momentos, o de Cross, para pórticos planos.
De todos los métodos anteriores, para este trabajo el que nos interesa es el
método de rigidez en formulación matricia
sistematización en computadoras.
Para explicar el método de la rigidez hace falta definir ciertos conceptos e hipótesis
necesarios. Se dice que un modelo matemático es más exacto mientras más variables se
involucren en el mismo; en el caso del análisis estructural intervienen muchísimas
variables como son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que
están unidas, también intervienen los procedimientos de construcción, los cambios de
temperatura, la calidad de los materiales, etc. En lo que atañe a nuestro caso muchas de
estas variables se despreciarán, suponiendo comportamientos que, si bien no son los
reales, se acercan muy bien a la realidad. A continuación se enumeran las hipótesis:
1.-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales.
2.-Movimientos pequeños comparados con las dimensiones de la estructura.
3.-Se desprecian los fenómenos que afectan y varían la rigidez.
4.-Los materiales son homogéneos e isótropos
5.-Las uniones de los
6.-Los desplazamientos y el sistema de cargas están sobre un plano (estructura en
dos dimensiones).
REVISADO 09/01/2010
Métodos basados en la rigidez.
Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario.
Primer teorema de Castigliano.
Método de rigidez en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo.
Método de la distribución de momentos, o de Cross, para pórticos planos.
método de rigidez en formulación matricial, debido a su fácil implementación y
sistematización en computadoras.
n el mismo; en el caso del análisis estructural intervienen muchísimas
la calidad de los materiales, etc. En lo que atañe a nuestro caso muchas de
amiento lineal de la estructura y de los materiales.
Movimientos pequeños comparados con las dimensiones de la estructura.
Se desprecian los fenómenos que afectan y varían la rigidez.
Los materiales son homogéneos e isótropos
Las uniones de los elementos y de la estructura son ortogonales.
Los desplazamientos y el sistema de cargas están sobre un plano (estructura en
De: 106
Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario.
en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo.
Método de la distribución de momentos, o de Cross, para pórticos planos.
, debido a su fácil implementación y
n el mismo; en el caso del análisis estructural intervienen muchísimas
la calidad de los materiales, etc. En lo que atañe a nuestro caso muchas de
Movimientos pequeños comparados con las dimensiones de la estructura.
elementos y de la estructura son ortogonales.
Los desplazamientos y el sistema de cargas están sobre un plano (estructura en

REALIZADO 4/30/2010
7.-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el eje longitudinal de
los elementos.
8.-No necesariamente la sección de los elementos debe ser constante, sin embargo
debe ser rectangular.
Las hipótesis uno, dos y siete son de vital importancia, ya que son condiciones que
debe cumplir una estructura para que se aplique el principio de superposición.
principio establece que los efectos que produce un sistema de fuerzas aplicado a una
estructura, son equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las
fuerzas del sistema actuando independientemente.
Dentro de la estructura, en c
fuerzas y momentos será cero, en este caso, como es una estructura plana, se debe
cumplir que:
∑ ‫ܨ‬௫ ൌ
Para analizar una estructura primero se debe evaluar su estabilidad, se dice que
una estructura es estable cuando la estructura mantiene el equilibro para cualquier caso
posible de cargas. Si una estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir
con el análisis y deberá replantearse una nueva estructura.
En el caso de que se trate de una estructura estable, entonces se procede a
determinar su grado de indeterminación. Como se mencionó anteriormente, se dispone de
tres ecuaciones de equilibrio, entonces, e
incógnitas que excedan el número de ecuaciones disponibles.
Las incógnitas en el método de la rigidez son los desplazamientos en los nudos, ya
sean traslaciones verticales, traslaciones horizontales o giros. Es
término grado de indeterminación cinemática
todos los desplazamientos independientes en los nudos.
Ahora bien, ya que se han definido las hipótesis y las condiciones de la estructura,
se debe hablar del método que se usará, a saber, el método de la rigidez (o de los
REVISADO 09/01/2010
Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el eje longitudinal de
esariamente la sección de los elementos debe ser constante, sin embargo
debe cumplir una estructura para que se aplique el principio de superposición.
fuerzas del sistema actuando independientemente.
Dentro de la estructura, en cualquier elemento, sección o nudo, la suma de las
ൌ 0 ∑ ‫ܨ‬௬ ൌ 0 ∑ ‫ܯ‬௭ ൌ 0
r una estructura primero se debe evaluar su estabilidad, se dice que
álisis y deberá replantearse una nueva estructura.
tres ecuaciones de equilibrio, entonces, el grado de indeterminación será el número de
incógnitas que excedan el número de ecuaciones disponibles.
sean traslaciones verticales, traslaciones horizontales o giros. Esto lleva a definir el
grado de indeterminación cinemática, que no es otra cosa que la suma de
todos los desplazamientos independientes en los nudos.
r del método que se usará, a saber, el método de la rigidez (o de los
De: 106
Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el eje longitudinal de
esariamente la sección de los elementos debe ser constante, sin embargo
debe cumplir una estructura para que se aplique el principio de superposición. Dicho
ualquier elemento, sección o nudo, la suma de las
r una estructura primero se debe evaluar su estabilidad, se dice que
l grado de indeterminación será el número de
to lleva a definir el
, que no es otra cosa que la suma de
r del método que se usará, a saber, el método de la rigidez (o de los

REALIZADO 4/30/2010
desplazamientos). Dicho método se llama así porque parte de la definición de rigidez, la
cual nos dice que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo
multiplicada por la deformación que sufre debido a dicha acción. En este método se
utilizan acciones producidas por desplazamientos unitarios, éstas son traslaciones o
rotaciones unitarias, y las acciones serán fuerzas o momentos.
Las acciones causadas por desplazam
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y determinar sus
rigideces.
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del elemento se
produce un desplazamiento
desplazamiento es igual a la rigidez del elemento multiplicada por el mismo
desplazamiento ‫ܨ‬ ൌ ݇ ∙ Δ, y
jM
1=θ
REVISADO 09/01/2010
a por la deformación que sufre debido a dicha acción. En este método se
rotaciones unitarias, y las acciones serán fuerzas o momentos.
Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen como “rigideces”.
FIGURA 1
anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del elemento se
produce un desplazamiento giratorio unitario. Si la fuerza necesaria para producir dicho
si, Δ ൌ 1 entonces ‫ܨ‬ ൌ ݇. Por el método de la viga conjugada:
L
De: 106
a por la deformación que sufre debido a dicha acción. En este método se
ientos unitarios se conocen como “rigideces”.
anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del elemento se
io. Si la fuerza necesaria para producir dicho
. Por el método de la viga conjugada:
kM

REALIZADO 4/30/2010
෍ ‫ܯ‬௝ ൌ
Al provocar un giro unitario en el extremo
factor de transporte de 1
2ൗ .
EI
M j
REVISADO 09/01/2010
FIGURA 2
ൌ 0 ⟶
‫ܯ‬௝ ∙ ‫ܮ‬
2‫ܫܧ‬
൬
1
3
൰ ‫ܮ‬ െ
‫ܯ‬௞ ∙ ‫ܮ‬
2‫ܫܧ‬
൬
2
3
൰ ‫ܮ‬ ൌ 0; ∴ ‫ܯ‬௝ ൌ 2‫ܯ‬௞
Al provocar un giro unitario en el extremo ݆ con ‫ܯ‬௝ se genera ‫ܯ‬௞ ൌ
ெೕ
ଶ
,
ൗ .
L
De: 106
, es decir, existe un
EI
Mk

REALIZADO 4/30/2010
El cortante en ݆ es el valor del giro en ese punto
෍ ‫ܯ‬௞
Como ‫ܯ‬௞ ൌ
ெೕ
ଶ
െ
‫ܯ‬௝ ∙ ‫ܮ‬
2‫ܫܧ‬
൬
2
3
൰ ‫ܮ‬
Como ܴ௝ ൌ ߠ ൌ 1
Entonces
== VRj
EI
M j
REVISADO 09/01/2010
FIGURA 3
es el valor del giro en ese punto ܴ௝ ൌ ߠ
‫ܯ‬௞ ൌ 0; ⟶ െ
‫ܯ‬௝ ∙ ‫ܮ‬
2‫ܫܧ‬
൬
2
3
൰ ‫ܮ‬ ൅
‫ܯ‬௞ ∙ ‫ܮ‬
2‫ܫܧ‬
൬
1
3
൰ ‫ܮ‬ ൅ ‫ܴܮ‬௝ ൌ 0
൬ ൰ ൅
‫ܯ‬௝ ∙ ‫ܮ‬
2‫ܫܧ‬
൬
1
3
൰ ‫ܮ‬ ൅ ‫ܴܮ‬௝ ൌ 0 ⟶ െ
2
6
‫ܯ‬௝‫ܮ‬ଶ
‫ܫܧ‬
൅
1
12
‫ܯ‬௝‫ܮ‬ଶ
‫ܫܧ‬
‫ܴܮ‬
‫ܯ‬௝ ൌ
4‫ܫܧ‬
‫ܮ‬
ܴ௝
‫ܯ‬௝ ൌ
4‫ܫܧ‬
‫ܮ‬
; ‫ܯ‬௞ ൌ
2‫ܫܧ‬
‫ܮ‬
θ=
R
L
De: 106
ܴ௝ ൌ 0
kR
EI
Mk

REALIZADO 4/30/2010
De manera similar se obtienen las rigideces pa
extremo izquierdo y en el derecho, también cuando se aplica una traslación en el extremo
izquierdo y en el derecho y las rigideces correspondientes se muestran en las figuras
6 y 7.
6
1=jθ
j
REVISADO 09/01/2010
e manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se aplica en el
izquierdo y en el derecho y las rigideces correspondientes se muestran en las figuras
FIGURA 4
2
6
L
EI
2
6
L
EI
−
L
EI2
L
EI4
k
De: 106
ra cuando el giro se aplica en el
izquierdo y en el derecho y las rigideces correspondientes se muestran en las figuras 4, 5,
EI

REALIZADO 4/30/2010
6
j
j
1=∆ j
12
−
j
REVISADO 09/01/2010
FIGURA 5
FIGURA 6
FIGURA 7
2
6
L
EI
2
6
L
EI
−
L
EI2
L
EI4
=kθ
k
3
12
L
EI
2
6
L
EI
2
6
L
EI
3
12
L
EI
−
k
3
12
L
EI
2
6
L
EI
−
2
6
L
EI
−
3
12
L
EI
k
=∆k
De: 106
1=
EI
1=

REALIZADO 4/30/2010
Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita conocer los
momentos y los cortantes producidos por las cargas reales, por ejemplo, si fuera una
carga uniformemente distribuida entonces las cargas de empotramiento
2
wL
REVISADO 09/01/2010
se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita conocer los
carga uniformemente distribuida entonces las cargas de empotramiento
FIGURA 8
12
2
wL
12
2
wL
De: 106
se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita conocer los
carga uniformemente distribuida entonces las cargas de empotramiento serían:
2
wL

REALIZADO 4/30/2010
1.2 ÁLGEBRA LINEAL
El álgebra lineal incluye la teoría y la aplicación de sistemas lineales de ecuaciones, para
esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones de las cuales, para el propósito de
este trabajo, bastarán los siguientes:
El primer concepto a definir es el
elementos – en nuestro caso números
siguiente representa las ventas de 3 sucursales en un trimestre:
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3 columnas, entonces se
dice que la matriz es de orden
cual se denominará m y el segundo término será el número de columnas y se le
denominará con la letra n. De manera genérica una matriz cualquiera de
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al renglón y luego a la
columna, por ejemplo el elemento
a la sucursal 2, en el mes de marzo. Cuando en una matriz
es un vector, si ݉ ൌ 1 entonces es un vector renglón y si
Matrices especiales
REVISADO 09/01/2010
INEAL
este trabajo, bastarán los siguientes:
El primer concepto a definir es el de matriz, que es un arreglo rectangular de
en nuestro caso números – escritos entre corchetes, por ejemplo la matriz
siguiente representa las ventas de 3 sucursales en un trimestre:
ܵ‫݈ܽݏݎݑܿݑ‬ 1
‫݋ݎ݁݊ܧ‬ ‫݋ݎ݁ݎܾ݁ܨ‬ ‫݋ݖݎܽܯ‬
$1500 $1600 $1650
$1400 $1550 $1600
$750 $800 $1000
orden de 3x3 siendo el primer término el número de renglones, el
y el segundo término será el número de columnas y se le
. De manera genérica una matriz cualquiera de
‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ ൌ ൦
ܽଵଵ ܽଵଶ ⋯ ܽଵ௡
ܽଶଵ ܽଶଶ ⋯ ܽଶ௡
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
ܽ௠ଵ ܽ௠ଶ ⋯ ܽ௠௡
൪
columna, por ejemplo el elemento ܽଶଷ de la matriz de ventas será $1600
2, en el mes de marzo. Cuando en una matriz ݉ o n es igual a 1 se dice que
entonces es un vector renglón y si ݊ ൌ 1 será un vector columna.
De: 106
de matriz, que es un arreglo rectangular de
escritos entre corchetes, por ejemplo la matriz A
de 3x3 siendo el primer término el número de renglones, el
y el segundo término será el número de columnas y se le
. De manera genérica una matriz cualquiera de ݉ ൈ ݊ será:
de la matriz de ventas será $1600 que corresponde
es igual a 1 se dice que
será un vector columna.

REALIZADO 4/30/2010
Existen ciertas matrices que deberán mencionarse deb
método de le rigidez:
Matrices cuadradas.
Matriz simétrica.- ܽ
Matriz diagonal.-
Matriz identidad.- ܽ
Adición de Matrices
La adición se define únicamente para matrices
tamaño y su suma –denotada por A+B
correspondientes. Las matrices de orden diferente no pue
Multiplicación por escalares
El producto de cualquier matriz
es un número o también es una matriz de orden 1
ܿ‫ܣ‬ ൌ ൣܿܽ௜௝൧ de ݉ ൈ ݊ obtenida al multiplicar cada elemento de A por c.
Multiplicación de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz
‫ܤ‬ ൌ ൣܾ௜௝൧ de ݉஻ ൈ ݊஻ está definido si y sólo si
segundo factor B debe ser igual al número de columnas del primer factor
resultado será la matriz ‫ܥ‬ ൌ
REVISADO 09/01/2010
Existen ciertas matrices que deberán mencionarse debido a su utilidad en el
Matrices cuadradas.- ݉ ൌ ݊
ܽ௜௝ ൌ ܽ௝௜
ܽ௜௝ ൌ ܽ௝௜ ൌ 0 excepto cuando ݅ ൌ ݆
ܽ௜௝ ൌ ܽ௝௜ ൌ 0 excepto cuando ݅ ൌ ݆ entonces ܽ௜௝
La adición se define únicamente para matrices ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ y ‫ܤ‬
denotada por A+B– se obtiene sumando los elementos
correspondientes. Las matrices de orden diferente no pueden sumarse.
Multiplicación por escalares
El producto de cualquier matriz ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ de ݉ ൈ ݊ y cualquier escalar (un escalar
es un número o también es una matriz de orden 1× 1) ܿ denotado por cA es la matriz
obtenida al multiplicar cada elemento de A por c.
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ de ݉
está definido si y sólo si ݊஺ ൈ ݉஻, es decir, el número de renglones del
debe ser igual al número de columnas del primer factor
ൌ ൣܿ௜௝൧ de ݉஺ ൈ ݊஻ de con elementos:
ܿ௜௝ ൌ ෍ ܽ௜௞ܾ௞௝
௡ಲ
௞ୀଵ
De: 106
ido a su utilidad en el
ൌ 1
൧ ‫ܤ‬ ൌ ൣܾ௜௝൧ del mismo
se obtiene sumando los elementos
den sumarse.
y cualquier escalar (un escalar
denotado por cA es la matriz
݉஺ ൈ ݊஺ y una matriz
, es decir, el número de renglones del
debe ser igual al número de columnas del primer factor A y entonces el

REALIZADO 4/30/2010
Transpuesta de una matriz
Resulta útil definir la transpuesta de una matriz
Inversa de una matriz
Para el método de las rigideces únicamente se utilizarán inversas de matrices
cuadradas, así pues la inversa de una
matriz de ݉ ൈ ݊ tal que
donde I es una matriz identidad de orden
Si A tiene inversa, entonces A se llama matriz no singular. Si A no tiene inversa,
entonces A se llama matriz singular.
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz. Sea una aplicación uno a
uno ሺߪሻ del conjunto ሼ1
permutaciones será ݊! . Se dice que
parejas ሺ݆݅ሻ tal que ݅ ൐ ݆ , si
permutación es negativa.
REVISADO 09/01/2010
ranspuesta de una matriz
Resulta útil definir la transpuesta de una matriz ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ como
Inversa de una matriz
cuadradas, así pues la inversa de una matriz ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ de ݉ ൈ ݊ se denota por
‫ܣܣ‬ିଵ
ൌ ‫ܣ‬ିଵ
‫ܣ‬ ൌ ‫ܫ‬
donde I es una matriz identidad de orden ݉ ൈ ݊
ama matriz singular.
Determinante de una matriz
ሼ1,2,3,4, ⋯ , ݊ሽ sobre sí misma, en este caso el número de
. Se dice que ߪ es par o impar si hay un número par o impar de
, si ߪ es par, la permutación es positiva, si
123 ൌ ሺ1,2ሻሺ1,3ሻሺ2,3ሻ ൌ 0 ൅
231 ൌ ሺ2,3ሻሺ2,1ሻሺ3,1ሻ ൌ 2 ൅
312 ൌ ሺ3,1ሻሺ3,2ሻሺ1,2ሻ ൌ 2 ൅
321 ൌ ሺ3,2ሻሺ3,1ሻሺ2,1ሻ ൌ 3 െ
132 ൌ ሺ1,3ሻሺ1,2ሻሺ3,2ሻ ൌ 1 െ
213 ൌ ሺ2,1ሻሺ2,3ሻሺ1,3ሻ ൌ 1 െ
De: 106
como ‫ܣ‬்
ൌ ൣܽ௝௜൧.
se denota por ‫ܣ‬ିଵ
y es una
sobre sí misma, en este caso el número de
mpar si hay un número par o impar de
es par, la permutación es positiva, si ߪ es impar, la

REALIZADO 4/30/2010
Sea el determinante de la matriz cuadrada
calculada de todas las permutaciones
|
Menores y cofactores
Si se considera una matriz cuadrada de 3x3
Los menores son:
‫ܯ‬ଵଵ ൌ ቂ
‫ܯ‬ଵଵ ൌ ቂ
‫ܯ‬ଷଵ ൌ ቂ
Y los cofactores son:
REVISADO 09/01/2010
Sea el determinante de la matriz cuadrada ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ que se denota por
calculada de todas las permutaciones
‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ ൌ ൥
ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ
ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ
ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ
൩
|‫|ܣ‬ ൌ
ܽଵଵܽଶଶܽଷଷ ൅ ܽଶଵܽଷଶܽଵଷ ൅ ܽଷଵܽଵଶܽଶଷ
െܽଵଷܽଶଶܽଷଵ െ ܽଶଷܽଷଶܽଵଵ െ ܽଷଷܽଵଶܽଶଵ
e considera una matriz cuadrada de 3x3 llamada A
‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ ൌ ൥
ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ
ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ
ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ
൩
ቂ
ܽଶଶ ܽଶଷ
ܽଷଶ ܽଷଷ
ቃ ‫ܯ‬ଵଶ ൌ ቂ
ܽଶଵ ܽଶଷ
ܽଷଵ ܽଷଷ
ቃ ‫ܯ‬ଵଷ ൌ ቂ
ܽଶଵ ܽଶଶ
ܽଷଵ ܽଷଶ
ቃ
ቂ
ܽଶଶ ܽଶଷ
ܽଷଶ ܽଷଷ
ቃ ‫ܯ‬ଶଶ ൌ ቂ
ܽଵଵ ܽଵଷ
ܽଷଵ ܽଷଷ
ቃ ‫ܯ‬ଶଷ ൌ ቂ
ܽଵଵ ܽଵଶ
ܽଷଵ ܽଷଶ
ቃ
ቂ
ܽଵଶ ܽଵଷ
ܽଶଶ ܽଶଷ
ቃ ‫ܯ‬ଷଶ ൌ ቂ
ܽଵଵ ܽଵଷ
ܽଶଵ ܽଶଷ
ቃ ‫ܯ‬ଶଷ ൌ ቂ
ܽଵଵ ܽଵଶ
ܽଶଵ ܽଶଶ
ቃ
De: 106
que se denota por |‫,|ܣ‬ la suma
ቃ
ቃ
ቃ

REALIZADO 4/30/2010
Inversión de una matriz por el método de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento
‫ܥ‬௜௝ , a esta matriz se le llama matriz de cofactores. A la transpuesta de la matriz de
cofactores se le llama matriz adjunta y se denota así
matriz adjunta se divide entre el
siempre y cuando el determinante sea diferente de cero.
En este breve repaso de álgebra lineal se ha definido las herramientas necesarias
que servirán para relacionar los elementos de una estructura, así como sus cargas,
deformaciones y reacciones en una forma matricial,
procedimiento que lleve a la solución del problema particular que se busca.
1.3 MÉTODO DE RIGIDEZ
Matriz de rigidez de un miembro o elemento
REVISADO 09/01/2010
‫ܥ‬ଵଵ ൌ ൅‫ܯ‬ଵଵ ‫ܥ‬ଵଶ ൌ െ‫ܯ‬ଵ ‫ܥ‬ଵଷ ൌ ൅‫ܯ‬ଵଷ
‫ܥ‬ଶଵ ൌ െ‫ܯ‬ଶଵ ‫ܥ‬ଶଶ ൌ ൅‫ܯ‬ଶଶ ‫ܥ‬ଶଷ ൌ െ‫ܯ‬ଶଷ
‫ܥ‬ଷଵ ൌ ൅‫ܯ‬ଷଵ ‫ܥ‬ଷଶ ൌ െ‫ܯ‬ଷଶ ‫ܥ‬ଷଷ ൌ ൅‫ܯ‬ଷଷ
Inversión de una matriz por el método de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ܽ௜௝ se remplaza por el cofactor
, a esta matriz se le llama matriz de cofactores. A la transpuesta de la matriz de
cofactores se le llama matriz adjunta y se denota así ݆ܽ݀‫ܣ‬ ൌ ൣ‫ܥ‬௜௝൧
்
. Si cada elemento de la
matriz adjunta se divide entre el determinante, entonces resulta la inversa de la matriz,
siempre y cuando el determinante sea diferente de cero.
‫ܣ‬ିଵ
ൌ
݆ܽ݀‫ܣ‬
|‫|ܣ‬
ൌ
‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬
‫ܥ‬ଵଵ
|‫|ܣ‬
‫ܥ‬ଶଵ
|‫|ܣ‬
⋯
‫ܥ‬௠ଵ
|‫|ܣ‬
‫ܥ‬ଵଶ
|‫|ܣ‬
‫ܥ‬ଶଶ
|‫|ܣ‬
⋯
‫ܥ‬௠ଶ
|‫|ܣ‬
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
‫ܥ‬ଵ௡
|‫|ܣ‬
‫ܥ‬ଶ௡
|‫|ܣ‬
⋯
‫ܥ‬௠௡
|‫|ܣ‬ ‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬
deformaciones y reacciones en una forma matricial, lo anterior para poder sistematizar un
IGIDEZ EN FORMULACIÓN MATRICIAL
Matriz de rigidez de un miembro o elemento
De: 106
e remplaza por el cofactor
, a esta matriz se le llama matriz de cofactores. A la transpuesta de la matriz de
. Si cada elemento de la
determinante, entonces resulta la inversa de la matriz,
lo anterior para poder sistematizar un
ATRICIAL

REALIZADO 4/30/2010
Como se ha visto ya en la primera parte de este
rigideces es necesario aislar un elemento y suponer desplazamientos unitarios de
traslación y de rotación en cada extremo de dicho elemento, para así determinar las
rigideces. Al considerar dos traslaciones y dos rot
formas en que se puede deformar un elemento y para cada situación se obtendrán cuatro
reacciones a saber, dos momentos y dos cortantes. Se puede relacionar todo esto en una
matriz denominada K para cada elemento así:
‫ܭ‬
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del elemento y, como se
puede observar, es simétrica. Cuando un elemento es de sección variable conviene
expresarla de la siguiente mane
ߠ௝ ൌ 1
‫ܭ‬ ൌ
‫ܯ‬௝
‫ܯ‬௞
ܸ௝
ܸ௞
‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬ ݇ଵଵ
݇ଶଵ
݇ଵଵ ൅ ݇ଵଶ
‫ܮ‬
െ
݇ଵଵ ൅ ݇ଶଵ
‫ܮ‬
REVISADO 09/01/2010
Como se ha visto ya en la primera parte de este capítulo, para aplicar el método de las
rigideces. Al considerar dos traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes
para cada elemento así:
ߠ௝ ൌ 1 ߠ௞ ൌ 1 Δ௝ ൌ 1 Δ௞ ൌ 1
ൌ
‫ܯ‬௝
‫ܯ‬௞
ܸ௝
ܸ௞ ‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬
4‫ܫܧ‬
‫ܮ‬
2‫ܫܧ‬
‫ܮ‬
6‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଶ
െ
6‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଶ
2‫ܫܧ‬
‫ܮ‬
4‫ܫܧ‬
‫ܮ‬
6‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଶ
െ
6‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଶ
6‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଶ
6‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଶ
12‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଷ
െ
12‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଷ
െ
6‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଶ
െ
6‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଶ
െ
12‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଷ
12‫ܫܧ‬
‫ܮ‬ଷ ‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬
expresarla de la siguiente manera:
ߠ௞ ൌ 1 Δ௝ ൌ 1
݇ଵଶ
݇ଵଵ ൅ ݇ଵଶ
‫ܮ‬
െ
݇
݇ଶଶ
݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ
‫ܮ‬
െ
݇
݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ
‫ܮ‬
݇ଵଵ ൅ ݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ൅ ݇ଶଵ
‫ܮ‬ଶ
െ
݇ଵଵ ൅ ݇
െ
݇ଶଶ ൅ ݇ଶଵ
‫ܮ‬
െ
݇ଵଵ ൅ ݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ൅ ݇ଶଵ
‫ܮ‬ଶ
݇ଵଵ ൅ ݇
De: 106
capítulo, para aplicar el método de las
aciones tenemos cuatro diferentes
‫ے‬
Δ௞ ൌ 1
݇ଵଵ ൅ ݇ଶଵ
‫ܮ‬
݇ଶଶ ൅ ݇ଶଵ
‫ܮ‬
݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ൅ ݇ଶଵ
‫ܮ‬ଶ
݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ൅ ݇ଶଵ
‫ܮ‬ଶ ‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬

REALIZADO 4/30/2010
La matriz de rigidez queda en función de la longitud del elemento y de los
elementos ݇ଵଵ, ݇ଵଶ, ݇ଶଵ, ݇ଶଶ. Para calcular la matriz de rigidez de un miembro o elemento de
sección variable se recurre a la definición de fl
de la rigidez.
Si se toman los elementos
La flexibilidad será:
Y los desplazamientos serán:
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuación de rigidez:
REVISADO 09/01/2010
. Para calcular la matriz de rigidez de un miembro o elemento de
sección variable se recurre a la definición de flexibilidad que no es otra cosa que el inverso
Si se toman los elementos ݇ଵଵ, ݇ଵଶ, ݇ଶଵ, ݇ଶଶ de la matriz de rigidez
‫ܭ‬ ൌ
‫ܫܧ‬
‫ܮ‬
൤
݇ଵଵ ݇ଵଶ
݇ଶଵ ݇ଶଶ
൨
La flexibilidad será:
‫ܨ‬ ൌ ‫ܭ‬ିଵ
ൌ
‫ܮ‬
‫ܫܧ‬
൤
݂ଵଵ ݂ଵଶ
݂ଶଵ ݂ଶଶ
൨
Y los desplazamientos serán:
൤
ߠ௝
ߠ௞
൨ ൌ
‫ܮ‬
‫ܫܧ‬
൤
݂ଵଵ ݂ଵଶ
݂ଶଵ ݂ଶଶ
൨ ൤
‫ܯ‬௝
‫ܯ‬௞
൨
൤
‫ܯ‬௝
‫ܯ‬௞
൨ ൌ
‫ܫܧ‬
‫ܮ‬
1
݂ଵଵ݂ଶଶ െ ݂ଵଶ
ଶ ൤
݂ଶଶ െ݂ଵଶ
െ݂ଵଶ ݂ଵଵ
൨ ൤
ߠ௝
ߠ௞
൨
De: 106
. Para calcular la matriz de rigidez de un miembro o elemento de
exibilidad que no es otra cosa que el inverso

REALIZADO 4/30/2010
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una sección variable serán:
De donde ݂ଵଵ, ݂ଵଶ,݂ଶଶ
Vector de cargas del miembro o elemento
REVISADO 09/01/2010
݇ଵଵ ൌ
‫ܫܧ‬௜
‫ܮ‬
݂ଶଶ
ଶ
݇ଵଶ ൌ ݇ଶଵ ൌ െ
‫ܫܧ‬௜
‫ܮ‬
݂ଵଶ
ଶ
݇ଶଶ ൌ
‫ܫܧ‬௜
‫ܮ‬
݂ଵଵ
ଶ
son:
݂ଵଵ ൌ
‫ܫ‬௜
‫ܮ‬ଷ
න
ሺ‫ܮ‬ െ ‫ݔ‬ሻଶ
‫ܫ‬௫
݀‫ݔ‬
ு
଴
݂ଵଶ ൌ
‫ܫ‬௜
‫ܮ‬ଷ
න
‫ݔ‬ሺ‫ܮ‬ െ ‫ݔ‬ሻ
‫ܫ‬௫
݀‫ݔ‬
ு
଴
݂ଶଶ ൌ
‫ܫ‬௜
‫ܮ‬ଷ
න
‫ݔ‬ଶ
‫ܫ‬௫
݀‫ݔ‬
ு
଴
Vector de cargas del miembro o elemento
De: 106

REALIZADO 4/30/2010
En el caso de las cargas que actúan sobre un elemento también se puede asignar
una matriz o más específicamente un vector cuyo nombre será vector de cargas
ejemplo para el caso de un elemento sometido a una carga uniformemente distribuida, el
vector de cargas será:
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las matrice
elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados. La nueva matriz será
una matriz cuadrada de orden igual al grado de indeterminación cinemática de la
estructura y se denotará por la letra
Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de cada uno de los
elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados y se representará por
la letra J.
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estru
estructura se pueden obtener fácilmente las deformaciones en los nudos así:
ሾ‫ݏ݁݊݋݅ܿܽ݉ݎ݋݂݁ܦ‬ሿ ൌ
REVISADO 09/01/2010
una matriz o más específicamente un vector cuyo nombre será vector de cargas
so de un elemento sometido a una carga uniformemente distribuida, el
ܳ ൌ
‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬
‫ܮݓ‬ଶ
12
െ
‫ܮݓ‬ଶ
12
‫ܮݓ‬
2
‫ܮݓ‬
2 ‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las matrice
estructura y se denotará por la letra S.
Vector de cargas de la estructura
vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de cada uno de los
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de la
ሿ ൌ ሾ‫ݖ݅ݎݐܽܯ‬ ݀݁ ‫݁݀݅݃݅ݎ‬ ‫ݖ‬ ݀݁ ݈ܽ ݁‫ܽݎݑݐܿݑݎݐݏ‬ሿିଵሾെܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬
De: 106
una matriz o más específicamente un vector cuyo nombre será vector de cargas Q. Por
so de un elemento sometido a una carga uniformemente distribuida, el
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las matrices de los
vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de cada uno de los
ctura y el vector de cargas de la
ܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ ݀݁ ܿܽ‫ݏܽ݃ݎ‬ሿ

REALIZADO 4/30/2010
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de rigidez de cada elemento por
su deformación real y se suma la carga expresada en su vector de carga correspondiente.
‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬
‫ܯ‬௝
‫ܯ‬௞
ܸ௝
ܸ௞ ‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬
ൌ ሾ‫ݖ݅ݎݐܽܯ‬ ݀݁ ‫ݖ݁݀݅݃݅ݎ‬
REVISADO 09/01/2010
ሾ‫ܦ‬ሿ ൌ ሾܵሿିଵሾെ‫ܬ‬ሿ
Reacciones finales en los nudos
‫ݖ݁݀݅݃݅ݎ‬ ݈݀݁ ݈݁݁݉݁݊‫݋ݐ‬ሿ
‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬
ߠ௝
ߠ௞
Δ௝
Δ௞‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬
൅ ሾܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ ݀݁ ܿܽ‫ݏܽ݃ݎ‬ ݈݀݁
ܴ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሾ‫ܦ‬௜ሿ ൅ ሾܳሿ
De: 106
݈݀݁ ݈݁݁݉݁݊‫݋ݐ‬ሿ

REALIZADO 4/30/2010
CAPÍTULO 2 MICROSOFT
2.1 ENTORNO DE TRABAJO
Para el propósito que se
aspectos más básicos de Excel y sólo se limitará a describir los componentes que serán de
especial utilidad en el programa a desarrollar.
Un archivo de Excel es en realidad un libro de cálculo que
hojas, cada hoja contiene
filas y 256 columnas; estas celdas pueden contener texto, números, fechas y fórmulas. En
la siguiente figura se muestra un libro abierto en Excel
Como puede verse, las filas o renglones están numeradas en forma sucesiva 1, 2,
3…etc., mientras las columnas están nombradas con letras del abecedario A, B, C…etc.
En el ejemplo anterior la celda seleccionada es la de la fila 3, columna 2, o en notación
REVISADO 09/01/2010
MICROSOFT EXCEL®
RABAJO
Para el propósito que se persigue, se partirá del hecho de que la mayoría conoce los
especial utilidad en el programa a desarrollar.
Un archivo de Excel es en realidad un libro de cálculo que consta de una o más
hojas, cada hoja contiene 16, 777, 216 campos llamados celdas ordenados en 65, 536
la siguiente figura se muestra un libro abierto en Excel
FIGURA 9
o puede verse, las filas o renglones están numeradas en forma sucesiva 1, 2,
las columnas están nombradas con letras del abecedario A, B, C…etc.
De: 106
persigue, se partirá del hecho de que la mayoría conoce los
consta de una o más
campos llamados celdas ordenados en 65, 536
o puede verse, las filas o renglones están numeradas en forma sucesiva 1, 2,
las columnas están nombradas con letras del abecedario A, B, C…etc.

REALIZADO 4/30/2010
propia del Excel, es la celda B3. En el entorno
varias celdas a la vez, a un conjunto de celdas se le llama rango y su notación consiste en
escribir la primera celda arriba a la izquierda, luego separar con dos puntos y
última celda abajo a la derecha, por ejemplo
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1:B3. Abajo en la izquierda pueden
observarse tres fichas tituladas “Hoja 1”, “Hoja 2” y “Hoja 3”, que s
conforman el libro.
2.2 FUNCIONES MATEMÁTICAS
Como ya se mencionó, las celdas pueden contener fórmulas
sea confundida con texto simple, éstas siempre deben empezar con el signo igual (=), las
fórmulas están compuestas de una o más funciones. H
que si bien no son todas las disponibles serán las necesarias para resolver un p
de análisis estructural. A continuación se presenta una tabla con dichas funciones:
Además de las funciones anteriores, también en una celda se pueden realizar
operaciones directas, por ejemplo si escribimos en cualquier celda “=5*8+1” la celda
FUNCIÓN
SUMA SUMA(número1
MAX MAX(número1
MMULT MMULT(matriz1
MINVERSA MINVERSA
REVISADO 09/01/2010
ia del Excel, es la celda B3. En el entorno de trabajo de Excel pueden seleccionarse
un conjunto de celdas se le llama rango y su notación consiste en
escribir la primera celda arriba a la izquierda, luego separar con dos puntos y
última celda abajo a la derecha, por ejemplo, si seleccionamos las celdas A1, A2, A3, B1,
observarse tres fichas tituladas “Hoja 1”, “Hoja 2” y “Hoja 3”, que s
ATEMÁTICAS
Como ya se mencionó, las celdas pueden contener fórmulas y para que una fórmula no
uestas de una o más funciones. Haré hincapié en algunas funciones
que si bien no son todas las disponibles serán las necesarias para resolver un p
continuación se presenta una tabla con dichas funciones:
funciones anteriores, también en una celda se pueden realizar
SINTAXIS DESCRIPCIÓN
número1;número2; ...)
Suma todos los números en los rangos
indicados
número1;número2; ...)
Devuelve el valor máximo de un conjunto
de valores.
matriz1;matriz2)
Devuelve la matriz producto de dos
matrices. El resultado es una matriz con
el mismo número de filas que matriz1 y el
mismo número de columnas que matriz2.
MINVERSA(matriz)
Devuelve la matriz inversa de la matriz
almacenada en una matriz.
De: 106
de trabajo de Excel pueden seleccionarse
un conjunto de celdas se le llama rango y su notación consiste en
escribir la primera celda arriba a la izquierda, luego separar con dos puntos y escribir la
si seleccionamos las celdas A1, A2, A3, B1,
observarse tres fichas tituladas “Hoja 1”, “Hoja 2” y “Hoja 3”, que son las hojas que
para que una fórmula no
aré hincapié en algunas funciones
que si bien no son todas las disponibles serán las necesarias para resolver un problema
continuación se presenta una tabla con dichas funciones:
funciones anteriores, también en una celda se pueden realizar
DESCRIPCIÓN
Suma todos los números en los rangos
Devuelve el valor máximo de un conjunto
Devuelve la matriz producto de dos
matrices. El resultado es una matriz con
el mismo número de filas que matriz1 y el
mismo número de columnas que matriz2.
Devuelve la matriz inversa de la matriz
almacenada en una matriz.

REALIZADO 4/30/2010
mostrará el resultado de esta operación, o sea “41”, de igual forma si en otra celda
escribimos “=A1+3” entonces se sumará el valor de la celda “A1” más tres.
2.3 VISUAL BASIC PARA APLICACION
Excel cuenta con un lenguaje de programación como una extensión de Visual
Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones, dicho lenguaje se ajusta a los
elementos de Excel que se mencionaron anteriormente, es decir, libros, hojas, celdas,
funciones, etc., esto permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo. A
continuación se explica cómo
FIGURA 10
REVISADO 09/01/2010
ces se sumará el valor de la celda “A1” más tres.
ASIC PARA APLICACIONES.
Excel que se mencionaron anteriormente, es decir, libros, hojas, celdas,
cómo hacer uso de esta característica de Excel.
De: 106
ces se sumará el valor de la celda “A1” más tres.
Excel que se mencionaron anteriormente, es decir, libros, hojas, celdas,
hacer uso de esta característica de Excel.

REALIZADO 4/30/2010
En el menú Herrami
Alt+F11, se abre una ventana como é
FIGURA 11
El espacio a la derecha sirve para escribir el código que deseemos ejecutar, es
decir, aquí escribiremos todas las instrucciones que deseamos que el programa eje
en este entorno se le llama macro.
Una macro está constituida de uno o más bloques de instrucciones llamados
procedimientos. Veamos el siguiente ejemplo:
Sub Ejemplo1
Application.WorkBooks(1).WorkSheets(1).Range("A1").Value = 2 + 3
End Sub
REVISADO 09/01/2010
En el menú Herramientas>Macro>Editor de Visual Basic, o bien pulsando
+F11, se abre una ventana como ésta:
decir, aquí escribiremos todas las instrucciones que deseamos que el programa eje
en este entorno se le llama macro.
procedimientos. Veamos el siguiente ejemplo:
Application.WorkBooks(1).WorkSheets(1).Range("A1").Value = 2 + 3
De: 106
entas>Macro>Editor de Visual Basic, o bien pulsando
decir, aquí escribiremos todas las instrucciones que deseamos que el programa ejecute,

REALIZADO 4/30/2010
Para dar de alta un procedimiento
instrucción Sub. A continuación se escribe la lista de tareas que llevará a cabo dicho
procedimiento. En el ejemplo anterior, el procedimiento se llama
va a realizar es llamar a Excel “Application”
hoja 1 “WorkSheets(1)”, y al rango A1 asignarle el valor “2+3” y se mostrará el resultado
“5”, finalmente se termina el procedimiento con la instrucción End Sub.
En la mayoría de los casos, Application no ser
momento se estará trabajando en la misma aplicación, o sea Excel. A menos que
sucediera lo contrario, Workbook tampoco será necesario porque se trabajará con un solo
libro. Worksheets sí será necesario especificarlo
y, obviamente, Range también deberá estar definido.
Variables
Como en todo lenguaje de programación existen datos variables que nos sirven
para almacenar diferentes valor
véase el siguiente ejemplo:
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1).Range("A1").Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda A1.
En VBA también se pueden definir v
ejemplo:
Sub Ejemplo3
Dim m(0,3)
m(0,0) =WorkSheets(1).Range("A1").Value
m(0,1) =3.15
m(0,2) =WorkSheets(1).Range("A1").Value
m(0,0) = m(0,0)
End Sub
REVISADO 09/01/2010
ar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
continuación se escribe la lista de tareas que llevará a cabo dicho
procedimiento. En el ejemplo anterior, el procedimiento se llama “Ejemplo1” y la tarea que
a Excel “Application” llamar al libro 1 “WorkBooks(1)”, llamar a la
ayoría de los casos, Application no será necesario especificarlo,
rksheets sí será necesario especificarlo, ya que se trabajarán con diferentes hojas
Range también deberá estar definido.
para almacenar diferentes valores según lo requiera el programa. Para ilustrar lo anterior
WorkSheets(1).Range("A1").Value
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda A1.
En VBA también se pueden definir variables del tipo matriz como se hace en el siguiente
WorkSheets(1).Range("A1").Value
WorkSheets(1).Range("A1").Value+3.15
De: 106
asignarle un nombre anteponiendo la
continuación se escribe la lista de tareas que llevará a cabo dicho
Ejemplo1” y la tarea que
al libro 1 “WorkBooks(1)”, llamar a la
á necesario especificarlo, ya que en todo
trabajarán con diferentes hojas
es según lo requiera el programa. Para ilustrar lo anterior
ariables del tipo matriz como se hace en el siguiente

REALIZADO 4/30/2010
En el ejemplo3 se declara una matriz de un re
que se especifique lo contrario, el número de renglones y columnas se cuenta desde cero,
o sea la matriz m tiene el renglón 0 y las columnas 0, 1, 2, 3). Obviamente las matrices
pueden contener diferentes tipos de datos, po
si no se les indica un tipo de datos específico se toma un tipo variable, pero hay que ser
congruente en el momento de realizar operaciones ya que si se multiplica un número por
un texto, devolverá un error.
Instrucciones lógicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones lógicas que son de gran utilidad
para evaluar datos, una de las más importantes es la sentencia
condicionante Si y su sintaxis es:
If condición Then [instrucciones]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque:
If condición Then
[instrucciones]
[ElseIf condición-n Then
[instrucciones_elseif] ...
[Else
[instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento:
Sub ejemplo4
Dim m(0, 3)
m(0, 0) = 1
m(0, 1) = 5
m(0, 2) = 3
valor1 = m(0, 1)
valor2 = m(0, 2)
If valor1 > valor2 Then
REVISADO 09/01/2010
En el ejemplo3 se declara una matriz de un renglón y cuatro columnas (a menos
pueden contener diferentes tipos de datos, por ejemplo números, texto, etc. Pero en VBA
un texto, devolverá un error.
rucciones lógicas
para evaluar datos, una de las más importantes es la sentencia If
y su sintaxis es:
]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque:
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento:
De: 106
nglón y cuatro columnas (a menos
r ejemplo números, texto, etc. Pero en VBA
If que significa una

REALIZADO 4/30/2010
m(0, 3) = valor1
Else
m(0, 3) = valor2
End If
End Sub
En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores a los t
primeros elementos, después se almacena en la variable
en la variable valor2 el valor del elemento tres. A continuación se evalúa si la variable
valor1 es mayor que valor2
la matriz m será igual a la variable
se termina la instrucción con End If.
Instrucciones cíclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando intervienen este tipo de
instrucciones, una instrucción muy utilizada, será la instrucción
indicará su sintaxis y se dará un ejemplo de su utilización.
For contador = principio To fin [Step
[instrucciones]
[Exit For]
[instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribirán los números del 1 al 10 en las primeras 10
celdas de la columna uno.
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1).
Next i
End Sub
REVISADO 09/01/2010
En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores a los t
primeros elementos, después se almacena en la variable valor1 el valor del elemento dos y
el valor del elemento tres. A continuación se evalúa si la variable
valor2, en caso de que sea verdadero entonces el ele
será igual a la variable valor1, si no entonces será igual a la variable
se termina la instrucción con End If.
instrucciones, una instrucción muy utilizada, será la instrucción For,
indicará su sintaxis y se dará un ejemplo de su utilización.
Step incremento]
WorkSheets(1).Cells(i,1) = i
De: 106
En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores a los tres
el valor del elemento dos y
el valor del elemento tres. A continuación se evalúa si la variable
, en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro de
, si no entonces será igual a la variable valor2 y
For, a continuación se

REALIZADO 4/30/2010
CAPÍTULO 3 ANÁLISIS
MARCO PLANO
3.1 CÓDIGO FUENTE
Para explicar el código fuente es necesario mencionar algunos detalles acerca de
cómo se van a ordenar los datos en el libro de Excel. El libro va a contener seis hojas, la
hoja uno se llamará “CONFIGURACIÓN”, en ésta se van
para el cálculo, las hojas dos, tres, cuatro y cinco, llamadas “PASO_1”, “PASO_2”,
“PASO_3” y “PASO_4”, respectivamente se escribirán los resultados y en la hoja seis
titulada “SECCIONES” se almacenarán los tipos de seccione
estructura disponibles para el cálculo.
A continuación se explica el procedimiento llamado “PASO_1”, el cual calcula y
escribe en la hoja “PASO_1” las matrices de rigidez de los elementos de la estructura. (El
texto color negro es el código fuente, el texto color verde son comentarios explicativos)
Sub PASO_1()
Worksheets("PASO_1").Select
Dim mrei(4, 4) 'Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets(
numero de elementos
Worksheets("PASO_1").Cells.Clear
RENGLON = 1 'Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel 'Ciclo para obtener las matrices de rig
REVISADO 09/01/2010
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
EN MICROSOFT EXCEL®
UENTE
hoja uno se llamará “CONFIGURACIÓN”, en ésta se van a escribir los datos necesarios
titulada “SECCIONES” se almacenarán los tipos de secciones de los elementos de la
estructura disponibles para el cálculo.
el código fuente, el texto color verde son comentarios explicativos)
Worksheets("PASO_1").Select 'Selecciona la Hoja llamada "PASO_1"
'Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a"))
Worksheets("PASO_1").Cells.Clear 'Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_1"
'Se establece un contador para renglones
'Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
De: 106
DE UN
a escribir los datos necesarios
s de los elementos de la
el código fuente, el texto color verde son comentarios explicativos)
"CONFIG").Range("a:a")) 'Se obtiene el
'Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_1"

REALIZADO 4/30/2010
L = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 2).Value
elemento
iner = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 3).Value
‘Se guarda en la variable iner el momento
elas = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 2).Value
‘Se guarda en la variable elas el módulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1
‘Se guarda en la variable tipo el tipo de sección del elemento
Select Case tipo ‘Se evalúa el tipo de sección y de acuerdo a ésta se calculan los coeficientes de
rigidez
Case 1 ’Caso uno la sección es constante
mrei(1, 1) = (4 * iner * elas) / L
mrei(1, 2) = (2 * iner * elas) / L
mrei(2, 1) = (2 * iner * elas) / L
mrei(2, 2) = (4 * iner * elas) / L
Case 2 ’Caso dos la sección es varía de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Works
hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1,
5).Value
If hj < hk Then hmin = hj
If hj > hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
REVISADO 09/01/2010
L = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 2).Value ‘Se guarda en la variable L la longitud del
‘Se guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
‘Se guarda en la variable elas el módulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 8).Value
‘Se guarda en la variable tipo el tipo de sección del elemento
‘Se evalúa el tipo de sección y de acuerdo a ésta se calculan los coeficientes de
’Caso uno la sección es constante
* iner * elas) / L
mrei(1, 2) = (2 * iner * elas) / L
mrei(2, 1) = (2 * iner * elas) / L
mrei(2, 2) = (4 * iner * elas) / L
’Caso dos la sección es varía de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value
De: 106
‘Se guarda en la variable L la longitud del
, 3).Value + 1, 8).Value
‘Se evalúa el tipo de sección y de acuerdo a ésta se calculan los coeficientes de
heets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value

REALIZADO 4/30/2010
f11 = Integral(1, 0, L, hj, hk, hmin, L, a)
mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22
mrei(2, 1) = mrei(1, 2)
Case 3 ‘La sección varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4
5).Value
a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value
f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(1, L * a, L
Integral(1, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a)
f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(2, L * a,
f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(3, L * a, L
REVISADO 09/01/2010
= Integral(1, 0, L, hj, hk, hmin, L, a)
mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))
La sección varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4
f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(1, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) +
L * a, L, hk, hj, hmin, L, a)
* f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))
De: 106
L * a, hk, hk, hk, L, 1) +
L * a, hk, hk, hk, L, 1) +
L * a, hk, hk, hk, L, 1) +

REALIZADO 4/30/2010
mrei(2, 1) = mrei(1, 2)
Case 4 ‘La sección varia de hj a hk, luego h a h y de hk a hj
5).Value
h = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets
If h < hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(1, L * a, L
L * a, L, hk, hj, hk, L, a)
mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f
mrei(2, 1) = mrei(1, 2)
REVISADO 09/01/2010
‘La sección varia de hj a hk, luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
h = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 6).Value
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(1, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(1, L
De: 106
("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 6).Value
L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(1, L -

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